开题报告模板

广义Tchebychev -Markov 型不等式及其应用（4号黑体加粗.居中）

(5号 空一行)(开题报告题目必须与正文题目一致)

学 生：

指导教师：

三峡大学理学院(小四 居中)

(5号 空一行)

1 课题来源(顶格、小四号黑体加粗、1 后空2个字距)

（5号 空一行）

本课题属于纯理论的课题。所用的方法是概率论和分析学的基本方法，更为确切的说，涉及到概率论中的极限理论与泛函分析、数学分析、调和分析的结合。（5号宋体） （5号 空一行）

2 研究目的和意义

（5号 空一行）

Tchebychev 不等式是概率论中最基本、最重要的一个不等式，它是俄国数学家Tchebychev 提出的。Tchebychev 不等式应用广泛，尤其是在概率不等式和极限理论的应用中更为重要。Tchebychev 在此不等式的基础上，于1866年得出了Tchebychev 大数定律。Tchebychev 大数定律是关于大数定律的一个相当普遍的结论，许多大数定律的古典结果都是它的特例。

Markov 不等式是俄国数学家Markov 提出的，它是Tchebychev 不等式的推广。并由此，得出了Markov 大数定律。显然，Tchebychev 大数定律可由Markov 大数定律得出。更为重要的是，Markov 大数定律已经没有任何关于独立性的假定。推广形式的Tchebychev -Markov 型不等式在大数定律和强大数定律以及独立增量过程中有很重要的应用。

3 阅读的主要文献，资料名称，研究现状和发展趋势，学术动态，综合分析提出研究课题的主攻方向

Tchebychev 不等式：对于任何具有有限方差的随机变量ξ，都有

2

{}D P E ξ

ξξεε

-≥≤

Markov 不等式：对于任意ε0>，都有

{}r

r

E P ξ

ξεε≥≤

上述两个不等式是概率论中最基本的不等式之一。比较上述两不等式，可知当2r =是，Markov 不等式就是Tchebychev 不等式，因此， Markov 不等式是Tchebychev 不等式的推广。

在矩的有关理论中，矩不等式也与它们之间有着密切的关系。在Tchebychev -Markov 型不等式的基础上，Tchebychev 得出了Tchebychev 大数定律。历史上，Bernoulli 第一个研究频率稳定性类型的概率的极限定理，并于1713年发表的概率论的第一篇论文中，建立了大数定律的第一个。Borel 建立了{lim

}1n

n P p n

μ→∞

==，从而开创了强大数定律。Tchebychev

大数定律在Bernoulli 大数定律、Borel 大数定律、Kolmogorov 强大数定律和独立增量过程

中有着重要的用途。

1.Tchebychev -Markov 型不等式在矩不等式中的应用

令g 为R 上非负函数，X 为任意随机变量。若g 在[0,)∞上非降，且为偶函数，则对每个0a ≥有

()()()

{}()()

Eg X g a Eg X P X a g X g a ∞-≤≥≤

若g 只在R 上非降，则上不等式里中间那一项可以换为{}P X a ≥，a R ∈,欲证此不等式。当g 为偶函数且在[0,)∞上非降时，我们有

()Eg X =(())()(())(),x a

x a

g X P d g X P d ωωωω≥<+?

?

但 (){}(())()(){}x a

g a P X a g X P d g X P X a ωω∞≥≥≤

≤≥?

，

0(())()()x a

g X P d g a ωω<≤≤?

，

故(){}()(){}().g a P X a Eg X g X P X a g a ∞

≥≤≤≥+

由此推出矩的基本不等式。当g 为R 上非降的情形，证法相同。 2. Tchebychev -Markov 型不等式在Bernoulli 大数定律中的应用

Bernoulli 大数定律 设n μ是n 次Bernoulli 试验中事件A 出现的次数，而p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则对任意0ε>，都有

lim {

}1n

n P p n

με→∞

-<=

证明：定义随机变量i ξ，则

i E p ξ=，1

4

i D pq ξ=≤

而1111n n

n k k k k E p n n n

μξξ==-=-∑∑ 故由Tchebychev 大数定律立刻推出Bernoulli 大数定律。显然，Bernoulli 大数定律也可

以通过Tchebychev 不等式直接加以证明：

{

}n

P p n

με-≥2

22

1

11{

}4n

i D D n

n n μξεεε≤

=

≤ 3. Tchebychev -Markov 型不等式在Poisson 大数定律中的应用

Poisson 大数定律 如果在一个独立试验序列中，事件A 在第k 次试验中出现的概率等于

k p ，以n μ记在前n 次试验中事件A 出现的次数，则对任意ε0>，都有

12lim {

}1n

n

n p p p P n

n

με→∞

+++-

<=

证明：定义k ξ为第k 次试验中事件A 出现的次数，则

k E ξ=k p ，k D ξ=k p 1(1)4

k p -≤

再用Tchebychev 大数定律立刻可以推出。Poisson 提出了不同于Bernoulli 试验的另一个独立试验模型，并导出Poisson 分布以及证明了上述大数定律，从而奠定了他在概率论发展史上的重要地位。

4.Tchebychev -Markov 型不等式在Borel 大数定律中的应用

Borel 大数定律 设n μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数，在每次试验中事件A 出现的概率均为p ，那么当n →∞时，

