数学文卷·2016届河南省开封市高三第一次质量检测模拟考试(2015.12)

开封市2016届高三第一次模拟考试数学(文)试题

本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,其中第II 卷第(22)-(23)题为选考题,其他题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项:

1、答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号,非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁,不折叠,不破损。

5、做选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 参考公式:

样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式

s =

13V Sh =

其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积,h 为高 柱体体积公式 球的表面积,体积公式

V Sh = 24S R π= 34

3

V R π=

其中S 为底面面积,h 为高 其中R 为球的半径

第I 卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合A={n|n=3k-1,k ∈Z },B={x| |x-1|>3},则A ∩(R C B)= ( A ) A. {-1,2} B.{-2,-1, 1, 2, 4} C.{1, 4} D. Φ

2. 已知复数1z ai =+()a ∈R (i 是虚数单位),34

55

z i z =-+,则a = ( B ) A. 2

B. 2-

C. 2±

D. 1

2

-

3. 已知命题1p :函数22x x y -=-在R 为增函数,2p :函数22x x y -=+在R 为减函数,则在命题1q :12p p ∨; 2q :12p p ∧; 3q :()12p p -∨ 和 4q :()12p p ∧- 中,真命题是( C )

A .1q ,3q

B .2q ,3q

C .1q ,4q (

D )2q ,4q

4. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足

则a 的最小值是( C )

A .1 C .2

a ,

b ,

c ,要求输出这三个数中最大的数,那么在

空白的判断框中,应该填入下面四个选项中的 ( A ) A. c x >?

B. x c >?

C. c b >?

D. b c >?

6.下列说法错误的是( B )

A .自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系;

B .在线性回归分析中,相关系数r 的值越大,变量间的相关性越强;

C .在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高;

D .在回归分析中,2

R 为0.98的模型比2

R 为0.80的模型拟合的效果好.

7. 一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1、2、3、4这四个数字,若连续两次抛掷这个玩具,则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是( D )

A . 12

B . 1

3 C . 23 D .34

8. 函数)sin()(?ω+=x A x f ,0,0(>>ωA )0π?<<的图像如右图所示,为了得到这个函数的图像,只需将x y sin = )(R x ∈的图像上的所有的点 ( C )

A. 向左平移6

π

个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的

2

1

倍,纵坐标不变; B. 向左平移3

π

个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变; C. 向左平移3π

个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的

2

1

倍,纵坐标不变; D. 向左平移

6

π

个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变.

9. 在△ABC 中,M 为边BC 上任意一点,N 为AM 的中点,AN →=λAB →+μAC →

,则λ+μ的值为 ( A )

A . 12

B . 13

C . 14

D .1

10. 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积为(A )

A .

B .

C .

D .

11. 已知双曲线22

22:1x y C a b

-=满足彖件:(1)焦点为12

(5,0),(5,0)F F -;(2)离心率为53,求得双曲线C 的方程为(,)0f x y =. 若去掉条件(2),另加一个条件求得双曲线C 的方程仍为(,)0f x y =,则下列四个条件中,符合添加的条件共有 ( B )

①双曲线22

22:1x y C a b -=上的任意点P 都满足12||||||6PF PF -=;

②双曲线22

22:1x y C a b

-=的虚轴长为4;

③双曲线2222:1x y C a b -=的一个顶点与抛物线y 2

=6x 的焦点重合;

④双曲线22

22:1x y C a b

-=的渐近线方程为430x y ±=.

A .1个

B .2个

C .3个

D .4个

12.已知函数的定义域为R ,当时,,且对任意的实数,,

等式

恒成立.若数列{

}满足,且=

,则

的值为( ).

A .4021

B .3021

C .2241

D .2201

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答,第(22)题~第(24)题为选考题,考试根据要求做答。 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.

13.正项等比数列{}n a 中,42=a ,164=a ,则数列{}n a 的前9项和等于 .1022 14. 设函数f (x )=

,则方程f (x )=

的解集为 {﹣1,} .

15. 已知圆 x 2

+y 2

+2x-4y+1=0,关于直线2ax-by+2=0(a ,b ∈R )对称,则ab 的取值范围是 (-∞,1

4

].

