大学一年级高数期末考试题及答案

第一学期高等数学期末考试试卷答案

一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分），

1．求极限()x

x x

x

x 30

sin 2cos 1lim -+→．

解：

()30303012c o s 1lim 12cos 12lim sin 2cos 1lim x

x x x x x x x x x x x x x -??? ??+=????????-??? ??+=-+→→→ 20302c o s 1ln 0

3

2cos 1ln 0

2cos 1ln

lim 2cos 1ln

lim

2

ln

1lim

1

lim

x

x

x x x x e

x e x x x

x x x x x +=+?-=-=→→??

? ??+→??

?

??+→ ()4

1

2c o s 1s i n lim

0-=+-=→x x x x ．

2．设0→x 时，()x f 与2

2

x 是等价无穷小，

()?3

x

dt t f 与k

Ax

等价无穷小，求常数k 与A ．

解：

由于当0→x 时，

()?

3

x

dt t f 与k Ax 等价无穷小，所以()1lim

3

=?→k

x

x Ax

dt

t f ．而

()()

()

1013

2

3201

3232

3

230132

3

00061lim 6lim 3122lim 31lim lim 3

-→--→-→-→→=?=???????

?

?

???=??=?k x k x k x k x k x

x Akx Akx x x Akx x x x x f Akx x x f Ax dt t f 所以，161lim 10=-→k x Akx ．因此，6

1

,1==A k ．

3．如果不定积分

()()

?++++dx x x b

ax x 2

2

211中不含有对数函数，求常数a 与b 应满足的条件．

解：

将

()()

2

2

211x

x b

ax x ++++化为部分分式，有

()()

()2

222211111x

D

Cx x B x A x x b

ax x ++++++=

++++， 因此不定积分

()()

?++++dx x x b

ax x 2

2

211中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数

0==C A ．

即

()()

()()()()()

2

22

22222211111111x x x D x B x D x B x x b

ax x +++++=+++=++++． 所以，有()

()()()D B Dx x D B x D x B b ax x ++++=+++=++21122

22．

比较上式两端的系数，有D B b D a D B +==+=,2,

1．所以，得1=b ．

5．计算定积分{}?

-2

5

2,

1min dx x ．

解： {

}??

?>-≤--=-1

21

1

22

2,

1m i n x x x x

??????

?>≤<-≤≤-<=3

1

3222

1211x x x x x x ．

所以，{

}()()8

132212,

1min 2

52

2

1

10

2

50

=

-+-+=-????

dx x dx x dx dx x ． 5．设曲线C 的极坐标方程为3

sin 3

θ

a r =，求曲线C 的全长．

解： 曲线3

sin

3

θ

a r =一周的定义域为πθ

≤≤

3

0，即πθ30≤≤．因此曲线C 的全长为

()()()()a d a d a a d r r s πθθθθ

θθ

θθθπ

π

π

233s i n 3c o s 3s i n 3s i n

30

230

2

4

2

6

2

30

2

2

==+='+=

??

?．

二．（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分），

6．求出函数()()

()n

n x x x f 221sin lim

+=+∞→π的所有间断点，并指出这些间断点的类型．

解：

()()()()???????????

>-

=-=<=+=+∞→2

10212

121

2121sin 21sin lim 2x x x x x x x x f n n ππ．

因此211-

=x 与2

1

2=x 是函数()x f 的间断点． ()00l i m l i m 2

1

2

1

==-

--

→-

→x x x f ，()()1sin lim lim 2

12

1-==++-

→-

→x x f x x π，因此2

1

-=x 是函数()x f 的第一类可去型间断点．

()()1s i n

lim lim 2

12

1

==---

→-

→x x f x x π，()00lim lim 2

12

1==++-

→→

x x x f ，因此2

1

=x 是函数()x f 的第一类可去型间断点．

7．设ξ是函数()x x f arcsin =在区间[]b ,0上使用Lagrange （拉格朗日）中值定理中的“中值”，

求极限b

b ξ

lim

→．

解：

()x x f a r c s i n

=在区间[]b ,0上应用Lagrange 中值定理，知存在()b ,0∈ξ，使得

()0110arcsin arcsin 2

--=

-b b ξ

．

所以，2

2arcsin 1??

? ??-=b b ξ．因此，

()()22

22

022

0220a r c s i n

a r c s i n lim arcsin 1lim lim

b b b b b b b b b b b -=??? ??-=→→→ξ 令b t arcsin =，则有

42

202222022

0s i n l i m s i n s i n l i m l i m t

t

t t t t t b t t b -=-=→→→ξ 3

122s i n 2l i m 612c o s 1l i m 61122cos 22lim 42sin 2lim

0202030

==-=-=-=→→→→t t t t t t t t t t t t t 所以，3

1lim

=

→b

b ξ

． 8．设()()

?--=x

y y dy e

x f 10

2，求()?1

dx x f ．

解：

()()()??'-=1

10

10

dx x f x x xf dx x f

在方程()()?--=

x

y y dy e x f 10

2中，令1=x ，得 ()()

()010

21

10

2===

??---dy e dy e

f y y y y ．

再在方程()()?--=

x

y y dy e x f 10

2两端对x 求导，得()2

1x e x f --='， 因此，

()()()()???'-='-=1

10

10

1

dx x f x dx x f x x xf dx x f

()12

1211

01

1

122

2

-=???

