第八章 不定积分
[教学时数]：10学时。 [教学要求]：
1、理解原函数与不定积分的概念，知道两者之间的区别。
2、牢记不定积分表中的公式。
3、能熟练地应用变量替换法和分部积分法计算各类函数的不定积分。
4、掌握将有理函数化为分项分式的方法。
§8.1不定积分概念
一 原函数
定义1. 设函数f 与都在区间 F I 有定义。若
'()()F x f x =，x I ∈，
则称为F f 在区间I 的一个原函数。
补例1：验证是()F x ()f x 的一个原函数。其中：
2
1sin ,0,()0,0,x x F x x
x ?≠?=??=? 112sin cos ,0,()0,0x x f x x x x °??≠?
=??=?
解：当时有
0x ≠'2'111
()sin 2sin cos ()()F x x x f x x x x
==?=，
当时有（评注：此时应按导数定义求导）
0x ='0
0()(0)1
()lim
lim sin 0(0)x x F x F F x x f x x
→→?====。 定理8.1（原函数存在性）若函数f 在区间I 连续，则存在函数，使得F x I ?∈，有
。
'()()F x f x =证明（见第九章）。
注1 可以证明（参见习题），在区间I 上，若f 有第一类间断点，则f 没有原函数；若f 仅有第二类间断点，则f 可能有原函数（如补例1）
。 定理8.2（原函数结构定理）设在区间I 上，为F f 的一个原函数，那么在区间I 上：
（1）也是()F x C +f 的一个原函数，其中C 为任意常数。 （2）f 的任意两个原函数至多相差一个常数。 证明：显然。 二 不定积分
定义2 函数f 在区间I 上的全体原函数称为f 在区间I 上的不定积分，记作
()f x dx ∫，
其中称
为积分号、∫
()f x 为被积函数、()f x dx 为被积表达式、x 为积分变量。
注2 关于符号
()f x dx ∫的几点说明：
1° 当为F f 的原函数时，()f x dx ∫一般写作()F x C +，为任意常数。因此，求
C ()f x dx ∫的基本方法是先求f 的一个原函数，然后加上积分常数。
F C 2° 微分运算中的“”是微分运算符号；积分是微分的逆运算，运算符号是
“
”。
()dF x d ∫
3° ()f x dx ∫中的微分式“()f x dx ”可以用其它相等的微分形式替换，如
2
cos cos (sin )2()x x xdx xd xd x ==∫∫∫。
4° 不定积分虽然是函数族，但在求导、微分运算时，应作为单个函数看待，比如：
(())(())(d d
)f x dx F x C f x dx dx =+=∫， (())(())()d f x dx d F x C f x dx =+=∫。
5° 在区间I 上，()()f x dx g x dx =∫∫()()f x g x ?=，即两个不定积分相等的充要
条件是它们的导数相等。
定理8.3（线性法则）若函数f 和在区间g I 上都有原函数，、为两个任意常数，则在区间1k 2k 12k f k g +I 上也存在原函数，且
1
212[()()]()()k
f x k
g x dx k f x dx k g x dx +=+∫∫∫。
证明：由导数的四则运算法则知，不定积分
1
2[()()]k
f x k
g x dx +∫ 与 12()()k f x dx k g x dx +∫∫
有相同的导数，故这两个不定积分相等。
12()()k f x k g x +二 不定积分表（见教材） 例1（请自学）。
例2 42
11x dx x ++∫2
22(11
x dx x =?++∫32arctan 3x x x C =?++。 例3 222222sin cos sin cos sin cos dx x x dx x x x x
+=∫∫22
(sec csc )tan cot x x dx x x C =+=?+∫。 例4 222(1010)[10102]x x x x dx dx ???=+?∫∫22[(10)(10)2]x x dx ?=+?∫
22101022ln102ln10
x x
x C ?=??+。
§8.2 换元法与分部积分法
一 换元积分法 第一换元积分法：设
1° 函数()f u 在区间[,有原函数；
]a b ()F u 2° 函数()x ?在区间[,]αβ上可导，且()a x b ?≤≤；
那么，当()u x ?=时有
[()]()()()[()]f x d x f u du F u C F x C ???==+=∫∫+。
验证：因为
''''([()])[()]()[()]()F x C F x x f x x ????+=?=?，
所以
'
[()]()[()]()[()]f x d x f x x dx F x C ?????==+∫∫。
注1 换元()u x ?=通常是记在心里，不写出来。 例1 求tan xdx ∫
。
解： sin tan cos x xdx dx x =∫
∫1
(cos )ln cos cos d x x C x ?==?∫+。
例2 求
22dx
a x +∫（）
。（评注：常用公式） 0a >解： 22211()1()dx x d x a x a a
a
=++∫∫1arctan x
C a a =+。 例3
求
0a >∫
)。
（评注：常用公式）
解：
C =∫
∫
+。 例4 求
22(0dx
a )x a ≠?∫。
（评注：常用方法） 解：
221112()dx dx x a a x a x a =???+∫∫1112()dx dx a x a
x a =??+∫∫ 1[ln ln ]2x a x a C a ?++=
?1ln 2x a C a x a
?=++。 例5 求 sec xdx ∫
。 解： 22cos (sin )
sec 1sin 1sin x d x xdx dx x x =
=??∫
∫∫
2sin 11111
()ln 121121t x
dt t dt C t t t t =???==
=?=??++∫∫+ 1111sin ln ln 2121sin t x C C t x
++=
+=??+。
（法2）（评注：常用方法）
sec (sec tan )
sec sec tan x x x xdx dx x x
+=+∫∫
(tan sec )ln sec tan sec tan d x x x x C x x
+==+++∫。
第二换元积分法： 设
1° 函数()f x 在区间[,有定义；
]a b 2° 函数()x t ?=在区间[,]αβ可导，值域为[,，且]a b '()0t ?≠； 3° 在区间[,]αβ上，'[()]()f t t ??有原函数；
()G t
那么()f x 在区间[,有原函数]a b 1
[()]G x ??C +。 其中原函数求解过程如下：
'
1()
()[()]()()[()]x t f x dx
f t t dt
G t C G x C ??????===
====+====+∫∫求原函数
变量还原
。
验证：据链式法则和反函数求导法则，并注意到，得
'
'
()[()]()G t f t t ??={}'
1
'11[()][()][()]G x C G x x ?
?????+=?'
''1()()
G t t ?=?
