必修4第三章三角恒等变换(讲义)
《必修4》 第三章 三角恒等变换
一、知识纲要
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
（1）、两角和（差）的正弦公式：()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=± （2）、两角和（差）的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± （3）、两角和（差）的正切公式：β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(?±=
±
2. 2倍角的正弦、余弦和正切公式：
（1）、2倍角的正弦公式：sin 22sin cos ααα= （2）、2倍角的余弦公式：
2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααα
αα
=-=-=-
2倍角的余弦公式的变形应用——降幂公式：
22221+cos2cos 22cos 1cos 21cos2cos 212sin sin 2α
αααα
ααα=-→-=-→＝
＝
（3）、2倍角的正切公式：2
2tan tan 21tan α
αα
=-
2倍角的正切公式的变形：
tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β) tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β)
3. 公式推导：
（1）、()s
i n s i n c o s c o s s i n s i n 22s i n c o s αβαβαβαβααβ=+=
+???→=令
（2）、
()22cos 122
cos cos cos sin sin cos 2cos sin =2cos 112sin αβ
αααβαβαβααα
αα
=+=+=-???→=-???????→-=-22令用sin 变形
或
（3）、()=2t a n t a n 2t
a n t a n
t a n 21t a n t a n 1t a n αβαβα
αβααβα
+
+=
???→=--令
4、 辅助角公式：（用于统一函数名）
()sin cos a x b x x ?+=+，其中?角所在的象限由b a ,的符号确定，θ角的值由tan b
a
θ=
。 5、 简单的三角恒等变换
三角函数的化简、计算、证明，都会用到三角恒等变形，它的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:
（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，
22
αβ
αβ++=?
，
(
)()
2
2
2αβ
β
ααβ+=-
--
等。
（2）公式变形使用:tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。 （3）三角函数次数的降升:
降幂公式：2
1cos 2cos 2
αα+=
，2
1cos 2sin 2αα-=，
升幂公式：21cos 22cos αα+=，2
1cos 22sin αα-=。
（4）式子结构的转化: 对角、函数名、式子结构化同。
（5）常值变换主要指“1”的变换:即把1替换为和1相等的三角函数式子，如：
221sin cos x x =+， 1tan 4π=， 1sin 2
π=等。
（6）辅助角公式中，辅助角的确定：()sin cos a x b x x θ+=
+(其中θ角所在的象限由
a ,
b 的符号确定，θ角的值由tan b
a
θ=
确定)在求最值、化简时起着重要作用。 （7） 三角函数的性质研究要数形结合，利用sin y x =和cos y x =图象解决sin()y A x B ω?=++的问题。
（8）三角恒等变换常与向量结合起来进行考核，利用向量的平行和垂直的定理来展开。 （9）在三角函数的化简、求值、函数性质及解三角形等问题中，常需联合以下各组公式： ① 同角三角函数的基本关系，② 诱导公式，
③ 两角和/差公式，④ 2倍角公式，⑤ 辅助角公式， ⑥ 正/余弦定理。
二、经典例题
【例1】 直接利用公式求值：
（1） sin18cos 27cos18sin 27??+??； （2） cos89sin 29sin89cos 29??+??；
（3） 5
sin 12
π； （4） sin15?；
（5） cos 23cos37sin 23sin 37??-??； （6） 5252sin sin cos cos 9999
ππππ+；
（7） cos75?； （8） cos 12
π
；
（9） ?
??+??25tan 85tan 125tan -85tan ； （10）
6
tan 12tan 6tan
12tan
-1πππ
π+?；
（11） 5tan 12
π
； （12） tan15?；
（13） 6sin 22.5cos 22.5??； （14） sin cos
cos
cos
24
24
12
6
π
π
π
π
；
（15）
()
2
1+sin 48sin 24+cos 24?
??； （16） 2
2
sin
-cos 12
12
π
π
；
（17） 2
3-2sin 22.5?； （18）
2
1-2cos 92sin cos
99
π
ππ；
（19） 已知tan =-3x ，求tan 2x ； （20） 21-tan 22.52tan 22.5?
?
