Laplace 算子的特征函数系在三个空间中的完备性
Laplace 算子的特征函数系在三个空间中的完备性
n R 表示实n 维Euclid 空间，设Ω是n R 中的有界开集，边界?Ω适当光滑。
空间
()
Ω2L 上的内积记为
(,)u v uvdx
Ω
=?()2,u v L ∈Ω，范数记为1
2
2
||||()
u u dx Ω=?；
空间
()10H Ω内积记为
,u v uvdx u vdx Ω
Ω
<>=+?????()
1
0,u v H ∈Ω，
范数记为11
222
||||(||)
H u u dx u dx Ω
Ω
=+???；
定义5.1 222222
12n
x u
x u x u u ??++??+??=? , 称?为Laplace 算子.
定义5.2 如果存在实数λ,和非零函数
()()Ω?Ω∈1
2C C u ，使得
?
??Ω?=Ω=?-上在中
在,0,u u u λ ，（5.1）
则称
λ为算子?-（或问题（5.1））的特征值,称u 为对应于特征值
λ的特征函数.
例如
),,0(l =Ω
?
??==∈=''-.0)()0(),0(,l y y l x y y λ ，(5.2) x l n x y x y l n n n ππλλsin )()(,2
==??
?
??==就是（5.2）
的特征值和对应于特征值
n λ的特征函数.
且有
<<<<3210λλλ, +∞=∞
→n n λlim ,?
??
?
??x l n πsin
在),0(2l L 中正交,任意函数],,0[)(2l L x f ∈)(x f 在],0[2
l L 中可用?
??
?
??x l n πsin
展开成Fourier 级数.
1
()~sin k k k f x a x l π
∞
=∑, （未必相等）
?=l k x l k x f l a 0sin )(2π
,
令1
()sin n
n
k k k S x a x l π==∑，则有
()
)(,02
1
2
∞→→-=
-?
Ω
n dx
f S f S n n .
系数的记法
k k l k l
a l
l
k a dx x l k l k a xdx l k x f 2
sin
sin sin sin )(2
00
===??
π
πππ. 定义 5.3对实数
λ
,如果存
在
函
数
()0)(,)(1
≠Ω∈x u H x u ,使得
(),,
1
Ω∈?=????
Ω
Ω
H dx u dx u ??λ?（5.3） 则称为
λ为算子?-的（广义）特征值,称u 为对应于特征值λ的
广义特征函数. 显然由定义5.2
?定义5.3,
反之,在一定条件下,定义5.3?定义5.2.
5.2 特征值的存在性 若
u ,λ是（5.3）的特征值与特征函数,则有
??
Ω
Ω
=?dx u dx u 22
λ,
2
2
22
u
u dx
u dx
u ?=
?=
??Ω
Ω
λ,
于是我们引入泛函
()0)(,)(,)(1
2
2
≠Ω∈?=
x u H x u u
u u J .
由Friedrichs 不等式
u d u ?≤2,
2
2
2
4u
d u
?≤,
()0,,0411
02
22
≠Ω∈?>≥?u H u d
u
u . 此式说明泛函)(u J 有正的下界,
因此
)(u J 有下确界.如果定义
()()2
1
2
2
11010inf inf
v
u
u v H v u H u ?=?==Ω∈≠Ω∈λ ,（5.4）
则.04121>≥d
λ
今证明1λ是算子)(?-的最小特征值.
由下确界
()2
1
110inf u
u H u ?==Ω∈λ的定义,对任意正整数
k
,存在
(
),
1,10
=Ω∈k k u H u 满足
,
112
k
u k
+≤?λ（
12
λ≥?k
u ）
于是得{}k u 在()Ω1
0H 中有界,由索伯列夫嵌入定理,存在
{}k u 的子序列{}i
k u 和函数()Ω∈1
H u ,使得
u u i k →（在()Ω2L 中）,
u
u i k ==1lim ，
u u i k ?→?在()Ω2L 中弱收敛,
2
2
lim i
i k k u u
?≤?∞
→
再由
,1
12
i
k k u i
+≤?λ得12
λ≤?u
,
又
12
λ≥?u
,
故
1,12
==?u u
λ,
即存在()Ω∈1
H u ,
1=u ,
使得
()
()2
1
2
2
12
1010
inf inf
v
u
u u
v H v u H u ?=?==?=Ω∈≠Ω∈λ（条件极值）
下面证明
u ,1λ就特征值与特征函数.
()
)(inf )(0
11
v J u J v H v ≠Ω∈==λ,
,)(22
v
v v J ?=
对任意()Ω∈1
0H v 根据上式得出
)(inf )(tv u J u J R
t +=∈
即
)(tv u J +在0=t 处达到最小值.
由此知
0)(0
=?+?=t t
tv u J
22
)()(tv
u tv u tv u J ++?=
+
,),(2),(22
2
2
2
22v
t v u t u v t v u t u ++?+??+?=
()()()(),
)),(2(2),(2),(2),(22),(2)
(2
2
22
2
2
22
2
22
2
v t v u t u
v t v u v
t v u t u
v
t v u t u v t v u t
tv u J +++?+??+?-++?+??=
?+?
得
0)
,(2),(24
2
2
=?-??u
v u u u
v u ,
0),(),(2
2
=?-??v u u u
v u
()Ω∈?=?=
??1
12
2),,(),(),(H v v u v u u
u v u λ, 即()Ω∈?=????
Ω
Ω
1
1,H v dx uv dx v u λ 因此,1λ是算子?-的特征值,u 为对应于特征值λ的特征函
数.
再证
1λ是最小的特征值,设λ
是
?-的任意特征值,即存在
()0,1
≠Ω∈w H w , 使得
()Ω∈?=????Ω
Ω
1
,
H v dx wv dx v w λ 在此式中,取w
v =,
得出
2
2w
dx w λ=??
Ω
,
()
1
2
20
2
2
1
inf
λλ=?≥?=
≠Ω∈v
v w
w v H v .
这就证明
1λ是?
-
的最小特征值.
5.3算子
?-的所有特征值
我们可以采用下列方法依次求出算子
?-的所有特征值.
())(inf 0
),(0
2110
v J u v v H v =≠Ω∈=λ,显然210
λλ≤<,
可以证明,
存在()1,21
02=Ω∈u H u ,
0),(12=u u , 使得
())
(inf )(0
),(0
22110v J u J u v v H v =≠Ω∈==λ,
同上面可证,
22,u λ满足
()Ω∈?=????
Ω
Ω
1
222,
H v dx v u dx v u λ 即
2λ是特征值,2u 为对应于特征值2λ的特征函数.
假设我们已经得出算子
?
-的
1
-m 个特征值,
121,,,-m λλλ (1≥m ),
且
121-≤≤≤m λλλ , （5.5）
对应于
121,,,-m λλλ 的特征函数为
121,,,-m u u u , （5.6）
且
()1,,2,1,1-==m k u k .