'
'1[()]()
()f t t t ???=? [()]()f t f x ?==。
例6．求
∫
。 解：令1
6
u =t ，即，，于是
6u t =56du t dt =
53326161t dt t dt t t
t +?==++∫∫1
21
611
t t d t =?+?
t +∫() 32
6ln 132
()t t t t =?+?++C
322366ln 1t t t t =?+?++C
6ln =?+C 。
例7．求
(0a )>∫
。
解：令sin x a t =，(,22t ππ
∈?
，则arcsin x
t a
=，于是
22(sin )cos a t a ==∫tdt
22sin 2(1cos 2)22[a a t dt t C =+=++∫2
t 2
[sin cos ]2
a t t t =+?+C
2
1
sin 22a t a t =++C
C =+。 例8 求
0a >∫
)。
解：无妨设x a >，令sec x a t =，(0,
2
t π
∈。于是
C +；
1° （公式法还原变量）于是
C +
ln C =+
C =+
'ln C =+。
2° （利用三角形还原变量，注意sec x t a =
=
斜
邻
，如图8.1）于是
'。
ln C C +=+例9 求
222()dx
x a +∫)(0a >。
（可以参看式（8.1）的解法） 解：令tan x a t =，(,22
t )ππ
∈?
，如图8.2那么 222244sec ()sec dx a t dt x a a t =+∫∫
2
3311cos (1cos 2)2tdt t dt a a =
=+∫∫
3
1
[sin cos ]2t t t a
=++C （三角形还原变量）
C
=+
322
1
arctan
22(
x x
C
a a a x a
=+
+2)
+。
例10 求
∫。
解：用倒置换
1
x
t
=（无妨设1
x>），得
2
=
C C
x
=+=+。
二 分部积分法
分部积分法：设函数，都可导，若
()
u x()
v x()()
v x du x
∫存在，则
()()()()()()
u x dv x u x v x v x du x
=?
∫∫。
验证：由微分的乘法法则知，
()
d uv udv vdu
=+，即()
udv d uv vdu
=?，
故
udv uv vdu
=?
∫∫。
例11 cos(sin)sin sin
x xdx xd x x x xdx
==?
∫∫∫
sin cos
x x x C
=++。
例12.
2
arctan arctan
1
x
xdx x x dx
x
=?
+
∫∫
2
2
1(1
arctan
21
d x
x x
)
x
+
=?
+
∫
2
1
arctan ln(1)
2
x x x
=?+C
+。
例13. 34
1
ln ln()
4
x xdx xd x
=
∫∫43
11
ln
44
x x x
=?dx
∫
44
ln
416
x x
x C
=?+。
例14 222()2x x x x x e dx x d e x e e xdx ????=?=?+∫∫∫
222()22x x x x x x e xd e x e xe e ????=?+?=??+∫∫dx ?
2222[22]x x x x x e xe e C e x x ????=???+=?+++C 。
例15 求cos ax I e bxd =∫
x 。
（建议采用“解方程法”） 解： 111cos ()cos sin ax ax ax
I bxd e e bx e b bxdx a a a
==
+∫∫ 21cos sin ax ax b
e bx bxde a a
=+∫ 21cos sin cos []ax ax ax b
e bx e bx b e bxdx a a
=+?∫ 2
221cos sin ax ax b b e bx e bx I a a =+?a
， 整理得
2222
cos sin ax
ax a b I e bx e a b a b
=
+++bx 22
[cos sin ]ax e a bx b bx C a b =+++。
§8.3 有理函数的不定积分
一 四个基本类型的不定积分
1.
A
dt t a ?∫ln A t a C =?+；
2.
(1,*)()k
A dt k k N t a >∈?∫1
1
1()k A C k t a ?=+??； 3.22(0)At B dt a t a +>+∫222222()2A d t a dt B t a t a +=+++∫∫22
ln arctan 2
A B t a C a a t =+++； 4．22()k At B dt t a ++∫222222()2()()k
k A d t a dt B t a t a +=+++∫∫2211
2(1)()k k A BJ k t a ?=+?+； 其中：122212
23
2(1)()2(1)
k k k t k J J a k a t a k ???=
+?+?，(1。 ,*k k N >∈)下面给出上述递推关系式的推导：因为
2222
2
12222()()
k k k a t t t a J dt J dt a t a t ?+?==?++∫∫k ， （8.1）
注意到有微分式
2212212(1)()()k k
t
d
k a t a t ?=?++dt ，
故
2
2212212(1)()()
k k t t d d k a t a t ?=?++t ，
代入式（8.1）得
2122111
2(1)()
k k k a J J td k a t ??=?
?+∫ 1221221
1
2(1)()()
k k k t dt J k a t a t ???=+
??++∫[]
11221
1
2(1)()2(1)
k k k t J J k a t k ???=+
??+?， 整理得
12221223
2(1)()2(1)
k k k t k J J a k a t a k ???=
+?+?。
例1（参见第二小节“部分分式分解定理”）
例2 求22
2
1
(22)
x dx x x +?+∫。 解： 22
21(22)x dx x x +?+∫=222
22221
(22)x x x dx x x ?++?+?+∫ 22222222(22)(22)
dx x dx
dx x x x x x x 2?=++?+?+?+∫
∫∫ 22222(22)(1)1(22)[(1)1]
dx d x x dx
x x x x ?+=++?+?+?+∫∫∫2 2211arctan(1)22(1)x t
dt
x x x t ?==??
+?++∫令2
，
其中
2222222211((1)(1)121dt t t dt dt td t t t t +?==++++∫∫∫∫1
+
221arctan 211
[t d t t t =+?t
++∫ 2
1arctan 22(1)t
t C t =+++ 2
11
arctan(1)22(2x 2)
x C x x ?=
?+?++， 故
222
1(22)x dx x x +?+∫22311arctan(1)2222(2x 2)
x C x x x x ?=??+?+?++ 233arctan(1)22(22x )
x C x x ?=
?+?++。 二 部分分式分解定理
定理：有理真分式必可表成若干式（8.2）与式（8.3）之和，其中
1
()
k k
A A x a x ++??"a ， （8.2）
11
22()
m m m
B x
C B x C x px q x px q ++++++++"，2(40p q )?<， （8.3） 例如： 123222
1
(1)(1)(3)
x x x x x x x ++?+++ 322222(1)(1)11(3)A B C D Ex F Gx H Ix J 3
x x x x x x x x x x +++=
+++++++++?+++++， 其中右边的大写字母是常数。
例1 求43222
24910
(2)(2)(1)
x x x x dx x x x x ?++??+?+∫。 注1 部分分式的分解过程应写在演草纸上。在例1中设：
4322224910)(2)(2)(1x x x x x x x x ?++??+?+=222(2)21
A B C Dx E x x x x ++++
x ?++?+； 待定系数有两种确定方法：
1° 比较系数法。由于
432249x x x x 10?++?