；
【例2】 公式变形，角度变形，结合多个公式，结合技巧求解：
（1） 已知)2,2
3(,1312cos ππαα∈=，则)4(cos π
α+的值为多少？
（2）若均βα,为锐角，ββααcos ,5
3
)(sin ,552sin 求=+=。
（3）)12
sin 12(cos )12sin 12(cos ππππ+- （4）0
000tan50tan703tan50tan70-+
（5）α
α
ααcos2cos cos212sin22?+ （6）115cos 114cos 113cos 112cos 11cos πππππ
（7） 已知x 为第三象限角，化简x 2cos 1-
（8） 若).(),sin(32cos 3sin 3ππ??-∈-=-x x x ，求?。
（9） 已知1
sin cos 3
αα+=，则sin 2α。
（10） 已知cos 23
θ=44
cos sin θθ-的值；
（11） 已知βα,为锐角，的值为则βαβα+=
=,5
1cos ,10
1cos ．
（12）ABC ?中，已知tanA ,tanB 是方程2
3720x x -+=的两个实根，则tan C 的值为多少？
（13）求代数式的值：sin15cos75cos15sin105o
o
o
o
+
（14）.若5
4
2cos ,532sin -==αα
，则角α的终边在 象限．
（15
）函数sin 22
x x
y =+的图像的对称轴方程是 。
（16）△ABC 中，已知的值求sinC ,13
5
B c ,53cosA ==os ．
（17） 已知
αβαβαπαβπ
sin2,5
3
)(sin ,1312)(cos ,432
求-=+=-<
<<．
（18） 已知α为第二象限角，且 sinα=,415求1
2cos 2sin )
4sin(+++ααπ
α的值．
（19） 已知7
1
tan ,21)tan(),,0(),4,0(-==-∈∈ββαπβπ
α且，求)2t a n (βα-的值及角βα-2．
（20） 已知函数2()cos cos 1f x x x x =+，x R ∈. ① 求证)(x f 的小正周期和最值；② 求这个函数的单调递增区间．
(21) 已知A 、B 、C 是ABC ?三内角，向量(1m =-(cos ,sin ),n A A =且m.n=1 ① 求角A; ② 若
22
1sin 23,cos sin B
B B
+=--求tanC .
高一化学必修一第三章化学方程式归纳
高一化学必修一第三章化学方程式归纳 一、钠及其化合物 1.钠与氧气：常温： 点燃： 2.钠与水反应： 离子方程式： 3.钠与硫酸反应： 4.氧化钠与水反应： 5.过氧化钠与二氧化碳反应： 6.过氧化钠与水反应： 离子方程式： 7.NaOH溶液中通入少量CO2： 离子方程式： NaOH溶液中通入过量CO2： 离子方程式： 8.①向碳酸钠溶液中滴入少量稀盐酸： 向稀盐酸中滴入少量碳酸钠溶液： ②除去碳酸氢钠溶液中混有的碳酸钠： ③碳酸钠与氢氧化钙： ④碳酸氢钠与盐酸： ⑤少量碳酸氢钠溶液滴入氢氧化钙溶液中： 少量氢氧化钙溶液滴入碳酸氢钠溶液中： ⑥除去碳酸钠溶液中的碳酸氢钠： ⑦除去碳酸钠固体中的碳酸氢钠：
⑧鉴别碳酸钠和碳酸氢钠溶液： 二、铝及其化合物 1.铝与氧气的反应： 2.铝与氧化铁反应（铝热反应）： 3.铝和稀盐酸： 离子方程式： 4.铝和NaOH溶液: 离子方程式： 5.氧化铝和稀硫酸： 离子方程式： 6.氧化铝和NaOH溶液： 离子方程式： 7.氢氧化铝和盐酸： 离子方程式： 8.氢氧化铝和NaOH溶液： 离子方程式： 9.氢氧化铝受热分解： 10.硫酸铝与氨水反应： 离子方程式： 11.AlCl3溶液中加入少量NaOH溶液： AlCl3溶液中加入过量NaOH溶液：12.往偏铝酸钠溶液中通入少量CO2：
往偏铝酸钠溶液中通入足量CO2： 13.电解氧化铝： 三、铁及其化合物 1.铁与氧气反应： 铁与硫反应： 2.铁与盐酸反应： 离子方程式： 铁与CuSO4溶液： 离子方程式： 3.铁和水蒸气： 4.氧化亚铁与盐酸反应： 离子方程式： 5.氧化铁与盐酸反应： 离子方程式： 6.CO还原氧化铁： 7.氯化铁与氢氧化钠溶液： 离子方程式： 8.硫酸亚铁与氢氧化钠溶液： 离子方程式： 9.氢氧化铁加热分解： 10.氢氧化亚铁被氧化成氢氧化铁： 11.除去FeCl2中的FeCl3： 离子方程式： 12.FeCl2和Cl2反应： 离子方程式：
高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结
第三章 三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-． 三、辅助角公式： () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x ， 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由，决定
