高三数学求空间距离
难点28 高考数学重点难点复习：求空间距离
空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离.
●难点磁场
(★★★★)如图，已知ABCD 是矩形，AB =a ,AD =b ,P A ⊥平面ABCD ，P A =2c ,Q 是P A 的中点.
求：(1)Q 到BD 的距离； (2)P 到平面BQD 的距离. ●案例探究
［例1］把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求：
(1)EF 的长；
(2)折起后∠EOF 的大小.
命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目.
知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式. 错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直.
技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为
原点，以、、的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单.
解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,－4
2
a , a ),F (
42a , 4
2
a ,0)
21|
|||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420)
0,4
2
,42(),42,42,0()2(23,43)420()4242()042(||)1(2
2222-=>=<==
-
=?+-+?=?=-==∴=-+++-=OF OE a a a a a a a a a a a a EF a a a a a
∴∠EOF =120°
［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离.
命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目. 知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.
错解分析：本题容易错误认为O 1B 是A 1C 与AB 1的距离，这主要是对异面直线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离.
技巧与方法：求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.
解法一：如图，连结AC 1，在正方体AC 1中，∵A 1C 1∥AC ,∴A 1C 1∥平面AB 1C ，∴A 1C 1与平面AB 1C 间的距离等于异面直线A 1C 1与AB 1间的距离
.
连结B 1D 1、BD ，设B 1D 1∩A 1C 1=O 1,BD ∩AC =O ∵AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，∴AC ⊥平面BB 1D 1D
∴平面AB 1C ⊥平面BB 1D 1D ，连结B 1O ，则平面AB 1C ∩平面BB 1D 1D =B 1O 作O 1G ⊥B 1O 于G ，则O 1G ⊥平面AB 1C
∴O 1G 为直线A 1C 1与平面AB 1C 间的距离，即为异面直线A 1C 1与AB 1间的距离.
在Rt △OO 1B 1中，∵O 1B 1=22，OO 1=1，∴OB 1=21121B O OO += 2
6 ∴O 1G =
3
3
1111=
?OB B O O O ，即异面直线A 1C 1与AB 1间距离为33. 解法二：如图，在A 1C 上任取一点M ，作MN ⊥AB 1于N ，作MR ⊥A 1B 1于R ，连结RN ，
∵平面A 1B 1C 1D 1⊥平面A 1ABB 1，∴MR ⊥平面A 1ABB 1，MR ⊥AB 1 ∵AB 1⊥RN ，设A 1R =x ,则RB 1=1－x ∵∠C 1A 1B 1=∠AB 1A 1=45°， ∴MR =x ,RN =NB 1=
)1(2
2
x - 3
1
)31(23)1(21
22222+-=
-+=+=x x x RN MR MN (0＜x ＜1) ∴当x =31
时，MN 有最小值33即异面直线A 1C 1与AB 1距离为3
3. ●锦囊妙记
空间中的距离主要指以下七种： (1)两点之间的距离. (2)点到直线的距离. (3)点到平面的距离. (4)两条平行线间的距离. (5)两条异面直线间的距离.
(6)平面的平行直线与平面之间的距离. (7)两个平行平面之间的距离.
七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距
离.
在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点. 求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.
求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.
●歼灭难点训练 一、选择题
1.(★★★★★)正方形ABCD 边长为2，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角(如图)，M 为矩形AEFD 内一点，如果∠MBE =∠MBC ，MB 和平面BCF 所成角的正切值为2
1
，那么点M 到直线EF 的距离为( )
2
1 D. 23C. B.1 22A.
2.(★★★★)三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=1，AB =4，BC =3，∠ABC =90°,设平面A 1BC 1与平面ABC 的交线为l ，则A 1C 1与l 的距离为( )
A.10
B.11
C.2.6
D.2.4
二、填空题
3.(★★★★)如左下图，空间四点A 、B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则P 与Q 的最短距离为_________.
4.(★★★★)如右上图，ABCD 与ABEF 均是正方形，如果二面角E —AB —C 的度数为
30°，那么EF 与平面ABCD 的距离为_________.
三、解答题
5.(★★★★★)在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =3，CC 1=2，如图：
(1)求证：平面A 1BC 1∥平面ACD 1； (2)求(1)中两个平行平面间的距离； (3)求点B 1到平面A 1BC 1的距离.
6.(★★★★★)已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥D 1B 且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°,AB =a ,求：
(1)截面EAC 的面积；
(2)异面直线A 1B 1与AC 之间的距离； (3)三棱锥B 1—EAC 的体积.
7.(★★★★)如图，已知三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A 与AB 、AC 均成45°角，且A 1E ⊥B 1B 于E ，A 1F ⊥CC 1于F .
(1)求点A 到平面B 1BCC 1的距离；
(2)当AA 1多长时，点A 1到平面ABC 与平面B 1BCC 1的距离相等. 8.(★★★★★)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =2
,AB = 3
1AD =a ,
∠ADC =arccos
55
2
,P A ⊥面ABCD 且P A =a .
