2015-2016学年高二上学期第四次月考数学试卷A卷(理)

2015—2016学年度上学期第四次月考

高二年级数学试题（理）

考试时间150分钟 试题分数120分

一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．集合?

?????∈≤+=Z x x x x P ,21|,集合{}

032|2

>-+=x x x Q ,则=Q C P R

（ ）

A ．[)03，－

B ．{}123－，－，－

C ．{}0123，－，－，－

D ．{}1123，－，－，－ 2．"0"a ≤“是函数|)ax 2(x |)x (f -=在区间(0,+)∞内单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.已知点(),P x y 在不等式组??

?

??≥-+≤-≤-022010

2y x y x 表示的平面区域上运动,则z x y =-的取值

范围是（ ）

A ．[]

1,2-

B ．[]2,1--

C ．[]2,1-

D ．[]1,2

4．已知命题x x R x p lg 2,:>-∈?,命题0,:2>∈?x R x q ,则（ ）

A ．命题q p ∨是假命题

B ．命题q p ∧是真命题

C ．命题)(q p ?∧是真命题

D ．命题)(q p ?∨是假命题

5. 命题“若00,02

2

===+b a b a 且则”的逆否命题是（ ）

A ．若0,002

2

≠+≠≠b a b a 则或 B ．若00,02

2

≠≠≠+b a b a 且则 C ．若00,02

2

≠≠≠+b a b a 或则 D ．若则0,002

2

≠+==b a b a 则且

6．一个四面体的三视图如图所示，

则该四面体的表面积为( )

A.34

B.3

2

C. 3 D ．2 3

7. 曲线3ln 2y x x =++在点0P 处的切线方程为410x y --=,则点0P 的坐标是（ ）

A ．(0,1)

B ．(1,1)-

C ．(1,3)

D ．(1,0)

8.阅读如图所示的程序框图,若输入919

a =

, 则输出的k 值是（ ）

A ．9

B ．10

C ．11

D ．12 9. 设函数()f x ，()g x 满足()()f x g x '>'，则当a x b <<时，有（ ） A 、()()()()f x g b g x f b +>+ B 、()()()()f x g a g x f a +>+ C 、()()f x g x > D 、()()f x g x <

10.已知||2||0a b =≠

，且关于x 的3211()||32

f x x a x a bx =++?

在R 上有极值，则向量,a b 的夹角

范围是（ ） A ．[0,

6π

B ．(,]6ππ

C ．(,]3ππ

D ．2(,33ππ

11.已知双曲线)0( 14

2

22>=-a y a x 的一条渐近线与圆

8)322=+-y x （相交于N M ,两点且4||=MN , 则此双曲线的离心率为（ ）

A ．5

B ．

553 C ．3

55 D ．5 12.已知函数f (x )＝2015

43212015

432x x x x x +?+-+-+，则下列结论正确的是（ ） A. f (x )在(0,1)上恰有一个零点 B . f (x )在(－1,0)上恰有一个零点 C. f (x )在(0,1)上恰有两个零点 D. f (x )在(－1,0)上恰有两个零点 第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：

（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 设1F 、2F 分别是椭圆22

154

x y +=的左、右焦点. 若P 是该椭圆上的一个动点，则21PF ?的最大值为 .

14. 设函数()c 3)f x x ?=+(0?π<<)，若()()f x f x +'是

奇函数，则?= 。

15.过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ．B 两点,则

|

||

|BF AF 的值等于 . 16.已知函数())0(2

1

2<-

+=x e x x f x 与())ln(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称 的点，则a 的取值范围是 .

三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）

在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，111==b a ，84=b ，{}n a 的前10项和5510=S 。 （1）求n a 和n b ；

（2）设{}n n b a 的前n 和为n T ，求n T 。

18. （本小题满分12分）

在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C = （1）求角C 的大小；

（2cos()4

A B π

-+

的最大值.

19.（本小题满分12分）

某学校为了选拔学生参加“XX 市中学生知识竞赛”，先在本校进行选拔测试（满分150分），若该校有100名学生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）根据频率分布直方图，估算这100名学生参加选拔测试的平均成绩；

（Ⅱ）该校推荐选拔测试成绩在110以上的学生代表学校参加市知识竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加市知识竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．

20. （本小题满分12分）

在如图所示的多面体ABCDE 中，AB⊥平面ACD ， DE⊥平面ACD ，AC=AD=CD=DE=2，AB=1， G 为AD 中点．

（1）请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有 直线BF∥平面ACD ，并证明这一事实；

（2）求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小.

21. (本小题满分12分)

椭圆的左、右焦点分别为)0,3(1-F 和)0,3(2F ,且椭圆过点)2

3,1(-. (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)过点)0,5

6

(-

作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于N M ,两点,A 为椭圆的左顶点,证明MAN ∠=

2

π

。

22. （本小题满分12分）

已知函数2

ln )(x x a x f += (a 为实常数) .

（Ⅰ）当4-=a 时,求函数)(x f 在[]1,e 上的最大值及相应的x 值; （Ⅱ）当[]e x ,1∈时,讨论方程()0=x f 根的个数.