16. 若偶函数(),y f x x R =∈,满足(2)()f x f x +=-,且[0,2]x ∈时,2()3f x x =-,则方程()sin ||f x x =在[-10,10]内的根的个数为 . 10

三、 解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 17.(本小题满分12分)

在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若ccosA ,bcosB ,acosC 成等差数列 (Ⅰ)求∠B ; (Ⅱ)若

,求△ABC 的面积.

解:(Ⅰ)∵ccosA ,BcosB ,acosC 成等差数列, ∴2bcosB=ccosA+acosC

由正弦定理知:a=2RsinA ,c=2RsinC ,b=2RsinB

代入上式得:2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC ,即2sinBcosB=sin (A+C ). 又A+C=π﹣B ,所以有2sinBcosB=sin (π﹣B ),即2sinBcosB=sinB . 而sinB ≠0,所以cosB=

1

2

,及0<B <π,得B=.

(Ⅱ)由余弦定理得:cosB=

=,

∴=,

又a+c=,b=,

∴﹣2ac ﹣3=ac ,即ac=,

∴S △ABC =acsinB=××=.

18. (本小题满分12分)

如图1,在直角梯形ABCD 中,∠ADC=90°,CD ∥AB ,AD=CD=AB=2,点E 为AC 中点.将△ADC 沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ﹣ABC ,如图2所示. (Ⅰ)在CD 上找一点F ,使AD ∥平面EFB ; (Ⅱ)求三棱锥C-ABC 的高.

解:(Ⅰ)取CD的中点F,连结EF,BF,

在△ACD中,∵E,F分别为AC,DC的中点,

∴EF为△ACD的中位线

∴AD∥EF,……………2分

EF?平面EFB,AD?平面EFB

∴AD∥平面EFB.……………4分

(Ⅱ)设点C到平面ABD的距离为h,

∵平面ADC⊥平面ABC,且BC⊥AC,

∴BC⊥平面ADC,

∴BC⊥AD,而AD⊥DC,

∴AD⊥平面BCD,即AD⊥BD. ……………8分

,

∴三棱锥B﹣ACD的高BC=2,S△ACD=2,

∴=

∴可解得:h=2.……………12分

19.(本小题满分12分)

甲、乙两人参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,画出茎叶图如图所示,乙的成绩中有一个数个位数字模糊,在茎叶图中用c表示.(把频率当作概率)

(Ⅰ)假设c=5,现要从甲,乙两人中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度,你认为派哪位学生参加比较合适?

(Ⅱ)假设数字c的取值是随机的,求乙的平均分高于甲的平均分的概率.

解:(Ⅰ)若c=5,则派甲参加比较合适,理由如下:

……3分

, ……6分

∴两人的平均成绩相等,但甲的成绩比较稳定,派甲参加比较合适. ……8分 (Ⅱ)若x 乙>x 甲,则

1

8

(75+80×4+90×3+3+5+2+c )>85 ∴ c>5 ∴c=6, 7, 8, 9

c 的所有可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ∴乙的平均分高于甲的平均分的概率为2

5

……12分

20.(本小题满分12分)如图,已知圆:G 2

2

2

(2)x y r -+=是椭圆2

2116

x y +=的内接△ABC 的内切圆, 其中A 为椭圆的左顶点. (Ⅰ)求圆G 的半径r ;

(Ⅱ)过点(0,1)M 作圆G 的两条切线交椭圆于E F ,两点,证明:直线EF 与圆G 相切.

解: (Ⅰ)设

B 02,r y +(),过圆心G 作GD AB ⊥于D ,B

C 交长轴于H

GD HB AD AH =

06y r

=+, 即

0y =

……………2分

而B 02,r y +()在椭圆上,222

0(2)124(2)(6)

1161616

r r r r r y +---+=-==- (2) 由(1)、 (2)式得2

158120r r +-=,解得23r =

或6

5

r =-(舍去) ……………4分 .

G

(Ⅱ) 设过M(0,1)与圆22

4

(2)9

x y -+=

相切的 直线方程为:1y kx -= (3)

23=

即2

323650k k ++= (4)

解得12k k =

=

……………6分 将(3)代入2

2116

x y +=得22(161)320k x kx ++=,则异于零的解为2

32161k x k =-+ 设111(,1)F x k x +,222(,1)E x k x +,则12

1222

123232,161161

k k x x k k =-

=-++ 则直线FE 的斜率为:22111221123

1164

EF k x k x k k k x x k k -+=

==-- ……………9分

于是直线FE 的方程为:211221132323

1()1614161

k k y x k k +-=+++

即37

43

y x =

- 则圆心(2,0)到

直线FE 的距

离23d == ……………12分 故结论成立.