(1)求异面直线AD 与PC 间的距离；
(2)在线段AD 上是否存在一点F ，使点A 到平面PCF 的距离为
3
6. 参考答案
难点磁场
解：(1)在矩形ABCD 中，作AE ⊥BD ，E 为垂足 连结QE ，∵QA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理得QE ⊥BE ∴QE 的长为Q 到BD 的距离 在矩形ABCD 中，AB =a ,AD =b , ∴AE =
2
2
b
a a
b +
在Rt △QAE 中，QA =2
1P A =c
∴QE =222
22
b
a b a c ++
∴Q 到BD 距离为222
22
b
a b a c ++.
(2)解法一：∵平面BQD 经过线段P A 的中点， ∴P 到平面BQD 的距离等于A 到平面BQD 的距离 在△AQE 中，作AH ⊥QE ，H 为垂足
∵BD ⊥AE ,BD ⊥QE ,∴BD ⊥平面AQE ∴BD ⊥AH ∴AH ⊥平面BQE ，即AH 为A 到平面BQD 的距离. 在Rt △AQE 中，∵AQ =c ,AE =
2
2
b
a a
b +
∴AH =2
22
2
2
)(b
a c
b a ab
c ++
∴P 到平面BD 的距离为
2
22
2
2
)(b
a c
b a ab
c ++
解法二：设点A 到平面QBD 的距离为h ，由 V A —BQD =V Q —ABD ,得31S △BQD ·h =3
1S △ABD ·AQ h =
22222)(b
a c
b a abc
S AQ S BQD ABD ++=
=??? 歼灭难点训练
一、1.解析：过点M 作MM ′⊥EF ,则MM ′⊥平面BCF ∵∠MBE =∠MBC
∴BM ′为∠EBC 为角平分线， ∴∠EBM ′=45°,BM ′=2,从而MN =2
2 答案：A
2.解析：交线l 过B 与AC 平行，作CD ⊥l 于D ，连C 1D ，则C 1D 为A 1C 1与l 的距离，而CD 等于AC 上的高，即CD =
5
12,Rt △C 1CD 中易求得C 1D =513
=2.6
答案：C
二、3.解析：以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，因为AQ =BQ =
22
a ,∴PQ ⊥AB ,同理可得PQ ⊥CD ，故线段PQ 的
长为
P 、Q
两点间的最短距离，在
Rt △APQ 中，
PQ =2
2
)2()23(
2222=
-=-a a AP AQ a 答案：
2
2a 4.解析：显然∠F AD 是二面角E —AB —C 的平面角，∠F AD =30°,过F 作FG ⊥平面ABCD 于G ，则G 必在AD 上，由EF ∥平面ABCD .
∴FG 为EF 与平面ABCD 的距离，即FG =2
a . 答案：
2
a
三、5.(1)证明：由于BC 1∥AD 1，则BC 1∥平面ACD 1
同理，A 1B ∥平面ACD 1，则平面A 1BC 1∥平面ACD 1
(2)解：设两平行平面A 1BC 1与ACD 1间的距离为d ，则d 等于D 1到平面A 1BC 1的距离.易求A 1C 1=5，A 1B =25，BC 1=13，则cos A 1BC 1=
65
2,则sin A 1BC 1=
65
61,
则S 111C B A ?=61,由于111111D C A B BC A D V V --=，则3
1
S 11BC A ?·d =)2
1
(31111D C AD ?·BB 1,代入
求得d =616112,即两平行平面间的距离为61
61
12.
(3)解：由于线段B 1D 1被平面A 1BC 1所平分，则B 1、D 1到平面A 1BC 1的距离相等，则由(2)知点B 1到平面A 1BC 1的距离等于
61
61
12. 6.解：(1)连结DB 交AC 于O ，连结EO ， ∵底面ABCD 是正方形 ∴DO ⊥AC ，又ED ⊥面ABCD ∴EO ⊥AC ，即∠EOD =45° 又DO =
22a ，AC =2a ，EO =?
45cos DO =a ，∴S △EAC =22a (2)∵A 1A ⊥底面ABCD ，∴A 1A ⊥AC ，又A 1A ⊥A 1B 1 ∴A 1A 是异面直线A 1B 1与AC 间的公垂线 又EO ∥BD 1，O 为BD 中点，∴D 1B =2EO =2a ∴D 1D =2a ，∴A 1B 1与AC 距离为2a
(3)连结B 1D 交D 1B 于P ，交EO 于Q ，推证出B 1D ⊥面EAC ∴B 1Q 是三棱锥B 1—EAC 的高，得B 1Q =2
3
a
3
24
22322311a a a V EAC B =??=-
7.解：(1)∵BB 1⊥A 1E ，CC 1⊥A 1F ，BB 1∥CC 1 ∴BB 1⊥平面A 1EF 即面A 1EF ⊥面BB 1C 1C 在Rt △A 1EB 1中， ∵∠A 1B 1E =45°，A 1B 1=a ∴A 1E =
22a ,同理A 1F =22a ,又EF =a ，∴A 1E =2
2a
同理A 1F =
2
2
a ,又EF =a ∴△EA 1F 为等腰直角三角形，∠EA 1F =90°
过A 1作A 1N ⊥EF ，则N 为EF 中点，且A 1N ⊥平面BCC 1B 1 即A 1N 为点A 1到平面BCC 1B 1的距离 ∴A 1N =2
2
1a =
又∵AA 1∥面BCC 1B ，A 到平面BCC 1B 1的距离为2
a ∴a =2，∴所求距离为2
(2)设BC 、B 1C 1的中点分别为D 、D 1，连结AD 、DD 1和A 1D 1，则DD 1必过点N ，易证ADD 1A 1为平行四边形.