（Ⅲ）若0>a ,且对任意的[]12,1,x x e ∈,都有()()2

1211

1x x x f x f -

≤-,求实数a 的取值范围.

河北冀州中学

2015—2016学年度上学期第四次月考

高二年级数学答案（理）

一、选择题： A 卷：DCACA DCCBC BB B 卷：BCADC

ABCDD BC

二、填空题：4

6

π

3 ),(e -∞ 三、解答题： 17.解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由题意得：

8,552

9

10103410===?+

=q b d S ，解得：2,1==q d 12,-==∴n n n b n a -----------------------------------------------------5分 （2）由错位相减得：n T ()121+-=n n ----------------------------------10分 18.解：（1）由正弦定理得：sin sin sin cos A C A C =，因为0A π<<故sin 0A >； 从而sin cos cosC 0C C =≠又，所以tan 1C =，则4

C π

= ----------4分

（2）由（1）知34

B A π

=

-，于是 cos()cos()

4cos 2sin()

6

A B A A A A A π

ππ

-+=--=+=+---------------------------------

-8分

3110,46612A A ππππ<<∴<+< ，从而62

A ππ

+=即3A π=时，

2sin(6

A π

+

取最大值2

cos()4

A B π

-+

的最大值为2，此时5,3

12

A B π

π

=

=

------------12分 19．解析：（Ⅰ）设平均成绩的估计值为X ，则：

(200.001400.004600.009800.0201000.0131200.0021400.001)20X =?+?+?+?+?+?+?? 80=．————————————————————————————6分

（Ⅱ）该校学生的选拔测试分数在[110,130)有4人，分别记为A ，B ，C ，D ，分数在[130,150)有2人，分别记为a ，b ，在则6人中随机选取2人，总的事件有（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ）， （A ，a ），（A ，b ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，a ），（B ，b ），（C ，D ），（C ，a ），（C ，b ），（D ，a ），（D ，b ），（a ，b ）共15个基本事件，其中符合题设条件的基本事件有8个． 故选取的这两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于

设F 是线段CE 的中点，则点F 的坐标

1(,2F

，∴3(,0)2BF =- ， 显然BF

与平面xOy 平行，

此即证得BF∥平面ACD ； …………………6分

（2）设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =

，

则n CB ⊥ ，且n CE ⊥ ，

由(1,CB =

，(1,CE =-

，

∴0

20

x z x z ?-+=??--+=??

，不妨设y =，则12x z =??=?

，即(1n = ，

∴所求角θ

满足(0,0,1)cos 2||

n n θ?==

，∴4πθ=. ………………6分 21.解：（1）设椭圆方程为122

22=+b

y a x ,由题可知:

?????=+=-143

13

2222b a

b a ,解得

?????==1

422

b a ,所以椭圆的方程

14

22

=+y x --------------------------4分 (2)设直线MN 的方程为5

6

-

=ky x ,联立方程组可得 ???????

=+-=14

5622

y x ky x ,化简得:

025

64

512)4(22=--

+ky y k -------------------------------6分 设),(),,(2211y x N y x M ,则)

4(512,)4(256422

1221+=++-=k k

y y k y y , 又),(02-A ,则

025

16

)(54)1(),2(),2(212122211=++++=+?+=?y y k y y k y x y x AN AM ,

所以⊥,MAN ∠=

2

π

。………………………12分

22. 解:(1))0(4

2)(2>-=

'x x

x x f ,当)2,1[∈x 时,0)(<'x f .当(]

e x ,2∈时,0)(>'x

f ,又014)1()(2>-+-=-e f e f ,故4)()(2max -==e e f x f ,当e x =时,

取等号 ---------4分

(2)易知1≠x ,故[]e x ,1∈,方程()0=x f 根的个数等价于(]e x ,1∈时,

方程x x a ln 2

=-根的个数. 设()x g =x x ln 2

, x

x x x x x x x x g 222

ln )1ln 2(ln 1

ln 2)(-=-=' 当()

e x ,1∈时,0)(<'x g ,函数)(x g 递减,当]e e x ,(∈时,0)(>'x g ,函数)(x g 递

增.又2)(e e g =,e e g 2)(=,作出)(x g y =与直线a y -=的图像,由图像知:

当22e a e ≤-<时,即e a e 22

-<≤-时,方程()0=x f 有2个相异的根; 当2

e a -< 或e a 2-=时,方程()0=x

f 有1个根;

当e a 2->时,方程()0=x f 有0个根;

-----------------------------------------------------8分

(3)当0>a 时,)(x f 在],1[e x ∈时是增函数,又函数x

y 1

=

是减函数,不妨设e x x ≤≤≤211,则()()2

12111x x x f x f -

≤

-等价于21121

1)()(x x x f x f -≤- 即11221

)(1)(x x f x x f +≤+,故原题等价于函数()x x f x h 1)(+=在],1[e x ∈时是减函

数,

012)(2≤-+='∴x

x x a x h 恒成立,即221

x x a -≤在],1[e x ∈时恒成立.

221

x x

y -=

在

],1[e x ∈时是减函数

221

e e

a -≤

∴ -------------------------------------12分