圆锥曲线综合题型归纳解析
圆锥曲线综合题型归纳解析
一、定点问题
处理这类问题有两种方法：一是从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关；二是直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点。
例题1 （根据高考试题改编）
已知椭圆过点，且离心率.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），椭圆的右顶点为，且满足，试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
试题分析：(1)本小题通过待定系数法列出两个关于的方程，通过解方程组求出椭圆的方程，包含着二次方的运算需掌握；(2)本小题是直线与椭圆的位置关系的问题，这类题目的常用思路就是联立直线方程和椭圆方程通过消元得到一个一元二次方
程，确定判别式的情况，正确书写、利用韦达定理，由，两点(不是左右顶点)，椭圆的右顶点为，且满足，根据向量的数量积为零，可得到关于两个根的等式，再利用韦达定理可得关于的等式，从而就可得出相应的结论.
解：（1）
即
∴椭圆方程为
又点在椭圆上，解得
∴椭圆的方程为
(2)设，由得
，
所以，又椭圆的右顶点
，
，解得
，且满足
当时，，直线过定点与已知矛盾
当时，，直线过定点
综上可知，当时，直线过定点，定点坐标为
例题2 已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E（1,）.过点P(1,1)分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.
试题分析第二问如果没有任何思路，可以试探特殊值法找定点，令k1=0和k2=1求直线MN 再令k1=-1和k2=2求直线MN 两次MN直线的交点就是所求定点。只是这样处理太麻烦。
解:(1)依题设c=1,且右焦点F′(1,0).
所以2a=|EF|+|EF′|=+
=2,
b2=a2-c2=2,
故所求的椭圆的标准方程为+=1.
(2)依题设,k1≠k2.
设M(x M,y M),
又直线AB的方程为y-1=k1(x-1),
即y=k1x+(1-k1),
亦即y=k1x+k2,
代入椭圆方程并化简得(2+3)x2+6k1k2x+3-6=0.
于是,x M=,y M=,
同理,x N=,y N=.
当k1k2≠0时,
直线MN的斜率k==
=.
直线MN的方程为y-=(x-),
即y=x+(·+),
亦即y=x-.
此时直线过定点（0,-）.
当k1k2=0时,直线MN即为y轴,
此时亦过点（0,-）.
综上,直线MN恒过定点,且坐标为（0,-）.
同类型练习
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线：与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），
且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
二、最值问题或范围问题
圆锥曲线中最值的求法有两种：
①几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何体特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．
②代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．
例题1如图，椭圆过点P(1, )，其左、右焦点分别为F1,F2,离心率e＝,M,N是直线x＝4上的两个动点，且·＝0.
（1）求椭圆的方程；
（2）求|MN|的最小值；
试题分析：（1）因为：，且过点P(1, )，列出关于a，b的方程，解得a，b．最后写出椭圆方程即可；（2）设点M（4，m），N（4，n）写出向量的坐标，
利用向量的数量积得到mn=-15，又|MN|＝|m－n|＝|m|＋|n|＝|m|＋≥，结合基本不等式即可求得MN的最小值；
解：（1）由已知可得
∴椭圆的方程为＝1
（2）设M（4，m），N（4，n），∵F1(－1，0)，F2(1，0)
＝(5，m)，＝(3，n)，由＝0mn＝－15＜0
∴|MN|＝|m－n|＝|m|＋|n|＝|m|＋≥2∴|MN|的最小值为2
例题2 已知圆的圆心在坐标原点O，且恰好与直线相切. (1)求圆的标准方程；
(2)设点A为圆上一动点，AN轴于N，若动点Q满足（其中m为非零常数），试求动点的轨迹方程.
(3)在（2）的结论下，当时，得到动点Q的轨迹曲线C，与垂直的直线与曲线C交于 B、D两点，求面积的最大值.
试题分析：(1)求圆的方程，已经已知圆心坐标，只要再求得圆的半径即可，而圆心的半径等于圆心到切线的距离；（2）本题动点可以看作是由动点的运动成生成的，
因此可以用动点转移法求点的轨迹方程，具体方法就是设，，利用条件，求出与的关系，并且用来表示，然后把代入（1）中圆的方程，就能求得动点为的轨迹方程；（3）时，
曲线的方程为，直线与垂直，其方程可设为，这条直线与曲线相交，由此可求得的取值范围，而的面积应该表示为的函数，然后利用函数的知识或不等式的知识求得最值.
