选修2-3教案1.2.2组合

1．2．2组合

教学目标：

知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与

区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。

过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数m

n A 与组合数 之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。

情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。 教学重点：组合的概念和组合数公式 教学难点：组合的概念和组合数公式 授课类型：新授课 课时安排：2课时

教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定

义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.

指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.

能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.

学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题. 排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高. 教学过程：

一、复习引入：

1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种

不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++ 种不同的方法

2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同

m

n

C

的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =??? 种不同的方法

3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．

4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m

n A 表示

5．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+ （,,m n N m n *

∈≤） 6阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=．

7．排列数的另一个计算公式：m

n A =

!

()!

n n m -

8.提出问题：

示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合．．

． 二、讲解新课：

1组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不

同元素中取出m 个元素的一个组合

说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 例1．判断下列问题是组合还是排列

（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？

（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？

（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？ （4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？ （5）10个人互通电话一次，共多少个电话？ 问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？ （2）什么样的两个组合就叫相同的组合

2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号m

n C 表示． 3．组合数公式的推导：

（1）从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数3

4C 是多少呢？

启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数3

4A 可以求得，故我们可以考察一下3

4C 和3

4A 的关系，如下： 组 合 排列

dcb

cdb bdc dbc cbd bcd bcd dca cda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abd cba bca acb cab bac abc abc ,

,

,

,,,,,,,,,,

,,,,,

,,→→→→ 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数3

4A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有

3

4C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：

34A

＝

?34

C 33

A ，所以，3334

34

A A C =．

（2）推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m

n A ，可以分如下两步： ① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m

n C ；

② 求每一个组合中m 个元素全排列数m

m A ，根据分步计数原理得：m

n A ＝m

n C m

m A ?． （3）组合数的公式：

(1)(2)(1)

!

m m n n

m m A n n n n m C A m ---+==

或)!

(!!

m n m n C m

n -=

,,(n m N m n ≤∈*且 规定: 0

1n

C =. 三、讲解范例：

例2．用计算器计算7

10C ． 解：由计算器可得

例3．计算：（1）4

7C ； （2）7

10C ；

（1）解： 4

77654

4!

C ???=

＝35；

（2）解法1：7

10109876547!

C ??????=＝120．

解法2：7

1010!1098

7!3!3!C ??=

=

＝120． 例4．求证：1

1+?-+=m n m n

C m

n m C ． 证明：∵)!

(!!

m n m n C m

n -=

11

1!

(1)!(1)!

m n

m m n C n m

n m m n m +++?=

?

--+-- ＝

1!

(1)!()(1)!m n m n m n m +?

+--- ＝

!

!()!

n m n m -

∴1

1+?-+=

m n m

n C m

n m C 例5．设,+∈N x 求3

211

32-+--+x x x x C C 的值

解：由题意可得：?

?

?-≥+-≥-3211

32x x x x ，解得24x ≤≤， ∵x N +∈， ∴2x =或3x =或4x =，

当2x =时原式值为7；当3x =时原式值为7；当4x =时原式值为11．

∴所求值为4或7或11．

例6． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：

(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？

(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？

分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．

解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C ｝手＝ 12 376 （种） .

(2）教练员可以分两步完成这件事情：

第1步，从17名学员中选出 n 人组成上场小组，共有11

17C 种选法； 第2步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有1

11C 种选法． 所以教练员做这件事情的方法数有

1111711C C ?=136136（种）.

例7．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？ (2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？

解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有

210

109

4512

C

?=

=?（条）. (2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有

21010990A =?=（条）.

例8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .

(1）有多少种不同的抽法？

(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？

解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有

3100

1009998

123

C

??=

??= 161700 （种）.

(2）从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有1

2C 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有2

98C 种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有

12298C C ?=9506(种).

(3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2 件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有1

2

298C C ?种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有

12298C C ?+21298C C ?=9 604 （种） .

解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即

3310098C C -=161 700-152 096 = 9 604 （种）.