四、三角变换方法： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的 相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④ ()4 24 π π π αα+= --； ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如 在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 （3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转 化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 221sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式， 一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。 （5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名， 高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。
高中数学必修4三角函数教案
任意角的三角函数 一、教学目标 1、知识目标：借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义，根据定义探讨出三角函数值在各个象限的符号，掌握同一个角的不同三角函数之间的关系。 2、能力目标：能应用任意角的三角函数定义求任意角的三角函数值。 3、情感目标：培养数形结合的思想。 二、教材分析 1、教学重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 2、教学难点：从函数角度理解三角函数。 3、教学关键：利用数形结合的思想。 三、教学形式：讲练结合法 四、课时计划：2节课 五、教具：圆规、尺子 六、教学过程 (一)引入 我们已经学过锐角三角函数，知道他们都是以锐角为自变量，以比值 为函数值的函数，你能用直角坐标系中的终边上点的坐标来表示锐角 三角函数吗？ 设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么它 的终边在第一象限，在α的终边上任取一点P （a,b ）,它与原点的距离 r=22b a +>0.根据初中学过的三角函数定义，我们有αsin =r b , r a αcos =
a b αtan =,取r=1,则a b tan αa,cos αb,αsin ===，引入单位圆概念。 （二）新课 1、设α是以任意角，它的终边与单位圆交于P （x,y ）,那么： （1） y 叫做α的正弦，记作αsin , 即y αsin =； （2） x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x αcos =； （3） x y 叫做α的正切，记作αtan ，即x y αtan =)0(≠x . 注：用单位圆定义的好处就在于r=1,点的横坐标表示余弦值，纵坐标 表示正弦值。 2、根据任意角的三角函数定义，得到三种函数值在各象限的符号。 通过观察发现：第一象限全为正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。总结出一条法则：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 注：这有利于培养学生观察和思考的能力，以方便记忆。 3、利用勾股定理可以推出：1cos sin 22=+αα，根据三角函数定义，当)(2z k k ∈+≠π πα时，有αα αtan cos sin =。这就是说同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。 4、例题 例1求 3 5π的正弦、余弦和正切值。 解:在直角坐标系中，作3π5=∠AOB ,易知AOB ∠的终边与单位圆的交点 坐标为)2 3,21 (-，所以
人教版高一化学必修一第三章测试题
2015.12 必修一第三章测试题 化学 相对原子质量：Na 23 Al 27 Fe 56 Cu 64 H 1 O 16 C 12 S 32 Cl 35.5 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每题3分，共54分） 1错误！未指定书签。．在实验室中，通常将金属钠保存在（） A．水中B．煤油中C．四氯化碳中D．汽油中 2．人的胃液是一种强酸性液体，pH在0.9～1.5之间，氢氧化铝是一种治疗胃液过多的胃药的主要成分．目前这种胃药已不常用，原因主要是（） A．长期摄人铝元素不利于人体健康B．它不能中和胃液 C．它不易溶于胃液D．它的疗效太差 3．向某溶液中投入铝片后有大量H2放出，则溶液中不可能大量存在的离子是（）A．Cl-B．H+C．OH-D．HCO3- 4．将一小粒钠投入下列溶液中，能产生气体和沉淀的是（） A．NaCl B．BaCl2C．H2SO4D．CuCl2 5．将Na2O2投入FeCl2溶液中，可观察到的实验现象是（） A．有白色沉淀生成B．有红棕色沉淀生成 C．没有沉淀生成D．既有红褐色沉淀生成又有无色气体产生6．将钠、镁、铝各0.3mol 分别放入100mL 1 mol/L 的盐酸中，同温同压下产生的气体体积比是（） A．1:2:3 B．6:3:2 C．3:1:1 D．1:1:1 7．分别与FeCl2、CuSO4、NaCl、Fe2(SO4)3、MgSO4等溶液混合时产生的现象各不相同的是( ) A.盐酸 B.氨水 C.氯化钡溶液 D. 硫酸钠溶液 8．相同条件下将干燥的88g CO2通过装有Na2O2的干燥管后，气体质量变为60g，则反应后的气体中CO2的质量为（） A．24g B．34g C．44g D．54g 9. 将锌、铁、铝、镁四种金属中的两种组成的混合物10g与足量的盐酸反应产生的氢气在标准状况下为11.2L，则混合物中一定含有的金属是（） A．锌B．铁C．铝D．镁 10．下列物质中既能跟稀H2SO4反应, 又能跟氢氧化钠溶液反应的是（） ①NaHCO3 ②Al2O3 ③Al(OH)3④Al A．③④B．②③④C．①③④D．全部 11.下列离子方程式书写正确的是（）