∵B 1C 1⊥D 1D ,B 1C 1⊥A 1N ∴B 1C 1⊥平面ADD 1A 1 ∴BC ⊥平面ADD 1A 1
得平面ABC ⊥平面ADD 1A 1，过A 1作A 1M ⊥平面ABC ，交AD 于M ， 若A 1M =A 1N ，又∠A 1AM =∠A 1D 1N ，∠AMA 1=∠A 1ND 1=90° ∴△AMA 1≌△A 1ND 1,∴AA 1=A 1D 1=3,即当AA 1=3时满足条件. 8.解：(1)∵BC ∥AD ,BC ?面PBC ,∴AD ∥面PBC
从而AD 与PC 间的距离就是直线AD 与平面PBC 间的距离. 过A 作AE ⊥PB ，又AE ⊥BC ∴AE ⊥平面PBC ，AE 为所求. 在等腰直角三角形P AB 中，P A =AB =a ∴AE =
2
2a (2)作CM ∥AB ，由已知cos ADC =55
2 ∴tan ADC =2
1,即CM =2
1DM
∴ABCM 为正方形，AC =2a ,PC =3a 过A 作AH ⊥PC ,在Rt △P AC 中，得AH =3
6 下面在AD 上找一点F ，使PC ⊥CF
取MD中点F，△ACM、△FCM均为等腰直角三角形
∴∠ACM+∠FCM=45°+45°=90°
∴FC⊥AC,即FC⊥PC∴在AD上存在满足条件的点F.
［学法指导］立体几何中的策略思想及方法
立体几何中的策略思想及方法
近年来，高考对立体几何的考查仍然注重于空间观点的建立和空间想象能力的培养.题目起点低，步步升高，给不同层次的学生有发挥能力的余地.大题综合性强，有几何组合体中深层次考查空间的线面关系.因此，高考复习应在抓好基本概念、定理、表述语言的基础上，以总结空间线面关系在几何体中的确定方法入手，突出数学思想方法在解题中的指导作用，并积极探寻解答各类立体几何问题的有效的策略思想及方法.
一、领悟解题的基本策略思想
高考改革稳中有变.运用基本数学思想如转化，类比，函数观点仍是考查中心，选择好典型例题，在基本数学思想指导下，归纳一套合乎一般思维规律的解题模式是受学生欢迎的，学生通过熟练运用，逐步内化为自己的经验，解决一般基本数学问题就会自然流畅.
二、探寻立体几何图形中的基面
立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地“立”起来.在具体的问题中，证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面.这个辅助平面的获取正是解题的关键所在，通过对这个平面的截得，延展或构造，纲举目张，问题就迎刃而解了.
三、重视模型在解题中的应用
学生学习立体几何是从认识具体几何模型到抽象出空间点、线、面的关系，从而培养空间想象能力.而数学问题中许多图形和数量关系都与我们熟悉模型存在着某种联系.它引导我们以模型为依据，找出起关键作用的一些关系或数量，对比数学问题中题设条件，突出特性，设法对原图形补形，拼凑、构造、嵌入、转化为熟知的、形象的、直观的模型，利用其特征规律获取优解.
空间几何中的角和距离的计算
空间角和距离的计算(1) 一 线线角 1．直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ，∠BCA=900，点D 1，F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值． 2．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥面ABCD ，PD 与底面成300角． （1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； （2）若AE ⊥PD ，求异面直线AE 与CD 所成角的大小． 二．线面角 1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1、CD 的中点，且正方体的棱长为2． （1）求直线D 1F 和AB 和所成的角； （2）求D 1F 与平面AED 所成的角． F 1D 1B 1 C 1A 1 B A C A B C D P E C D E F D 1 C 1 B 1 A 1 A B
2．在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，四边形AA 1B 1B 是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB ，AB=4，C 1B 1=3，∠ABB 1=600，求AC 1与平面BCC 1B 1所成角的大小． 三．二面角 1．已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点． （1）证明AB 1∥平面DBC 1； （2）设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角的大小． 2．ABCD 是直角梯形，∠ABC=900，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=0.5． （1）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小； （2）求SC 与面ABCD 所成的角． 3．已知A 1B 1C 1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，∠A 1AC=600，∠A 1AB=450，求二面角B —AA 1—C 的大小． B 1 C 1 A 1 B A C D B 1 C 1 A 1B A C B A D C S B 1 C 1 B C A 1
立体几何中角度与距离求法
立体几何中角度距离的求法 一 空间向量及其运算 1 .空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝___________. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?______________ a ⊥b ?__________?________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝__________________， cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝__________. 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则d AB ＝|AB → |＝___________. 2.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角，已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2，则 称a 与b __________，记作a ⊥b . ②两向量的数量积，已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________. (2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa )·b ＝____________； ②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是 ________________________. 推论，如图所示，点P 在l 上的充要条件是：OP →＝OA → ＋t a ① 其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB → ＝a ， 则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB → . (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM → ＋yOA →＋zOB → ，其中x ＋y ＋z ＝______. (3)空间向量基本定理，如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.
