《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学(苏教版)选修1-1【配套备课资源】综合检测一

综合检测(一)

一、填空题

1．命题“?x ∈R ，x 2＋1>0”的否定是________．

2．某质点的运动方程是s ＝t －(2t －1)2，则在t ＝1 s 时的瞬时速度为________．

3．“ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的________条件．

4．椭圆x 2m ＋y 24

＝1的焦距为2，则m 的值等于______． 5．若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±12

x ，则右焦点坐标为________． 6．已知f (x )＝sin x ＋cos x ＋π2

，则f ′????π2＝________. 7．抛物线y ＝14

x 2的焦点到准线的距离是________． 8．抛物线y 2

＝12x 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形面积等于________．

9．过点P (0,3)的直线与双曲线x 24－y 23

＝1只有一个公共点，则这样的直线有________条． 10．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0.且g (3)＝0.则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．

11．把一个周长为12的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为________．

12．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________．

13．椭圆x 264＋y 248

＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若PF 1＝10，则S △PF 1F 2＝________. 14．若函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1在区间(0,4)上是减函数，则k 的取值范围是________．

二、解答题

15．已知命题p ：“椭圆x 22＋y 2m ＝1的焦点在y 轴上”；命题q ：f (x )＝43

x 3－2mx 2＋(4m －3)x －m 在(－∞，＋∞)上单调递增，若(綈p )∧q 为真，求m 的取值范围．

16．已知抛物线C 经过点(3,6)且焦点在x 轴上．

(1)求抛物线C 的标准方程；

(2)直线l ：y ＝kx －3过抛物线C 的焦点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，求A ，B

两点间的距离．

17．已知函数f (x )＝x 3－3ax 2－bx ，其中a ，b 为实数．

(1)若f (x )在x ＝1处取得的极值为2，求a ，b 的值；

(2)若f (x )在区间[－1,2]上为减函数，且b ＝9a ，求a 的取值范围．

18．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品的零售价定为每件p 元，

则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2.问该商品零售价定为多少元时，毛利润L 最大，并求出最大毛利润．(毛利润＝销售收入－进货支出)

19．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32

，已知点P ????0，32到这个椭圆上的点最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标．

20．已知函数f (x )＝12

x 2＋ln x . (1)求函数f (x )在[1，e]上的最大、最小值；

(2)求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23

x 3的图象的下方．

答案

1．?x ∈R ，x 2＋1≤0 2．－3 3．必要不充分 4．5或3 5．(5，0)

6．－1 7．2 8．3 3 9．4 10．(－∞，－3)∪(0,3) 11．2∶1

12．9 13．24 14．k ≤13

15．解 p 真时，m >2， q 真时，f ′(x )＝4x 2－4mx ＋4m －3≥0在R 上恒成立． Δ＝16m 2－16(4m －3)≤0,1≤m ≤3. ∵(綈p )∧q 为真，∴p 假，q 真． ∴?????

m ≤2，1≤m ≤3， ∴所求m 的取值范围为1≤m ≤2. 16．解 (1)设所求抛物线为y 2＝2px (p >0)， 代入点(3,6)，得p ＝6. ∴抛物线方程为y 2＝12x .

(2)由(1)知F (3,0)，代入直线l 的方程得k ＝1. ∴l 的方程为y ＝x －3，联立方程?????

y ＝x －3，y 2＝12x 消去y 得x 2－18x ＋9＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝18. ∵AB 过焦点F ， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋6＝24.

17．解 (1)由题设可知：f ′(x )＝3x 2－6ax －b ， f ′(1)＝0且f (1)＝2，

即?????

3－6a －b ＝0，1－3a －b ＝2，解得a ＝43，b ＝－5. (2)∵f ′(x )＝3x 2－6ax －b ＝3x 2－6ax －9a ， 又f (x )在[－1,2]上为减函数， ∴f ′(x )≤0对x ∈[－1,2]恒成立， 即3x 2－6ax －9a ≤0对x ∈[－1,2]恒成立．

∴f ′(－1)≤0且f ′(2)≤0， 即????? 3＋6a －9a ≤012－12a －9a ≤0?????? a ≥1a ≥47?a ≥1，

∴a 的取值范围是a ≥1.

18．解 设毛利润为L (p )，由题意知L (p )＝p ·Q －20Q ＝Q (p －20)＝(8 300－170p －p 2)(p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000， 所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700. 令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．

此时，L (30)＝23 000.

因为在p ＝30的左侧L ′(p )>0，右侧L ′(p )<0，

所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值，即零售价定为每件30元时，毛利润L 最大，为23 000元．

19．解 设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)， 由e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32

，得a ＝2b .① 设椭圆上任一点M 的坐标为(x ，y )，点M 到点P 的距离为d ，

则x 2＝a 2

－a 2y 2b 2，且 d 2＝x 2＋????y －322＝a 2－a 2b 2y 2＋????y －322＝－3y 2－3y ＋4b 2＋94 ＝－3???

?y ＋122＋4b 2＋3，其中－b ≤y ≤b . 如果b <12

，则当y ＝－b 时，d 2取得最大值，即有(7)2＝????b ＋322， 解得b ＝7－32>12与b <12矛盾． 如果b ≥12， 则当y ＝－12

时，d 2取得最大值， 即有(7)2＝4b 2＋3. 由①、②可得b ＝1，a ＝2.

所求椭圆方程为x 24

＋y 2＝1. 由y ＝－12

可得椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标为????－3，－12和?

???3，－12. 20．(1)解 由f (x )＝12x 2＋ln x 得f ′(x )＝????12x 2＋ln x ′＝x ＋1x

，在[1，e]上，f ′(x )>0， 所以函数f (x )是增函数． 所以f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1； f (x )min ＝f (1)＝12

. (2)证明 设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3， 则F ′(x )＝x ＋1x

－2x 2＝(1－x )(1＋x ＋2x 2)x

， 因为x >1，所以F ′(x )<0. 所以函数F (x )在[1，＋∞)上是减函数． 又F (1)＝－16

， 所以在[1，＋∞)上，有F (x )<0， 即f (x )

所以在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23

x 3的图象的下方．