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高中数学常用公式及结论
1 元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠??
2 集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子
集有2
2n
-个.
3 二次函数的解析式的三种形式：
(1) 一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;
(2) 顶点式
2()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式）
(3) 零点式
12()()()(0)
f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与
x
轴的交点坐标为
12(,0),(,0)x x 时，设为此式）
（4）切线式：
02()()(()),0x kx d f x a x a =-+≠+。
（当已知抛物线与直线y kx d =+相切且切点的横坐标为0x 时，设为此式）
4 真值表： 同真且真，同假或假
5 常见结论的否定形式;
6 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）
充要条件： (1)、
p q ?，则P 是q 的充分条件，反之，q 是p 的必要条件；
（2）、
p q ?，且q ≠> p ，则P 是q 的充分不必要条件； (3)、p ≠> p ，且q p ?，则P 是q 的必要不充分条件；
4、p ≠> p ，且q ≠> p ，则P 是q 的既不充分又不必要条件。
7 函数单调性:
增函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而增大。
（2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的
1212,,x x D x x ∈<且，都有
12()()f x f x <成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是增函数。D 则就是f （x ）的递增区间。
减函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而减小。
（2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的
1212,,x x D x x ∈<且，都有
12()()f x f x >成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是减函数。D 则就是f （x ）的递减区间。
单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；
(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；
注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。 复合函数的单调性：
等价关系： (1)设[]1212,,,x x a b x x ∈
≠那么
[]1212()()()0x x f x f x -->?[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2121在?>--上是增函数；
[]1212()()()0x x f x f x --
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在?<--上是减函数.
(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，
则
)(x f 为减函数.
8函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数：
定义：在前提条件下，若有
()()()()0f x f x f x f x -=--+=或，
则f （x ）就是奇函数。
性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；
（2）、奇函数在x >0和x <0上具有相同的单调区间； （3）、定义在R 上的奇函数，有f （0）=0 . 偶函数：
定义：在前提条件下，若有
()()f x f x -=，则f （x ）就是偶函数。
性质：（1）、偶函数的图象关于y 轴对称；
（2）、偶函数在x >0和x <0上具有相反的单调区间； 奇偶函数间的关系：
(1)、奇函数·偶函数=奇函数； （2）、奇函数·奇函数=偶函数；
(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的） (5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 9函数的周期性：
定义：对函数f （x ），若存在T ≠0，使得f （x+T ）=f （x ），则就叫f （x ）是周期函数，其中，T 是f （x ）
的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式：
(1)、f （x+T ）= - f （x ），此时周期为2T ； （2）、 f （x+m ）=f （x+n ），此时周期为2
m n - ；
(3)、
1
()()
f x m f x +=-
，此时周期为2m 。 10常见函数的图像：
11 对于函数
)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2
b
a x +=;两个函数
)(a x f y +=与
)(x b f y -= 的图象关于直线2
b a
x -=
对称. 12 分数指数幂与根式的性质：
(1)m n
a
=0,,a m n N *
>∈，且1n
>）.
（2）1m n
m n
a
a
-
=
=
0,,a m n N *
>∈，且1n
>）.
（3）
n a =.
（4）当n 为奇数时，
a =；当n ,0
||,0a a a a a ≥?==?
-
. 13 指数式与对数式的互化式: log b a
N b a N =?=(0,1,0)
a a N >≠>.
指数性质： (1)1、1p
p
a
a -=
； （2）、0
1a
=（0a ≠） ； (3)、()mn m n a a =
(4)、(0,,)r s
r s
a a a
a r s Q +?=>∈ ； (5)
、m
n
a = ；
指数函数：
(1)、 (1)x y a a =>在定义域内是单调递增函数；
（2）、
(01)x y a a =<<在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，1）
对数性质：
(1)、 log log log ()a a a M N MN += ；
（2）、 log log log a a a M
M N N
-= ；
(3)、 log log m a a b m b =? ；(4)、 log log m n a a n
b b m
=
? ； (5)、 log 10a = (6)、
log 1a a = ； (7)、 log a b a b =
对数函数：
(1)、 log (1)a y x a => 在定义域内是单调递增函数；
（2）、
log (01)a y x a =<<在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0） (3)、
l o g 0
,(0,1),(1,a x a x a x >?∈∈+∞
或 (4)、log 0(0,1)(1,)a
x a x
14 对数的换底公式 :log log log m a
m N
N a
=
(0a
>,且1a ≠,0m >,且1m ≠,
0N >).
