统计学的几个概念

一 统计学的几个概念 1、总体和个体：

在统计学中，研究对象的全体称为总体；组成总体的每个单位，即每个研究对象称为个体；

总体中所包含的个体的数量------总体容量；

容量有限-----有限总体； 容量无限-------无限总体 2、样本：

从总体中抽出的部分个体组成的集合称为称为来自总体的样本。通常样本是相互独立且与总体同分布；

样本中所含个体的数量称为样本容量。

一般地：设X 是一个随机变量，n X X X ,,,21 是一组相互独立且与X 同分布的随机变量，则称X 是总体，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，简称：样本，n 为样本容量。 3、统计量

定义：设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，

),,,(21n X X X g 是一个关于n X X X ,,,21 的连续函数,若g 中不含 任何未知参数,则称),,,(21n X X X g 是一统计量. 常见的统计量有:

①样本平均值: X = ∑=n

i i X n 1

1

②样本方差:21

2

)(11∑=--=n

i i X X n S 备注: 21

2

)(1∑=-=n

i i X X n S 叫做未修正的样本方差;2S 称为修正的样本方差,平时若未特别标明,样本方差均指修正的2

S

2

S 有较简单的计算公式: )(11122

2

∑=--=n i i X n X n S

证明:

③样本标准差:21

)(11∑=--=

n

i i X X n S ④样本k 阶原点矩:∑==n i k

i k X n A 1

1 ,2,1=k

⑤样本k 阶中心矩:∑=-=n i k

i k X X n A 1

)(1 ,2,1=k

二、抽样分布

统计量的分布叫做抽样分布. 1.样本均值的分布:

由中心极限定理可知: 只要n X X X ,,,21 是相互独立且同分布的(设

i i DX EX ,μ==2σ),则 当n 充分大时,X 就可近似的服从正态分布.

即X ~ ),(2

n

N σμ

应用举例:

设X ~],[b a U ,5021,,,X X X 是来自X 的一个样本, X 是样本均值,求)(X E 和)(X D

解: 因为X ~],[b a U ,所以2b a EX +=, 12

)(2

a b DX -=

故)(X E =2b a EX +=,)(X D =600

)(12

a b DX n -=

设总体X ~),(2σμN ，n X X X ,,,21 是一个样本， X 是样本均值,，求①设25=n ，求}2.02.0{σμσμ+<<-X P

②要使05.0}1.0{≤>-σμX P ，n 至少应等于多少？ 解：

设X 与Y 相互独立，而且都服从)9,30(N ，2021,,,X X X 和

2521,,,Y Y Y 是分别来自X 与Y 的样本，求4.0>-Y X 的概率？

解：

结论：若（n X X X ,,,21 ）是来自总体2~(,)X N μσ的一个样本，X 为

样本均值，则

①~X ),

(2

n

N σμ

②X 与2

S 相互独立。（结论在2χ分布的结论中）

2、2χ分布

1）定义:设（n X X X ,,,21 ）是来自总体),

(N ~X 10 的一个样本，则称统计量：∑==

n

i i

X

1

2

2

χ所服从的分布是自由度为n 的2χ分布，

记作：)n (~22χχ。

)(2

n χ的概率密度函数为：??

???Γ=--0)

(21)(2122x n n e x x f n 00≤>x x ，

其中:?∞--=Γ012

)2

(dx e x n x n

，()π=Γ21 备注：)0()(0

1>=

Γ-+∞

-?

a dx e x a x a 称作Γ函数，Γ函数有数值表可查，

并且：!)1(n n =+Γ π=??

?

??Γ21，1)1(=Γ

事实上，2

χ∑=Γ=

n

i i

n X 1

2

)21,2(~（Γ分布在第三章例3 中有定义） 2)2χ分布的性质 ①2χ分布的可加性：

设)(~1221n χχ，)(~2222n χχ，且21χ与2

2χ相互独立，则：

21χ+~22χ)(212

n n +χ

②若)(~2

2n χχ，则n E =χ)(2，n D 2)(2=χ， 证明：因为)1,0(~N X i ，则：1)()(2==i i X D X E ，

213121)]([)()(2

2

42

242

=-=-=-=?