人教A版高中数学必修四第三章三角恒等变换教案新
第三章三角恒等变换 一、课标要求： 本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用. 1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用； 2.理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系； 3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化 积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用 二、编写意图与特色 1.本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受； 2.本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式； 3.本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识； 4.本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习. 三、教学内容及课时安排建议 本章教学时间约8课时，具体分配如下： 3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式约3课时 3.2简单的恒等变换约3课时 复习约2课时
高一数学必修一和必修四的三角函数公式
三角函数公式 （一）同角三角函数的基本关系式 （1）平方形式：sin 2α＋cos 2α＝1 （2）倒数形式：sinα/cosα＝tanα （二）诱导公式 （1）sin （2k π＋α）＝sin α cos （2k π＋α）＝cos α tan （2k π＋α）＝tan α (其中k ∈Z) （2）sin （2k π－α）＝－sin α cos （2k π－α）＝cos α tan （2k π－α）＝－tan α (其中k ∈Z) （3）sin （－α）＝－sin α cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tan α （4）sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cosα tan （π－α）＝－tan α （5）sin （π＋α）＝－sin α cos （π＋α）＝－cos α tan （π＋α）＝tan α （6）sin （π/2－α）＝cos α cos （π/2－α）＝sin α （7）sin （π/2＋α）＝cos α cos （π/2＋α）＝－sin α （8）sin （3π/2＋α）＝－cos α cos （3π/2＋α）＝sin α （9）sin （3π/2－α）＝－cos α cos （3π/2－α）＝－sin α (三) 两角和与差的三角函数公式 （1）sin （α＋β）＝sin αcosβ＋cos αsinβ （2）sin （α－β）＝sin αcosβ－cos αsinβ （3）cos （α＋β）＝cos αcosβ－sin αsinβ （4）cos （α－β）＝cos αcosβ＋sin αsinβ （5）tan （α＋β）＝ tanα+tanβ1－tanαtanβ （6） tan （α－β）=tanα－tanβ1+tanαtanβ （四）二倍角的正弦、余弦和正切公式 （1）sin2α＝2sin αcos α （2）cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α （3）tan2α= 2tan α/（1－tan 2α） （五）三角函数的降幂公式 （六）半角的正弦、余弦和正切公式 (七)（辅助角的三角函数的公式） (八)正、余弦定理公式及其变形 ● a sinA =b sinB =c sinC =2R （R 为△ABC 的外接圆的半径） ● a 2=b 2+c 2-2bccosA ● b 2= a 2+ c 2-2accosB ● c 2= b 2+ a 2-2abcosC （ⅰ) sinA=a 2R ，sinB=b 2R ，sinC=c 2R （ⅱ）a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC （ⅲ）a:b:c=sinA: sinB: sinC （ⅳ）asinB=bsinA bsinC=csinB asinC=csinA （九）常用的三角形面积公式 （ⅰ) S=12 absinC=12 acsinB=12 bcsinA （ⅱ）S =12 (a+b+c)r (r 为△ABC 的内切圆的半径) （ⅲ）S=abc 4R （R 为△ABC 的外接圆的半径） （十）利用余弦定理判断三角形的形状 （ⅰ)在△ABC 中，若a 2﹤b 2+c 2，则0°﹤A ﹤90°；反之，若0°﹤A ﹤90°，则a 2﹤b 2+c 2。 （ⅱ）在△ABC 中，若a 2=b 2+c 2，则A=90°；反之，若A=90°，则a 2=b 2+c 2。 （ⅲ）在△ABC 中，若a 2﹥b 2+c 2，则90°﹤A ﹤180°；反之，若90°﹤A ﹤180°，则a 2﹥b 2+c 2。
