河北省正定中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答案

2014-2015学年第一学期高一期末考试

数学试题

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1．设全集{}

|6U x N x =∈<，集合{}{}1,3,3,5A B ==，则()U C A

B =( )

A ．{}2,4

B ．{}1,5

C ．{}1,4

D ．{}2,5

2. 设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则OA OB OC OD +++= ( ) A ．OM

B ．2OM

C ．3OM

D ．4OM

3．已知在ABC ?中，S 为?ABC 的面积，若向量222(4,),(3,)p a b c q S =+-=满足//p q ，则C =( )

A ．30?

B ．45?

C ．60?

D ．120?

4. 设10e x <<，记()()()()ln ln ,lg lg ,ln lg ,lg ln a x b x c x d x ====则,,,a b c d 的大小关系( )

A ． a b c d <<<

B ． c d a b <<<

C ．c b d a <<<

D ． b d c a <<<

5. 已知552cos =α，1010sin =β，且)2

,0(πα∈，

)2,0(πβ∈，则βα+的值为( ) A.43π B. 4π C. 4

5π

D ．4

或43π

6．在△ABC 中，A B B A 2

sin tan sin tan ?=?，那么ABC ?的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形

7. 为得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数cos 23y x π?

的图象( ) A ．向右平移5π12个单位长度 B ．向左平移5π

个单位长度

8．定义在R 上的函数)(x f 满足：()

()(),(1)f x f x f x f x -=-+=，当()1,0x ∈-时，

()21x f x =-，则2(log 20)f =( )

A ．

B ．1

C ．1-

D ．3

A ．23

B ．22

C ．2

D ．2

10. 在ABC ?中，3

，P 是BN 上的一点，若m 11

=，则实数m 的值为( ) A ．

119 B ．115 C ．112 D ．11

3 11．已知π(

)2sin(),(0,||)2f x x ωφωφ=+>≤在4π[0,]3上单调，且π()03f =，4π

()23

f =，则(0)f 等于( )

A ．﹣2

B ．．1- D ．12-

12. 知函数()x f y =在区间[]b a ,上均有意义，且B A ,是其图象上横坐标分别为

b a ,的两点．对应于区间[]1,0内的实数λ，取函数()x f y =的图象上横坐标为()b a x λλ-+=1的点M ，和坐标平面上满足()λλ-+=1的点N ，得．对于实数k k ≤对

[]1,0∈λ恒成立，那么就称函数()x f 在[]b a ,上“k 阶线性近似”．若函数x x y +=2在[]2,1上“k

阶线性近似”，则实数k 的取值范围为（）

A ．??????41,0

B ．[)+∞,0

C ．??????+∞,41

D ．??

???+∞,417

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡相应位置）

13．已知2tan =θ，则

sin()cos(π)

2π

sin()sin(π)

θθθθ+--=--- ． 14.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是m 60，则河流的宽度BC 等于 m ．

15. 已知O 为坐标原点，点(2,0),(0,2),(cos ,sin )A B C αα，且0πα<<．若

||7OA OC +=，则OB 与OC 的夹角为．

16．给出下列四个命题：

①函数2

212

-+-=x x y 为奇函数；

②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点； ③函数x

y 1

2=的值域是()0,+∞；

④若函数)2(x f 的定义域为[1,2]，则函数)2(x f 的定义域为[1,2]； ⑤函数()

x x y 2lg 2+-=的单调递增区间是(]0,1．

其中正确命题的序号是．（填上所有正确命题的序号）

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. (本题满分10分)设函数()lg(23)f x x =-的定义域为集合M ，函数()g x =为集合N .

求：（1）集合M N ，；（2）集合R M

N C N ，.

18. (本题满分12分)在锐角ABC ?中，满足A A

sin 32

cos 22

=；（1）求角A 的大小；

（2）求C B sin sin +的取值范围.

19. (本题满分12分) 闽东某电机厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产某型号电机产品x （百台），其总成本为)(x G （万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）.销售收入)(x R (万

元)满足?

??>≤≤+-=)12(28)120(52.0)(2x x x x x R ，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖

掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：

（1）求利润函数)(x f y =的解析式（利润=销售收入—总成本）；（2）工厂生产多少台产品时，可使利润最多？ 20. (本题满分12分)函数()()03sin 32

cos

>-+=ωωωx x

x f 在一个周期内的图像如图

所示，A 为图像的最高点，B 、C 为图像与x 轴的交点，且△ABC

为正三角形．

（1）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间；（2）若()3580=

x f ，且??

??-∈32,3100x ，求()10+x f 的值.

21. (本题满分12分)已知定义域为R 的函数

12()2x x b f x a

+-+=+是奇函数.

（1）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；

（2）若对于任意1[,3]2

x ∈都有2()(21)0f kx f x +->成立，求实数k 的取值范围. 22. (本题满分12分)设)10()

(log )(≠>=a a x g x f a 且

（1）若)13(log )(2

1-=x x f ，且满足1)(>x f ，求x 的取值范围；

（2）若x ax x g -=2)(，是否存在a 使得)(x f 在区间[

，3]上是增函数？如果存在，说明a 可以取哪些值；如果不存在，请说明理由.

