8上-6命题与证明
命题与证明
知识点
一、命题
1、命题的概念及其分类
?????????基本事实：不需再做证明的真命题真命题：命题为真推论命题定理:判断命题真假的依据
假命题：命题为假
☆2、命题的构成及改写
结构：“如果（条件）......那么（结论）.....
☆3、互逆命题及反例
（1）互逆命题：“如果p ，那么q ”?“如果q ，那么p ”
（2）反例：满足条件，但不满足结论
(3)原命题的真假和它的逆命题的真假无关
二、命题的证明
1、基本事实（公理）、定理的概念
公理（基本事实、原始依据） 定理 推论
2、证明的格式、步骤
（1）分清命题的条件和结论（与图有关，要画出图形，并在图形中标出有关字母与符号）；
(2)结合图形，写出已知、求证；
(3)分析因果关系，找出证明途径；
(4)有条理的写出证明过程；
三、三角形内角和在直角三角形中的应用
1、性质：直角三角形两锐角互余
2、判定：两锐角互余的三角形是直角三角形
四、三角形的外角
1、定义：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角
2、性质：（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
（2）三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角
基础练习
1、下列语句：① 锐角大于0
90；② 两点之间，线段最短；③ 明天可能下雨；④ 作AD BC ⊥;⑤3＞4
⑥我真希望你是好人；⑦a 一定大于a 吗？ ⑧同旁内角不互补，两直线不平行；，其中是命题的是_________
2、指出下列命题的条件和结论，并写成“如果......那么......”的形式：
（1）三角形的三条高交于一点
（2）两直线相交，只有一个交点
（3）垂直于同一直线的两直线平行
（3）同角的余角相等；
（4）能够完全重合的两个三角形面积相等；
（5）对顶角相等
3、下列命题中，是真命题的是________________,其逆命题是真命题的是______________
①对顶角相等 ②若22a b =，则a b = ③同位角相等 ④若a b >，则22a b ->- ⑤同旁内角互补
4、用来证明命题“若21a >，则1a >”是假命题的反例是___________________
5、可以用来作为判断其他命题真假的依据是________________
①基本事实 ②题设 ③定义 ④定理
第6题 第10题 第11题 第12题
6、如图所示是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若∠1=38°，∠2=23°，则桥面断裂处夹角∠BCD 为________.
7、已知△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A =________.
8、当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”． 如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，则这个“特征三角形”的最小内角的度数是_______________
9、（1）若三角形的一个外角等于与它相邻的内角，则这个三角形是
（2）若三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是
（3）若三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是
10、如图，在△ABC 中，∠3是它的一个外角，E 为边AC 上一点，D 在BC 的延长上，则∠1、∠2、∠3之间的关系是___________________
11、如图，在△ABC 中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD 的度数是__________
12、如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于D 点，∠A=50°，则∠D=_______________ 提升练习
专题训练一：证明
1、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，求证：C BAD ∠=∠,B CAD ∠=∠.