解：(1)设圆的半径为,圆心到直线距离为，则
所以，圆的方程为
（2）设动点,,轴于,
由题意,，所以即: ，
将代入,得动点的轨迹方程.
（3）时,曲线方程为，设直线的方程为
设直线与椭圆交点
联立方程得
因为，解得，且
又因为点到直线的距离
.（当且仅当即
时取到最大值）面积的最大值为.
同类型练习题
定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的.如图，椭圆与椭圆是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点.椭圆的长轴长是4，椭圆短轴长是1，点分别是椭圆的左焦点与右焦点. （I）求椭圆的方程；
（II）过的直线交椭圆于点M，N，求面积的最大值.
三定值问题
求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是所求的定值
（2）证明定值。有时可以直接证明定值，有时需将问题转化为代数式，证明该代数式与参数无关
（3）得出结论
例题1已知抛物线方程为，点A、B及点P(2，4)都在抛物线上，直线PA与PB的倾斜角互补。
（1）试证明直线AB的斜率为定值；
（2）当直线AB的纵截距为m（m＞0）时，求△PAB的面积的最大值。
试题分析：（1）这类问题一般运算量大，要注意函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运用。
（2）第二步求的最值可以用基本不等式也可以用导数求单调性
解：（1）证明：把P(2，4)代入，得h=6。所以抛物线方程
为：y－4=k(x－2)，由，消去y，得。
所以，因为PA和PB的倾角互补，所以
，用－k代k，得，所以
=。
（2）设AB的方程为y=2x+m(m＞0)，由，消去y得：
，令△=16－4(2m－12) ＞0，解得0＜m＜8，
，点P到AB的距离d=，所以，
=，所以，，
当且仅当，即时，等号成立，故△PAB面积最大值为
。
圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)
圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？
22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，
圆锥曲线常见题型与答案
圆锥曲线常见题型归纳 一、基础题 涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意： （1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况； （3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中 222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=； 例题： （1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ） A ．421=+PF PF B ．6 21=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122 2 2 1 =+PF PF （答：C ）； （2） 方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支） （3）已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2） （4）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值围为____ （答：11(3,)(,2)22---U ）； （5）双曲线的离心率等于25 ，且与椭圆14 922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2 214x y -=）； （6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为 _______（答：226x y -=） 二、定义题 对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理； 圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①围：,a x a b y b -≤≤-≤≤； ②焦点：两个焦点(,0)c ±； ③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为 2a ，短轴长为2b ； ④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 p e c b a ,,,,
最新圆锥曲线题型总结
圆锥曲线题型总结
直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点 1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 2、弦长公式：若点 1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则 1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB === = 或者 AB === = 3、两条直线111222: ,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v = 4、韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。 常见的一些题型： 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22 : 14x y C m +=过动点04m ≠（，且，如果直线 :1l y kx =+和椭圆22 :14x y C m + =14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。 规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： :101l y kx =+?过定点（，） :(1)1l y k x =+?-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+?-过定点（，2）
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线解答题12大题型解题套路归纳
【高考数学中最具震撼力的一个解答题！】注：【求解完第一问以后，】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型：（1）弦长问题（2）中点问题（3）垂直问题（4）斜率问题（5）对称问题（6）向量问题（7）切线问题（8）面积问题（9）最值问题（10）焦点三角形问题。中的2-----4类；分门别类按套路求解； 1.高考最重要考：直线与椭圆，抛物线的位置关系。第一问最高频考（总与三个问题有关）：（1）———————；（2）——————————；（3）—————————； 2.圆锥曲线题，直线代入圆锥曲线的“固定3步走”：---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————； 3.圆锥曲线题固定步骤前9步：-------------------；---------------------------------------------；————————————；—————————；——————————；—————————————————；———————————；——————————————； 4.STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长：（1）圆的弦长问题；（2）中点弦长问题（3）焦点弦长问题；→（1）圆的弦长问题：（2法）首选方法：垂径定理+勾