+∞

∞

--dx e

x X E X E X D x

i

i i π

，

n i ,,2,1 =

所以：2

22

11()(

)()n n

i

i i i E E X E X n ==χ===∑∑；

2

221

1

()()()2n

n

i

i i i D D X D X n ==χ===∑∑

3)结论：

设（n X X X ,,,21 ）为来自总体),(~2

σμN X 的一个样本，μ,2

σ为已知常数，则：

I)统计量∑=χμ-σ

=χn

i i

n X

1

222

2

)(~)(1 （当μ=0时也成立）

事实上，令σ

μ

-=

i i X Y ，则)1,0(~N Y i ，所以∑=χ=

χn

i i

n Y

1

22

2

)(~

II)样本均值X 与样本方差2

S 相互独立，且统计量

∑=-χ-σ=σ-n

i i

n X X

S n 1

222

22)1(~)(1

)1(。

例4．设 54321,,,,X X X X X 是来自正态总体)4,0(N 的简单随机抽样，记：

25243221)43()2(cX X X b X X a T +-+-=，问当c b a ,,各取何值时，

统计量T 服从2χ分布，其自由度如何？ 解：

3、t -分布

1)定义:设)1,0(~N X ，)(~2n Y χ，且X 与Y 相互独立，则称统计量：

n

Y

X

T =

所服从的分布是自由度为n 的t 分布，记为)(~n t T ，t 分布又称

为学生氏（Student ）分布。

t 分布的概率密度函数为：21

)1()

()

(),(2221

+-++Γ?Γ=

n n x n n x t n n π +∞<<∞-x 。

2)t 分布的特点（性质）。

I 、);(n x t 关于x =0对称； II 、);(n x t 在x =0达最大值； III 、);(n x t 的x 轴为水平渐近线；

I V 、2

2

21),(lim x x e

n x t -

∞

→=

π

；即∞→n 时，t 分布)1,0(N →，一般地，

当n >30时，t 分布与)1,0(N 非常接近。

V 、当n 较小时，t 分布与)1,0(N 有较大的差异，且对R t ∈?0有

{}}{0

0||||t X P t T P ≥≥≥，其中)1,0(~N X 。

即t 分布的尾部比)1,0(N 的尾部具有更大的概率。

VI 、若)(~n t T ，则1>n 时，2

)(,2;0)(-=

>=n n

T D n T E 时 3)结论：

I)设（n X X X ,,,21 ）是来自总体),(~2

σμN X 的一个样本，则统计量：

)1(~)

(--=

n t n s

X T μ，

事实上，由)1,0(~),

(~2

N X n

N X n

σ

μ

σμ-?

，又)1(~)1(2

2

2-χσ-n S n ，且X 与2

S 相互独立，则

n X σ

μ

-与

2

2

)1(S n σ-相互独立，由t 分布的定

义，所以

)1(~)

(1

2

2

)1(--=

-=

--n t n S

X n n

T S n X μσσμ

II)设（m X X X ,,,21 ）是来自总体2

11~(,)X N μσ的一个样本，

（),,,21n Y Y Y 是来自总体222~(,)Y N μσ的一个样本，

且X 与Y 相互独立，当22212σσσ==时，则统计量

)2(~)

2()1()1()

()(2

221-++-+-+-μ-μ--=

n m t n

m n m mn S n S m Y X T n

m ,

其中，∑==m i i X m X 11，∑=--=m i i m X X m S 1

22

)(11 ∑==n i i Y n Y 11， ∑=--=n i i n Y Y n S 1

22

)(11 事实上，),(~2

1m

N X σμ，),

(~2

2n

N Y σμ，且X 与Y 相互独立，所

以:

),

(~2

2

21n m

N Y X σσμμ+

--，即：)1,0(~)

()(1121N Y X n

m +---σμμ；

又)1(~)1(2

22-χσ-m S m m ，)1(~)1(22

2

-χσ

-n S n n ，且它们相互独立，

由2

χ分布的可加性，则)2(~)1()1(22

2

22-+χσ

-+σ-n m S n S m n

m 。由t 分布的定义：

n

m n m mn S n S m Y X n m Y X n

m S n S m n

m n

m +-+-+----=

-++----+-)

2()1()1()

()(2

)

()(2

221)1()1(11

212

2

2μμσ

μμσ

服从 )2(-+n m t

例5 假设总体X 服从)9,0(N ，821,,,X X X 是来自总体的简单随机抽

样，求统计量：28

27

26

25

4321X

X X X X X X X Y ++++++=

的概率分布

4、F -分布

1)定义：设)(~2m X χ，)(~2n Y χ，且X 与Y 相互独立，则称统计量

n

Y m X F =

服从自由度为),(n m 的F 分布，记作：),(~n m F F ，其中：m 为

第一自由度，n 为第二自由度。

由定义，若)n (t ~T ，则),1(~2

n F T 。

),(n m F 的概率密度函数为：

??

