福建省莆田市仙游一中2015届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含答案

莆田市仙游一中2015届高三上学期期中考试

数学（理科）试卷

（命题人：杨超拔，满分：150分，答卷时间: 120分钟）

一．选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）

1. 设为向量，则“a b a b ?=”是“b a //”的（ ） A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

2．已知正角α的终边上一点的坐标为（3

2cos

,32sin

π

π），则角α的最小值为( ) A ．65π B ．32π C ．35π D ．6

11π

3.下列命题中是假命题．．．

的是 （ ）

A ．,)1()(,3

42是幂函数使+-?-=∈?m m x m x f m R ),0(+∞且在上递减 B ．有零点函数a x x x f a -+=>?ln ln )(,02 C ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈?使R ;

D ．,()sin(2)f x x ???∈=+R 函数都不是偶函数

4．将函数x x f y sin )('=的图象向左平移4

π

个单位，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 是（ ）

A ．2cos x

B ．x sin 2

C ．sin x

D ．cos x

5．若4

sin()sin cos()cos 5

αββαββ---=，且α为第二象限角，则tan()4πα+=

（ ）

A ．7

B ．17

C ．7-

D ．1

7-

6.若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11-=?-为区间则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组函数：①x x g x x f 2

1

cos )(,21sin

)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f ==其中为区间]1,1[-的正交函数的组数

是（ ）

A.0

B.1

C.2

D.3

()的值域为

函数x x x f 3123)(.7-+-= A.[1，2] B[1，2] C.[1,3] D[1,2

3

]

8的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐 A ．2 B ． 8 C ． 4 D ．6

9.已知向量,,a b c 满足4,22,a b ==

a 与

b 的夹角为

4

π

，

()()1c a c b -?-

=-，则c a

-的最大值为（ ）

1

2

11 10. 已知定义在[)+∞,0上的函数()x f ，当[]1,0∈x 时，;2

1

42)(--=x x f 当1＞x 时，

()()a R a x af x f ,,1∈-=为常数.下列有关函数()x f 的描述：

①当2=a 时，423=??

?

??f ； ②当，＜1a 函数()x f 的值域为[]2,2-；

③当0＞a 时，不等式()2

1

2-

≤x a

x f 在区间[)+∞,0上恒成立；

④当01-＜＜a 时，函数()x f 的图像与直线()

*-∈=N n a y n 12在[]n ，0内的交点个

数为()2

11n

n -+-.其中描述正确的个数有( ) A.4 B.3 C.2

D.1

二．填空题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）

11．定义在R 上的奇函数)(x f ，当0x 时，=)(x f ______ . 12.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67，

30，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m . （用四舍五入法将结果精确到个位。参考数据：sin 670.92≈，

cos 670.39≈，sin 370.60≈，cos370.80≈ 1.73≈）

13. 过．函数3()3f x x x =-上的点(2,2)M --的切线方程是

.

14.在正△ABC 所在平面上有三点R Q P ,,满足

AB PC PB PA =++,=++,

B

C

=++,则△PQR 与△ABC 的面积之比为 . 15.已知函数

|1|,0,(),,,()()(),2ln ,.nx x e f x a b c f a f b f c a b c x x e <≤?===++?->?若互不相等且则的取值范

围为 .

三．解答题（本大题有5小题，共80分）

16. （本小题共13分）

已知集合{}

2=320A x x x -+≤，集合{}

2B=2y y x x a =-+，集合

{}

2C=40x x ax --≤.命题 :p A B ≠?，命题:q A C ?

(Ⅰ)若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围；

(Ⅱ)若命题p q ∧为真命题，求实数a 的取值范围.

17．（本小题共13分） 叙述．．并证明．．余弦定理．

18．（本小题共13分）

已知函数b ax ax x g ++-=12)(2（0>a ）在区间]3,2[上有最大值4和最小值

1．设x

x g x f )

()(=． （I ）求a 、b 的值；

（II ）若不等式02)2(≥?-x x k f 在]1,1[-∈x 上有解．．，求实数k 的取值范围.

