数学文卷·2016届河南省开封市高三第一次质量检测模拟考试(2015.12)
开封市2016届高三第一次模拟考试数学(文)试题
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,其中第II 卷第(22)-(23)题为选考题,其他题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项:
1、答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2、选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号,非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卷面清洁,不折叠,不破损。
5、做选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 参考公式:
样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式
s =
13V Sh =
其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积,h 为高 柱体体积公式 球的表面积,体积公式
V Sh = 24S R π= 34
3
V R π=
其中S 为底面面积,h 为高 其中R 为球的半径
第I 卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合A={n|n=3k-1,k ∈Z },B={x| |x-1|>3},则A ∩(R C B)= ( A ) A. {-1,2} B.{-2,-1, 1, 2, 4} C.{1, 4} D. Φ
2. 已知复数1z ai =+()a ∈R (i 是虚数单位),34
55
z i z =-+,则a = ( B ) A. 2
B. 2-
C. 2±
D. 1
2
-
3. 已知命题1p :函数22x x y -=-在R 为增函数,2p :函数22x x y -=+在R 为减函数,则在命题1q :12p p ∨; 2q :12p p ∧; 3q :()12p p -∨ 和 4q :()12p p ∧- 中,真命题是( C )
A .1q ,3q
B .2q ,3q
C .1q ,4q (
D )2q ,4q
4. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足
则a 的最小值是( C )
A .1 C .2
a ,
b ,
c ,要求输出这三个数中最大的数,那么在
空白的判断框中,应该填入下面四个选项中的 ( A ) A. c x >?
B. x c >?
C. c b >?
D. b c >?
6.下列说法错误的是( B )
A .自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系;
B .在线性回归分析中,相关系数r 的值越大,变量间的相关性越强;
C .在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高;
D .在回归分析中,2
R 为0.98的模型比2
R 为0.80的模型拟合的效果好.
7. 一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1、2、3、4这四个数字,若连续两次抛掷这个玩具,则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是( D )
A . 12
B . 1
3 C . 23 D .34
8. 函数)sin()(?ω+=x A x f ,0,0(>>ωA )0π?<<的图像如右图所示,为了得到这个函数的图像,只需将x y sin = )(R x ∈的图像上的所有的点 ( C )
A. 向左平移6
π
个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的
2
1
倍,纵坐标不变; B. 向左平移3
π
个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变; C. 向左平移3π
个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的
2
1
倍,纵坐标不变; D. 向左平移
6
π
个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变.
9. 在△ABC 中,M 为边BC 上任意一点,N 为AM 的中点,AN →=λAB →+μAC →
,则λ+μ的值为 ( A )
A . 12
B . 13
C . 14
D .1
10. 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积为(A )
A .
B .
C .
D .
11. 已知双曲线22
22:1x y C a b
-=满足彖件:(1)焦点为12
(5,0),(5,0)F F -;(2)离心率为53,求得双曲线C 的方程为(,)0f x y =. 若去掉条件(2),另加一个条件求得双曲线C 的方程仍为(,)0f x y =,则下列四个条件中,符合添加的条件共有 ( B )
①双曲线22
22:1x y C a b -=上的任意点P 都满足12||||||6PF PF -=;
②双曲线22
22:1x y C a b
-=的虚轴长为4;
③双曲线2222:1x y C a b -=的一个顶点与抛物线y 2
=6x 的焦点重合;
④双曲线22
22:1x y C a b
-=的渐近线方程为430x y ±=.
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
12.已知函数的定义域为R ,当时,,且对任意的实数,,
等式
恒成立.若数列{
}满足,且=
,则
的值为( ).
A .4021
B .3021
C .2241
D .2201
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答,第(22)题~第(24)题为选考题,考试根据要求做答。 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.正项等比数列{}n a 中,42=a ,164=a ,则数列{}n a 的前9项和等于 .1022 14. 设函数f (x )=
,则方程f (x )=
的解集为 {﹣1,} .
15. 已知圆 x 2
+y 2
+2x-4y+1=0,关于直线2ax-by+2=0(a ,b ∈R )对称,则ab 的取值范围是 (-∞,1
4
].
16. 若偶函数(),y f x x R =∈,满足(2)()f x f x +=-,且[0,2]x ∈时,2()3f x x =-,则方程()sin ||f x x =在[-10,10]内的根的个数为 . 10
三、 解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 17.(本小题满分12分)
在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若ccosA ,bcosB ,acosC 成等差数列 (Ⅰ)求∠B ; (Ⅱ)若
,
,求△ABC 的面积.