函数组（5.6）的所有线性组合成为()Ω2
L 的一个线性子空间,叫做组（5.6）
在
()Ω2
L 中生成的子空间,记为
{}?
?
?
???-=∈==∑-=--111211
1,,2,1,|,,,m i i i i m m m i R c u c u u u span V
以
⊥
-1m V
表示1-m V 在
()Ω2
L 中的正交补空间,
即(){}
1
21
,0),(|-⊥
-∈?=Ω∈=m m V v L v V ??.
根据泛函
2
41
)(d u J ≥有下界性,我们将证明
())
(inf 0
110v J v V H v m m ≠?Ω∈⊥-=
λ ,（5.7）
就是算子
?-的第m 个特征值.
重复上面的讨论变分问题（5.4）的步骤可以证明,存在函数
⊥-??
? ???Ω∈110m m V H u ,
使得,1=m u ())
(inf )
(0
110v J u J v V H v m m m ≠?Ω∈⊥
-=λ ,（5.8）
()Ω∈?=????
Ω
Ω
1
,
H v dx v u dx v u m m m λ ,（5.9）
m λ是算子?-的第m 个特征值,m u 为对应于特征值m λ的
特征函数.由（5.7）易知1-≥m m λλ.
由于
()Ω1
H 是无限维空间,按（5.7）得出算子?-的特征值的无限
序列
≤≤≤≤≤-m m λλλλ121 ,（5.10）
相应的的特征函数序列为
,,,,,121m m u u u u - ,（5.11）
5.3特征值序列
{}m λ及对应的特征函数系{}m u 的性质
性质1 最小特征值
1λ对应的特征函数)(x u 可以取来满足
2
1,1,,0)(u
u x x u ?==Ω∈?>λ .
性质2 对应于不同特征值的特征函数在
()Ω2
L 中是正交的.
证明 设特征值
k
m λλ,对应的特征函数分别为
k
m u u ,,且
k m λλ≠
()Ω∈?=????
Ω
Ω
1
,
H v dx v u dx v u m m m λ ()Ω∈?=????
Ω
Ω
1
,
H v dx v u dx v u k k k λ ,
dx u u dx u
u m k k m
k
??ΩΩ
=??λ
,
dx u u dx u u
m k m k m
??Ω
Ω
=??λ
(),
0=-?Ωdx u u m k m k λλ
由此知道, 当
k m λλ≠时,(),
0,==?Ωdx u u u u m k m k
性质3 特征值序列（5.10）满足
lim j j λ→∞
=+∞ .
证明 由于{}j λ是单调递增的，只须证明{}j λ是无界的。 假若{}j λ有界，由2
||||j j ?λ?=，||||1,(1,2,)
j j ?==???，
于是
{}
j ?在
()Ω1
H 中有界，利用()Ω10H 紧嵌入2()L Ω，得到 {}j ?中
存在子列（仍记为{}j ?）在2()L Ω中收敛，
2
,lim ||||0
m n m n ??→∞
-=，
但当m n ≠时，
222||||||||||||2
m n m n ????-=+=，
矛盾，
所以{}j λ是无界的。故有lim j j λ→∞
=+∞
。
性质4 对应于同一特征值只有有限个线性无关的特征函数,或者说,对应于每一个特征值的特征函数空间是有限维的.
性质5 特征函数序列（5.11）是空间
()Ω10
H 的基底,即
（1） 对任意()Ω∈1
0H v ,
∑∞
==1
),(k k
k u u v v 在()Ω1
0H 中.
（2） 若()Ω∈1
0H v ,
,,2,1,0),( ==k u v k 则
0=v .
众所周知,存在特征值序列{}j λ和相应的特征函数系{}j ?，满足
,
|0.
j j j j ?λ???Ω-?=???
=?? 这里21
0()()j H H ?∈ΩΩ ，||||1,1,2,j j ?== , 120λλ<≤≤, ,
j λ≤≤ 且lim j j λ→+∞
=+∞．可以证明(,)0,i j i j ??=≠．即{}j ?在2()
L Ω中是标准正交系.其中||||?表示2()L Ω上的范数，(,)??表示2
()L Ω上的内积. 引理3.1.4 (特征函数的性质)特征值问题
,
|0.
?λ???Ω-?=??
=? 有如下结论：
1){}j ?是1
0()H Ω中的一组正交完备基，
对1
0()u H ?∈Ω，(,)j j a u ?=，
10
()1
lim ||||0N
j j H N j a u ?Ω→+∞
=-=∑．
2){}j ?是2()L Ω中的一组标准正交基．
对2
(),(,)j j u L a u ??∈Ω=，
1
j j
j a u ?
∞
==∑在2()L Ω成立．
3){}j ?是21
0()()H H ΩΩ 中的一组正交基．
对u ?∈21
0()()H H ΩΩ ，成立
21
lim ||||0N
j j H N j a u ?→+∞
=-=∑．
证明 对2
(),(,)j j u L a u ?∈Ω=，记1
n
n j j
j S a ?
==
∑，
显然n u S -与n S 在2
()L Ω中正交，()n n u u S S =-+， 于是222||||||||||||n n u u S S =-+， 由此2222||||||||,||||||||n n S u u S u ≤-≤， 而2
2
1
||||||n
n j
j S a
==
∑，所以221
||||||j j a u ∞
=≤∑ 。
对任意实数j
c ，记
1n
n j j
j c σ?==∑，
显然n u S -与n n S σ-在2
()L Ω中正交，()()n n n n u u S S σσ-=-+-， 于是222||||||||||||n n n n u u S S σσ-=-+-，
由此22||||||||n n u S u σ-≤-，
1）任意i j ≠，,i j i j i j dx dx ??????Ω
Ω
<>=
+???
?
0()i j dx ??Ω
=+-??
()0i j j dx ?λ?Ω
==?；
于是{}j ?是1
0()H Ω中的一组正交系；
对10()u H ∈Ω，显然()n u S ?-与n S ?在2
()L Ω中正交，
()n n u u S S ?=?-+?，
成立222||||||()||||||n n u u S S ?=?-+?， 于是 2222||||||||,||()||||||n n S u u S u ?≤??-≤?， 易知2
2
1
||||||n
n j j j S a λ
=?=
∑，22
1
||||||j j
j a u λ∞
=≤?∑； 由于1
0()n u S H -∈Ω，且n u S -与(1,2,,)j j n ?=???都正交，
所以有212
||()||||()||n n n u S u S λ+?-≥-，
2221
1
1
1
||()||||()||||||n n n n u S u S u λλ++-≤
?-≤
?，
由lim n n λ→∞
=+∞，
得到
2
lim ||()||0n n u S →∞
-=，
对1
0()u H ∈Ω，有
{}n S 在2
()L Ω中收敛于u ；
对任意m n >，
2
21
||||||0,(,)m
m n j
j j n S S a m n λ
=+?-?=
→→∞∑，
于是
{}n S ?在2
()L Ω中收敛，且{}n S ?在2
()L Ω中收敛u ?；
故
{}n S 在10
()H Ω中收敛于u ；
2）设2()u L ∈Ω， 对任意
ε>，存在10?()u C ∈Ω ，使得
?||||u u ε-< ，
记??(,)j j a u ?=，1
??n
n j j j S a ?==∑，则有?{}n
S 在2()L Ω中收敛于?u
； 易知成立??||||||||n n
S S u u -≤-， 于是????||||||||||||||||n n n n
S u S S S u u u -≤-+-+- ?????||||2||||||||2n n
S u u u S u ε≤-+-<-+， 从而得到
{}n S 在2
()L Ω中收敛于u ；
或者由??????||||||||||||||||||||n n n n
S u S u S u u u S u ε-≤-≤-+-<-+，
得到{}n S 在2
()L Ω中收敛于u ；
3） 已有21
lim ||
||0N
j j
L N j a u ?