222(2)(1)(2)(1)A x x x B x x x =+?++??+
+，
2
2
(2)(2)(1)()(2)(2)C x x x x Dx E x x ?+?+++?+比较两边同次项系数可得方程组，解之即可。
2° 利用特殊点，比如令，可得
0,1,2x =±±1A =，1B =?，2C =，1D =?，1E =。
解： 原分式22
1122(2)21
x 1x x x x x ??+=
+++?++?+， 故 原积分221122(2)21dx dx x dx dx x x x x x ?=
?+??++?∫∫∫∫+
22
112ln 2ln(2)22x 11
1
x x dx x x x ??=?+
++?+?+∫ 22
2211(1)ln (2)(2)2214d x x d x x x x x x ?+?=
+?+?++?+∫∫(21)44
x x ?+
=
C =+。
三 三角函数有理式的不定积分
注2 用(,)R x y 表示由,x y 及常数经过有限次四则运算所得的有理式。求三角函数有理式的不定积分，可考虑下述变换：
1.万能变换：令tan
2
x
t =，那么 2sin 1t x t =+，221cos 1t x t ?=+，2
2
1dx dt t
=+； 2．其他变换：
（1）若(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x ?=?，则令cos t x =； （2）若(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x ?=?x ，则令sin t x =；
（3）若(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x ??=x ，则令tan t x =。
例3 求
1sin sin (1cos )x
dx x x ++∫。
解：令tan
2
x
t =，有 2222
2211sin 2121sin (1cos )1111t x dt t dx t t x x t t t
+
++=??+++++∫∫()21(1)2t dt t +=∫ 2
11122ln 222
t t dt t t t =++=+++∫()()C 211tan tan ln tan 42222
x x x
C =
+++。 例4 求2222sin cos dx I a x b =
+∫x ，（0ab ≠，2
x π
<）。 解：22
2222sec 1(tan )1tan arctan tan (tan )xdx d a x a x
I dx C a x b a a x b ab b ===++∫∫+。 补例2 求53cos sin x
dx x
∫。（评注：它符合注2之的（1）、（2）、（3）） 2解：令sin x t =有
52233cos (1sin )sin sin sin x x xd x
dx x x ?=∫∫ 423sin 2sin 1
(sin )sin x x d x x ?+=∫
42321t t dt t ?+=∫321()t d t t
=?+∫t 221
2ln 22t t C t =??+ 222
sin 1
ln sin 22sin x x C x
=??+。 四 某些无理根式的不定积分
1
. (R x dx ∫(0)ad bc ，≠
，可令t =?2
.(R x dx ∫，（24b ac 0?≠），可采用两种方法。
（1）先适当选择变换u x αβ=+
，把
、
或
的形式，然后利用三角变换除去根号。
（2）作欧拉变换：
,(0),
(0),()t a xt c t x α°=±>=+>=? 例5
求
∫。
解：令t =
222(1)1t x t +=?，22
8(1)
t dx dt t ?=?， 故
222182(1)(1)t t
t dt t t ??=??+?∫2
2222242()(1)(1)11
t dt dt t t t t ??==++??+∫∫2
? 2112(
111dt t t t =??+?+∫1
ln 2arctan 1
t t C t +=?+?
ln
C =。
例6（自学）
例7
求I =
。
解法一（评注：用三角变换）令12sec x θ?=，则2sec tan dx d θθθ=，故
I =2sec tan (12sec )2tan d θθθ
θθ
??=+?∫
sec 12sec 2cos d d θθθθθ=
=++∫∫ （令tan 2
t θ
=） 2222
122
11321dt dt t t t t =?=?+++
+∫
∫
C C =
+=+，
（利用三角形还原变量，如如图8.3）由于：
2sin cos sin 22tan 21cos cos 2
x 1
θθ
θθ
θθ===
++，
所以
I C =+。 解法二（用欧拉变换）令
x t =?，
则
232(1)t x t +=?，22
232(1)t t dx dt t ??=
?，
223(22(1)2(1)
t t x t t t t 3)
t +???=?=?=??；
于是
I =22222(1)2(1)233(23)2(1)t t t t dt t t t t ????=??+????
∫223dt C C t ?===+∫
C =+。
注3 有许多初等函数的原函数不是初等函数，姑且说它们“积不出来”，如
2x e dx ∫，，2
x e
dx ?∫1ln dx x
∫
，sin x
dx x ∫，x ，。 2(01)k <<
习题选讲
P182题4 每一个含有第一类间断点的函数f 都没有原函数。
证明 设函数f 有第一类间断点0x 。
（反证）假设f 有原函数，即，那么有 F '
F f =0
0'lim ()lim ()x x x x F x f ++→→=x ，
'lim ()lim ()x x x x F x f ??→→=x ，
因为0x 是f 的第一类间断点，故上面二式右边的两个极限都存在，从而左边极限0
'
lim ()x x F x +→与0
'lim ()x x F x ?
→也存在；注意到在F 0x 可导，即；由导数极限定理知 '0()()F x f x =0'0
''0lim ()lim ()()x x x x F x F x F +?→→==x ，
即
lim ()lim ()x x x x f x f x +
?→→=0()f x =，
即函数f 在0x 连续，矛盾。
第六章定积分空间解析几何
姓名______________ 学号__________________ 2012级信息计算科学 《高等数学选讲》练习题(5) 第六章 定积分及应用 1.抛物线22y x =把圆22 8x y +≤分成两部分，求这两部分面积之比 2. 求两椭圆22221x y a b +≤，22 221x y b a +≤的公共部分的面积. 3.求三叶玫瑰线sin3r a θ=（a>0）所围成的图形的面积. 4.设由y 轴，2,y x y a ==（01a <<）所围成的平面图形，由y a =，2y x =，1x =所围的平面图形都绕y 轴旋转，所得旋转体的体积相等，则a =_________ 5.一圆锥形水池，池口直径30m ，深20m ，池中盛满了水.试求将全部池水抽出池外需做的功. 6. 求函数1tan ()1tan x f x x -= +在区间[0,]4 π上平均值. 7.计算定积分 221x x e dx e π π-+?. 8.讨论下列反常积分的收敛性： （1） 01m x dx x +∞+? （,0n m ≥） （2）0arctan n x dx x +∞? （3）1201(ln )dx x x ?