空间角与距离求法(高二)
1 空间角与点面距离求法 求空间角和点到平面的距离是教学的重点，也是学生学习的难点，更是高考的必考点.新课标强调要求利用向量的运算来解决这两个问题,而新教材的处理是通过探究引导学生推理得出相关公式.在复习时,作为教师有必要帮助学生对相关的知识进行梳理、归纳和小结. 1.空间角的求法 在立体几何中,求空间角是学习的重点，也是学习的难点，更是高考的必考点.我们在复习时,必须对相关的知识进行梳理、归纳和小结,才会灵活运用公式熟练地求出空间角. 一、相关概念和公式 (1) b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作,,b a ==则AOB ∠叫做 向量a 与向量b 的夹角，记作>≤≤=< . (3) 设),,(111z y x a = , ),,(222z y x b = 则212121||z y x a ++= ,222222||z y x b ++= , 212121z z y y x x b a ++=? . 二、两条异面直线所成的角 (1) 定义：已知两条异面直线a 和b ，经过空间任一点O 作直线,//,//b b a a ''我们把a '与b ' 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角（或夹角）. (2) 范围: 异面直线a 和b 所成的角为θ： 900≤<θ, 则cos 0≥θ . (3) 求法: ▲① 平移法: 把两条异面直线a 和b 平移经过某一点(往往选取图中的特殊点),构造三角形(有时会用到补形法,如三棱柱补成平行六面体等),解三角形(通常用到余弦定理).特别提醒:若由边角关系求得为钝角．． 时,注意取其补角为异面直线所成的角. ▲② 向量法: 若a 和b 分别是异面直线a 和b 的方向向量,则 | ||||||||||||,cos |cos b a b a b a b a b a ??=??=><=θ . 说明: ① 其中=θ或- 180 ; ② 在计算b a ?时可用向量分解或坐标进行运算. 三、直线与平面所成的角 (1) 定义: 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角,叫 做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角) 如果直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的角是直角;如果直线和平面平行或在平
空间角及空间距离的计算知识点
空间角及空间距离的计算 1.异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在在两异面直线中的一条上取一点， 过该点作另一条直线平行线， 2. 斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA 是平面α的一条斜线，A 为斜足，O 为垂足，OA 叫斜线PA 在平面α上射影，PAO ∠为线面角。 3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l αβ--，二面角的大小 指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直 用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是： ①明确构成二面角两个半平面和棱； ②明确二面角的平面角是哪个？ 而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。（求空间角的三个步骤是“一 找”、“二证”、“三计算”） 4.异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的公垂线段的长度。如图PQ 是两异面直线间的 距离 （异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的直线） 5. 点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。 如图：O 为P 在平面α上的射影， 线段OP 的长度为点P 到平面α的距离 长方体的“一角” 模型 在三棱锥P ABC -中，,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥，且,,PA a PB b PC c ===. ①以P 为公共点的三个面两两垂直； ③P 在底面ABC 的射影是△ABC 的垂心 ----,,l OA OB l OA l OB l AOB αβαβαβ??⊥⊥∠如图：在二面角中，O 棱上一点，，， 的平面角。 且则为二面角 a b ''??如图：直线a 与b 异面，b//b ，直线a 与直线b 的夹角为两异 面直线与所成的角，异面直线所成角取值范围是（0，90] 求法通常有：定义法和等体积法 等体积法：就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。 如图在三棱锥V ABC -中有： S ABC A SBC B SAC C SAB V V V V ----=== C A
利用空间向量求空间角和距离
利用空间向量求空间角和距离 A 级——夯基保分练 1.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知M ，N 分别是BD 和AD 的中点，则B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为( ) A.30 30 B ．3015 C. 3010 D. 1515 解析：选C 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则B 1(2,2,2)，M (1,1,0)，D 1(0，0,2)，N (1,0,0)，∴B 1M ―→ ＝(－1，－1，－2)，D 1N ―→ ＝(1,0，－2)， ∴B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为|B 1M ―→·D 1N ―→ | |B 1M ―→|·|D 1N ―→|＝ |－1＋4|1＋1＋4×1＋4＝30 10 . 2.如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝3，E 为线段AB 上一点，且AE ＝1 3AB ，则DC 1与平面D 1EC 所成角的 正弦值为( ) A.33535 B ．277 C.33 D.24 解析：选A 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C 1(0,3,1)，D 1(0,0,1)，E (1,1,0)，C (0,3,0)， ∴DC 1―→＝(0,3,1)，D 1E ―→＝(1,1，－1)，D 1C ―→ ＝(0,3，－1)． 设平面D 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则????? n ·D 1E ―→＝0，n · D 1C ―→＝0，即????? x ＋y －z ＝0，3y －z ＝0，取y ＝1，得n ＝(2,1,3)． ∴cos DC 1―→，n ＝DC 1―→·n |DC 1―→|·|n| ＝33535， ∴DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为335 35 .