股定理：图示：--------------------------------；公式为：-------------------------；其中求“点线距”的方法：———————；次选：弦长公式；→（2） 中点弦长问题：（2法）首选方法：“点差法” 椭圆：（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；副产品：两直线永远不可能垂直！原因：___________；【两直线夹角的求法：（夹角公式）___________；】双曲线（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；抛物线：形式一：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；形式2：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；附：“点差法”步骤：椭圆：“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式：（公式一）-------------------；（公式二）---------------------；附：“点差法”步骤：抛物线；形式一___________;：“点”_______________________;_____________________;“差”_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式：（公式一）---------------------；（公式二）--------------------；附：“点差法”步骤：
高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)
专题0８解锁圆锥曲线中的定点与定值问题 一、解答题 1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为,离心率为;圆过椭圆的三个顶点．过点且斜率不为０的直线与椭圆交于两点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程； (Ⅱ)证明：在轴上存在定点,使得为定值;并求出该定点的坐标． 【答案】（1)(２） 【解析】试题分析：(Ⅰ)设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得,可得椭圆的方程；(Ⅱ）设直线的方程为,将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得 。设x轴上的定点为,可得 ,由定值可得需满足，解得可得定点坐标。 解得。 ∴椭圆的标准方程为. （Ⅱ）证明: 由题意设直线的方程为, 由消去ｙ整理得, 设,,
要使其为定值，需满足, 解得 ． 故定点的坐标为 ． 点睛：解析几何中定点问题的常见解法 (１)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点; (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意． 2．【四川省成都市第七中学201７－２0１8学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2 :2C y px =（0,p p >为常数)交于不同的两点,M N ,当1 2 k =时，弦MN 的长为15（1)求抛物线C 的标准方程; （2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ,且直线MQ 经过点()1,1B -,判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标;若不过定点,请说明理由． 【答案】(1）24y x =；(2)直线NQ 过定点()1,4- 【解析】试题分析:(1)根据弦长公式即可求出答案; (2)由(1）可设()()() 2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ,则1 2 MN k t t =+， 则()11:220MN x t t y tt -++=; 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++= ()1212:220NQ x t t y t t -++=. 由()1,0-在直线MN 上1 1 t t ?= (1）; 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ?+++=将（1)代入()121221t t t t ?=-+- (2) 将(2)代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ?-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点．
(完整版)高考圆锥曲线题型归类总结(最新整理)
）直接法：直接利用条件建立之间的关系； 和直线的距离之和等于 ），端点向圆作两条切线
的距离比它到直线的距离小于 ：和⊙：都外切，则动圆圆心 代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨 是抛物线上任一点，定点为,分所成的比为 参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。 过抛物线的焦点作直线交抛物线于
?OA OB ⊥?121K K ?=-?0OA OB ?= ?12120 x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”?? >0； ?1212x x y y + ③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（或）；?120K K +=12K K = ④“共线问题” （如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； AQ QB λ= ?（如：A 、O 、B 三点共线直线OA 与OB 斜率相等）；? ⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；? ⑥“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；?六、化简与计算；七、细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而
圆锥曲线大题题型归纳3
圆锥曲线大题题型归纳 基本方法： 1． 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a 、b 、c 、e 、p 等等； 2． 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3． 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4． 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式； 5． 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题； 基本思想： 1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关； 4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题 例1、 已知F 1，F 2为椭圆2100x +2 64 y =1的两个焦点，P 在椭圆上，且∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为多少？ 点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。 变式1、已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且
圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有!)
圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两 个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22 2 21x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 22 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；
圆锥曲线历年高考题(整理)附答案
数学圆锥曲线测试高考题 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )3 2 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．7 5 C ．85 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） B. C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,
高考圆锥曲线解题技巧总结
第五篇 高考解析几何万能解题套路 解析几何——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。 与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到。 第一部分：基础知识 1.概念 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a 最大，222 a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。 2.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0）， 四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时， 称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离 心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦 点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线?1e =。
最新高中圆锥曲线经典题型归纳
基本方法：点差法 适用类型：出现弦中点和斜率的关系 已知椭圆C ：2 2233b y x =+，过右焦点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，N 为弦AB 的中点，求直线ON （O 为坐标原点）的斜率K ON 。 解：设00(,)N x y ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将其带入椭圆C 得： 22211222223333x y b x y b ?+=??+=??①② ①减②，并整理，得：12121212()()3()()x x x x y y y y +-=-+- 进一步整理：012012111333 ON AB y x x k x y y k -= =-=-=-- 题型：求轨迹方程 类型：弦中点型 曲线E ：22 12516 x y +=，过点Q （2,1）的E 弦的中点的轨迹方程。 解：设直线与椭圆交与1122(,),(,)G x y H x y 两点，中点为00(,) S x y 由点差法可得：弦的斜率0121212120 1616()25()25x y y x x k x x y y y -+==-=--+, 由00(,)S x y ，Q （2,1）两点可得弦的斜率为0012y k x -= -, 所以0000 116225y x k x y -==--， 化简可得中点的轨迹方程为：22162532250x y x y +--=. 练习：
已知直线l 过椭圆E:2222x y +=的右焦点F ，且与E 相交于,P Q 两点.设1()2 OR OP OQ =+（O 为原点），求点R 的轨迹方程 答案：2220x y x +-= 类型：动点型 在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段PP ′，P ′为垂足.求线段PP ′中点M 的轨迹C 的方程。 解：设M (x ，y )，P （x 1，y 1），则).,0(1y P ' 则有：44,2,222211111=+???==???????+==y x y y x x y y y x x 代入即 得轨迹C 的方程为.1422=+y x 练习 设12,F F 分别是椭圆C ：22 143 x y +=的左右焦点，K 是椭圆C 上的动点，求线段1 KF 的中点B 的轨迹方程。 解： 2 21()1324y x ++= 练习： 已知)0,3(-P ,点R 在y 轴上，点Q 在x 的正半轴上，点M 在直线RQ 上，且 0=?2 3,-=.当R 在y 轴上移动时，求M 点轨迹C 答案：x y 42 =
历年高考数学圆锥曲线试题汇总
高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)
高考专题-：圆锥曲线题型方法归纳
高考二轮小专题：圆锥曲线题型归纳 1基础知识： 1．直线与圆的方程； 2．椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程公式； 3．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质等相关知识：、、、、、渐近线。 4. 常用结论，特征三角形性质。 2基本方法： 1．待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数、、、、等等； 2．齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3．韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4．点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式； 5．距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题； 3基本思想： 1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关； 4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 4．专题知识特点 ⑴用代数的方法研究解决几何问题，重点是用数形结合的思想把几何问题转化为代数问题． ⑵解题思路比较简单，概念公式较多，规律性较强，但运算过程往往比较复杂，对运算能力、恒等变形 能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高． 5．专题高考地位 本专题是高中数学的核心内容之一，在历年高考试题中均占有举足轻重的地位，问题总量除包括倒数第1（2）题的压轴题外，还至少包括2~3道小题． 本专题内容在高考题中所占的分值是20多分，占总分值的15%左右． ⑴圆锥曲线中的定义、离心率、焦点三角形、焦半径、通径等知识点是填空题和选择题中的高档试题，难度不高，但方法比较灵活． ⑵直线与圆锥曲线的位置关系容易和平面向量、数列、不等式综合，涉及存在性问题、定值问题、定点问题、求参数问题． ⑶求曲线的轨迹方程是解析几何一个基本问题，是历年来高考的一大热点． ⑷圆锥曲线（包括直线与圆）和函数、数列、不等式、三角、平面向量等知识联系密切．直线与圆锥曲线中的存在性问题、定值问题渐成考试定势． ⑸数形结合思想本身就是解析几何的灵魂，在高考解析几何题中的运用更为常见；分类讨论思想主要体现在解答
圆锥曲线大题归类
圆锥曲线大题归类 一．定点问题 例1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ： (x －3)2＋(y －1)2＝3相切． (1)求椭圆C 的方程； (2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且AP →·AQ → ＝0，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标． [解析](1)圆M 的圆心为(3,1)，半径r ＝ 3. 由题意知A (0,1)，F (c,0)， 直线AF 的方程为x c ＋y ＝1，即x ＋cy －c ＝0， 由直线AF 与圆M 相切，得|3＋c －c |c 2＋1 ＝3， 解得c 2＝2，a 2＝c 2＋1＝3， 故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)方法一：由·＝0知AP ⊥AQ ，从而直线AP 与坐标轴不垂直， 故可设直线AP 的方程为y ＝kx ＋1，直线AQ 的方程为y ＝－1k x ＋1. 联立??? y ＝kx ＋1， x 23＋y 2＝1，整理得(1＋3k 2)x 2＋6kx ＝0，