第七章 空间解析几何与向量代数 1.设一平面通过原点及（6，-3，2），且与平面420x y z -+=垂直，则此平面方程为_________ 2.设直线L ：321021030 x y z x y z +++=??--+=?，及平面π：420x y z -+-=，则直线L （ ） （A ）平行于平面π. （B ）在平面π上. （C ）垂直于平面π. （D ）与平面π斜交. 3. 已知A 点和B 点的直角坐标分别为（1,0,0）与（0,1,1）.线段AB 绕z 轴一周所成的旋转曲面为S ，求由S 及两平面z=0,z=1所围成立体的体积. 第八章 多元函数微分法及其应用 1.设2(,)u xf x y xy =-，其中f 具有连续的二阶偏导数，求2,u u x x y ?????. 2.设x z xy y =+ ，其中()y y x =是由方程221x y +=所确定的函数，则dz dx = _________ 3.设函数(,)f x y 可微，(0,0)0f =，'(0,0)x f m =，'(0,0)y f n =，()[,(,)]t f t f t t ?=，则 '(0)?=_________. 4.设方程33 3z xyz a -=，求隐函数的偏导数2z x y ???. 5.设(,)z f x y =是二次连续可微函数，又有关系式u x ay =+，v x ay =- （a 是不为零的常数），求2z u v ???
第六章不定积分
第七章 定积分 §7.1 定积分的概念和可积条件 1、定积分的概念 为了说明定积分概念的由来，我们先看几个例子. 实例1 (曲边梯形面积问题).求由连续曲线()(()0)y f x f x =≥,x 轴以及直线 ,()x a x b b a ==>所围成的曲边梯形的面积. a b x y o 求平面图形的面积问题是人们在长期的生产和生活实践中经常面临的问题,而任何形状的平面图形的面积问题,都可以利用互相垂直的两组平行直线将它分成若干部分,将其转化为求曲边梯形的面积问题. 用矩形面积近似取代曲边梯形的面积. 1) 分割:在区间[,]a b 中任意插入1n -个分点,0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ,用 直线i x x =将曲边梯形分成n 个小曲边梯形; 2) 近似:在第i 个窄曲边梯形上任取1[,]i i i x x ξ-∈,作以1[,]i i x x -为底,以为高的小矩形 ()i f ξ,并以此小矩形面积近似代替相应的窄曲边梯形的面积i S ?,得1()(,1,2,,)i i i i i i S f x x x x i n ξ-?≈??=-=L ; 3) 求和:1 1 ()n n i i i i i S S f x ξ=== ?≈?∑∑ 4) 取极限:令1max{},i i n x λ≤≤=?则曲边梯形的面积0 1 1 lim ()n n i i i i i S S f x λξ→=== ?=?∑∑. 1.1 定义 () y f x =? A =
设函数()f x 在区间[,]a b 上有界.在区间[,]a b 内插入1n -个点,0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ,1i i i x x x -?=-(1,2,,)i n =L ,1max{},i i n x λ≤≤=?在小 区间1[,]i i x x -中任取一点i ξ(1,2,,)i n =L ,作和 1 ()n i i i f x ξ=?∑;如果极限0 1 lim ()n i i i f x λξ→=?∑存 在,且极限值与区间[,]a b 的分法和i ξ的取法无关,则称此极限为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分,记为 1 ()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ→==?∑? 此时称()f x 在区间[,]a b 上可积. 通常称为Rieman 可积，简称R 可积. a 与 b 分别称为积分的下限与上限,()f x 为被积函数,()f x dx 为被积表达式,x 为积分 变量. 若极限0 1 lim ()n i i i f x λξ→=?∑不存在, 则称()f x 在区间[,]a b 上不是R 可积. 定积分的概念需注意以下几点： (i ) 定积分要求积分区间有界,被积函数有界; (ii ) 定积分是积分和 1 ()n i i i f x ξ=?∑的极限,在构造积分和时,分割与点i ξ 的选取都是任意的,而 取极限是指当1max{}0i i n x λ≤≤=?→时的极限. (iii ) 定积分的值与积分变量的选取无关,只与被积函数及积分区间有关,所以 ()()b b a a f x dx f t dt =? ?. 1.2 定积分的几何意义与物理意义 设()f x 在[,]a b 上连续, 由定积分的定义知， ()b a f x dx ? 在几何上表示界于x 轴、曲线 ()y f x =、x a =与x b =之间各部分面积的代数和,在x 轴上方取正号,在x 轴下方取负号; 当x 为时间变量时, ()f x 是做直线运动的物体的速度函数, 则 ()b a f x dx ? 表示物体从时刻 a 到时刻 b 所走过的路程. 由定积分定义和极限性质不难得到定积分存在的必要条件：
微积分 经管类 第四版 吴赣昌 习题全解 第六章定积分的应用
第六章定积分的应用
课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：???<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< 第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法 教学目的：理解和掌握用定积分去解决实际问题的思想方法即定积分的元素法 教学重点：元素法的思想 教学难点：元素法的正确运用 教学内容： 一、 再论曲边梯形面积计算 ],[b a 上连续，且0)(≥x f ， 底为],[b a 1．化整为零 用任意一组分点 b x x x x x a n i i =<<<<<<=- 110 将区间分成 ),,2,1(1n i x x x i i i =-=?- 并记 },,,m ax {21n x x x ???= λ 相应地，曲边梯形被划分成 n 个窄曲边梯形，第 i 个窄曲边梯形的面积记为 n i A i ,,2,1, =?。 于是 ∑=?= n i i A A 1 2．以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值 ),,2,1(],[)(1n i x x x f A i i i i i i =∈??≈?-ξξ 3．积零为整，给出“整”的近似值 ∑=?≈ n i i i x f A 1 )(ξ 4．取极限，使近似值向精确值转化 ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f A )()(lim 1 ξλ 上述做法蕴含有如下两个实质性的问题： （1）若将],[b a 分成部分区间),,2,1(],[1n i x x i i =- 分量),,2,1(n i A i =?，而 ∑=?=n i i A A 1 ],[b a 具有可加性。 (2)用i i x f ?)(ξ近似i A ?，误差应是i x ?的高阶无穷小。 只有这样，和式 ∑=?n i i i x f 1 )(ξ ))()(()(i i i i i i i x o x f A x f A ?=?-??≈?ξξ 通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。 二、元素法 1．能用定积分计算的量U ，应满足下列三个条件 (1) U ],[b a 有关； (2) U 对于区间],[b a 具有可加性； (3) U 部分量i U ?可近似地表示成i i x f ??)(ξ。 