对数恒等式：log a N
a N =(0a >,且1a ≠,
0N >).
推论 log
log m n a a
n
b b m
=(0a >,且1a ≠,
0N >). 15对数的四则运算法则:若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则
(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a
a a M
M N N
=-; (3)log log ()n a
a M n M n R =∈; (4) log log (,)m
n a a n
N N n m R m
=∈。
16 平均增长率的问题（负增长时
0p <）
： 如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y
，有
(1)x y N p =+.
17 等差数列：
通项公式： （1） 1(1)n a a n d =+- ，其中1a 为首项，d 为公差，n 为项数，n a 为末项。
（2）推广： ()n k a a n k d =+-
（3）1(2)n
n n a S S n -=-≥ （注：该公式对任意数列都适用）
前n 项和： （1）1()
2
n n
n a a S +=
；其中1a 为首项，n 为项数，n a 为末项。
（2）1(1)
2
n n n S na d -=+
（3）1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用） （4）12n
n S a a a =++
+ （注：该公式对任意数列都适用）
常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有
m n p q a a a a +=+ ；
注：若,m n p a a a 是的等差中项，则有2m
n p a a a =+?n 、m 、p 成等差。
（2）、若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列。
（3）、
{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,m m m m m S S S S S --也成等差数列。
（4）、,,0
p
q pq a qa p a +===则 ；
（5） 1+2+3+…+n=
2
)
1(+n n 等比数列： 通项公式：（1）
1*11()n n
n a a a q q n N q
-==
?∈ ，其中1a 为首项，n 为项数，q 为公比。 （2）推广：n k n k a a q -=?
（3）1(2)n
n n a S S n -=-≥ （注：该公式对任意数列都适用） 前n 项和：（1）1(2)n
n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用） （2）12n
n S a a a =++
+ （注：该公式对任意数列都适用）
（3）1
1(1)(1)
(1)
1n n na q S a q q q =??
=-?≠?-?
常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有
m n p q a a a a ?=? ；
注：若,m n p a a a 是的等比中项，则有
2m n p a a a =??n 、m 、p 成等比。
（2）、若
{}n a 、{}n b 为等比数列，则{}n n a b ?为等比数列。
18分期付款(按揭贷款) ：每次还款(1)(1)1
n
n
ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 19三角不等式：
（1）若(0,)2
x π
∈，则sin tan x x x <<.
(2) 若(0,)2
x π
∈，则1sin cos x x <+≤(3)
|sin ||cos |1x x +≥.
20 同角三角函数的基本关系式 ：2
2sin
cos 1θθ+=，tan θ=
θ
θcos sin ，
21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 22 和角与差角公式 sin()sin cos cos sin α
βαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;
tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
±±=
.
sin cos a b αα+)α?+
(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b a
?=
). 23 二倍角公式及降幂公式
sin 2sin cos ααα=22tan 1tan αα
=
+.
2
2
2
2
cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221tan 1tan α
α
-=
+.
22tan tan 21tan ααα=
-. sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2αα
ααα-==+
221cos 21cos 2sin ,cos 22αα
αα-+==
24 三角函数的周期公式
函数
sin()y x ω?=+，x ?R
及函数
cos()y x ω?=+，x ?R(A,ω,?
为常数，且A ≠0)的周期
2||
T πω=
；函数tan()y x ω?=+，,2x k k Z
ππ≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期
||
T π
ω=
.
三角函数的图像：
25 正弦定理 ：
2sin sin sin a b c
R A B C
===（R 为ABC ?外接圆的半径）.
2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ?===::sin :sin :sin a b c A B C ?=
26余弦定理：
2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.
27面积定理：
（
1）111
222a b c S
ah bh ch =
==（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111
sin sin sin 222
S ab C bc A ca B ===.
(3)OAB S ?=2,2
a b c S r r a b c ?