人教版数学必修四三角函数复习讲义
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第一讲 任意角与三角函数诱导公式 1. 知识要点 角的概念的推广： 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念： 在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2 k k Z π απ=+∈； α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α= ∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. α与2 α的终边关系： 任意角的三角函数的定义: 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点）， 它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==，
()tan ,0y x x α= ≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线 OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )” 同角三角函数的基本关系式： 1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 注意：1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变形形 式。 三角函数诱导公式：“ （2 k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限” 典型例题 例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4 5π 例2．求下列各式的值： （1）sin(－3 4π )； (2)cos(－60o)－sin(－210o) 例3．化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα 例4．已知cos(π+α)=－2 1，2 3π<α<2π，则sin(2π－α)的值是（ ）．
高中化学必修一(第三章)知识点全归纳
高中化学必修一（第三章）知识点全归纳 第三章金属及其化合物 第一节金属的化学性质 1．金属的物理通性有哪些？ （1）金属在常温下的状态 除汞是液体外，其他在常温下是固体。 （2）金属的颜色、光泽 绝大多数金属都是银白色，具有金属光泽，少数金属是特殊颜色如铜是紫红色，金是金黄色。 （3）良好的导电、导热性。 （4）延展性 延性：拉成细丝的性质。展性：压成薄片的性质。 2．化学通性有哪些？ （1）化合态金属元素只有正化合价 （2）金属单质易失电子，表现还原性 （3）易与氧气反应，得到氧化物 （4）活动性排在氢前的金属元素与酸反应得到盐和氢气 （5）与盐反应，置换出活动性弱的金属单质 3.金属钠的性质有哪些？ （1）物理性质有哪些？ 钠银白色、质软、熔点低、密度比水的小但比煤油的大。★ （2）化学性质有哪些？ ①很活泼，常温下：4Na + O2＝2Na2O★（新切开的钠放在空气中容易变暗） ②加热条件下：2Na+O2 Na2O2
★（先熔化成小球，后燃烧产生黄色火焰，生成淡黄色固体Na 2O 2。） 钠在空气中的变化过程：Na―→Na 2O―→NaOH―→Na 2 CO 3 ·10H 2 O（结晶）―→Na 2 CO 3 （风化），最终得到是一种白色粉末。一小块钠置露在空气中的现象：银白色的钠很快变暗（生成Na2O），跟着变成白色固体(NaOH)，然后在固体表面出现小液滴 （NaOH易潮解），最终变成白色粉未（最终产物是Na 2CO 3 ）。 ③钠与水的反应与H 2 O反应 2Na＋2H2O＝2NaOH＋H2↑★离子方程式：2Na＋＋2H2O＝2Na＋＋2OH－＋H2↑（注意配平） 实验现象：钠浮在水面上，熔成小球，在水面上游动，有哧哧的声音，最后消失，在反应后的溶液中滴加酚酞，溶液变红。“浮——钠密度比水小；游——生成氢气； 响——反应剧烈；熔——钠熔点低；红——生成的NaOH遇酚酞变红”。 知识拓展： a：将钠放入硫酸铜溶液中，能否置换出铜单质？ 不能，2Na + 2H2O = 2NaOH + H2↑ 2NaOH+CuSO4=Cu(OH)2↓+Na2SO4 实验现象：钠熔成小球，在液面上四处游动，有蓝色沉淀生成，有气泡放出 K、Ca、Na三种单质与盐溶液反应时，先与水反应生成相应的碱，碱再和盐溶液反应 b：将钠放入盐酸中，钠将先和H2O反应，还是先和HCl反应？ 2Na+2HCl=2NaCl+H2↑ 钠与酸反应时，如酸过量则钠只与酸反应，如酸不足量则钠先与酸反应再与水反应。 一般规律： 钠与酸溶液反应时，钠直接与溶液中的酸反应，但当钠与其它溶液反应时，一般是钠先与水反应生成氢氧化钠和氢气，然后再看生成的氢氧化钠是否与原溶液中的溶质反应！ （3）钠的保存方法是什么？
必修4三角函数公式大全(经典)