→+∞
=-=∑，再证
1
lim ||||0N
j j N j a u ?→+∞
=?-?=∑，
因为
1
1
1
()N N N
j j j j j j j j j j a a a ??λ?===?=?=-∑∑∑，
(,)(,)(,)(,)j j j j j j j j a u u u u λλ?λ???-=-=-=?=?，
由2)知，在2
()L Ω中
1
1
1
()()(,)N N N
j j j j j j j j j j a a u u ?λ???===?=-=?→?∑∑∑．
利用2
L 估计：对u ?∈21
0()()H H ΩΩ 成立，
2()||||(||||||||)H u C u u Ω≤?+， 2()1||||N
j j H j a u ?Ω=-∑
1
1
(||()||||||)0N N
j j j j j j C a u a u ??==≤?-+-→∑∑.
故{}j ?是21
0()()H H ΩΩ 中的一组正交基．
定理 {}j ?是1
0()H Ω中的一组正交完全系，
证明 任意i j ≠，,i j i j i j dx dx ??????Ω
Ω
<>=
+???
?
0()i j dx ??Ω
=+-??
()0i j j dx ?λ?Ω
==?；
于是{}j ?是10()H Ω中的一组正交系；
若()Ω∈1
0H v ,
,0,1,2,,k v k ?<>== 则
0=v .
证明
,k k k v v dx v dx ???Ω
Ω
<>=+????
()k k v dx v dx ??Ω
Ω
=+-???
(1)(1)(,)k k k k k k k v dx v dx v dx v ?λ?λ?λ?Ω
Ω
Ω
=+=+=+???；
由
,0k v ?<>=，可得(,)0k v ?=，(1,2,)k = ；
假若0v ≠，可设()Ω∈1
H v ，
||||1v =，
由于
(,)0k v ?=，(1,2,,1)k n =- ；
所以有2||||,(1,2,)n v n λ≤?=???，
这与lim n n λ→∞=+∞矛盾，
故
0=v ，
这证明了是{}j ?是1
0()H Ω中的一组正交完全系。
由于10()H Ω是Banach 空间，于是{}j ?是10()H Ω中的一组正交完备系，
即对任意1
()u H ∈Ω，(,)j j a u ?=，记1
n
n j j
j S a ?
==∑，
成立{}n S 在10
()H Ω中收敛于u 。
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创新思维的5个特点_经典问题和答案
创新思维的5个特点_经典问题和答案 创新思维的本质就在于将创新意识的感性愿望提升到理性的探索上，实现创新活动由感性认识到理性思考的飞跃。下面学习啦小编就为大家介绍一下关于创新思维的5个特点，欢迎大家参考和学习。 创新思维的特点一、联想性 联想是将表面看来互不相干的事物联系起来，从而达到创新的界域。联想性思维可以利用已有的经验创新，如我们常说的由此及彼、举一反三、触类旁通，也可以利用别人的发明或创造进行创新。联想是创新者在创新思考时经常使用的方法，也比较容易见到成效。 能否主动地、有效地运用联想，与一个人的联想能力有关，然而在创新思考中若能有意识地运用这种方式则是有效利用联想的重要前提。任何事物之间都存在着一定的联系，这是人们能够采用联想的客观基础，因此联想的最主要方法是积极寻找事物之间的一一对应关系。 创新思维的特点二、求异性 创新思维在创新活动过程中，尤其在初期阶段，求异性特别明显。它要求关注客观事物的不同性与特殊性，关注现象与本质、形式与内容的不一致性。 英国科学家何非认为：“科学研究工作就是设法走到某事物的极端而观察它有无特别现象的工作。”创新也是如此。一般来说，人们对司空见惯的现象和已有的权威结论怀有盲从和迷信的心理，这种心理使人很难有所发现、有所创新。而求异性思维则不拘泥于常规，不轻信权威，以怀疑和批判的态度对待一切事物和现象。 创新思维的特点三、发散性 发散性思维是一种开放性思维，其过程是从某一点出发，任意发散，既无一定方向，也无一定范围。它主张打开大门，张开思维之网，冲破一切禁锢，尽力接受更多的信息。可以海阔天空地想，甚至可以想入非非。人的行动自由可能会受到各种条件的限制，而人的思维活动却有无限广阔的天地，是任何别的外界因素难以限制的。 发散性思维是创新思维的核心。发散性思维能够产生众多的可供选择的方案、办法及建议，能提出一些独出心裁、出乎意料的见解，使一些似乎无法解决的问题迎刃而解。
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法-模板
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法 一、引言 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。 在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。 二、一种新的证明方法 (一)预备知识 (二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。 三、有界性定理在数学建模中的应用 本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。 在20XX年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基
(完整版)创新思维的三个重要特征
创新思维的三个重要特征 它有着三个重要特征。 今天为大家带来了创新思维的三个重要特征，一起来看看吧!创新思维的三个重要特征(1)流畅性，指发散思维的量。 单位时间内发散的量越多，流畅性越好;(2)变通性，指思维在发散方向上所表现出的变化和灵活;(3)独创性，指思维发散的新颖、新奇、独特的程度。 创新性思维的表现形式创新性思维的关键在于怎样具体地去进行创新性的思维。 创新性思维的重要诀窍在于多角度、多侧面、多方向地看待和处理事物、问题和过程。 具体地表现在以下几个方面：(一)理论思维。 理论一般可理解为原理的体系，是系统化的理性认识。 理论思维是指使理性认识系统化的思维形式。 这种思维形式在实践中应用很多，如系统工程就是运用系统理论思维来处理一个系统内和各个有关问题的一种管理方法。 钱学森认为，系统工程是组织管理系统的规划、研究设计、创新试验和使用的科学方法。 又如，有人提出“相似论，也是科学理论思维的范畴，即人见到鸟有翅膀能飞，就根据鸟的翅膀，鸟体几何结构与空气动力和飞行功能等相似原理发明了飞机，有的也称“仿生学。
还有在企业组织生产中，也有很多地方要用到理论思维。 因此说，理论思维是一种基本的思维形式。 因此，为了把握创新规律，就要认真研究理论思维活动的规律，特别是创新性理论思维的规律。 (二)多向思维。 多向思维也叫发散思维、辐射思维或扩散思维。 是指对某一问题或事物的思考过程中，不拘泥于一点或一条线索，而是从仅有的信息中尽可能向多方向扩展，而不受已经确定的方式、方法、规则和范围等的约束，并且从这种扩散的思考中求得常规的和非常规的多种设想的思维。 多向思维的概念，最早是由武德沃斯于1918年提出，以后斯皮尔曼、卡推尔作为一种“流畅性因素而使用过。 美国心理学家吉尔福特在“智力结构的三维模式中，便明确地提出了发散性思维，也即是多向思维。 他认为，发散思维是从给定的信息中产生信息，其着重点是从同一的来源中产生各种各样的为数众多的输出。 它的特点一是“多端，对一个问题可以多开端，产生许多联想，获得各式各样的结论;如怎样将梳子卖给和尚?二是“灵活，对一个问题能根据客观情况变化而变化。 如：如果第二次龟兔赛跑兔子又输了，原因可能是方向相反，还可能是前面有条河等等。
(整理)函数、极限、连续重要概念公式定理
一、函数、极限、连续重要概念公式定理 （一）数列极限的定义与收敛数列的性质 数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有 n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞ =.若 {}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散. 收敛数列的性质： (1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞ =,则极限是唯一的． (2)有界性：若lim n n x A →∞ =,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ?均有n x M ≤. (3)局部保号性：设lim n n x A →∞ =,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或. (4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A . （二）函数极限的定义 （三）函数极限存在判别法 (了解记忆) 1．海涅定理：()0 lim x x f x A →=?对任意一串0n x x →()0,1,2, n x x n ≠=,都有 ()l i m n n f x A →∞ = ． 2.充要条件：(1)()()0 lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +- →→→=?==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞ →+∞ →-∞ =?==.