说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。 变式：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？

（1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选； 例9．（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？ 解：902

22

42

6=??C C C ．

（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1

名女生参加，有多少种选法？

解：问题可以分成2类：

第一类 2名男生和2名女生参加，有22

5460C C =中选法； 第二类 3名男生和1名女生参加，有31

5440C C =中选法

依据分类计数原理，共有100种选法错解：211

546240C C C =种选法引导学生用直接法检验，可知重复的很多

例10．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？

解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C ，

1

624C C ?，2

614C C ?，

所以，一共有34C +1624C C ?+2

614C C ?＝100种方法． 解法二：（间接法）1003

6310=-C C

组合数的性质1：m

n n

m n C C -=．

一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：

m n n m n C C -=．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想

证明：∵)!

(!!

)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=

---=

- 又 )!

(!!m n m n C m

n -=

，∴n n m n C C -=

说明：①规定：10

=n C ；

②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标； ③此性质作用：当2

n m >时，计算m n C 可变为计算m

n n C -，能够使运算简化. 例如2001

2002C ＝2001

20022002

-C ＝1

2002C =2002；

④y

n x

n C C =y x =?或n y x =+． 2．组合数的性质2：m

n C 1+＝m

n C +1

-m n

C ．

一般地，从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是m

n C 1+，这些

组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1

-m n

C 个；不含有1a 的组合是从

132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有m

n C 个．根据分类计数原理，可以

得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．

证明：)]!1([)!1(!)!(!!1---+

-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!

1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!

1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1+= ∴m n C 1+＝m n C +1

-m n

C ．

说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标

与大的相同的一个组合数；

②此性质的作用：恒等变形，简化运算

例11．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球， （1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

解：（1）5638=C ,或=38C +27C 37C ，；（2）2127=C ；（3）353

7=C ． 例12．（1）计算：6

9584737C C C C +++； （2）求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2

-n m C ．

解：（1）原式4565664

889991010210C C C C C C C =++=+===；

证明：（2）右边1121112()()n n n n n n n

m m m m m m m C C C C C C C ----+++=+++=+==左边

例13．解方程：（1）3

213

1

13-+=x x C C ；（2）解方程：3

33

22210

1+-+-+=

+x x x x x A C C ． 解：（1）由原方程得123x x +=-或12313x x ++-=，∴4x =或5x =，

又由1113

12313x x x N *?≤+≤?≤-≤??∈?

得28x ≤≤且x N *

∈，∴原方程的解为4x =或5x =

上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把4x =和5x =代入检验,这样运算量小得多.

（2）原方程可化为2

333110x x x C A -++=

，即5

333

110

x x C A ++=，∴(3)!(3)!5!(2)!10!x x x x ++=-?，

∴

11

120(2)!10(1)(2)!

x x x x =

-?-?-， ∴2

120x x --=，解得4x =或3x =-， 经检验：4x =是原方程的解

例14．证明：p

n p m p m p n n m C C C C --?=?。

证明：原式左端可看成一个班有m 个同学，从中选出n 个同学组成兴趣小组，在选出的n 个同学中，p 个同学参加数学兴趣小组，余下的p n -个同学参加物理兴趣小组的选法数。原式右端可看成直接在m 个同学中选出p 个同学参加数学兴趣小组，在余下的p m -个同学中选出p n -个同学参加物理兴趣小组的选法数。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。

例15．证明：++-1

1

m m

n m

m n C C C C …m

n m m m n C C C +=+0（其中m n ≥）

。 证明：设某班有n 个男同学、m 个女同学，从中选出m 个同学组成兴趣小组，可分为

1+m 类：男同学0个，1个，…，m 个，则女同学分别为m 个，1-m 个，…，0个，共有选法数为++-1

1

m m

n m

m n C C C C …0m m n C C +。又由组合定义知选法数为m

n m C +，故等式成立。

例16．证明：+++3

2

1

32n n n C C C (1)

2

-=+n n

n n nC 。

证明：左边=+++3

2

1

32n n n C C C …n

n nC +=+++3

1

32

1

21

1

1n n n C C C C C C …n

n n C C 1

+， 其中i

n i C C 1

可表示先在n 个元素里选i 个，再从i 个元素里选一个的组合数。设某班有n 个同学，选出若干人（至少1人）组成兴趣小组，并指定一人为组长。把这种选法按取到的人数

i 分类（，，21

=i …n ，），则选法总数即为原式左边。现换一种选法，先选组长，有n 种选法，再决定剩下的1-n 人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有1