立体几何专题空间几何角和距离的计算
立体几何专题：空间角和距离的计算 一 线线角 1．直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ，∠BCA=900，点D 1，F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值。 B 1 2．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥面ABCD ，PD 与底面成300角，（1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ；（2）若AE ⊥PD ，求异面直线AE 与CD 所成角的大小； D 二．线面角 1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1、CD 的中点，且正方体的棱长为2，（1）求直线D 1F 和AB 和所成的角；（2）求D 1F 与平面AED 所成的角。 1 2．在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，四边形AA 1B 1B 是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB ， AB=4，C 1B 1=3，∠ABB 1=600，求AC 1与平面BCC 1B 1所成角 的大小。 B 1
三．二面角 1．已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点，（1）证明AB 1∥平面DBC 1；（2）设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角的大小。 B 1 2．ABCD 是直角梯形，∠ABC=900，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=0.5，（1）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小；（2）求SC 与面ABCD 所成的角。 B C 3．已知A 1B 1C 1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，∠A 1AC=600，∠A 1AB=450，求二面角B —AA 1—C 的大小。 1 四 空间距离计算 （点到点、异面直线间距离）1.在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是BC 的中点，DP 交AC 于M ，B 1P 交BC 1于N ，（1）求证：MN 上异面直线AC 和BC 1的公垂线；（2）求异面直线AC 和BC 1间的距离； C 1 A
空间角的几何求法
空间角的几何求法 一、 异面直线所成角（线线角）范围： (0, ]2 π θ∈ 先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得。 【典例分析】 例1. 已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC = AD = CD = DE = 2，AB = 1，F 为CD 的中点. （1）求证：AF ⊥平面CDE ； （2）求异面直线AC ，BE 所成角余弦值； 【变式】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为。 二、直线与平面所成角（线面角）范围：[0,]2 π θ∈ 【典例分析】 例1.如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°， A 1A =4，C 1C =1，A B =B C =B 1B =2． （1）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（2）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值． 【变式】如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA//PB ，PB=AB=2MA ， （1）证明：AC//平面PMD ； （2）求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小； 1111ABCD A B C D -1AB BC ==13AA =1AD 1DB
例2. 如图所示，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2， M 为PC 的中点。 (1)求证：BM∥平面PAD ； (2)在侧面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ； (3)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦。 【变式】如图，在三棱锥V ABC -中，VC ABC ⊥底面，AC BC ⊥，D 是AB 的中点， 且AC BC a ==，π02VDC θθ? ?=<< ?? ?∠． （1）求证：平面VAB ⊥平面VCD ； （2）试确定角θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角为π 6 ． 三、平面与平面所成角（面面角）范围：[0,]θπ∈ （1）定义法：当点A 在二面角α-λ-β的棱λ上时，可过A 分别在α、β内作棱λ的 垂线，AB 、AC ，由定义可知∠BAC 即为二面角α-λ-β的平面角。 （2）三垂线法：当点A 在二面角α-λ-β的一个面α内时，可作AO ⊥β于O ， 再作OB ⊥λ于B ，连结AB ，由三垂线定理可得AB ⊥λ， 故∠ABO 即为二面角α-λ-β的平面角。 （3）垂面法：当点A 在二面角α-λ-β内时，可作AB ⊥α于B ，AC ⊥β于C ， 设1过AB 、AC 的平面与λ交于点O ，连结OB 、OC ，可证平面， ABOC 是λ的垂面，则λ⊥OB ，λ⊥OC ，∠BOC 即为二面角α-λ-β的平面角。 （4）射影面积法：原 射影S cos S = α 【典例分析】 l a b c Ｖ A Ｃ Ｂ
空间向量的应用----求空间角与距离
空间向量的应用----求空间角与距离 一、考点梳理 1.自新教材实施以来，近几年高考的立体几何大题，在考查常规解题方法的同时，更多地关注向量法（基向量法、坐标法）在解题中的应用。坐标法（法向量的应用），以其问题（数量关系：空间角、空间距离）处理的简单化，而成为高考热点问题。可以预测到，今后的高考中，还会继续体现法向量的应用价值。 2.利用法向量求空间角和空间距离，其常用技巧与方法总结如下： 1)求直线和直线所成的角 若直线AB 、CD 所成的角是α，cos α=|,cos |> 计算公式为： 4).利用法向量求点面距离 如图点P 为平面外一点，点A 为平面内的任一点，平面的法向量为n ,过点P 作平面α的垂线PO ，记∠OPA=θ，则点P 到平面的距离 θcos ||||PA PO d == 5).法向量在距离方面除应用于点到平面的距离外，还能处理异面直线间的距离，线面 间的距离，以及平行平面间的距离等。其一，这三类距离都可以转化为点面间的距离；其二， 异面直线间的距离可用如下方法操作：在异面直线上各取一点A 、B ，AB 在n 上的射影长即 为所求。n 为异面直线AD 、BC 公共垂直的方向向量，可由0n AD ?=及0n BC ?=求得，其计算公式为： || || n AB d n =。其本质与求点面距离一致。 向量是新课程中引进的一个重要解题工具。而法向量又是向量工具中的一朵厅葩，解题方法新颖，往往能使解题有起死回生的效果，所以在学习中应起足够的重视。 