3.柯西准则：()0 lim x x f x A →=?对任意给定的0ε>,存在0δ>,当 100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<. 4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ?φ≤≤（,且0 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则 lim ()x x f x A →=. 5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在 常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞ 存在. （四）无穷小量的比较 (重点记忆) 1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==. (1)若() lim 0() x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)() lim ,())() x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)() lim (0),())() x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)() lim 1,())() x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)() lim (0),0,())() k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时, sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ? ?? ?? ? ? ? +? -?? () 2 11c o s ~2(1)1~x x x x ααα-+- 是实常数 （五）重要定理 (必记内容,理解掌握) 定理1 0 00lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=?==. 定理2 0 lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=?=+=其中. 定理3 (保号定理)：0 lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=>设又或则一个,当 000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或. 定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ?φ≤≤（,且 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则0 lim ()x x f x A →=．
关于四种创新思维的特征
关于四种创新思维的特征 创新思维是依据生活中的各种现象加以选择、分析、综合,然后加以艺术塑造的思 维方式。 关于四种创新思维的特征 1.独创性思维不受传统习惯和先例的禁锢,超出常规.在学习过程中对所学定义、定理、公式、法则、解题思路、解题方法、解题策略等提出自己的观点、想法,提出科学 的怀疑、合情合理的挑剔. 2.求异性思维标新立异,异想天开,出奇制胜.在学习过程中,对一些知识领域中长期 以来形成的思想、方法,不信奉,特别是在解题上不满足于一种求解方法,谋求一题多解. 3.联想性面临某一种情境时,思维可立即向纵深方向发展;觉察某一现象后,思维立 即设想它的反面.这实质上是一种由此及彼、由表及里、举一反三、融会贯通的思维的 连贯性和发散性. 4.灵活性思维突破定向、系统、规范、模式的束缚.在学习过程中,不拘泥于书本所 学的、老师所教的,遇到具体问题灵活多变,活学活用活化.5.综合性思维调节局部与整体、直接与间接、简易与复杂的关系,在诸多的信息中进行概括、整理,把抽象内容具体化,繁杂内容简单化,从中提炼出较系统的经验,以理解和熟练掌握所学定理、公式、法 则及有关解题策略. 创造性思维的基本形式 (一)理论思雉理论一般可理解为原理的体系，是系统化了的理性认识。理论思维 是指使理性认识系统化的思维形式。恩格斯曾指出：一个民族想要站在科学的最高峰，就一刻也不能没有理论思维。因为理论思维具有科学性、真理性。凡是理论思维混乱，或不符合客观规律，其结果不是收效甚微，就是失败。理论思维在实践中应用较多。 如系统工程就是运用系统理论思维，来处理三个系统内和各个有关问题的一种管理方法。钱学森同志认为：系统工程是组织管理的规划、研究、设计、创造、试验和使用 的科学方法，是一种对所有系统都是有普遍意义的科学方法。又如有人提出的相似论，也是科学理论思维的范畴;有人见鸟有翅膀能飞，就根据鸟的翅膀，鸟体几何结构与空 气动力和飞行功能等相似原理发明了飞机，有的又称仿生学。还有许多地步也要常常 运用到理论思维，如对一些自然规律和社会规律的归纳和总结，对一些问题的认识和 分析。所以说，理论思维是一种基本的思维形式。
创造性思维有什么特点
创造性思维有什么特点 创造性思维具有新颖性，它贵在创新，或者在思路的选择上、或者在思考的技巧上、或者在思维的结论上，具有着前无古人的独到之处，在前人、常人的基础上有新的见解、新的发现、新的突破，从而具有一定范围内的首创性、开拓性。 创造性思维具有极大的灵活性。它无现成的思维方法、程序可循，人可以自由地海阔天空地发挥想象力。 创造性思维具有艺术性和非拟化的特点，它的对象多属“自在之物”，而不是“为我之物”，创造性思维的结果存在着两种可能性。 创造性思维具有着十分重要的作用和意义。首先，创造性思维可以不断增加人类知识的总量；其次，创造性思维可以不断提高人类的认识能力；再次，创造性思维可以为实践活动开辟新的局面。此外，创造性思维的成功，又可以反馈激励人们去进一步进行创造性思维。正如我国著名数学家华罗庚所说：“…人?之可贵在于能创造性地思维。” 补充：创造性思维是一种开创性的探索未知事物的高级复杂的思维，是一种有自己的特点、具有创见性的思维，是扩散思维和集中思维的辩证统一，是创造想象和现实定向的有机结合，是抽象思维和灵感思维的对立统一。创造性思维是指有主动性和创见性的思维，通过创造性思维，不仅可以提示客观事物的本质和规律性，而且能在此基础上产生新颖的、独特的、有社会意义思维成果，开拓人类知识的新领域。广义的创造性思维是指思维主体有创见，有意义的思维活动，每个正常人都有这种创造性思维。狭义的创造性思维是指思维主体发明创造、提出新的假说、创见新的理论，形成新的概念等探索未知领域的思维活动，这种创造性思维是少数人才有的。