2 (1) 根据问题，选取一个变积分变量，并确定它的变化区间 (2) 第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积? (1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) 第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i =?=?=∑=→λξλ 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<= 10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i =?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量? (高等数学)第六章定积分(全部) 第六章定积分 第一节概念及性质 一.定积分问题举例 1.引例1.曲边梯形的面积 引：在农业生产中，我们经常会遇到丈量土地面积的问题.在工厂中，又会遇到计算生产材料的面积问题.如果所遇到的需要计算面积的图形（见图1）是不规则的，人们一般采用分割法. （1）曲边梯形的概念 设函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上非负、连续，由直线?Skip Record If...?及曲线?Skip Record If...?所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线?Skip Record If...?称为曲边. （2）求曲边梯形的面积?Skip Record If...?. 第一步（分割）：在?Skip Record If...?内任意插入?Skip Record If...?个分点：?Skip Record If...?，把?Skip Record If...?分成n个小区间.第?Skip Record If...?个小区间记为：?Skip Record If...? ?Skip Record If...?，同时?Skip Record If...?也代表第i个小区间的长度(?Skip Record If...? ?Skip Record If...?),则?Skip Record If...?. 第二步（代替）：注意到由于?Skip Record If...?是连续函数，只要划分足够细，每个小曲边梯形的高在对应的小区间上可近似看作不变，即可以任取一点?Skip Record If...?，以?Skip Record If...?的值作为?Skip Record If...?的高.则这时的小曲边梯形可近似看作小矩形. 所以?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?. 第三步（求和）：?Skip Record If...?. 郑州大学毕业论文 题目：不定积分的常用求法 指导老师：任国彪职称：讲师 学生姓名：王嘉朋学号：20082100428 专业：数学与应用数学（金融数学方向） 院系：数学系 完成时间：2012年5月25日 2012年5月25日 摘要 微积分是微分学与积分学的简称，微积分的创立是数学史上最重要的事情之一。不定积分的相关知识是微积分中重要的知识，掌握不定积分的求法是学好微积分的前提。另外，不定积分的求法和定积分的求法有一定的相关性，在求面积以及质量中也有一定的应用。但是不定积分的计算是数学分析中的难点之一。求不定积分的方法灵活多样，本文介绍了微分学的来源，创立以及发展历史。并且基于自己对不定积分的理解，通过实例对不定积分的求法进行了总结。 关键字：微积分，微分学，积分学，不定积分，求解方法。 Abstract: Calculus is short for differential calculus and integral calculus and its foundation is one of the most important events in math history. Relevant knowledge in indefinite integral is very significant in calculus learning. Grasping solutions to indefinite integral is the premise of leaning calculus well. Besides, there is correlation between solutions to indefinite integral and definite integral. Indefinite integral can be applied in obtaining area and mass. However，calculating indefinite integral is one of the most hardest parts in math analysis. A variety of methods can be used in seeking indefinite integral. This paper introduced the origin of calculus, founding and developing history. Besides, through some examples based on understanding of indefinite integral，this paper also summarized solutions to indefinite integral. Keywords: calculus; differential calculus; integral calculus; solutions 第六章 定积分的应用 §6.1 定积分的元素法 §6.2 平面图形的面积 一、填空题 1．定积分 ? b a dx x f )(的几何意义是 。 2． )(x f 、g(x)在[a,b] 上连续，则由y=f(x),y=g(x)和x=a,x=b 所围成图形的 面积A= 。 3．计算y 2=2x 与y=x-4所围成图形的面积时，选用 作积分变量较为简捷。 二、选择题 1．曲线y=x ln 与直线0,,1 === y e x e x 及所围成的区域的面积S= 。 （A ）、2)11(e - （B ）、e e 1- （C ）、e e 1+ （D ）、e 1 1+ 2．曲线r=2acos θ所围图形的面积A= 。 （A ）、 θθπ d a 22 0)c o s 2(2 1 ? （B ）、θθππd a 2)c o s 2(21?- （C ）、 θθπ d a 2 20 )c o s 2(2 1? （D ）、2θθπd a 220)cos 2(21? 3．曲线?????==t a y t x 3 3sin cos 所围图形的面积A= 。 （A ）、 28a π （B ）、24a π （C ）、283a π （D ）、22 a π 三、求下列各曲线所围成的图形的面积。 1． 曲线y=x 3-6x 与y=x 2所围成图形的面积。 2． 曲线y=-x 2+-3及共在点（0，-3）和（3，0）处的切线所围成图形的面积。 3． 曲线y=sinx 与y=sin2x(0)π≤≤x 所围成图形的面积。 4． r =3cos θθcos 1+=r 及所围成图形的面积。 5． 摆线?? ?-=-=) cos 1() sin (t a y t t a x 的一拱（)20π≤≤t 与横轴所围成图形的面积。 四、在曲线族y=a(1-x 2)(a>0)中确定一条曲线，使该曲线和其在（-1，0）和（1，0）两点处 的切线所围图形的面积最小。 第八章 不定积分 总练习题 求下列不定积分： (1)∫4 3x 1 x 2x --dx ；(2)∫xarcsinxdx ；(3)∫ x 1dx +；(4)∫e sinx sin2xdx ； (5)∫x e dx ；(6)∫1 x x dx 2-；(7)∫x tan 1x tan 1+-dx ；(8)∫32)2-x (x -x dx ； (9)∫ x cos dx 4；(10)∫sin 4 xdx ；(11)∫4 x 3x 5-x 23+-dx ；(12)∫arctan(1+x )dx ； (13)∫2x x 47+dx ；(14)∫x tan tanx 1tanx 2++dx ；(15)∫100 2 x) -(1x dx ； (16)∫2x arcsinx dx ；(17)∫xln ??? ??