解得x ＝0或x ＝－6k 1＋3k 2 ， 故点P 的坐标为(－6k 1＋3k 2，1－3k 2 1＋3k 2 )， 同理，点Q 的坐标为(6k k 2＋3，k 2－3k 2＋3 ) ∴直线l 的斜率为k 2－3k 2＋3－1－3k 2 1＋3k 26k k 2＋3－－6k 1＋3k 2 ＝k 2－14k ， ∴直线l 的方程为y ＝k 2－14k (x －6k k 2＋3)＋k 2－3k 2＋3 ， 即y ＝k 2－14k x －12. ∴直线l 过定点(0，－12)． 方法二：由·＝0知AP ⊥AQ ，从而直线PQ 与x 轴不垂直，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (t ≠1)， 联立????? y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1， 整理得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3(t 2－1)＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)则????? x 1＋x 2＝－6kt 1＋3k 2， x 1x 2＝3(t 2－1)1＋3k 2， (*) 由Δ＝(6kt )2－4(1＋3k 2)×3(t 2－1)>0，得 3k 2>t 2－1.由·＝0，
圆锥曲线基本题型总结
圆锥曲线基本题型总结：提纲： 一、定义的应用： 1、定义法求标准方程： 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题： 3、焦点三角形问题： 二、圆锥曲线的标准方程： 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程） 3、各种圆锥曲线系的应用： 三、圆锥曲线的性质： 1、已知方程求性质： 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题： 四、直线与圆锥曲线的关系： 1、位置关系的判定： 2、弦长公式的应用： 3、弦的中点问题：
4、韦达定理的应用： 一、定义的应用： 1. 定义法求标准方程： (1)由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：(注意细节的处 理) 1.设F1, F2 为定点，|F1F2| =6,动点M满足|MF1| + |MF2| = 6,则动点M的轨 迹是() A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段【注：2a>|F1 F2| 是椭圆，2a=|F1 F2|是线段】 2. 设 B - 4,0) , C4,0),且厶ABC的周长等于18,则动点A的轨迹方程为) x2 y2 y2 x2 A.25+ -9 = i y z0) B.25^9 = 1 徉0) x2 y2 y2 x2 C.^+16= 1 y z 0) D￡+_9 = 1 y z 0) 【注：检验去点】 3. 已知A0, - 5)、B0,5) ,|PA| - |PB| = 2a,当a= 3 或 5 时，P点的轨迹为) A. 双曲线或一条直线 B. 双曲线或两条直线 C. 双曲线一支或一条直线
D. 双曲线一支或一条射线【注：2av|F1 F2|是双曲线，2a=|F1 F2|是射线，注意一支与两支的判断】
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结 知识点精讲 一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++= 代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的 一元二次方程,,即()0,0 Ax By c F x y ++=??? =?? ,消去y 后得2 0ax bx c ++= (1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时, 若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行 (2) 当0a ≠时,0?> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0?=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0?< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦 连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦 直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为 ()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()( ),0 ,0f x y F x y =??? =?? 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程2 0Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式 24B AC ?=- ,应有0?> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关 系(韦达定理)求出1212,B C x x x x A A +=- = , 所以,A B 两点间的距离为 12AB x =-==即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式 )120AB y y k =-=≠ 三, 已知弦AB 的中点,研究AB 的斜率和方程 (1) AB 是椭圆()22 221.0x y a b a b +=>的一条弦,中点()00,M x y ,则AB 的斜率为 20 20b x a y - ,运用点差法求AB 的斜率;设()()()112212,,A x y B x y x x ≠ ,,A B 都在椭圆 上,所以22 112 222 2222 11 x y a b x y a b ?+=????+=?? ,两式相减得22221212220x x y y a b --+=
圆锥曲线经典题型总结(含答案)
圆锥曲线整理 1．圆锥曲线的定义： (1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d . 圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时 要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12 222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。 （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。 2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 椭圆：由x 2 ,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 双曲线：由x 2 ,y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 3．与双曲线x 2a 2－ y 2 b 2 ＝1有相同渐近线的双曲线方程也可设为x 2a 2－ y 2 b 2 ＝λ(λ≠0)， 渐近线方程为y ＝±b a x 的双曲线方程也可设为x 2a 2－ y 2 b 2 ＝λ(λ≠0)．要求双曲线x 2a 2－ y 2b 2 ＝λ(λ≠0)的渐近线，只需令λ＝0即可． 4．直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系． 解决直线与圆锥曲线问题的通法 (1)设方程及点的坐标． (2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程． (3)应用韦达定理及判别式． (4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解． 5．若直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且直线P 1P 2的斜率为 k ，则弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2|y 1－y 2|(k ≠0)．|x 1－x 2|，|y 1－y 2|