19．（本小题共13分）

已知向量(cos sin ,sin )a x x x ωωω→

=-，(cos sin )b x x x ωωω→

=--，设 函数()f x a b λ→→=?+()x R ∈的图象关于直线x π=对称，其中,ωλ为常数，且1(,1)2

ω∈

(Ⅰ)求()f x 的最小正周期；

(Ⅱ)若()y f x =的图象经过点(,0)4π，求函数()f x 在区间3

[0,]5

π上的取值范

围。

20．（本小题共14分）

一个圆柱形圆木的底面半径为1m ，长为10m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD （如图所示，其中O 为圆心，,C D 在半圆上），设θ=∠BOC ，木梁的体积为V （单位：m 3），表面积为S （单位：m 2）． （1）求V 关于θ的函数表达式； （2）求θ的值，使体积V 最大； （3）问当木梁的体积V 最大时，其表面

积S 是否也最大？请说明理由． 21．(本小题共l4分)

已知函数21

(),()32

f x x h x =+=(I)设函数()()()F x f x h x =-，求()F x 的单调区间与极值；

(Ⅱ)设a R ∈，解关

于x 的方程

422

33

log [(1)]log ()log (4)24

f x h a x h x --=---; (Ⅲ)试比较100

1

(100)(100)()k f h h k =-∑与1

6的大小.

自主招生题：（10分，供学有余力的同学选做，可按实际得分加入本科目考试总

分）

求函数x x x x x x x f sin 3sin 3sin 2sin 2sin 1sin 1)(-+++-+++-++=的最大值。

一、选择题

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D D B B C B C D B 二、填空题

11、 x xe 12、60 13、2y =-和916y x =+ 14、 1:3 15、(

,2+e 2）

三、解答题 16、解答：

解;{}222(1)11,1y x x a x a a B y y a =-+=-+-≥-∴=≥-,

{}

{}232012A x x x x x =-+≤=≤≤, {}

240C x x ax =--≤

(Ⅰ)由命题p 是假命题，可得=A B ?，即得12,3a a ->∴>.……………7分

(Ⅱ) p q ∧为真命题，∴p q 、 都为真命题， 即A B ≠?，且A C ?

∴有121404240a a a -≤??

--≤??--≤?

，解得03a ≤≤.……………13分

17、解答：

【解】叙述: 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有

2222cos a b c bc A =+-，2222cos b c a ca B =+-，

2222cos c a b ab C =+-.……………5分

证明：（证法一） 如图，2

c BC = ()(

)

A C A

B A

C A B

=-?

- 2

2

2AC AC AB AB =-?+2

2

2cos AC AC AB A AB =-?+ 2

2

2cos b bc A c =-+

即 2

2

2

2cos a b c bc A =+- 同理可证 2

2

2

2cos b c a ca B =+-， 2

2

2

2cos c a b ab C =+-

（证法二）已知ABC ?中，,,A B C 所对边分别为,,,a b c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ，

∴2

2

2

2

2

2

2

2

2

||(cos )(sin )cos 2cos sin a BC b A c b A b A bc A c b A ==-+=-++

222cos b c bc A =+-，

即 2

2

2

2cos a b c bc A =+- 同理可证 2

2

2

2cos b c a ca B =+-，

2

2

2

2cos c a b ab C =+-……………13分

18、解答：

解析：（1）a b x a x g -++-=1)1()(2，因为0>a ，所以)(x g 在区间]3,2[上是增函数，

故???==4)3(1)2(g g ，解得???==01b a ．……………6分 （2）由已知可得21

)(-+

=x

x x f ，所以02)2(≥?-x x k f 可化为x x x k 222

1

2?≥-+

， 化为k x x ≥?-??

?

??+2122112

，令x t 21=，则122+-≤t t k ，因]1,1[-∈x ，故

??

?

???∈2,21t ， 记=)(t h 122+-t t ，因为??

?

???∈2,21t ，故1)(max =t h ， 所以k 的取值范围是]1,(-∞．

∵函数()f x 的图象关于直线x π=对称，

21