解:(Ⅰ)∵ccosA ,BcosB ,acosC 成等差数列, ∴2bcosB=ccosA+acosC
由正弦定理知:a=2RsinA ,c=2RsinC ,b=2RsinB
代入上式得:2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC ,即2sinBcosB=sin (A+C ). 又A+C=π﹣B ,所以有2sinBcosB=sin (π﹣B ),即2sinBcosB=sinB . 而sinB ≠0,所以cosB=
1
2
,及0<B <π,得B=.
(Ⅱ)由余弦定理得:cosB=
=,
∴=,
又a+c=,b=,
∴﹣2ac ﹣3=ac ,即ac=,
∴S △ABC =acsinB=××=.
18. (本小题满分12分)
如图1,在直角梯形ABCD 中,∠ADC=90°,CD ∥AB ,AD=CD=AB=2,点E 为AC 中点.将△ADC 沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ﹣ABC ,如图2所示. (Ⅰ)在CD 上找一点F ,使AD ∥平面EFB ; (Ⅱ)求三棱锥C-ABC 的高.
解:(Ⅰ)取CD的中点F,连结EF,BF,
在△ACD中,∵E,F分别为AC,DC的中点,
∴EF为△ACD的中位线
∴AD∥EF,……………2分
EF?平面EFB,AD?平面EFB
∴AD∥平面EFB.……………4分
(Ⅱ)设点C到平面ABD的距离为h,
∵平面ADC⊥平面ABC,且BC⊥AC,
∴BC⊥平面ADC,
∴BC⊥AD,而AD⊥DC,
∴AD⊥平面BCD,即AD⊥BD. ……………8分
∴
,
∴三棱锥B﹣ACD的高BC=2,S△ACD=2,
∴=
∴可解得:h=2.……………12分
19.(本小题满分12分)
甲、乙两人参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,画出茎叶图如图所示,乙的成绩中有一个数个位数字模糊,在茎叶图中用c表示.(把频率当作概率)
(Ⅰ)假设c=5,现要从甲,乙两人中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度,你认为派哪位学生参加比较合适?
(Ⅱ)假设数字c的取值是随机的,求乙的平均分高于甲的平均分的概率.
解:(Ⅰ)若c=5,则派甲参加比较合适,理由如下:
,
……3分
,
, ……6分
∵
,
∴两人的平均成绩相等,但甲的成绩比较稳定,派甲参加比较合适. ……8分 (Ⅱ)若x 乙>x 甲,则
1
8
(75+80×4+90×3+3+5+2+c )>85 ∴ c>5 ∴c=6, 7, 8, 9
c 的所有可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ∴乙的平均分高于甲的平均分的概率为2
5
……12分
20.(本小题满分12分)如图,已知圆:G 2
2
2
(2)x y r -+=是椭圆2
2116
x y +=的内接△ABC 的内切圆, 其中A 为椭圆的左顶点. (Ⅰ)求圆G 的半径r ;
(Ⅱ)过点(0,1)M 作圆G 的两条切线交椭圆于E F ,两点,证明:直线EF 与圆G 相切.
解: (Ⅰ)设
B 02,r y +(),过圆心G 作GD AB ⊥于D ,B
C 交长轴于H
由
GD HB AD AH =
06y r
=+, 即
0y =
……………2分
而B 02,r y +()在椭圆上,222
0(2)124(2)(6)
1161616
r r r r r y +---+=-==- (2) 由(1)、 (2)式得2
158120r r +-=,解得23r =
或6
5
r =-(舍去) ……………4分 .
G
(Ⅱ) 设过M(0,1)与圆22
4
(2)9
x y -+=
相切的 直线方程为:1y kx -= (3)
则
23=
即2
323650k k ++= (4)
解得12k k =
=
……………6分 将(3)代入2
2116
x y +=得22(161)320k x kx ++=,则异于零的解为2
32161k x k =-+ 设111(,1)F x k x +,222(,1)E x k x +,则12
1222
123232,161161
k k x x k k =-
=-++ 则直线FE 的斜率为:22111221123
1164
EF k x k x k k k x x k k -+=
==-- ……………9分
于是直线FE 的方程为:211221132323
1()1614161
k k y x k k +-=+++
即37
43
y x =
- 则圆心(2,0)到
直线FE 的距
离23d == ……………12分 故结论成立.