??+=
=
++斜边内切圆直角内切圆－
28三角形内角和定理 ：
在△ABC 中，有()A B C
C A B ππ++=?=-+
222
C A B π+?
=-222()C A B π?=-+. 29实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：
(1) 结合律：λ(μ
a )=(λμ) a ;
(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ; (3)第二分配律：λ(a +b )=λ
a +λb
.
30a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ。 31平面向量的坐标运算：
(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b =1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22
(,)x y ，则a -b =1212(,)x x y y --.
(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.
(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.
(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =12
12()x x y y +.
32 两向量的夹角公式：
12cos ||||
a b
a b x θ?=
=
?+(a =11(,
)x y ,b =22(,)x y ).
33 平面两点间的距离公式：
,A B d =|
|AB AB AB =
?=11(,)
x y ，B 22(,)x y ).
34 向量的平行与垂直 ：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b
≠0，则：
a ||
b ?b =λ
a 12210x y x y ?-=.（交叉相乘差为零）
a ⊥b
(a
≠0)? a ·b
=012
120x x y y ?+=.（对应相乘和为零）
35 线段的定比分公式 ：设
111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,
λ是实数，且
12
PP PP λ=，则12
12
11x x x y y y λλλλ+?=??+?+?=?+?
?12
1OP OP OP λλ+=+ ?12(1)OP tOP t OP =+-（1
1t λ
=
+）.
36三角形的重心坐标公式： △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC
的重心的坐标是123123
(
,)33
x x x y y y G ++++.
37三角形五“心”向量形式的充要条件：
设O 为ABC ?所在平面上一点，角
,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则
（1）O 为ABC ?的外心2
2
2
OA OB OC
?==.
（2）O 为ABC ?的重心0OA OB OC ?++=.
（3）O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=?. （4）O 为ABC ?的内心0aOA bOB cOC
?++=.
（5）O 为ABC ?的A ∠的旁心aOA bOB cOC ?=+. 38常用不等式：
（1）,a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．
（2）,a b R +
∈
?
2
a b
+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3
333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>
（4）
b a b a b a +≤+≤-.
（5
）22ab a b a b +≤≤≤
+当且仅当a ＝b 时取“=”号)。
39极值定理:已知y x ,
都是正数，则有
（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；
（2）若和y x
+是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值24
1
s .
（3）已知,,,a b x y R +
∈，若1ax by +=则有
21111()()by ax ax by a b a b x y x y x y
+=++=+++≥++=。 （4）已知,,,a b x y R +
∈，若
1a b
x y
+=则有
2()()a b ay bx
x y x y a b a b x y x y
+=++=+++≥++=
40 一元二次不等式2
0(0)ax
bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠?=->，如果a 与2ax bx c
++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2
ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根
之外，异号两根之间.即：
121212()()0()x x x x x x x x x <?--><或.
41 含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有
22x a x a a x a
22x a x a x a >?>?>或x a <-.
42 斜率公式 ：
21
21
y y k x x -=
-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.
43 直线的五种方程：
（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式
y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).
（3）两点式
11
2121
y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (1212,x x y y ≠≠)).
两点式的推广：211211()()()()0x x y y y y x x -----=（无任何限制条件！
） (4)截距式
1x y
a b
+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，00a b ≠≠、) （5）一般式 0Ax By C
++=(其中A 、B 不同时为0).
直线
0Ax By C ++=的法向量：(,)l A B '=，方向向量：(,)l B A =-
44 夹角公式：
(1)21
21
tan |
|1k k k k α
-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)
(2)1221
1212
tan |
|A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).
直线1
2l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是
2
π.
45
1l 到2l 的角公式：
(1)21
21
tan 1k k k k α
-=
+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,12
1k k ≠-)
(2)
12211212
tan A B A B A A B B α-=
+.(
1111:0
l A x B y C ++=,
2222:0
l A x B y C ++=,
12120A A B B +≠).
直线1
2l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是
2
π.
46 点到直线的距离
：d =
(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C
++=).
47 圆的四种方程：
（1）圆的标准方程 2
22()()x a y b r -+-=.
（2）圆的一般方程 2
20x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).
1+r 2
r 2-r o
（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ
θ
=+??
=+?.