2-n 种，所以

选法总数为1

2

-n n 种。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。

例17．证明：+++3

2

2

2

1

32n n n C C C (2)

2

2

)1(-+=+n n

n n n C n 。

证明：由于i

n i i i

n C C C C i 1

1

2

=可表示先在n 个元素里选i 个，再从i 个元素里选两个（可重复）的组合数，所以原式左端可看成在例3指定一人为组长基础上，再指定一人为副组长

（可兼职）的组合数。对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况。若组长和副组长是同一个人，则有1

2

-n n 种选法；若组长和副组长不是同一个人，则有

22)1(--n n n 种选法。∴共有12-n n +22)1(--n n n 22)1(-+=n n n 种选法。显然，两种选法是

一致的，故左边=右边，等式成立。

例18．第17届世界杯足球赛于2002年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有32支球队有幸参加，他们先分成8个小组循环赛，决出16强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、

二名晋级16强），这支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？

答案是：64224882

4=++++C ，这题如果作为习题课应如何分析

解：可分为如下几类比赛：

⑴小组循环赛：每组有6场，8个小组共有48场；

⑵八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强，根据抽签规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；

⑶四分之一淘汰赛：根据抽签规则，8强中每两个队比赛一场，可以决出4强，共有4场；

⑷半决赛：根据抽签规则，4强中每两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场； ⑸决赛：2强比赛1场确定冠亚军，4强中的另两队比赛1场决出第三、四名 共有2场.

综上，共有64224882

4=++++C 场

四、课堂练习：

1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：

（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？

（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？ 2．7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（ ） A ．42 B ．21 C ．7 D ．6 3．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（ ） A ．15对 B ．25对 C ．30对 D ．20对

4．设全集{},,,U a b c d =，集合A 、B 是U 的子集，若A 有3个元素，B 有2个元素，且

{}A B a = ，求集合A 、B ，则本题的解的个数为 （ ）

A ．42

B ．21

C ．7

D ．3

5．从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法 6．从6位同学中选出2人去参加座谈会，有 种不同的选法 7．圆上有10个点：

（1）过每2个点画一条弦，一共可画 条弦；

（2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形8．（1）凸五边形有 条对角线；（2）凸n 五边形有 条对角线

9．计算：（1）315C ；（2）34

68C C ÷．

10．,,,,A B C D E 5个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛多少场？（2）若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？ 11．空间有10个点，其中任何4点不共面，（1）过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？（2）以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？ 12．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？ 13．写出从,,,,a b c d e 这5个元素中每次取出4个的所有不同的组合

答案：1. （1）组合, （2）排列 2. B 3. A 4. D 5. 30 6. 15

7. （1）45 （2） 120 8. （1）5（2）(3)/2n n - 9. ⑴455； 7

10. ⑴10； ⑵20 11. ⑴3

10120C =； ⑵4

10C =

12. 12344

444421C C C C +++=-=

13. ,,,a b c d ； ,,,a b c e ； ,,,a b d e ； ,,,a c d e ； ,,,b c d

五、小结 ：组合的意义与组合数公式；解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理

学生探究过程：（完成如下表格）

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、教学反思：

排列组合问题联系实际生动有趣，题型多样新颖且贴近生活，解法灵活独到但不易掌握，许多学生面对较难问题时一筹莫展、无计可施，尤其当从正面入手情况复杂、不易解决时，可考虑换位思考将其等价转化，使问题变得简单、明朗。

教科书在研究组合数的两个性质①m

n n

m

n C C -=，②1

1-++=m n

m n m n C C C 时，给出了组合

数定义的解释证明，即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一个组合问题的两种计算方法，由组合个数相等证出要证明的组合等式。这种构造法证明构思精巧，把枯燥的公式还原为有趣的实例，能极大地激发学习兴趣。本文试给几例以说明。

教学反思：

1注意区别“恰好”与“至少”

从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种 2特殊元素（或位置）优先安排

将5列车停在5条不同的轨道上，其中a 列车不停在第一轨道上，b 列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有种

3“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”

七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种 4、混合问题，先“组”后“排”

对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？ 5、分清排列、组合、等分的算法区别

(1)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?

(2) 今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件, 有多少种分法?

(3) 今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,每份2件, 有多少种分法? 6、分类组合,隔板处理

从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?