+x -1x 1dx ；(18)∫x sinx cos dx 7；(19)∫e x 2 2x 1x -1??? ??+dx ； (20)I n =∫ u v n dx, 其中u=a 1+b 1x ，v=a 2+b 2x ，求递推形式解. 解：(1)∫ 4 3x 1 x 2x --dx=∫41x dx-2∫12 1x dx-∫4 1x - dx =5445x -13241213x -3 4 ∫43 x +C. (2)∫xarcsinxdx=-2 1 ∫arcsinxd(1-x 2)=-2 1(1-x 2)arcsinx+2 1 ∫(1-x 2)darcsinx =-21(1-x 2)arcsinx+21∫2x -1dx =-21(1-x 2)arcsinx+21 ∫t sin -12dsint =-21(1-x 2)arcsinx+21∫cos 2tdt=-21(1-x 2)arcsinx+81 ∫(1+cos2t)d2t =-21(1-x 2)arcsinx+4t +81sin2t+C=-21(1-x 2)arcsinx+41arcsinx +4 1 sintcost+C =2x 2arcsinx-41arcsinx +2x -14 x +C. (3)∫x 1dx +=∫t 1dt 2+=∫t 12tdt +=2∫t 1t 1++dt-2∫t 1dt +=2t-2ln|1+t|+C =2x -2ln|1+x |+C. (4)∫e sinx sin2xdx=2∫e sinx sinxcosxdx=2∫sinxde sinx =2e sinx sinx-2∫e sinx dsinx 第六章 定积分 第一节 定积分的概念 思考题： 1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1） ? -x x d 1 1, （2）?--x x R R R d 22, （3）?x x d cos 02π, （4）?-x x d 1 1 . 解：若[]? ≥∈x x f x f b a x a b d )(,0)(,,则 时在几何上表示由曲线)(x f y =，直线 b x a x ==,及x 轴所围成平面图形的面积. 若[]b a x ,∈时，?≤x x f x f a b d )(,0)(则在几何 上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，0)(d 111 1=+-=?-A A x x . （2）由上图（2）所示，2 πd 2 22 2 R A x x R R R ==-? -. （3）由上图（3）所示，0)()(d cos 5353543π 20=--++=+-+=?A A A A A A A x x . ( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) (4) （4）由上图（4）所示，1112 1 22d 61 1=??? ==?-A x x . 2. 若当b x a ≤≤，有)()(x g x f ≤，下面两个式子是否均成立，为什么？ （1）x x g x x f b a b a d )(d )(?≤?, （2）x x g x x f d )(d )(?≤?. 答：由定积分的比较性质知（1）式成立，而不定积分的结果表示一族函数，x x f d )(?与x x g d )(?不能比较大小，故（2）式不成立. 3. n 个数的算术平均值与连续函数在闭区间上的平均值有何区别与联系？ 答：二者均反映了多个数的平均值大小，后者是前者的推广，但n 个数的算术平均值是有限个数的平均值，而连续函数在闭区间上的平均值反映的是无限个数的平均值，前者计算 公式是∑=n i i a n 11,后者计算公式是?-b a x x f a b d )(1. 习作题： 1. 用定积分的定义计算定积分 ?b a x c d ,其中c 为一定常数. 解：任取分点b x x x x a n =<<<<= 210,把],[b a 分成n 个小区间 ],[1i i x x -)2,1(n i =，小区间长度记为x ?i =i x -1-i x )2,1(n i =,在每个小区间 []i i x x ,1-上任取一点i ξ作乘积i i x f ??)(ξ的和式： ∑∑==--=-?=??n i n i i i i i a b c x x c x f 1 1 1)()()(ξ, 记}{max 1i n i x ?=≤≤λ, 则 )()(lim )(lim d 0 a b c a b c x f x c n i i i b a -=-=??=∑? = →→λλξ. 2. 利用定积分的估值公式，估计定积分 ? -+-11 34)524(x x x d 的值. 解：先求524)(3 4 +-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由 0616)(2 3 =-='x x x f , 得0=x 或8 3=x . 比较 7)1(,1024 27 )83(,5)0(,11)1(=- ===-f f f f 的大小，知 11,1024 27 max min =- =f f ， 1．计算下列定积分： ⑴ 3sin()3x dx π ππ +?； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 3sin()3x dx π ππ +?3sin()()33x d x π πππ=++?3 cos() 3x πππ =-+ [cos()cos()]333π π π π=-+-+[cos (cos )]033 π π =----=。 【解法二】应用定积分换元法 令3 x u π + =，则dx du =，当x 从 3 π单调变化到π时，u 从 23π单调变化到43π ，于是有 3sin()3x dx π ππ +?4323 sin udu ππ=? 4323 cos u π π=-42[cos cos ]33 ππ=-- [cos (cos )]033 π π =----=。 ⑵ 1 32(115)dx x -+?； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 1 32(115)dx x -+?13 2 1(115)(115)5x d x --=++?212 11(115)52 x --=?+- 22111[]10(1151)(1152)=- -+?-?211(1)1016 =--51512=。 【解法二】应用定积分换元法 令115x u +=，则1 5 dx du = ，当x 从2-单调变化到1时，u 从1单调变化到16，于是有 1 32(115)dx x -+?1631 15u du -=?2 161 1152 u -=?-211 (1)1016 =- -51512=。 ⑶ 32 sin cos d π ???? ； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 3 20sin cos d π????3 2 cos cos d π??=-?420 1cos 4 π?=-441[cos cos 0]42 π =-- 第八章 不定积分 (14学时) §1 不定积分概念与基本积分公式 教学目的要求： 掌握不定积分的概念和性质，会用初等数学中的公式和基本积分公式计算不定积分. 教学重点、难点：重点不定积分的定义，用初等数学中的公式和基本积分公式计算不定积分. 难点不定积分定义的理解. 学时安排: (2学时) 教学方法: 讲授法. 教学过程: 微分法的基本问题——从已知函数求出它的导数；但在某些实际问题中，往往需要考虑与之相反的问题——求一个已知函数，使其导数恰好是某一已知函数——这就是所谓的积分问题。 