（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 48点与圆的位置关系：点00(,)P x y 与圆
222
)()
(r b y a x =-+-的位置关系有三种：
若d
=d r >?点P 在圆外;
d r =?点P 在圆上; d r
49直线与圆的位置关系：直线
0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种
(2
2
B
A C Bb Aa d +++=
):
0相离r d ;0=???=相切r d ;0>???<相交r d .
50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，
d O O =21，则：
条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;
条公切线相交22121??+<<-r r d r r ; 条公切线内切121??-=r r d ; 无公切线内含??-<<210r r d .
51 椭圆22
221(0)x y a b a b +=>
>的参数方程是cos sin x a y b θθ
=??=?.
离心率c e a ==
准线到中心的距离为
2a c
，焦点到对应准线的距离(焦准距)2
b p c
=
。
过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：2
2
b a
.
52 椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:
2
1()a PF e x a ex
c
=+=+，
2
2()a PF e x a ex
c
=-=-；
1221||tan
2
F PF P F PF S c y b ?∠==。
53椭圆的的内外部:
（1）点00(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ?+<.
（2）点00(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的外部22
00221x y a b
?+>.
54 椭圆的切线方程:
(1) 椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.
（2）过椭圆22
221x y a b
+=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y a b +=.
（3）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222
A a
B b c +=.
55 双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率c e a ==2
a c
，焦点到
对应准线的距离(焦准距)2
b p c
=
。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：2
2
b a
.
焦半径公式
21|()|||a PF e x a ex c =+=+，2
2|()|||a PF e x a ex c
=-=-，
两焦半径与焦距构成三角形的面积1
2
21cot
2
F PF F PF
S b ?∠=。
56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:
(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b
y ±=.
(2)若渐近线方程为x a b
y ±=?
0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-22
22
b
y a x . (3)若双曲线与12222=-b
y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22
22b y a x
（0>λ
，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.
(4) 焦点到渐近线的距离总是b 。
57双曲线的切线方程:
(1)双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.
(2)过双曲线22
221x y a b
-=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y a b -=.
（3）双曲线22221x y a b
-=与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222
A a
B b c -=.
58抛物线
px y 22=的焦半径公式:
抛物线
22(0)y px p =>焦半径02
p CF x =+
. 过焦点弦长
p x x p
x p x CD ++=+++
=21212
2. 59二次函数2
2
24()24b ac b y ax bx c a x a a
-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线： （1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241
(,)24b ac b a a -+-； （3）准线方程是241
4ac b y a
--=.
60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB =
或
1212|||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程??
?=+=0
)y ,x (F b kx y 消去y 得到02
=++c bx ax
0?>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率，12||x x -=61证明直线与平面的平行的思考途径:
（1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 62证明直线与平面垂直的思考途径:
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。 63证明平面与平面的垂直的思考途径：
（1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直；
(3) 转化为两平面的法向量平行。 64 向量的直角坐标运算：
设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则： (1) a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2) a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；
(3)λ
a ＝123(,,)a a a λλλ (λ
?R)；
(4) a ·b ＝112233a b a b a b ++；
65 夹角公式：
设a ＝
123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos ,a b <>=
.
66 异面直线间的距离 ：
||
||
CD n d n ?=
(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距
离).
67点B 到平面α的距离：
||
||
AB n d n ?=
（n 为平面α的法向量，A α∈，AB 是α的一条斜线段）.
68球的半径是R ，则其体积34
3
V R π=,其表面积24S R π=． 69球的组合体：
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的
面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3)球与正四面体的组合体: 棱长为a a
(的
14),a (的
34).
70 分类计数原理（加法原理）：12n N m m m =+++. 分步计数原理（乘法原理）：12n N
m m m =??
?.
71排列数公式 ：m
n A =)1()1(+--m n n n =
！
！
)(m n n -.(n ，m ?N *
，且m n ≤)．规定1!0=.
72 组合数公式：m n C
=
m n m
m
A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ?N *
，m N ∈，且m n ≤). 组合数的两个性质:(1)m
n C =m
n n C - ;(2) m n C +1
-m n
C =m n C 1+.规定10
=n
C .