创造性思维是在抽象思维和形象思维的基础上和相互作用中发展起来的，抽象思维和形象思维是创造性思维的基本形式。除此之外，还包括扩散思维、集中思维、逆向思维、分合思维，联想思维。其中扩散思维是从所给的信息中产生信息，着重点是从同一来源中产生各种各样为数众多的输出，并且很可能发生移转作用。集中思维是从所给的信息中产生逻辑的结论，其着重点是产生独有的或者习惯上所接受的最好的成果。逆向思维是把思维方向逆转过来，用对立的表面看来似乎不可能并有的两条思路同时去寻找解决问题之答案的形式。分合思维是一种把思考对象在思想中加以分解或合并，然后获得一种新的思维产物的思维方式。联想思维是一种把已经掌握的知识与某种思维对象联系起来，从其相关性中发现启发点从而获取创造性设想的的思维形式。创造性思维是创造成果产生的必要前提和条件，而创造则是历史进步的动力，创造性思维能力是个人推动社会前进的必要手段，特别是在知识经济时代，创造性思维的培养训练更显得重要。其途径在于丰富的知识结构、培养联想思维的能力、克服习惯思维对新构思的抗拒性，培养思维的变通性，加强讨论，经常进行思想碰撞。
连续函数性质
§ 连续函数的性质 ? 连续函数的局部性质 若函数f 在点0x 连续，则f 在点0x 有极限，且极限值等于函数值0()f x 。从而，根据函数极限的性质能推断出函数f 在0()U x 的性态。 定理1（局部有界性） 若函数f 在点0x 连续，，则f 在某0()U x 内有界。 定理2（局部保号性） 若函数f 在点0x 连续，且0()0f x >（或0<），则对任何正数0()r f x < （或0()r f x <-），存在某0()U x ，使得对一切 0()x U x ∈有()f x r >（或()f x r <-）。 注： 在具体应用局部保号性时，常取01 ()2 r f x =， 则当0()0f x >时，存在某0()U x ，使在其内有01 ()()2 f x f x > 。 定理3（四则运算） 若函数f 和g 在点0x 连续，则,, f f g f g g ±?（这里0()0g x ≠）也都在点0x 连续。 关于复合函数的连续性，有如下定理: 定理4 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，00()u f x =，则复合 函数g f 在点0x 连续。 证明：由于g 在点0u 连续，10,0εδ?>?>，使得当01||u u δ-<时有 0|()()|g u g u ε-<。 （1）
又由00()u f x =及()u f x =f 在点0x 连续，故对上述1δ，存在0δ>， 使得当0||x x δ-<时有001|||()()|u u f x f x δ-=-<，联系（1）式得:对任 给的0ε>，存在0δ>，使得当0||x x δ-<时有 0|(())(())|g f x g f x ε -<。 这就证明了g f 在点0x 连续。 注：根据连续必的定义，上述定理的结论可表为 0lim (())(lim ())(())x x x x g f x g f x g f x →→== 定理 5 ()x f x x 0 lim →存在的充要条件是()() 0lim 00 0+=+→x f x f x x 与 ()()0lim 00 0-=-→x f x f x x 存在并且相等． 证明：必要性显然，仅须证充分性．设()A x f x x =+→0 0lim ()x f x x 00 lim -→=，从 而对任给的0>ε，存在01>δ和02 >δ，当 100δ<-
创新思维的基本方法有哪些.doc
创新思维的基本方法有哪些 创新思维的基本方法 (1)列举法,列举法有三点.第一点是,特征列举法.第二点,缺点列举法.第三点,希望列举法. (2)设问法,重点推荐6w法,第一个w是(why?)为什么,第二个w 是(what)做什么.第三个w是(who)何人做,第四个w是(when)何时.第五个w是(where)何地.第六个w是(how)如何，按照这六个步骤,将疑问列出. (3)类比法,类比有四种,第一种直接类比,第二种特征类比,第三种象征类比,第四种是幻想类比 (4)组合法,所谓组合法是按照一定大技术原理和功能目的.将两个或两个以上的技术因素,巧妙的结合或重组. (5)形态分析法,具体步骤有,第一,定义发明对象.第二,因素分析,第三形态分析.第四,形态组合.第五,评价筛选组合方案 (6)协调选择法 (7)信息交合法 创新思维的特征 创造性思维具有独创性、多向性、综合性、联动性和跨越性。 (一)创造性思维的独创性 这是创造性思维的基本特点。创造性思维活动是新颖的独特的思维过程，它打破传统和习惯，不按部就班，解放思想，向陈规戒律挑战，对常规事物怀疑，否定原有的框框，锐意改革，勇于创新。在创造性思维过程中，人的思维积极活跃，能从与众不同的新角度提出问题，探索开拓别人没认识或者没完全认识的新领域，以独到的见解分析问题，用新的途径、方法解决问题，善于提出新的假说，善于想象出新的形象，思维过程中能独辟蹊径，标新立异，革新首
创。 (二)创造性思维的多向性 创造性思维不受传统的单一的思想观念限制，思路开阔，从全方位提出问题，能提出较多的设想和答案，选择面宽广。思路若受阻，遇有难题，能灵活变换某种因素，从新角度去思考，调整思路，善于巧妙地转变思维方向，产生适合时宜的新办法。 (三)创造性思维的综合性 创造性思维能把大量的观察材料、事实和概念综合一起，进行概括、整理，形成科学的概念和体系。创造性思维能对占有的材料加以深入分析，把握其个性特点，再从中归纳出事物规律。 (四)创造性思维的联动性 创造性思维具有由此及彼的联动性，是创造性思维所具有的重要的思维能力。联动方向有三个方向：一是看到一种现象，就向纵深思考，探究其产生原因;二是逆向，发现一种现象，则想到它的反面;三是横向，能联想到与其相似或相关的事物。总之，创造性思维的联动性表现为由浅入深，由小及大，触类旁通，举一反三，从而获得新的认为、新的发现。 (五)创造性思维的跨越性 创造性思维的思维进程带有很大的跨越性，省略了思维步骤，思维跨度较大，具有明显的跳跃性和直觉性。 逻辑思维又称抽象思惟，是思维的一种高级形式。其特点是以抽象的概念、判断和推理作为思维的基本形式，以分析、综合、比较、抽象、概括和具体化作为思维的基本过程，从而揭露事物的本质特征和规律性联系。抽象思维既不同于以动作为支柱的动作思维，也不同于以表象为凭借的形象思维，它已摆脱了对感性材料的依赖。抽象思维一般有经验型与理论型两种类型。 前者是在实践活动中的基础上，以实际经验为依据形成概念，进行判断和推理，如工人、农民运用生产经验解决生产中的问题，
连续函数的性质1