21.(本小题满分12分)已知函数f (x)=xlnx +ax(a ∈R)

(Ⅰ)若函数f (x)在区间[2

e ,+∞)上为增函数,求a 的取值范围;

(Ⅱ)若对任意x ∈(1,+∞),f (x)>k(x -1)+ax -x 恒成立,求正整数k 的值. 解:(Ⅰ)由f (x )=xlnx+ax ,得:f ′

(x )=lnx+a+1 ∵函数f (x )在区间[e 2

,+∞)上为增函数, ∴当x ∈[e 2

,+∞)时f ′(x )≥0, ……………2分 即lnx+a+1≥0在区间[e 2

,+∞)上恒成立, ∴a ≥-1-lnx . 又当x ∈[e 2

,+∞)时,

lnx ∈[2,+∞),∴-1-lnx ∈(-∞,-3]. ∴a ≥-3; ……………5分

(Ⅱ)若对任意x ∈(1,+∞),f (x )>k (x-1)+ax-x 恒成立, 即x ?lnx+ax >k (x-1)+ax-x 恒成立, 也就是k (x-1)<x ?lnx+ax-ax+x 恒成立, ∵x ∈(1,+∞),∴x-1>0. 则问题转化为k <

ln 1

x x x

x +- 对任意x ∈(1,+∞)恒成立, ……………6分

设函数h (x )=

ln 1x x x x +-,则h ′

(x)= 2

ln 2(1)

x x x ---, 再设m (x )=x-lnx-2,则m ′

(x)=1-1

x

. ∵x ∈(1,+∞),∴m ′

(x )>0,

则m (x )=x-lnx-2在(1,+∞)上为增函数, ∵m (1)=1-ln1-2=-1,m (2)=2-ln2-2=-ln2, m (3)=3-ln3-2=1-ln3<0,m (4)=4-ln4-2=2-ln4>0. ∴?x 0∈(3,4),使m (x 0)=x 0-lnx 0-2=0.

∴当x ∈(1,x 0)时,m (x )<0,h ′

(x )<0, ……………8分 ∴h(x)=

ln 1

x x x

x +-在(1,x 0)上递减,

x ∈(x 0,+∞)时,m (x )>0,h ′

(x )>0, ∴h(x)=

ln 1

x x x

x +-在(x 0,+∞)上递增,

∴h (x )的最小值为h (x 0)=

000

0ln 1

x x x x +-.

∵m (x 0)=x 0-lnx 0-2=0,∴lnx 0+1=x 0-1,代入函数h (x )=ln 1

x x x

x +-

得h (x 0)=x 0,

∵x 0∈(3,4),且k <h (x )对任意x ∈(1,+∞)恒成立, ∴k <h (x )min =x 0,∴k ≤3,

∴k 的值为1,2,3. ……………12分

请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.(本小题满分10分) 选修4-1:平面几何选讲

如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.(Ⅰ)证明:∠D=∠E;

(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.

证明:(Ⅰ)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,

∴∠D=∠CBE,

∵CB=CE,

∴∠E=∠CBE,

∴∠D=∠E;……………5分

(Ⅱ)设BC的中点为N,连接MN,则由MB=MC知MN⊥BC,

∴O在直线MN上,

∵AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,

∴OM⊥AD,

∴AD∥BC,

∴∠A=∠CBE,

∵∠CBE=∠E,

∴∠A=∠E,

由(Ⅰ)知,∠D=∠E,

∴△ADE为等边三角形.……………10分

23.(本小题满分10分)选修4﹣4:极坐标与参数方程

极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴.已知曲线C1的极坐标方程为,曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a(a >0),射线,与曲线C1分别交异于极点O的

四点A,B,C,D.

(Ⅰ)若曲线C1关于曲线C2对称,求a的值,并把曲线C1和C2化成直角坐标方程;(Ⅱ)求|OA|?|OC|+|OB|?|OD|的值.

解:解:(Ⅰ)C1:即ρ2=2ρ(sinθ+cosθ)=2ρsinθ+2ρcosθ,

化为直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.

把C2的方程化为直角坐标方程为 y=a,因为曲线C1关于曲线C2对称,故直线y=a经过圆心(1,1),

解得a=1,故C2的直角坐标方程为 y=1.……………5分

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