!离散数学习题2010习题课1-4章含答案

１

《离散数学》习题解答

一、填空题

1 设R 是集合A 上的等价关系，则R 所具有的关系的三个特性是__自反性、对称性和传递性__。

2. 设命题公式()G P Q R =?→?→，则公式G 的合取范式是

())()()

()()()()

P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R ?∨?∨∧?∨∨?∧?∨∨∧∨?∨?∧∨?∨∧∨∨?∧∨∨。

3. 设A 是集合，且A = {1, 2}，则A 上的全关系A 2 =

_____________________________________________________.

二、选择题

1 在由3个元素组成的集合上，可以有 ( C ) 种不同的关系。

(A)3

(B)8

(C) 9

(D) 512

2. 设命题公式G=()G P Q =?→，H Q P =→?，则G 与H 的关系是( A )。

(A)G H ? (B)H G ? (C)G H = (D)以上都不是.

3. 已知命题()G P Q R =∧?∨?，则所有使G 取真值为1的解释是 ( C )。

(A)(0, 0, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0);

(B) (0, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0);

(C) (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0); (D) (1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1).

4. 设I是如下一个解释：D = {a, b}，

(,)(,)(,)(,)

1010

P a a P a b P b a P b b

，则在解释I下

取真值的公式是( A).

(A)(,)

x yP x y

??. (B) (,)

x yP x y

??. (C) (,)

xP x x

?. (D) (,)

x yP x y

??.

三、计算题

1. 设集合A＝{1, 2, 3}，A上的关系R＝{(1, 1),(1, 2),(2, 2),(3, 2),(3, 3)},

(1)画出R的关系图；

(2)写出R的关系矩阵.

(3)问R具有关系的哪几种性质(自反、对称、传递、反对称).

(1)

(2)110 010 011轾

犏

犏

犏

犏

犏

臌，，，，，，

(3)具有自反性

2. 设集合A＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}，R是A上的整除关系，

(4)画出偏序集(A, R)的哈斯图；

(5)写出A的子集{2, 4, 6, 8}的上界，下界，最小上界，最大下界；

(3) 写出集合A的最大元，最小元，极大元，极小元。

２

(1)

(2) 上界={无}，下界={1}，最小上界={无}，最大下界={1}

(3) 最大元={无}，最小元={1}，极大元={6,8}，极小元={1}

3. 试判断命题公式(()())()

P Q Q R P R

→∧→→→的公式类型。

由真值表得：公式为永真式。

4. 设一阶逻辑公式

((,)(()()))

G x yP x y zQ z R x

=???→?→

试将G化成与其等价的前束范式。

解：

((,)(()()))

((,)((())()))

(((,))((())()))

((,)(())()))

((,)()())

G x yP x y zQ z R x

x yP x y zQ z R x

x yP x y zQ z R x

x yP x y z Q z R x

x y z P x y Q z R x

=???→?→

=???→??∨

=????∨??∨

=??∨??∨

=???∨?∨

３

４

四 证明题

设R 和S 是二元关系，证明：111()R S R S ---= .

证明：

1

1

1

1

1

11

1

,() 1,,,,,, 2

12()= 设故即，且这样有，且即得由，得x y R S y x R S

y x R y x S x y R x y S x y R

S

R S R S --------<>∈<>∈<>∈<>∈<>∈<>∈<>∈