§2连续函数的性质 Ⅰ. 教学目的与要求 1.理解连续函数的局部有界性、局部保号性、保不等式性. 2.掌握连续函数的四则运算法则、连续函数的复合函数及反函数的连续性,会利用其讨 论函数的连续性. 3.掌握闭区间上连续函数的性质，会利用其讨论相关命题. 4.理解函数一致连续性的概念. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 闭区间上连续函数的性质. 难点:. 闭区间上连续函数的性质，函数一致连续性的概念. Ⅲ. 讲授内容 一 连续函数的局部性质 若函数f 在点0x 连续，则f 在点0x 有极限，且极限值等于函数值()0x f .从而，根据 函数极限的性质能推断出函数f 在()0x U 的性态． 定理4．2(局部有界性) 若函数f 在点0x 连续，则f 在某()0x U 内有界． 定理4．3(局部保号性) 若函数f 在点0x 连续，且()0x f 0> (或0<)，则对任何正 数()0x f r < (或()0x f r -<)，存在某()0x U ，使得对一切∈x ()0x U 有 ()r x f >，()r x f -<或(）. 注 在具体应用局部保号性时，常取()021x f r = 则（当()0x f 0>时）存在某()0x U 使在其内有()>x f ()02 1x f . 定理4．4(四则运算) 若函数f 和g 在点0x 连续，则g f g f g f ,,?±(这里 ()00≠x g )也都在点0x 连续． 以上三个定理的证明，都可从函数极限的有关定理直接推得． 对常量函数c y =和函数x y =反复应用定理4．4，能推出多项式函数 ()n n n n a x a x a x a x P +++=--1110 和有理函数()()() x Q x P x R =（Q P ,为多项式)在其定义域的每一点都是连续的． 同样，由x sin 和x cos 在R 上的连续性，可推出x tan 与x cot 在其定义域的每一点 都连续． 关于复合函数的连续性，有如下定理： 定理4.5 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，()00x f u =,则复合函数f g 在点
创造性思维的特点
创造性思维的特点 创造性思维是指有创见的思维。它是在创造性活动中，应用新的方案和程序，创造新的思维产品的思维活动。它是在一般思维的基础上发展起来的多种思维的综合，有如下四个特点。 一、发散思维和集中思维的统一 创造性思维主要是发散思维和集中思维的统一。我们要解决某一创造性问题，首先进行发散思维，设想种种可能的方案；然后进行集中思维，通过比较分析，确定一种最佳方案。在创造性思维冲，发散思维和集中思维都是非常重要的，二者缺一不可。然而对于创造性思维来说，发散思维更为重要，它是思维的创造性的主要体现。发散思维可以突破思维定势和功能固着的局限，重新组合已的知识经验，找出许多新的可能的解决问题方案。它是一种开放性的没有固定的模式、方向和范围的，可以“标新立异”“海阔天空”“异想天开”的思维方式。没有发散思维就不能打破传统的框框，也就不能提出全新的解决问题的方案。 发散思维有三个指标： (1)流畅性，指发散思维的量。单位时间内发散的量越多，流畅性越好； (2)变通性，指思维在发散方向上所表现出的变化和灵活； (3)独创性，指思维发散的新颖、新奇、独特的程度。 例如，让学生说出“红砖”都有哪些用途，学生可能回答：盖房子，筑墙，砌台阶，修路，当锤子，当武器，压纸，作画写字，磨红粉当颜料，练功，垫东西，吸水……在有限的时间内，提供的数量越多，说明思维的流畅性越好；能说出不同的用途，说明变通性好；说出的用途是别人没有说出的、新异的、独特的，说明具有独创性。发散思维的这三个特点有助于人消除思维定势和功能固着等消极影响，顺利地解决创造性问题。 集中思维在创造活动中发挥着集大成的作用。当通过发散思维，提出种种假设和解决问题的方案、方法时，并不意味着创造活动的完成，还需从这些方案、方法中挑选出最合理、最接近客观现实的设想，这一任务的完成是靠集中思维来承担的，集中思维具有批判地选择的功能。 二、多有直觉思维出现 直觉思维是指不经过一步步地分析，而迅速地对问题答案作出合理猜测、设想或突然领悟的思维。它是创造性思维活跃的一种表现，它不仅是创造发明的先导，也是创造活动的动力。直觉思维的结果，是使用逻辑思维所得不到的预见、捷径，或是解决问题的最佳方案的雏形。它往往从整体出发，用猜测、跳跃、压缩思维过程的方式，直觉而迅速地领悟。许多科学家的发明创造都是从直觉思维开始的。例如，达尔文通过观察植物幼苗顶端向阳光弯曲，直觉提出“其中有某种物质跑向背光一面”的设想，以后随科学的发展被证明确有“某种物质”即“植物生长素”。数学领域中的歌德巴赫猜想、费尔马猜想等都是当初数学大师未经论证而提出的一种直觉判断，但为后人所确信，并为此进行了论证。直觉思维作为创造性思维中的一个重要思维活动，具有三个特点：一是从整体上把握对象，而不是拘泥于细枝末节；二是对问题的实质的一种洞察，而不是停留于问题的表面现象；三是一种跳跃式思维，而不是按部就班地展开思维过程。直觉思维是在知识经验的基础上形成和进行的，丰富的知识经验有助于人们形成深邃的直觉。 三、创造想象参与
创新思维有什么基本特点
创新思维有什么基本特点 创新思维作为一种思维活动，既有一般思维的共同特点，又有不同于一般思维的独特之处。那么创新思维的特点有哪些呢?下面小编为你整理创新思维基本特点，希望能帮到你。 创新思维基本特点 一、联想性 联想是将表面看来互不相干的事物联系起来，从而达到创新的界域。联想性思维可以利用已有的经验创新，如我们常说的由此及彼、举一反三、触类旁通，也可以利用别人的发明或创造进行创新。联想是创新者在创新思考时经常使用的方法，也比较容易见到成效。 能否主动地、有效地运用联想，与一个人的联想能力有关，然而在创新思考中若能有意识地运用这种方式则是有效利用联想的重要前提。任何事物之间都存在着一定的联系，这是人们能够采用联想的客观基础，因此联想的最主要方法是积极寻找事物之间的一一对应关系。 二、求异性 创新思维在创新活动过程中，尤其在初期阶段，求异性特别明显。它要求关注客观事物的不同性与特殊性，关注现象与本质、形式与内容的不一致性。 英国科学家何非认为：“科学研究工作就是设法走到某事物的极端而观察它有无特别现象的工作。”创新也是如此。一般来说，人们对司空见惯的现象和已有的权威结论怀有盲从和迷信的心理，这种心理使人很难有所发现、有所创新。而求异性思维则不拘泥于常规，不轻信权威，以怀疑和批判的态度对待一切事物和现象。 三、发散性 发散性思维是一种开放性思维，其过程是从某一点出发，任意发散，既无一定方向，也无一定范围。它主张打开大门，张开思维之网，冲破一切禁锢，尽力接受更多的信息。可以海阔天空地想，甚至可以想入非非。人的行动自由可能会受到各种条件的限制，而人的思维活动却有无限广阔的天地，是任何别的外界因素难以限制的。
创新思维的四大特征