73 二项式定理 n
n n r r n r n n n n n n n n
b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)
( ;
二项展开式的通项公式r
r n r n r b a C T -+=1
)210(n r ，，，
=. 2012()()n n n f x ax b a a x a x a x =+=++++的展开式的系数关系：
012(1)n a a a a f ++++=； 012(1)(1)n n a a a a f -++
+-=-；0(0)a f =。
74 互斥事件A ，B 分别发生的概率的和：P(A ＋B)=P(A)＋P(B)．
n 个互斥事件分别发生的概率的和：P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．
75 独立事件A ，B 同时发生的概率：P(A ·B)= P(A)·P(B).
n 个独立事件同时发生的概率：P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )． 76 n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：()(1).k
k
n k n n P k C P P -=-
77 数学期望：1122n n E x P x P x P ξ
=++++
数学期望的性质 （1）()()E a b aE b ξ
ξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=.
(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则1
E p
ξ=
. 78方差：()()()2
2
2
1122n n D x E p x E p x E p ξ
ξξξ=-?+-?+
+-?+
标准差：σξ=ξD .
方差的性质： (1)()2D
a b a D ξξ+=；
(2）若ξ～(,
)B n p ，则(1)D np p ξ=-.
(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则2
q D p ξ=
.
方差与期望的关系：()
2
2D E E ξ
ξξ=-.
79正态分布密度函数：
(
)()()2
2
26,,x f x x μ--
=
∈-∞+∞，
式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 对于2
(,)N μσ
，取值小于x 的概率：()x F x μσ-??
=Φ ???
.
()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<<
80
)(x f 在0x 处的导数（或变化率）
： 0
00000()()()lim
lim x x x x f x x f x y
f x y x x
=?→?→+?-?''
===??. 瞬时速度：00()()()lim lim t t s s t t s t s t t t
υ?→?→?+?-'===??.
瞬时加速度：00()()()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??.
81 函数
)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义：
函数
)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，
相应的切线方程是
))((000x x x f y y -'=-.
82 几种常见函数的导数：
(1) 0=
'C （C 为常数）.(2) 1()()n n x nx n Q -'=∈.(3) x x cos )(sin ='.
(4) x x sin )(cos -='.
(5)
x x 1
)(ln =
'；1(log )log a a x e x
'=. (6) x x
e e
=')(; a a a x x ln )(='.
83 导数的运算法则：
（1）'
'
'
()u v u v ±=±.（2）'
'
'
()uv u v uv =+.（3）''
'2
()(0)u u v uv v v v
-=≠. 84 判别
)(0x f 是极大（小）值的方法：
当函数
)(x f 在点0x 处连续时，
（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值.
85 复数的相等：,a bi
c di a c b
d +=+?==.（,,,a b c d R ∈）
86 复数z
a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +87 复平面上的两点间的距离公式：
12||d z z =-=（111z x y i =+，222z x y i =+）.
88实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程2
0ax
bx c ++=，
①若2
40b ac ?=->,则1,22b x a
-=②若240b ac ?
=-=,则122b x x a
==-
; ③若240b ac ?
=-<，它在实数集R
内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根
240)x b ac =-<.
高中数学公式提升
一、集合、简易逻辑、函数
1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜
x ｜,y},且A=B,则x+y=
2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ?R},N={y ｜
y=x 2+1,x ?R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ?R},N={(x,y)｜y=x 2
+1,x ?R}求M ∩N 的区别。 3． 集合 A 、B ，
?=?B A 时，你是否注意到“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合的子集
B A ?时是否忘记?. 例如：()()012222<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的
取植范围，你讨论了a ＝2的情况了吗？
4． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n
2
，12-n
，12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有多少个
5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中
7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M
∈±==∈+==
7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A = A B ??；
8、可以判断真假的语句叫做命题.
逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.
p 、q 形式的复合命题的真值表: （真且真，同假或假）
9、
原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.
10、你对映射的概念了解了吗？映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性，哪几
种对应能够成映射？ 11、函数的几个重要性质： ①如果函数
()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或
f （2a-x ）=f （x ），那么函
数
()x f y =的图象关于直线a x =对称.
②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称； 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称； 函数
()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称.
③若奇函数
()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数． ④若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数．
⑤函数
()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；
函数
()a x f y +=()0( x 轴向右平移 a 个单位得到 的； 函数 ()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数