??-?===---??

e e e dx xe e dx xe

x x

x

．

9．研究方程2

x a e x =()0>a 在区间()∞+∞-,内实根的个数．

解：

设函数()12-=-x

e

ax x f ，()()x x x e x ax e ax axe x f ----=-='222．

令()0='x f ，得函数()x f 的驻点2,021==x x ．

由于0>a ，所以 ()(

)+∞=-=--∞

→-∞

→1lim lim 2x

x x e

ax x f ，

()(

)112

lim 12lim 1lim 1lim lim 22-=-=-=-=-=+∞→+∞→+∞→-+∞

→+∞

→x x x x x x x

x x e

a e x a e x a e

ax x f ．

因此，得函数()x f 的性态

⑴ 若0142

>--ae ，即4

2

e a >时，函数()12-=-x e ax x

f 在()0,∞-、()2,0、()∞+,2内

各有一个零点，即方程2x a e x =在()∞+∞-,

内有3个实根．

⑵ 若0142

=--ae ，即4

2

e a =时，函数()12-=-x e ax x

f 在()0,∞-、()∞+,0内各有一个零

点，即方程2x a e x =在()∞+∞-,

内有2个实根．

⑶ 若0142

<--ae ，即4

2

e a <时，函数()12-=-x e ax x

f 在()0,∞-有一个零点，即方程

2x a e x =在()∞+∞-,内有1个实根．

10．设函数()x f 可导，且满足

()()()1-'=-'x f x x f ，()00=f ．

试求函数()x f 的极值． 解：

在方程()()()1-'=-'x f x x f 中令x t -=，得()()()1--'-='t f t t f ，即

()()()1--'-='x f x x f ．

在方程组()()()()??

?-=-'+'-=-'+'x

x f x f x x

x f x x f 中消去()x f -'，得

()2

2

1x x x x f ++='．

积分，注意()00=f ，得()()?++=-x

dt t t t f x f 0

2

2

10．即

()()x x x dt t t t x f x

arctan 1ln 21

120

2

2-++=++=?． 由()221x x x x f ++='得函数()x f 的驻点1,021-==x x ．而()()

222

121x

x x x f +-+=''．所以，

()010>=''f ，()02

1

1<-

=-''f ． 所以，()00=f 是函数()x f 极小值；()4

2ln 2111π

-+

-=-f 是函数()x f 极大值． 三．应用题与证明题（本题满分20分，共有2道小题，每道小题10分），

11．求曲线x y =的一条切线，使得该曲线与切线l 及直线0=x 和2=x 所围成的图形绕x 轴旋

转的旋转体的体积为最小． 解：

设切点坐标为(

)

t t ,

，由t

y 21=

，可知曲线x y =在(

)

t t ,

处的切线方程为

()t x t

t y -=

-21，或()t x t

y +=21．

因此所求旋转体的体积为

()()

???

??+-=??

????????-????

??+=?t t dx x t x t

V 2438421

2

02

2

ππ

所以，

023842=??

?

??+-=t dt dV π．得驻点32±

=t ，舍去32-=t ．由于

0316

43

223

22

2>?

=

==

t t t dt V

d π，因而函数V 在3

2

=

t 处达到极小值，而且也是最小值．因此所求切线方程为2

143+=

x y ． 12．设函数()x f 在闭区间[]10，上连续，在开区间()10，内可导，且

()

2

1

arctan 2

=?xdx e x f ，()01=f ．

证明：至少存在一点()10，∈ξ，使得()()ξ

ξξarctan 11

2

+-='f ．

解：

因为()x f 在闭区间[]1,0上连续，所以由积分中值定理，知存在??

?

?

?

?

∈πη2,0，使得 ()

()ηπ

ηπ

arctan 2

arctan 2

f x f e xdx e =?．

由于()

21arctan 2

=

?

π

xdx e

x f ，所以，()2

1

arctan 2=ηπηf e

．再由()01=f ，得 ()()1arctan 4

arctan 1f f e e ==

π

ηη．

作函数()()

x e x g x f

arctan =，则函数在区间[][]1,01,?η上连续，在区间()1,η内可导．所以由

Rolle 中值定理，存在()()1,01,?∈ηξ，使得()0='ξg ．而 ()()

()()

2

1a r c t a n x

e x x

f e

x g x f x f ++'='． 所以存在()()1,01,?∈ηξ，使得

()

()()

01a r c t a n 2

=++'ξ

ξξξξf f e f e

． 由于()

0≠ξf e ，所以()011arctan 2=++

'ξξξf ，即()()

ξ

ξξarctan 11

2+-=

'f ．