二、范例分析 例1 已知ABCD 是上、下底边长分别为2和6，3将它沿对称轴1 OO n α A P O θ 高中数学立体几何 空间距离 1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异 面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离 【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离； 【规解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线. (2)在Rt △BEF 中，BF = a 23 ,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2 12，即EF =a 22 . 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为 a 2 2 . 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED . ∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB . ∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离. ∵CE =23,∴CF =FD =21,∠EFC =90°,EF =2221232 2 =??? ??-??? ? ??. ∴AB 、CD 的距离是 2 2 . 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法： （1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度. （2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面，可以转化为求两平行平面的距离. 题型二：两条异面直线间的距离 【例3】 如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离； 过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴O 是△BCD 的中心，∴BO = 3 2BE =332332= ?. 例1题图 例2题图 例3题图 课时提升作业 九 直线的参数方程 渐开线与摆线 一、选择题(每小题6分,共18分) 1.直线{x =?3+tcosα,y =2+tsinα (t 为参数,α=π 6)不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解答】选D.直线{x =?3+tcosα,y =2+tsinα 经过点(-3,2),倾斜角α=π 6,所以不经过第四 象限. 【补偿训练】直线{x =?3+tsinα,y =2+tcosα (t 为参数,α=π 6)的倾斜角为 ( ) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.5π 6 【解析】选C.方法一:直线{x =?3+tsinα,y =2+tcosα (t 为参数,α=π 6)的普通方程为 y-2=√3(x+3),所以由直线的斜率得倾斜角为π 3. 方法二:直线{ x =?3+tsinα,y =2+tcosα (t 为参数,α=π 6) 即{x =?3+tcos (π 2 ?α), y =2+tsin (π 2 ?α), 所以直线的倾斜角为π 3 . 2.(·衡水高二检测)若直线的参数方程为{x =1+2t, y =2?3t (t 为参数),则直线的斜率 为 ( ) A.23 B.-32 C.32 D.-2 3 【解析】选B.直线{x =1+2t,y =2?3t 的普通方程为y=-32x+72,所以直线的斜率为-3 2. 3.已知直线l 过点P(1,2),其参数方程为{x =1?t, y =2+t (t 是参数),直线l 与直线 2x+y-2=0交于点Q,则|PQ|= ( ) A.1 B.√2 C.2 D.2√2 【解析】选D.方法一:将直线l 的参数方程{x =1?t, y =2+t (t 是参数)化为普通方程 y=-x+3,代入2x+y-2=0, 得x=-1,y=4,即Q(-1,4), 所以|PQ|2=4+4=8,|PQ|=2√2. 方法二:将直线l 的方程化为标准形式{x =1?√2 2 t′, y =2+√2 2 t′, 代入2x+y-2=0得t ′=2√2, 所以PQ=|t ′|=2√2. 二、填空题(每小题6分,共12分) 4.(·重庆高考)已知直线l 的参数方程为{x =?1+t, y =1+t, (t 为参数)以坐标原点为 极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2cos2θ=4(ρ >0, 3π4 <θ< 5π4 ),则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为__________. 【解题指南】首先将直线与曲线C 的方程化为直角坐标系下的方程,然后求出交点坐标再化为极坐标即可. 【解析】因为直线l 的参数方程为{x =?1+t, y =1+t, 所以直线l 的普通方程为y=x+2. 基础训练34(A) 空间的角度与距离 ●训练指要 掌握空间有关的角与距离的概念、范围、计算方法，会计算有关的距离和角. 一、选择题 1.(2001年全国高考题)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜，记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3. 若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则 A.P3＞P2＞P1 B.P3＞P2=P1 C.P3=P2＞P1 D.P3=P2=P1 2.给出下列四个命题： ①如果直线a∥平面α，a 平面β，且α∥β，则a与平面α的距离等于平面α与β的距离； ②两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条平行直线的距离等于这两个平面间的距离； ③异面直线a、b分别在两个平行平面内，则a、b的距离等于这两个平面的距离； ④若点A在平面α内，平面α和β平行，则A到平面β的距离等于平面α与平面β的距离. 其中正确的命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各条棱长均相等，则AC 1与平面 BB 1C 1C 所成角的余弦值等于 A.4 10 B.66 C.26 D.2 10 二、填空题 4.二面角α—l —β的面α内有一条直线a 与l 成45°的角，若这个二面角的平面角也是45°,则直线a 与平面β成角的度数为_________. 5.三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O ，点P 到三个平面的距离的比为1∶ 2∶3，PO =214,则P 点到这三个平面的距离分别是_________. 三、解答题 6.如图，在正三棱锥P —ABC 中，侧棱长3 cm ，底面边长2 cm ，E 是BC 的中点，EF ⊥P A ，垂足为F . (1)求证：EF 为异面直线P A 与BC 的公垂线段； (2)求异面直线P A 与BC 间的距离. 7.如图，正四棱锥S —ABCD 的所有棱长都相等，过底面对角线 AC 作平行于侧棱SB 的截面交SD 于E . (1)求AB 与SC 所成角的大小； (2)求二面角E —AC —D 的大小； (3)求直线BC 与平面EAC 所成角的大小. 8.在棱长为a 的正四面体ABCD 中，M 、E 分别是棱BD 、BC 的中点，N 是BE 的中点， 空间角和距离的计算(1) 线线角 1.直三棱柱ABQ-ABC,/ BCA=90,点Di, F i分别是AiB和AC的中点，若BC=CA=CQ求BD 与AF i所成角的余弦值. 2.