21.(本小题满分12分)已知函数f (x)=xlnx +ax(a ∈R)
(Ⅰ)若函数f (x)在区间[2
e ,+∞)上为增函数,求a 的取值范围;
(Ⅱ)若对任意x ∈(1,+∞),f (x)>k(x -1)+ax -x 恒成立,求正整数k 的值. 解:(Ⅰ)由f (x )=xlnx+ax ,得:f ′
(x )=lnx+a+1 ∵函数f (x )在区间[e 2
,+∞)上为增函数, ∴当x ∈[e 2
,+∞)时f ′(x )≥0, ……………2分 即lnx+a+1≥0在区间[e 2
,+∞)上恒成立, ∴a ≥-1-lnx . 又当x ∈[e 2
,+∞)时,
lnx ∈[2,+∞),∴-1-lnx ∈(-∞,-3]. ∴a ≥-3; ……………5分
(Ⅱ)若对任意x ∈(1,+∞),f (x )>k (x-1)+ax-x 恒成立, 即x ?lnx+ax >k (x-1)+ax-x 恒成立, 也就是k (x-1)<x ?lnx+ax-ax+x 恒成立, ∵x ∈(1,+∞),∴x-1>0. 则问题转化为k <
ln 1
x x x
x +- 对任意x ∈(1,+∞)恒成立, ……………6分
设函数h (x )=
ln 1x x x x +-,则h ′
(x)= 2
ln 2(1)
x x x ---, 再设m (x )=x-lnx-2,则m ′
(x)=1-1
x
. ∵x ∈(1,+∞),∴m ′
(x )>0,
则m (x )=x-lnx-2在(1,+∞)上为增函数, ∵m (1)=1-ln1-2=-1,m (2)=2-ln2-2=-ln2, m (3)=3-ln3-2=1-ln3<0,m (4)=4-ln4-2=2-ln4>0. ∴?x 0∈(3,4),使m (x 0)=x 0-lnx 0-2=0.
∴当x ∈(1,x 0)时,m (x )<0,h ′
(x )<0, ……………8分 ∴h(x)=
ln 1
x x x
x +-在(1,x 0)上递减,
x ∈(x 0,+∞)时,m (x )>0,h ′
(x )>0, ∴h(x)=
ln 1
x x x
x +-在(x 0,+∞)上递增,
∴h (x )的最小值为h (x 0)=
000
0ln 1
x x x x +-.
∵m (x 0)=x 0-lnx 0-2=0,∴lnx 0+1=x 0-1,代入函数h (x )=ln 1
x x x
x +-
得h (x 0)=x 0,
∵x 0∈(3,4),且k <h (x )对任意x ∈(1,+∞)恒成立, ∴k <h (x )min =x 0,∴k ≤3,
∴k 的值为1,2,3. ……………12分
请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.(本小题满分10分) 选修4-1:平面几何选讲
如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.(Ⅰ)证明:∠D=∠E;
(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.
证明:(Ⅰ)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠D=∠CBE,
∵CB=CE,
∴∠E=∠CBE,
∴∠D=∠E;……………5分
(Ⅱ)设BC的中点为N,连接MN,则由MB=MC知MN⊥BC,
∴O在直线MN上,
∵AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,
∴OM⊥AD,
∴AD∥BC,
∴∠A=∠CBE,
∵∠CBE=∠E,
∴∠A=∠E,
由(Ⅰ)知,∠D=∠E,
∴△ADE为等边三角形.……………10分
23.(本小题满分10分)选修4﹣4:极坐标与参数方程
极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴.已知曲线C1的极坐标方程为,曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a(a >0),射线,与曲线C1分别交异于极点O的
四点A,B,C,D.
(Ⅰ)若曲线C1关于曲线C2对称,求a的值,并把曲线C1和C2化成直角坐标方程;(Ⅱ)求|OA|?|OC|+|OB|?|OD|的值.
解:解:(Ⅰ)C1:即ρ2=2ρ(sinθ+cosθ)=2ρsinθ+2ρcosθ,
化为直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.
把C2的方程化为直角坐标方程为 y=a,因为曲线C1关于曲线C2对称,故直线y=a经过圆心(1,1),
解得a=1,故C2的直角坐标方程为 y=1.……………5分