创新思维的四大特征 创新思维使思维调节局部与整体、直接与间接、简易与复杂的关系,在诸多的信息中进行概括、整理,下面是整理的创新思维的四大特征，希望你能从中得到感悟! 1.独创性;;思维不受传统习惯和先例的禁锢,超出常规.在学习过程中对所学定义、定理、公式、法则、解题思路、解题方法、解题策略等提出自己的观点、想法,提出科学的怀疑、合情合理的“挑剔”. 2.求异性;;思维标新立异,“异想天开”,出奇制胜.在学习过程中,对一些知识领域中长期以来形成的思想、方法,不信奉,特别是在解题上不满足于一种求解方法,谋求一题多解. 3.联想性;;面临某一种情境时,思维可立即向纵深方向发展;觉察某一现象后,思维立即设想它的反面.这实质上是一种由此及彼、由表及里、举一反三、融会贯通的思维的连贯性和发散性. 4.灵活性;;思维突破“定向”、“系统”、“规范”、“模式”的束缚.在学习过程中,不拘泥于书本所学的、老师所教的,遇到具体问题灵活多变,活学活用活化. 5.综合性;;思维调节局部与整体、直接与间接、简易与复杂的关系,在诸多的信息中进行概括、整理,把抽象内容具体化,繁杂内容简单化,从中提炼出较系统的经验,以理解和熟练掌握所学定理、公式、法则及有关解题策略. 创造性思维的基本形式(一)理论思雉理论一般可理解为原理的
体系，是系统化了的理性认识。理论思维是指使理性认识系统化的思维形式。恩格斯曾指出：“一个民族想要站在科学的最高峰，就一刻也不能没有理论思维。”因为理论思维具有科学性、真理性。凡是理论思维混乱，或不符合客观规律，其结果不是收效甚微，就是失败。理论思维在实践中应用较多。如系统工程就是运用系统理论思维，来处理三个系统内和各个有关问题的一种管理方法。钱学森同志认为：系统工程是组织管理的规划、研究、设计、创造、试验和使用的科学方法，是一种对所有系统都是有普遍意义的科学方法。又如有人提出的“相似论”，也是科学理论思维的范畴;有人见鸟有翅膀能飞，就根据鸟的翅膀，鸟体几何结构与空气动力和飞行功能等相似原理发明了飞机，有的又称“仿生学”。还有许多地步也要常常运用到理论思维，如对一些自然规律和社会规律的归纳和总结，对一些问题的认识和分析。所以说，理论思维是一种基本的思维形式。 (二)直观思雉直观思维一般是指在实践中，外界事物在人们大脑中产生的感觉，它个有生动性、具体性、直接性的特点，是开发人们创造性思维的基础。直观思维决定于观察力。想象力和记忆力。爱因斯坦有一个思维过程的模式：经验;;直觉;;概念(设想);;逻辑推理;;理想实践。在创造活动中，人们往往靠知识的积累程度，知识在人们头脑里储存的越多，创造力的基础也越强。画家必须对自然界的颜色、标记、布局、人物、建筑先产生直观思维，才可能进行创造。日本的松下外出时，经常带着放大镜、卷尺、计算器等各种工具，通过观察计算，产生创造性直观思维。毛泽东同志的《人的正确思想是从哪里来
创新思维的四大特征
创新思维的四大特征 创新思维的四大特征一、新颖性。即，思维的目标、方法、过程等方面都比较新颖; 二、多向性。即，从纵、横、逆三方面来思考问题; 三、多元性。即，善于从事物的多侧、多环节、多因素、多层次、多角度来进行思考; 四、开放性。即，全息动态思维过程，它善于大量地、广泛地吸收外界各种信息，在与外界各种信息的交换和反馈中不断吸收新东西，以建立自已的思维模式，调整自己的思维方法，整合自己的思维成果。 创新思维的概述不使用特殊技巧的创新思维的确仍然发生。但通常是以偶然的方式发生的，如机会的发生使人们以不同方式考虑问题，然后就发现一个有益的变化。其它变化通过对智力和逻辑推理过程的使用。使用偶发的或逻辑推理过程来开发和改进产品经常花很长时间。在一个迅速变化的和竞争的世界中，这点明显不利。 使用特殊技巧的有意识的创新思维可用来开发新观点。这些技巧迫使范围广泛的观点合并起来，激发产生新思想和新过程。这些特殊技巧之一就是头脑风暴，但它一般是以不新颖的观点开始的。 使用有意识的技巧使产品开发比偶发地更快。许多以创新著
称的人都使用这些技巧，但是他们没有意识到他们正在创新。因为他们没有在这方面受过正式培训。如果在头脑风暴会议里使用这些有意识的技巧，就会更具创新能力。 通过练习，创新思维(通过教育、培训和自我意识开发出来的不断的调查、质疑和分析)总是在发生。创新能力使偶发的和有意识的创新思维最大化。创新能力需要时间和有意识的练习才能熟练，但是它多么迅速地变成一种态度，而不是技巧。这点非常让人吃惊。 要采取的第一步是学习创新思维技巧，以便你能有意识地使用他们来提出新观点。对于比那些不知道使用它们的人来说，你会立即占尽优势。你然后应该练习技巧来增加创新思维(过一会可能甚至会发现使用特定技巧就是很有必要，因为可能正有着太多的观点)。 创造性思维的作用首先，创造性思维可以不断地增加人类知识的总量，不断推进人类认识世界的水平。创造性思维因其对象的潜在特征，表明它是向着未知或不完全知的领域进军，不断扩大着人们的认识范围，不断地把未被认识的东西变为可以认识和已经认识的东西，科学上每一次的发现和创造，都增加着人类的知识总量，为人类由必然王国进入自由王国不断地创造着条件。 其次，创造性思维可以不断地提高人类的认识能力。创造性思维的特征已表明，创造性思维是一种高超的艺术，创造性思维活动及过程中的内在的东西是无法模仿的。这内在的东西即创造性思维能力。这种能力的获得依赖于人们对历史和现状的深刻
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法_1
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法连续函数是数学分析中非常重要的一类函数，下面是小编搜集整理的一篇探究闭区间上连续函数的有界性定理证明的论文范文，欢迎阅读参考。 一、引言 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定联系的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。 在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基
本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。 二、一种新的证明方法 (一)预备知识 (二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。 三、有界性定理在数学建模中的应用 本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。 在2013年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基于投保人、保险公司和政府三方面的利益，按照公平合理的定价原则设计，由保险公司经营的保险产品，三方各承担不同的责任、义务和风险。根据题目中附件所给的P省的具体情况，可以将有界性定理灵活的用在自然灾害保险的风险评估和费率拟定上。假设时间是一个连续状态，则以时间t为自变量，根据题中所给数据，以日最高最低气温为例，很明显它与时间t是呈周期性变化的，以一年为一个周期，故只考虑在某一年内的变化规律，即. 将日最高最低气温拟合成一个关于时间的函数f(t),则由于自变量