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，/ BAD=90, AD // BC, AB=BC=a AD=2a 且PAL面ABCD PD与底面成30° 角. (1 )若AEL PD, E为垂足,求证：BEL PD (2)若AEL PD求异面直线AE与CD所成角的大小. 二.线面角 1.正方体ABCD-ABGD中，E, F分别为BB、CD的中点，且正方 体的棱长为2. (1)求直线DF和AB和所成的角； (2)求DF与平面AED所成的角. A C i C P B 2.在三棱柱ABQ-ABC中，四边形AABB是菱形，四边形BCGB i是矩形，GB丄AB, AB=4, CB i=3, / ABB=600，求AC与平面BCGB所成角的大小. 三?二面角 1.已知ABC-ABC是正三棱柱，D是AC中点. (1)证明AB//平面DBG; (2)设AB丄BG,求以BC为棱，DBC与CBC为面的二面角的大 小. 2. ABCD是直角梯形，/ ABC=90, SA丄面ABCD SA=AB=BC=,1 AD= (1)求面SCD与面SBA所成的二面角的大小; c i C S (2)求SC与面ABCD所成的角. 3.已知ABC-ABC是三棱柱，底面是正三角形，/ A i AC=6(f,/ A I AB=45°,求二面角B—AA—C 的 大小. 空间角和距离的计算⑵ 四空间距离计算 (点到点、异面直线间距离) 1.在棱长为a的正方体ABCD-ABQD中，P是BC的中点，DP交AC于M BP交BC于N. (1)求证：MN上异面直线AC和BC的公垂线; (2)求异面直线AC和BC间的距离. 高中数学立体几何 空间距离 1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离 【 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离 【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离； 【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . ； 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线. (2)在Rt △BEF 中，BF = a 23 ,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2 12，即EF =a 22 . 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为 a 2 2 . 、 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED . ∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB . ∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离. ∵CE =23 ,∴CF =FD =2 1,∠EFC =90°,EF = 2221232 2 =??? ??-??? ? ??. ∴AB 、CD 的距离是2 2 . 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法： } （1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度. （2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离. 题型二：两条异面直线间的距离 例1题图 例2题图 【例1】 在正方体1111ABCD A B C D -中，1111111 44 A B B E D F == =，求1BE 与1DF 所成角的余弦值． 【例2】 直三棱柱111ABC A B C -中，1111BC AC BC AB ⊥⊥，．求证：11 AB AC =． 【例3】 如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD -中，90ABC ∠=°，SA ⊥平面 ABCD ，1 12 SA AB BC AD ==== ，．求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． C 1 B 1 A 1 C B A D C B A S 典例分析 板块四.用空间向量计算距离 与角度 【例4】 已知(023)A ，，，(216)B -，，，(115)C -，，，求方向向量为(001)j =，，直线与平 面ABC 所成角的余弦值． 【例5】 已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，5AA '=， 60BAA DAA ''∠=∠=°，90BAD ∠=°，求AC '的长 【例6】 如图直角梯形OABC 中，π 2 COA OAB ∠=∠= ，2OC =，1OA AB ==，SO ⊥平面OABC ，1SO =，以OC 、OA 、OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系O xyz -． ⑴求SC 与OB 的夹角α的大小（用反三角函数表示）； ⑵设(1)n p q =，，，满足n ⊥平面SBC ，求 ①n 的坐标； ②OA 与平面SBC 的夹角β（用反三角函数表示）； ③O 到平面SBC 的距离． 【例7】 如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ， G 在AD 上，且4PG =，1 3 AG GD =，BG GC ⊥，2GB GC ==，E 是BC 的中点． ⑴求异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值； ⑵求点D 到平面PBG 的距离； ⑶若F 点是棱PC 上一点，且DF GC ⊥，求 PF FC 的值． D ' C ' B 'A 'D C B A C B A O S 用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法 向量， 则斜线l 与平 面 α 所成的角 α=arcsin | ||||| l n l n （３）求二面角 法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角 l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b 法二、设12,,n n 是二面角l αβ--的两 个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角 l αβ--的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 2 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 法二、设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ． （２）求异面直线的距离 法一、找平面β使b β?且a β，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别 为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ==（此方法移植于点面距离的求法）． 用向量法求空间角与距离 1.1. 向量的数量积和坐标运算 b a ,是两个非零向量，它们的夹角为 ，则数 cos |||| b 叫做与的数量积（或内积），记作b a ，即.cos |||| 其几何意义是a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是： 若),,(),,,(222111z y x b z y x a ，则 ①212121z z y y x x b a ； ②2 22222212121||,||z y x b z y x a ； ③212121z z y y x x b a ④2 2 2 22 22 12 12 12 12121,cos z y x z y x z z y y x x b a 1.2. 