一 原函数与不定积分 （一） 原函数 定义1 设函数)(x f 与)(x F 在区间I 上有定义。若 )()(x f x F ='， I x ∈， 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数。 如：3 3 1 x 是2 x 在R 上的一个原函数；x 2cos 2 1 - ， 1 2cos 2 1 +x ， x 2 sin ， x 2 cos -等都有是x 2sin 在R 上的原函数——若函数)(x f 存在原函数，则其原函数不是唯一的。 问题1 )(x f 在什么条件下必存在原函数？若存在，其个数是否唯一；又若不唯一，则 有多少个？ 问题2 若函数)(x f 的原函数存在，如何将它求出？（这是本章的重点内容）。 定理1 若)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在I 上存在原函数)(x F 。 证明：在第九章中进行。 说明：（1）由于初等函数在其定义域内都是连续的，故初等函数在其定义域内必存在原函数（但其原函数不一定仍是初等函数）。（2）连续是存在原函数的充分条件，并非必要条件。 定理2 设)(x F 是)(x f 在在区间I 上的一个原函数，则（1）设C x F +)(是)(x f 在在区间I 上的原函数，其中C 为任意常量（若)(x f 存在原函数，则其个数必为无穷多个）。（2）)(x f 在I 上的任何两个原函数之间，只可能相差上个常数（揭示了原函数间的关系）。 证明：由定义即可得。 （二） 不定积分 定义2 函数)(x f 在区间I 上的原函数的全体称为)(x f 在I 上的不定积分，记作： ? dx x f )( 其中? - -积分号；--)(x f 被积函数； --dx x f )(被积表达式；--x 积分变量。 注1 ? dx x f )(是一个整体记号； 第八章不定积分 §1不定积分概念与基本积分公式 教学内容：1）不定积分的概念 2）不定积分与微分的关系 3）不定积分的基本积分公式 4）不定积分的线性性质 重点：不定积分与微分的关系，基本积分公式 要求：熟记基本积分公式和不定积分的线性性质 一原函数与不定积分 前面我们学习了导数与微分，由已知函数利用基本求导公式和求导法则可以求出它的导数，那自然会 想到：求导运算能否和数的四则运算那样，知道了导数反过来就能求出，比如知道了物体的运 动速度，求路程，知道了加速度求速度？ 例1 一个静止的物体，其质量为m 在力的作用下沿直线运动，求物体的运动速度。 解由牛顿第二定理即 这就归结为已知求，由求导运算 得，其中 C 为待定常数，若初始时刻是静止的 从而得 我们称这类由求的运算为积分法。 定义（原函数）如果在区间 I 上，则称为在区间I上的原函数。 例如例1中的是的原函数；是 的原函数，等等 因为常数导数为零，所以如果的原函数存在，则对任意常数C，都是的原函数。 这就是说，原函数存在的话，它有无限多个。而且容易证明，的任意两个原函数之间相差一个常数。 换句话说>的原函数的全体为，C为任意常数。 定义（不定积分）>在区间I上原函数的全体称为在I上的不定积分。记作。 其中为积分号，为积分函数，为积分变量。 不定积分的几何意义 一个函数的原函数尽管有无限多个, 但它们的几何图形是一模一样的, 最多是在坐标系中的高低位 置不一样, 相差一个上下平移关系。 二基本积分公式 怎样求不定积分呢？我们先按照不定积分的定义给出一些常见函数的不定积分： 这些积分公式是我们后面计算不定积分的基础，一定要把它记住。 不定积分的基本性质:以下设和有原函数. ⑴. (先积后导, 形式不变). ⑵. (先导后积, 多个常数) ⑶>时， ⑷ 由⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对, 有 ( 当时,上式右端应理解为任意常数. ) 三．利用不定积分基本公式计算不定积分 例6 ，求. 第六章 定积分及应用 一、填空题 1、 16 ； 2、1； 3、0； 4、0； 5、2； 6、1-x ； 7、－1； 8、21I I >，34I I <； 9、 ,43ππ?? ? ??? ； 10、6； 11、2-； 12、1； 13、0； 14、2()2 y x π π =- ； 15、42 2x x xe e --； 16、2 2x x xe e ---； 17、x cos ； 18、 2 1； 19、π 二、选择题 1、B ； 2、B ； 3、C ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、B ； 8、D ； 9、D ； 10、B ； 11、C ； 12、D 三、基本计算题 （一）定积分计算 1．0； 2. 45 ； 3. 2π-； 4. 12ln 2-；5. 16ln 2 5 ； 6. 42ln 3 ； 7. 112 2 π + ； 8. )1(22 +e ； 9. 2 14 - π ; 10. 6 31π- ; 11. 12ln 2- （二）分段函数积分 1. 22; 2．24; 3. 4 1; 4. 112 ; 5. e 11- ; 6. 6 11; 7. )1ln(11-++e （三）含变限积分的极限 1. 2; 2. 3 1; 3. 2; 4. 110 ; 5. 3 1; 6. 6 1- （四）广义积分 1. 12 π ; 2. 2ln ; 3. π （五）平面图形面积 1. 3 32； 2. 3 64； 3. 2 9； 4. 6 7 （六）旋转体的体积 1.π5 72； 2. 5 2π 四、综合计算 （一）各类计算 1. =S 2; 2. =S 3 14; 3、e 4. ) sin ()cos 1(t t t -- 5. 2 12ln t t 第六章 定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。 教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、 截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积 设y f (x )0 (x [a b ]) 如果说积分 ?=b a dx x f A )( 是以[a b ]为底的曲边梯形的面积 则积分上限函数 ?=x a dt t f x A )()( 就是以[a x ]为底的曲边梯形的面积 而微分dA (x )f (x )dx 表示点x 处以dx 为宽的小曲边梯形面积的近似值A f (x )dx f (x )dx 称为曲边梯形的面积元素 以[a b ]为底的曲边梯形的面积A 就是以面积元素f (x )dx 为被积表达式 以 [a b ]为积分区间的定积分 ?=b a dx x f A )( 一般情况下 为求某一量U 先将此量分布在某一区间[a b ]上 分布在[a x ]上的量用函数U (x )表示 再求这一量的元素dU (x ) 设dU (x )u (x )dx 然后以u (x )dx 为被积表达式 以[a b ]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U )( 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法) §6 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y f 上(x )与y f 下(x )及左右两条直线x a 与x b 所围成 则面积元素为[f 上(x ) f 下(x )]dx 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上 类似地由左右两条曲线x 左 (y )与x 右 (y )及上下两条直线y d 与y c 所围 成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右?? 例1 计算抛物线y 2x 、y x 2 所围成的图形的面积 1．计算下列定积分： ⑴ sin( x )dx ； 3 3 【解法一】应用牛顿 - 莱布尼兹公式 sin( x )dx sin( x )d ( x ) cos( x ) 3 3 3 3 3 3 3 [cos( ) cos( )] [ cos( cos )] 0。 