三角函数 公式大全 姓名： 1、两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) = tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan( 3π+a)·tan(3 π-a) 4、半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2 cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 5、和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 6、积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1 [sin(a+b)-sin(a-b)]
必修四三角函数的图象与性质讲义
1.4—1.5 三角函数的图象与性质 一、正弦函数的图象与性质 1、利用描点法作函数图象 (列表、描点、连线) 自变量x 2π- 32π- π- 2 π- 0 2π π 32 π 2π 函数值sin x 0 1 0 1- 0 1 1- 0 注意：（1）由于sin(2k π＋α)＝sin α，因此作正弦函数图象时，我们经常采用 “五点法”：．．．．．．(0．．，．0)．．，．(．2 π ，．1)．．，．(．π，．0)．．，．(．23π ，－．．1)．．，．(2．．π，．0)．．；． 再通过向左、右平移(每次2π个单位)，即可得正弦函数图象；（2）正弦函数自变量一般采用弧度制。 二、余弦函数的图象 1、余弦函数的图象：y ＝cosx ＝sin(x ＋ 2π)可将正弦函数y ＝sinx 向左平移2 π 个单位得到。 2、“五点作图法”： (0．．，．1．)．，． (．2 π ，．0．)．，． (．π，－．．1．)．，． (．23π ，．0．)．，． (2．．π，．1．)． – – π 2 π 2 π - 2π 5π π- 2π- 5π- O x y 1 1-
三、正、余弦函数的性质 f(x)＝sinx h(x)＝cosx f(x)＝sinx h(x)＝cosx 定义域 R R 值域 [－1，1] 当x ＝2k π＋ 2π 时，f(x)max ＝1 当x ＝2k π－2π 时，f(x)min ＝－1 [－1，1] 当x ＝2k π时，f(x)max ＝1 当x ＝2k π＋π时，f(x)min ＝－1 单调区间 [2 k π－2π，2 k π＋2 π ] 单增 [2 k π＋2 π ，2 k π＋23π] 单减 [2 k π，2 k π＋π] 单减 [2 k π＋π，2 k π＋2π] 单增 对称轴 x ＝k π＋2 π x ＝k π 对称中心 (k π，0) (k π＋ 2 π ，0) 周期性 sin(2 k π＋α)＝sin α cos(2 k π＋α)＝cos α 最小正周期为2π 奇偶性 sin(－α)＝－sin α 奇函数 cos(－α)＝cos α 例1：求下列函数的定义域。 （1）f(x)＝x sin （2）f(x)＝2 1cos -x
高一化学必修一第三章单元练习题
高一化学必修一第三章单元练习题 、选择题 1.将金属钠投入 AICI 3溶液中，下列有关叙述一定正确的是 （ ） A ?最后一定有沉淀生成，且有气体放出 B ?溶液最后一定澄清，且有气体放出 C . 一定有气体放出 D .一定无气体放出 2?将钠和碳分别置于如图所示的两个盛满足量氧气的集气瓶中燃烧完毕后，同时打开 装置中的两个止水夹，这时观察到 （ ） A .水进入左瓶 B .水进入右瓶 C .水同时进入两瓶 D .水不进入任何一瓶 3?向含有下列离子的溶液中加入一小块金属钠，引起离子数目减少的是 A . C03 一 B . C 「 C . OH 一 D . HCO 3 4. 向500 mL 1 mol/L FeCI 3溶液中加 入铁粉，完全反应后，除去多余的铁粉，加入足量 的NaOH 溶液，搅拌，充分反应后，所得沉淀的物质的量是 （ ） B . 1 mol D .不能确定 5. 镁、铝、铜三种金属粉末混合物，加入过量盐酸充分 反应，过滤后向滤液中加入过 量烧碱溶液，再过滤，滤液中存在的离子有 （ ） 2 + B . Cu 2 2 + D . Mg 2 KSCN 溶液，显红色的是（ ） B .过量的铁粉与氯化铜溶液 D .过量铁粉与三氯化铁溶液 7.能分别将含有Cu 2+ > Fe 3*、Al 3： Mg"、Fe 2 + > NH 4、Na + 等离子的七种溶液一次 性鉴别开来 的试剂是（ ） A . NaHCO 3 溶液 C . KSCN 溶液 D . NH 3 H 2O &可用于判断碳酸氢钠粉末中混有碳酸钠的实验方法是 A . 0.5 mol C . 0.75 mol A . AIO 2 3+ C . Al 6.下列各组物质反应后，滴入 A .过量的铁与稀盐酸 C .过量氯水与氯化亚铁溶液 B . NaOH 溶液
高中数学必修四三角函数重要公式
高中数学必修四三角函数重要公式 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα (以上k∈Z) 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变） 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 （符号看象限） 例如： sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。 当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。 所以sin(2π－α)＝－sinα
必修4三角函数所有知识点归纳归纳
《三角函数》【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角.
逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈ x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈ y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈ 3、第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈ 第二象限角：{}()90360180360k k k Z αα??+<<+∈ 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈ 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈ 4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈ 锐角： {}090αα<< 小于90的角：{}90αα< 5、若α为第二象限角，那么 2 α 为第几象限角？ ππαππ k k 222 +≤≤+ ππ α ππ k k +≤ ≤ +2 2 4 ,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k 所以2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 8、角度与弧度对应表： 9、弧长与面积计算公式
弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α 终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c ”）
高一化学必修一第三章知识点复习
第三章复习 一. 金属的物理性质： 钠：银白色，有金属光泽，质软，密度小于水，大于煤油，熔点低，电和热的良导体。 铝：银白色，有金属光泽，质软，有良好的延展性，是热和电的良导体。 铁：纯铁是银白色的有金属光泽的固体，有磁性，可以被磁铁吸引，有延展性，是电和热的良导体。 考点：1.钠与氧气反应；钠与水反应离子方程式、现象。 2. 铝与酸碱的反应离子方程式、计算。 3. 铁与水蒸气反应、实验。 典型例题：1、将Na、Mg、Al各0.3mol分别放入100ml1mol/L 的盐酸中，同温同压下产生的气体体积比是（C ）
A.1:2:3 B.6:3:2 C.3:1:1 D.1:1:1 解析：钠与稀硫酸、盐酸等非氧化性酸反应时，首先是钠直接跟 H ＋ 反应，过量的钠再与水反应。 2. 金属钠露置在空气中最后生成什么物质？用图表示之。 提示： Na 2CO 3。 Na ――→O 2Na 2O ――→H 2O NaOH 溶液――→CO 2 Na 2CO 3·10H 2O ―→Na 2CO 3 3、在盛有5mL 饱和石灰水的试管中放入一小块块钠，不可能观察到的现象是 （C ） A.钠熔成小球并在液面上游动 B.有气体生成 C.试管底部有银白色物质生成 D.溶液变浑浊 4. 相同质量的铝，分别与足量的强酸、强碱反应，产生氢气体积比为 1：1 . 5. 某无色溶液中放入铝片后有氢气放出，则下列离子在该溶液中肯定可以大量共存的是（ A ） A.Na + B.Mg 2+ C.S 2- D.HCO 3- 6. 如图在玻璃管中放入还原铁粉和石 棉绒的混合物．加热并通入水蒸气．用试管收集产生的经干燥的气体，并靠近火焰点火。 (1)所观察到的现象是点火时听到爆鸣声 ，有关反应的化学方程式是 3Fe+4H 2O===Fe 3O 4+4H 2 。 (2) 干燥管内可装入的试剂是CaCl 2，其作用是干燥氢气。干燥管还可用U 形管(装置)代替。 (3) 玻璃管中石棉绒的作用是作载体，增大铁粉与水蒸气接触面 积 。实验开始时应先点燃酒精灯 ，实验结束时，应先熄灭
数学必修四三角函数公式总结与归纳
数学必修四三角函数公式盘点与归纳 1、诱导公式： sin(2kπ+α)=sinα, cos(2kπ+α)=cosα sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα sin(2π-α)=-sinα, cos(2π-α)=cosα sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα sin(π+α)=-sinα, cos(π+α)=-cosα sin(+α)=cosα, cos(+α)=-sinα sin(-α)=cosα, cos(-α)=sinα 2、同角三角函数基本关系： sin2α+cos2α=1, =tanα, tanα×cotα=1, 1+tan2α=， 1+cot2α= cosα=， sinα= 3、两角和与差的三角函数： cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ， cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ， sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ tan（α+β）=， tan（α-β）=， 4、二倍角的三角函数： sin2α=2sinαcosα， cos2α=cos2α-sin2α =1-2sin2α =2cos2α-1， tan2α=， sin=， cos=， tan= = = 5、万能公式： sin2α=， cos2α= 6、合一变式： asinα+bcosα =sin（α+γ）（tanγ=）7、其他公式： sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]， cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]，
cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]，sinαsinβ=[cos（α+β）-cos（α-β）]，sinα+sinβ=2sin cos， sinα-sinβ=2cos sin， cosα+cosβ=2cos cos， cosα-cosβ=2sin cos
人教版数学必修四三角函数复习讲义