???+ΓΓΓ=+--+0)1())(()()()(),;(22

1222n m m x n m x n m n

m n m x f n m

n

m 00≤>x x 说明：先求出),(Y X 的联合密度函数),(y x f ，再令

m

n

Y X

V Y X U ?=

+=,，求出（V U ,）的联合),(v u f ，注意到V U ,独立，所以V 的边缘密度函数，也即F 的密度函数。 2)F 分布的性质（特点） Ⅰ.密度曲线不对称(偏态)

Ⅱ.若),(~n m F F ，则

),(~1

m n F F

Ⅲ.当2>n 时，2

-=

n n

E F 当4>n 时，)4)(2()2(22

--+=n n m n E F ，)

4()2()

422(2

2---+=n n m n m n D F 注:(利用)1()1(-ααΓ-α=Γ) 3)结论：

设（m X X X ,,,21 ）是来自总体),(~2

11σμN X 的一个样本，

（),,,21n Y Y Y 是来自总体),(~2

22σμN Y 的一个样本，且X 与Y 相互独

立，则)1,1(~22

212

12

2--σσ=n m F S S F 。

事实上，

2

2

121

(1)~(1)m S m χσ

--，

2

22

2

2

(1)~(1)n S n χσ--，

由F 分布的定义，可得

)1,1(~)1/()

1/(22

212

1

22)1()1(22

2

2

12

1--σσ=--=

σ-σ-n m F S S n m F S n S m ,

其中，∑=--=n i i X X m S 122

1

)(11；∑=--=n i i Y Y n S 1

22

2)(11 三、分位数 1. 定义：

设随机变量X 的分布函数为)(x F ，对于给定的正数α)10(<α<，若有αx 满足α=≤=αα}{)(x X P x F ，则称αx 为X 的（下侧）α分位数(或α分位点)。 2.表示方法：

①.)1,0(N 的α分位数αμ满足：

?

α

μ∞

--α=π

dx e

x 2

2

21。

由标准正态分布的对称性可知：1α-α-μ=μ。 ②.)(2

n χ分布的α分位数)(2n α

χ 满足:

?

∞

-=)

(2)(n dx x f αχα，

或定义：

?∞

=)

(2

)(n dx x f α

χ

α，即αχχα=≥}{2

,2n P 由附表查其值

当45≥n 时，22

)12(2

1

)(-+≈

χααn u n 或αu n n ?+≈2。 例如：307.1810,05.02=χ 94.310,95.02=χ

③.)(n t 分布的α分位数)(n t α满足：

?

α∞

-α=)

(),(n t dx n x t ，即

αα=≤}{,n t t P 由附表5可查出其值。由于30>n 时，)(n t 分布接近于

)1,0(N ，所以当45>n 时，可查)1,0(N 分布分位数表。由t 分布的对称性

可知：αα-=-1t t 。

它的双侧分位点n t ,α（即满足αα=≥}{,n t t P ）与上侧分位点)(n t α的关系：

)()(2

,,2n t t t n t n n αααα==

例如：

④.),(n m F 分布的α分位数),(n m F α满足：

?

=)

,(0

),;(n m F dx n m x f αα，

由),(n m F 分布性质，有：),(n m F α=

11

(,)

F n m α-。

事实上，

α-=≤ξ?α=≥ξ?α=≤ξααα11111})

n ,m (F {P })n ,m (F {

P )n ,m (F {P

α-=≤ξ

?α-11

1)}m ,n (F {

P 。 ⑤.分位数的其它表示法。

1）若?λ使α=λ>}{X p ，则λ称为X 的上侧α分位数，显然:λ为原分布的1-α分位数，这是因为α-=λ≤1}{X P 。 例:若)1,0(~N X ,λ满足:01.0}{=λ>X P ,则

326.299.001.01===λ-u u

2）若?21,λλ，使2

}{1α

=

λ≤X P ，2}{2α=λ>X P ；则称

21,λλ为X 的双侧α分位数，显然，1λ为X 的2α分位数，2λ为X 的1-2

α

分位数。

例:设),(~n m F F ,求21,λλ,使得01.0}{1=λ≤X P ，

01.0}{2=λ>X P

解: ),(),,(99.0201.01n m F n m F =λ=λ