创造性思维方法答案答案
【第一章】 1 【单选题】(5分) 创造的基础是（C） A. 智能因素 B. 非智能因素 C. 知识 D. 精神人格 2 【单选题】(5分) 创造是指人们首创或改进某种思想、理论、方法、技术和产品的活动。 我们可以将人类的创造分为第一创造性和第二创造性，下列属于第二创造性的是（C）。 A. 爱因斯坦的相对论 B. 勾股定理 C. LED显示屏 D. 四大发明 3 【单选题】(5分) 人类社会在我们的不断创造中快速发展，那么我们不断实现各种突破性的创造的根本动因是（B）。 A. 创造性动机 B. 创造性需求 C. 创造性行为 D. 创造性目标 4 【单选题】(5分) 创新方法的三阶段不包括（ D ）。 A. 尝试法 B. 试错法 C. 头脑风暴法 D. 疑问法 5 【多选题】(5分) 赫曼全脑模型包括（ABCD）思维类型。 A. 逻辑型 B. 空想型 C. 表现型 D. 纪律型 【第二章】 1 【单选题】(5分) 美国哈佛大学校长陆登庭曾经说过：一个成功者和一个失败者之间的差别，并不在于知识和经验，而在于（B）。 A. 人脉 B. 思维方式 C. 个人素质 D. 能力 2 【单选题】(5分) 爱迪生确定鱼雷形状时，既未作任何调查也未经任何计算，当即提出一种别人意想不到的办法，这突出体现了创造性思维的（D）特征。 A. 内容上的综合性 B. 视角上的灵活性 C. 对传统的突破性 D. 程序上的非逻辑性 3 【单选题】(5分) 在学习时，虽然也遇到过稍微复杂的数学问题、物理问题，但多数情况
下是把类似的问题拿来照搬，也因为这样往往缺乏深入思考，导致解题失误。这属于（C）思维定式。 A. 权威型 B. 习惯型 C. 直线型 D. 从众型 4 【单选题】(5分) 有的人喜欢跟别人唱对台戏，人家说东，他偏往西，好赌气，费了好大 力气，走了许多弯路还不愿回头。这属于（C）思维定势。 A. 从众型 B. 习惯型 C. 偏执型 D. 局限型 5 【多选题】(5分) 创新思维的特征主要有（ABCDE）。 A. 对传统的突破性 B. 程序上的非逻辑性 C. 思路上的新颖性 D. 视角上的灵活性 E. 内容上的综合性 【第三章】 新西兰动物园游客进笼“示众”狮群好奇围观。”运用的是（C）思维。 1 【单选题】(5分) “ A. 横向 B. 发散 C. 逆向 D. 纵向 2 【单选题】(5分) 狐狸用了很多办法，说了很多好话，只为吃到乌鸦嘴里的肉。运用的是 （B）思维。 A. 横向 B. 收敛 C. 发散 D. 纵向 3 【单选题】(5分) 作为两种思维方式，发散思维和收敛思维有显著的区别，在作用上，（B）更有利于人们思维的广阔性、开放性。 A. 收敛思维 B. 发散思维 4 【单选题】(5分) 在海王星和冥王星的发现过程中，人们按照常规的思维方式去思考，利用已知的理论对实测数据进行分析，并大胆地推测出了新行星的存在。这种推测利用的是 （C）思维。 A. 逆向 B. 横向 C. 正向 D. 纵向
创造性思维与创新方法 考试答案
智慧树创造性思维与创新方法期末考试答案 （试卷不唯一） 1【单选题】(2.5分) 创新能力的公式是：创新能力=K×( 创新人格+（）+批判性思维+创新方法)×知识量2 A.发明能力 B.创造动机 C.创新思维 D.创新智力 2【判断题】(2.5分) 思维定式是妨碍我们创意思考的拦路虎，而突破思维定式的好办法就是转换思维视角。 A.错 B.对 3【单选题】(2.5分)盲人摸象，指的是（）。 A.书本式 B.经验式 C.习惯性 D.局限性 4【单选题】(2.5分) 人们希望拥有顺风耳、千里眼，进而发明了电话，使用了（）。 A.属性列举法 B.希望点列举法 C.成对列举法 D.缺点列举法 5【单选题】(2.5分) 爱迪生确定鱼雷形状时，既未作任何调查也未经任何计算，当即提出一种别人意想不到的办法，这突出体现了创造性思维的（）特征。 A.对传统的突破性
B.程序上的非逻辑性 C.内容上的综合性 D.视角上的灵活性 6【单选题】(2.5分)“一题多解”体现的是( )。 A.收敛思维 B.直觉思维 C.发散思维 D.抽象思维 7【单选题】(2.5分) 创新成果是自己创造出来的，并拥有自主知识产权，这种创新属于（）。 A.自主创新 B.自我创新 C.模仿创新 D.单独创新 8【单选题】(2.5分) 早上起来，推开窗子发现地面全都湿了，你推断昨天夜里一定下雨了。这是思维的（）。 A.合理性 B.间接性 C.概括性 D.总结性 9【单选题】(2.5分) 思考不足，就是对既定成规或上司的指示机械地执行，循规蹈矩，不愿开动脑筋，就像被驯化的动物，丧失了独立思考和生存的能力。这指的是（）思维定势。 A.书本式 B.经验式 C.循规蹈矩式
连续函数的性质
§2 连续函数的性质 (一) 教学目的： 掌握连续函数的局部性质和闭区间上连续函数的整体性质． (二) 教学内容： 连续函数的局部保号性，局部有界性，四则运算；闭区间上连续函数的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，反函数的连续性，一致连续性． 基本要求： 1）掌握函数局部性质概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点；了解闭区间上连续函数的性质． 2) 理解一致连续于逐点连续的本质区别． (三)教学建议： 1) 函数连续性概念是本节的重点．要求学生掌握函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类，了解连续函数的整体性质．对一致连续性作出几何上的解释． 2）本节的难点是连续函数的整体性质，尤其是一致连续性和非一致连续性的特征． 难点：连续函数的保号性；一致连续性 ———————————————————————————— 一 连续函数的局部性质 根据函数的在0x 点连续性，即)()(lim 00 x f x f x x =→可推断出函数)(x f 在0x 点的某邻域)(0x U 内的性态。 定理4.2（局部连续性）若函数)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点的某邻域内有界。 定理4.3（局部保号性）若函数)(x f 在0x 点连续，且0)(0>>αx f ，则对任意αα<'<0存在0x 某邻域 )(,)(00x U x x U ∈ 时，0)(>'>αx f 定理4.4（四则运算性质）若函数则)(,)(x g x f 在区间I 上有定义，且都在I x ∈0 连续，则)(/)(,)()(,)()(x g x f x g x f x g x f ±（0)(0≠x g ）在0x 点连续。 例 因x y c y == 和连续，可推出多项式函数 n n n n a a x a x a x P ++++=--1)1(10)(