第一讲 任意角与三角函数诱导公式 1. 知识要点 角的概念的推广： 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念： 在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2 k k Z π απ=+∈； α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α= ∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. α与2 α的终边关系： 任意角的三角函数的定义: 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），
它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α= ≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )” 同角三角函数的基本关系式： 1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 注意：1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变 形形式。 三角函数诱导公式：“ （2 k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限” 典型例题 例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4 5π 例2．求下列各式的值： （1）sin(－3 4π )； (2)cos(－60o)－sin(－210o) 例3．化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα
高一化学必修一第三章基础练习题
第三章金属及其化合物 第一节金属的化学性质 【学习导引】 一、金属的物理通性：常温下，金属一般为银白色晶体（汞常温下为液体），具有良好的导电性、导热性、延展性。 二、金属的化学性质： 【学习导引】 认真观察反应，记录现象，分析整理得到金属的性质。 1．(1)钠常常保存在__________或__________中。取一小块金属钠，用滤纸吸干表面的煤油后，用刀切去一端的外皮，可以看到钠表面呈现__________。很快，钠表面生成__________，化学方程式为____________________________________。 (2)把这一小块钠放在坩埚中加热。钠受热后，与氧气________________，发出 ___________，生成___________，化学方程式为_______________________________。2．通过前面的学习，我们已经知道________________在空气中易与氧气反应，表面生成一层氧化物。其中有的氧化膜致密，例如镁、铝表面的氧化膜，可以保护______不被继续氧化。因此，铝具有很好的抗腐蚀性能。 3．(1)分析学过的金属与氧气反应的化学方程式，找出其中的氧化剂和还原剂。 (2)分析上述反应，可以发现金属单质表现出______，这是因为金属元素的______，______， 当遇到______时，就会发生氧化还原反应。 (3)因此，除了能被氧气氧化外，金属还能被______等具有氧化性的物质所氧化。 【同步练习】 1．从生活常识角度考虑，试推断钠元素在自然界中存在的主要形式是( ) A．Na B．NaCl C．NaOH D．Na2O 2．实验室中常用的保存少量Na的方法是( ) A．保存在水中B．保存在煤油中 C．直接放置在空气中D．铝箔密封，保存在广口瓶中 3．取一块金属钠放在燃烧匙里加热，下列实验现象描述正确的是( ) ①金属很快熔化②燃烧后得白色固体③燃烧时火焰为黄色④燃烧后生成浅黄色固 体物质 A．①②③B．①③④C．②③D．①②③④ 4．铝在空气中能够稳定存在的原因是( ) A．铝的活泼性差B．铝的熔点高 C．铝与氧气不反应D．铝表面有氧化膜 5．下列物质中，一般不能与铁反应的是( ) A．硫B．氯气C．氧气D．氢气 6．下列说法中不正确的是( ) A．钠的熔点较低 B．钠在发生化学反应时化合价升高 C．钠在空气中燃烧生成氧化钠，并发出黄色火焰
人教版数学必修四 第三章单元练习(附答案)
必修四 第三章 一、选择题： 1．Sin165o等于 （ ） A ． 21 B ．23 C ．426+ D ． 426- 2．Sin14ocos16o+sin76ocos74o的值是（ ） A ． 23 B ．21 C ．23 D ．-21 3．sin 12π-3cos 12 π的值是． （ ） A ．0 B ． —2 C ． 2 D ． 2 sin 12 5π 4.△ABC 中，若2cosBsinA=sinC 则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 5．函数y=sinx+cosx+2的最小值是 （ ） A ．2-2 B ．2+2 C ．0 D ．1 6．已知cos （α+β）cos （α－β）=3 1，则cos 2α－sin 2β的值为（ ） A ．－ 32 B ．－3 1 C ．31 D ．3 2 7．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C ，则△ABC 是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．不等边三角形 D ．直角三角形 8．sin α+sin β=3 3（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ） A ．－3π2 B ．－3π C ．3π D ．3π2 9．已知sin （α+β）sin （β－α）=m ，则cos 2α－cos 2β等于（ ） A ．－m B ．m C ．－4m D ．4m
二、填空题． 10． 15tan 115tan 1+-=__________________________． 11．如果cos θ= - 1312 )23,(ππθ∈，那么 cos )4(πθ+=________． 12．已知βα,为锐角，且cos α= 71 cos )(βα+= -1411, 则cos β=_________． 13．tan20o+tan40o+3tan20otan40o的值是____________． 14．函数y=cosx+cos(x+ 3π)的最大值是__________． 三、解答题． 15．若βα,是同一三角形的两个内角，cos β= - 31 ,cos()βα+=-294.求cot α的值． 16．化简 θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+． 17．求证：2sin （ 4π－x ）·sin （4 π+x ）=cos2x ． 18． 求证：4sin θ·cos 2 2θ=2sin θ+sin2θ．