3 3 3 3 3 【解法二】应用定积分换元法 令 x 3 u ，则 dx du ，当 x 从 单调变化到 时，u 从 2 单调变化到 4 ， 3 3 3 4 4 4 2 sin( x )dx 3 sinudu cosu 23 于是有 2 [cos cos ] 3 3 3 3 3 3 [ cos ( cos )] 0 。 3 3 ⑵ 1 dx ； 2 (11 5x)3 【解法一】应用牛顿 - 莱布尼兹公式 1 dx 1 1 (11 5x) 3 d (11 5x) 1 1 5x) 2 1 2 (11 5x)3 5 5 (11 2 2 2 1 [ 1 2 (11 1 2) 2 ] 1( 1 2 1) 51 。 10 (11 5 1) 5 10 16 512 【解法二】应用定积分换元法 令 11 5x u ，则 dx 1 du ，当 x 从 2 单调变化到 1 时， u 从 1 单调变化到 5 16，于是有 1 dx 1 16 u 3 du 1 1 2 16 1 1 1) 51 2 (11 5x)3 5 5 u 1 ( 。 1 2 10 162 512 ⑶ 2 sin cos 3 d ； 【解法一】应用牛顿 - 莱布尼兹公式 1不定积分 第三章一元函数积分学 §1 不定积分 【考试要求】 1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式. 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢1 2．掌握不定积分的换元积分法和分部积分法. 3．会求有理函数、三角函数有理式的积分和简单无理函数的积分. 一、基本概念 1．原函数与不定积分定义 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2 若?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，则称?Skip Record If...?是?Skip Record If...?在?Skip Record If...?内的一个原函数.（一般地，“在区间?Skip Record If...?内”几个字常省略）. 若?Skip Record If...?是?Skip Record If...?的一个原函数，则?Skip Record If...?也是?Skip Record If...?的原函数（其中?Skip Record If...?为任仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3 意常数），?Skip Record If...?的全体原函数称为?Skip Record If...?的不定积分，记作?Skip Record If...?. 若?Skip Record If...?是?Skip Record If...?的一个原函数，则?Skip Record If...?. 2．不定积分与原函数的关系 （1）不定积分与原函数是两个不同的概念，前者是个集合，后者是该集合中的一个元素，因此 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4 第四节 定积分的分部积分公式 一、定积分的分部积分公式 b b a a b udv uv vdu a =-?? 例7．4．1 用分部积分公式求下列定积分： （1） 2 20 cos x xdx π ? ；（2）1 (51)x x e dx +?；（3 ）1 ? ； （4）4 2 3 ln xdx ?. 解 （1） 22 cos x xdx π ? 220 sin x d x π =? 2 20 sin 2sin 20x x x xdx π π =-? 2 20 2cos 4 xd x π π= +? 2 202cos 2cos 24 x x xdx π π π= +-? 2 2sin 24 0x π π= - 2 24 π= -； （2） 1 (51)x x e dx +? 1 (51)x x de =+? 10 1(51)(51)0x x x e e d x =+-+? 1 615x e e dx =--? 1 6150 x e e =-- 4e =+； （3 ） 1? ( )121x =--? 1212 arcsin -=-? 1122 112 2 arcsin x x --=+? 6=+ 1212 6 x - =-+ 1=； （4） 4 23 ln xdx ? 4 2 23 4ln ln 3x x xdx x =-? 422314ln 43ln 32ln x x dx x ?? =--? ?? ?? 4 223 4ln 43ln 32ln xdx =--? ()224 4ln 43ln 32ln 3 x x x =--- 224ln 43ln 38ln 46ln32=--++. 第六章 定积分应用测试题A 卷 一、填空题（20分） 1 、定积分 ()20 a a x dx ?-? ? 表示一平面图形的面积，这一图形的边界曲线方程是 . 2、设一放射性物质的质量为()m m t =，其衰变速度()dm q t dt =，则从时刻1t 到2t 此物质分解的质量用定积分表示为 . 3、抛物线2 32y x x =--与Ox 轴所围成图形的面积 . 4、由极坐标方程 ()ρρθ=所确定的曲线及(),θβθβαβ==<所围扇形的面积 为 . 二、选择题（20分） 1、曲线ln ,ln ,ln (0)y x y a y b a b ===<<及y 轴所围图形的面积A ，则A = [ ] （A ）ln ln ln b a xdx ?; （B ）b a e x e e dx ?; （C ） ln ln b y a e dy ? ; （D ）ln a b e e xdx ?. } 2、曲线x y e =下方与该曲线过原点的切线左方及y 轴右方所围成的图形面积A = [ ]. （A ）()1 0x e ex dx -?; （B ）()1 ln ln e y y y dy -?; （C ） ()1 e x e ex dx -? ; （D ）()1 ln ln y y y dy -?. 3、曲线2 ln(1)y x =-上1 02 x ≤≤ 一段弧长s = [ ]. （A ） ; （B ）1 2 22011x dx x +-?; （C ） ; （D ）. 4、矩形闸门宽a 米，高h 米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力F =[ ]. （A ）0h ahdh ?; （B ）0 a ahdh ?; （C ） 1 2 h ahdh ? ; （D ）02h ahdh ?. 三、解答题 ~ 1、（10分）求曲线2 3 (4)y x =-与纵轴所围成图形的面积. 2、（10分）求由圆2 2 (5)16x y +-=绕x 轴旋转而成的环体的体积. 3、（10分）试证曲线sin (02)y x x π=≤≤的弧长等于椭圆2 2 22x y +=的周长. 4、（10分）设半径为1的球正好有一半浸入水中，球的密度为1，求将球从水中取出需作多少功 5、（20分）设直线y ax =与抛物线2 y x =所围成图形的面积为1S ，它们与直线1x =所围成的图形面积为2S .并且1a <.如图. （1） 试确定a 的值，使12S S +达到最小，并 求出最小值； （2） 求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. &第六章定积分的应用63259
高等数学(上)第五章定积分总结
最新(高等数学)第六章定积分(全部)
不定积分的常用求法(定稿)[1]
高等数学第六章定积分的应用
数学分析8不定积分总练习题
第六章定积分
定积分换元法与分部积分法习题
(数学分析教案)第八章
第八章 不 定 积 分
第六章 定积分及应用答案
第六章定积分的应用
定积分换元法与分部积分法习题.doc
最新1不定积分汇总
定积分的分部积分公式
高等数学第六章定积分应用综合测试题