2、如图，在△ABC 中，∠B=32°，∠C=55°，AD ⊥BC 于点D ，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，DF ⊥AE 于点F ，求∠ADF 的度数。
3、在△ABC 中，∠C ＞∠B ，AE 是△ABC 中∠BAC 的平分线，若点F 是AE 上一点，且FG ⊥BC ，垂足为G ， 求证：∠EFG =
12∠C -12
∠B
4、如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DEF的平分线相交于点P，求证：∠P=90°
5、如图所示，已知AB∥CD，分别探究下面图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性．
①结论：（1）_______________________________________________ (2)_______________________________
（3）_______________________________________________ (4)_______________________________
②选择结论和_________________ ，请说明理由．
专题训练二：三角形外角的性质
第1题第2题第3题第4题
1、如图：平面上的六个点A,B,C,D,E,F构成如图所示的图形，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______________
2、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于
3、如图：把△ABC纸片沿DE折叠，当点A在四边形BCDE的外部时，记∠AEB为∠1，∠ADC为∠2，则∠A、∠1与∠2的数量关系，结论正确的是______________
A、∠1=∠2+∠A
B、∠1=2∠A+∠2
C、∠1=2∠2+2∠A
D、2∠1=∠2+∠A
4、如图，直线a、b、c、d互不平行，对它们截出的一些角的数量关系描述错误的是_____________
5、如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，∠1=∠2 ，∠3=∠4 ，∠BAC=63°，求∠DAC 的度数
6、如图所示，将两块三角板的直角顶点叠放在一起
（1）猜想∠AOC 与∠BOD 的大小关系，并说明理由
（2）求∠AOD+∠BOC 的度数
（3）若∠BOD 与∠AOD 的度数之比是2:11，求∠BOC 的度数
专项训练三 三角形内角（外角）的平分线
1、在△ABC 中，内角平分线BP 和外角平分线CP 相交于点P ，根据下列条件求∠P 的度数．
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠P=______，若∠ABC+∠ACB=110°，则∠P=______；
（2）若∠BAC=90°，则∠P=______；
（3）从以上的计算中，你能发现∠P 与∠BAC 的关系是______；
（4）证明第（3）题中你所猜想的结论．
2、如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点1A ，∠1ABC 的平分线与∠1
ACD 的平分线交于点2A ，依次类推......，已知∠A=α，则∠n A 的度数为_____________（用含n ，α的代数式表示）
3、如图，在△ABC 中，∠A= ，∠ABC 与∠ACB 的角平分线交于点1D ，∠1ABD 与∠1ACD 的角平分线交于点2D ，依次类推，∠4ABD 与∠4ACD 的角平分线交于点5D ，则∠5BD C 的度数是________________，∠n BD C 的度数是_____________
4、回答下列问题
（1）如图1所示，在△A B C 中，∠A ＝60°，∠A B C 与∠A C B 的平分线交于点O ，求∠B O C 的度数．
（2）如图2所示，在△A B C 中，∠A ＝60°，△A B C 的两条外角平分线交于点O ，求∠O 的度数．
（3)如图3所示，在△A B C 中，∠A ＝60°，∠A B C 和∠A C D 的平分线交于点O ，求∠O 的度数．
5、
（1）如图1在△ABC 中，∠ABC 的平分线BF 与∠ACB 的平分线CF 相交于F ，过点F 作DE ∥BC ，交直线AB 于点D ，交直线AC 于点E ，通过上述条件，证明：BD+CE=DE ；
（2）如图2，∠ABC 的平分线BF 与∠ACB 的外角平分线CF 相交于F ，过点F 作DE ∥BC ，交直线AB 于点D ，交直线AC 于点E ，根据图1所得的结论，试猜想BD ，CE ，DE 之间存在什么关系？
课后作业
1、下列语句中，不是命题的是（ ）
A 、如果a b >，那么b a <
B 、同位角相等
C 、垂线段最短
D 、反向延长射线OA
2、下列叙述错误的是（ ）
A 、所有的命题都是条件和结论
B 、所有的命题都是定义
C 、所有的基本事实都是命题
D 、所有的基本事实都是真命题
3、已知，如图，△ABC 中，∠B=∠DAC ，则∠BAC 和∠ADC 的关系是（ ）
A 、∠BAC ＜∠ADC
B 、∠BAC=∠AD
C C 、∠BAC ＞∠ADC
D 、不能确定
4、如图，△ABC 中，∠A=40°，点D 为延长线上一点，且∠CBD=120°，则∠C=（ ）
A ． 40°
B ． 60°
C ． 80°
D ．
100°
5、如图，在△ABC 中，∠B=50°，三角形的外角∠EAC 和∠ACF 的平分线交于点P ，则∠APC= ．
6、审判员要从甲、乙、丙、丁四个嫌疑人中找出一个真正的罪犯来，他已经知道四个嫌疑犯中真正的罪犯只有一个，而且这些嫌疑犯在回答问题时要么完全讲真话，要么完全讲假话，下面是四个嫌疑犯的回答： 甲：“乙不是罪犯，丁才是罪犯”
乙：“我不是罪犯，丙才是罪犯”
丙：“我不是罪犯，乙才是罪犯”
丁：“乙不是罪犯，甲才是罪犯”
请你帮助审判员从中找出真正的罪犯来。