异面直线n m ,所成的角 分别在直线n m ,上取定向量,,b a 则异面直线n m ,所成的角 等于向量b a ,所成的角或其补角（如图1所示），则 .||||| |cos b a b a （例如2004年高考数学广东卷第18题第（2）问） 1.3. 异面直线n m 、的距离 分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的 向量，分别在n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离d 等于在 上的射影长，即| |n d . 图1 证明：设CD 为公垂线段，取b a ,（如图1所示），则 | |||)( | |||n d 设直线n m ,所成的角为 ，显然.||||| |cos b a b a 1.4. 直线L 与平面 所成的角 在L 上取定，求平面 的法向量2所示）， 再求 | |||cos n AB 2 为所求的角. 1.5． 二面角 方法一：构造二面角 l 的两个半平面 、的法向量 21n n 、（都取向上的方向，如图3所示），则 ① 若二面角 l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即| |||cos 2121n n （例如2004年高考数学广 东卷第18题第（1）问）. ② 若二面角 l 是“锐角型”的如图3乙所示， 那么其大 小等于两法向量21n n 、的夹角， 即| |||cos 2121n n （例如 2004年高考数学广东卷第18题第（1）问）. 方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面 、内求出与l 垂直的向量21n n 、（如图4所示） ，则二面角 l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 图3乙 图3 图4 图2 空间角和距离的计算(1) 一线线角 1．直三棱柱A1B1C1-ABC，∠BCA=900，点D1，F1分别是A1B1和A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求BD1 与AF1所成角的余弦值． 2．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥面ABCD，PD与底面成300角．（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD； （2）若AE⊥PD，求异面直线AE与CD所成角的大小． 二．线面角 1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1、CD的中点，且正方体的棱长为2． （1）求直线D1F和AB和所成的角； （2）求D1F与平面AED所成的角． B 1 D 1 2．在三棱柱A1B1C1-ABC中，四边形AA1B1B是菱形，四边形BCC1B1是矩形，C1B1⊥AB，AB=4，C1B1=3，∠ABB1=600，求AC1与平面BCC1B1所成角的大小． 三．二面角 1．已知A1B1C1-ABC是正三棱柱，D是AC中点． （1）证明AB1∥平面DBC1； （2）设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角的大小． 2．ABCD是直角梯形，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．（1）求面SCD与面SBA所成的二面角的大小；B 1 B C （2）求SC与面ABCD所成的角． 3．已知A1B1C1-ABC是三棱柱，底面是正三角形，∠A1AC=600，∠A1AB=450，求二面角B—AA1—C的大小． 空间角和距离的计算(2) 四空间距离计算 （点到点、异面直线间距离） 1.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是BC的中点，DP交AC于M，B1P交BC1于N． （1）求证：MN上异面直线AC和BC1的公垂线； （2）求异面直线AC和BC1间的距离． （点到线，点到面的距离） C 1 A 1 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 高中数学渐开线与摆线阶段测试高考专项训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐 标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是1{ 3 x t y t =+=-（t 为参数），圆C 的极 坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） A ． B ． C ． D ． 2．参数方程()() sin { 1cos x a t t y a t =-=- （0,a t >为参数）所表示的函数()y f x =是（ ） A ． 图像关于原点对称 B ． 图像关于直线x π=对称 C ． 周期为2a π的周期函数 D ． 周期为 2a π 的周期函数 3．已知曲线C 的参数方程是2cos 2sin x a y θ θ =+??=?(θ为参数)，则曲线C 不经过第二象限 的一 个 充 分 不 必 要 条 件 是 （ ） A ． a ≥2 B ． a ＞3 C ． a ≥1 D ． a ＜0 4．曲线25()12x t t y t =-+?? =-? 为参数与坐标轴的交点是（ ） A ．21(0,)(,0)5 2 、 B ．11(0,)(,0)52、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5 (0,)(8,0)9 、 5．曲线5cos ()5sin 3x y θπ θπθ=?≤≤? =? 的长度是（ ） ． A ．5π B ．10π C ． 35π D ．3 10π ()4R π θρ= ∈12cos 22sin x y α α=+??=+? 14 2 14 15 2 15 7．直线l 的参数方程为()x a t t y b t =+?? =+?为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与 (,)P a b 之间的距离是（ ） A ．1t B ．12t C 1 D 1 二、填空题 8 ．求直线11:()5x t l t y =+??? =-+??为参数 和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标，及点P 与(1,5)Q -的距离。 9．直线122 ()112 x t t y t ?=-??? ?=-+??为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。 10．圆的摆线上有一点(π,0),在满足条件的所有摆线的参数方程中,使圆的半径最大的摆 线上,参数对应的点的坐标为________ 11．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，将曲线（为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵高中数学立体几何专：空间距离的各种计算(含答案)
高三数学课时提升作业 九 直线的参数方程 渐开线与摆线
空间的角度与距离(附答案)
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高中数学立体几何专题：空间距离的各种计算(含答案)
空间向量计算距离与角度
向量法求空间距离和角
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