（3）定义在[]q p ,上的一个函数)(x m ，用分法T : q x x x x x p n i i =<<<<<<=- 110

将区间[]q p ,任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0>M ，使得不等式M

x m x m x m x m x m x m x m x m n n i i ≤-++-++-+---|)()(||)()(||)()(||)()(|111201 恒成立，则称函数()x m 为在[]q p ,上的有界变差函数. 试判断函数

()()

x x x f -=2

44log 是否为在?????

?3,21上的有界变差函数？若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由.

高一数学期末考试试题答案

ADCCB DABDD CC

13．2- 14. ()

13120-

15．

π 16．①④⑤ 17.（1）3|2M x x ?

???

}1<3≥|{=x x x N 或

（2）3|12M

N x x x ?

=<>

???

或 }3<≤1|{=x x N C R

18.（1）3

π=

A ——————————————————------------————6分

（2）C B sin sin +的取值范围??

? ?

?3,2

3------------------------------------12分

19.解：（Ⅰ）由题意得x x G +=8.2)( ………………………2分

?>-≤≤-+-=-=∴)12(2.25)

120(8.242.0)()()(2x x x x x x G x R x f ………………………6 分

（Ⅱ）当12>x 时，函数)(x f 递减2.13)12()(=<∴f x f 万元………………………8 分

当120≤≤x 时，函数2.17)10(2.0)(2+--=x x f ………………………………11 分

∴当10=x 时，)(x f 有最大值17.2万元………………………………12 分

所以当工厂生产10百台时，可使利润最大为17.2万元。………………………13 分 20. (1)由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋ 3sin ωx ＝23sin ? ????ωx ＋π3，

又正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4，

所以函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π

函数f (x )的单调增区间为102

[8,8],33

k k k -++∈． (2)因为f (x 0)＝83

，

由(1)有f (x 0)＝23sin ? ????πx 04＋π3＝835

，

即sin ?

????πx 04＋π3＝45

由x 0∈? ????－103，23，知πx 04＋π3∈? ????－π2，π2，

所以cos ?

????πx 04＋π3＝

1－? ????452＝3

.- 故f (x 0＋1)＝23sin ?

????πx 04

＋π4＋π3

＝23sin ??????? ????πx 04＋π3＋π4 ＝23?

???sin ?

????πx 04＋π3cos π4＋cos ? ??

??πx 04＋π3sin π4

＝23×? ??

??45×22＋35×22＝76

21．(12分)(1)因为()f x 在定义域为R 上是奇函数，所以(0)f =0，

即

1012b

b a

-+=∴=+ 又由

(1)(1)f f -=-，即11

2214a a a

-+-=-∴=++ ．

．．．．．．4分（2）由（1）知11211()22221

x x x

f x +-==-+++，任取12,x x R ∈，设12x x <则21

1212121122()()2121(21)(21)

x x x x x x f x f x --=-=

++++ 因为函数y=2x

在R 上是增函数且12x x < ∴2122x x

->0 又12(21)(21)x

x ++>0 ∴12()()f x f x ->0即12()()f x f x >

∴()f x 在(,)-∞+∞上为减函数. ．．．．．．．8分（3）因()f x 是奇函数，从而不等式： 0)12()(2>-+x f kx f

等价于)21()12()(2x f x f kx f -=-->，………...….8分因()f x 为减函数，由上式推得：x kx 212-<．即对一切1

,32x ??∈????

有：2

12x

k x -<

恒成立，．．．．．．．10分设2

21211()2x g x x x x -??==-? ???

，令11,,23t t x ??

=∈????, 则有2

1()2,,23

g t t t t ??=-∈????

，min min ()()(1)=-1g x g t g ∴==

1k ∴<-，即k 的取值范围为(),1-∞-。．．．．．．．12分

22.解：（1）???

>-<-?>-?>-=0

13211321log )13(log 1)13(log )(212121x x x x x f -----3分

解得2

31<

（2）当a>1时，202141)2

1(2

21>???????

?>-=≤a a g a ----------------------------6分当0

????>≤??????>-=≥3161039)3(321a a a g a ，无解 -------------------8分

综上所述，a>2 -----------------------------------------------------------------9分

(3)函数)(x f ＝)4(log 24x x -为[2

，3]上的有界变差函数. …………10分由（2）知当 a =4时函数)(x f 为[2

，3]上的单调递增函数，且对任意划分

T :32

110=<<<<<<=-n i i x x x x x ，有

)3()()()()()2

(110f x f x f x f x f f n n =<<<<=- ,所以

10211()()()()()()n n f x f x f x f x f x f x --+-++-

66log 2

log 33log )21()3()()(4440=-=-=-=f f x f x f n ,----------12分

所以存在常数66log 4≥M ,使得

M x

f x f n

i i i

≤-∑=-1

)()(恒成立，

所以M 的最小值为66log 4.