{

}1n

P p n

μ→= 4—（1）

证明：为使3.4—（1）成立，由1{(()())}0n k n k

P ξωξωε∞

∞

==-≥= 知，只须对任意的0ε>，

成立

1{(

)}0n

k n k P p n

με∞

∞

==-≥= 4—（2）

若记{

}n

n A p n

με=-≥，则上式可写成{lim }0n n P A →∞

=。根据博雷尔-康特立引理，

为证明4—（2）只要能证明级数

1

{

}n

n P p n

με∞

=-≥∑ 4—（3）

对任何0ε>都收敛就可以了。

假如像证明Bernoulli 大数定律那样用Tchebychev 不等式进行估计，只能得到 2

1

{

}4n

P p n

n μεε-≥≤

4—（4） 这对证明弱大数定律足够了，但为了保证3.4—（3）收敛还不行，这时必须寻找更好的估计式。在这种特殊场合，Markov 不等式就够用了。由于

4

4

1

{

}n

n

P p E

p n

n

μμεε-≥≤

- 4—（5）

问题是要计算n

n

μ的四阶中心矩。还是像过去一样，我们把n μ表示成独立Bernoulli 01-变量之和，这样

n p n μ-=1

1()n

i i p n ξ=-∑

所以

4

()n

E p n μ-=41111

1()()()()n n n n

i j k l i j k l E p p p p n ξξξξ====----∑∑∑∑

注意到各i ξ的独立性及()0i E p ξ-=，因此上面的和式中只有4()i E p ξ-及

22()()i j E p p ξξ--的项才不等于0，显然，

4()i E p ξ-=33()pq p q + 4—（6） 22()()i j E p p ξξ--=22()p q i j ≠ 4—

（7） 4—（6）形式的项有n 项，4—（7）形式的项有43(1)22n n n ????

=- ???????

项，因此

4332

421(

)[()3()]4n

pq E p n p q pq n n n

n n

μ-=

++-< 4—（8） 于是

42

1

{

}4n

P p n

n μεε-≥<

4—（9） 这个估计式已经比4—（4）进了一大步，它可以保证4—（3）收敛，从而证明了定理。 5.Tchebychev -Markov 型不等式在Hajek -Renyi 不等式和Kolmogorov 不等式中的应用 Hajek -Renyi 不等式 若{}i ξ是独立随机变量序列，2i i D ξσ=<∞，(1,2,)i = ，而

{}n C 是一列正的非增常数序列，则对任意正整数,()m n m n <及0ε>，均有

2

2222

1

1

1

1

{max ()}()j

m

n

j

i

i

m

j

j

j

m j n

i j j m P C E C C ξξεσ

σ

ε

≤≤===+-≥≤+

∑∑∑ 5—（1）

证明：记1()k

k j

j j S E ξ

ξ==-∑及1

22222

1()n k k k n n k m

S C C C S η-+==-+∑ 5—（2）

因此

η=

2

n

k

k m

S

=∑2k

C -

1

2n k

k m

S

-=∑21k C

+=

2222211

()n

m m

k k k k m S C S

S C -=++

-∑

利用{}i ξ的独立性有 2k

ES =21

k

j

j σ

=∑

所以有

E η=22221

1

m

n

m

j

j

j

j j m C

C σ

σ

==++

∑∑ 5—（3）

对,1,,,j m m n =+ 记

{,;}j k k j j E C S m k j C S εε=<≤<≥ 5—（4）

这样定义的j E (,1,,)j m m n =+ 是互不相容的，而且

1

{max ()}j

j

i

i m j n

i P C E ξ

ξε≤≤=-≥∑={max }j j m j n

P C S ε≤≤≥=()n

j j m

P E =∑ 5—（5）

令

1,()0,j

j j E E ωχωω∈??=?∈??

，,1,,j m m n =+ 5—（6）

即j χ是j E 的示性函数，注意到j E 的互不相容性及

n

j

j m

E

=?Ω∑，因而

()1n

j

j m

χ

ω=≤∑ 5—（7）

所以有

E η≥()n

j j m

E ηχ=∑ 5—（8）

对j k n <≤，

k S =11()()j j j k k S E E ξξξξ+++-++-

因此2

()k j E S χ=2

()j j E S χ+2

11{[()()]}j j k k j E E E ξξξξχ++-++-?

+112{[()()]}j j j k k j E S E E ξξξξχ++-++-?

≥2()j j E S χ+112{[()()]}j j j j k k E S E E χξξξξ++-++- 5—

（9） 由于j j S χ只与1ξ， ，j ξ有关，因此与11[()()]j j k k E E ξξξξ++-++- 独立，故

11{[()()]}j j j j k k E S E E χξξξξ++-++- =11()[()()]j j j j k k E S E E E χξξξξ++?-++-

=0 5—（10）

而在j E 上j j

S C ε

≥

，故有

2

()j

j E S χ≥2

2

22()j j j

j

E P E C

C

εεχ=

5—（11）

因此由5—（9），5—（10）及5—（11）得到

2

()j

j E S χ≥2

2()j j

P E C

ε，j k n ≤≤ 5—

（12） 现在当m j n ≤≤时，由5—（2）知

1

22222

1()()()()n j j j k k n n j k m E E S C C C E S ηχχχ-+==-+∑

≥1

22222

1()()()n j j k k n n j k j

E S C C C E S χχ-+=-+∑ ≥

2

2

()j j

P E C

ε1

222

1[()]n k k n

k j

C C C -+=-+∑=2ε()j P E 5—（13） 由5—（8）及5—（13）

E η≥2

ε

()n

j

j m

P E =∑ 5—（14）

利用5—（3），5—（5）及5—（14）即得不等式5—（1）。

在Hajek -Renyi 不等式中，特别令m =1，j C =1，则得到著名的Kolmogorov 不等式。 Kolmogorov 不等式 设1ξ，2ξ， ，n ξ是独立随机变量，方差有限，则对任意0ε>，成立

2

11

1

{max

()}j

i

i

j n

i P E ξξεε≤≤=-≥≤∑1

n

j

j D ξ

=∑ 5—（15）

Kolmogorov 不等式是概率论中最重要的不等式之一，有广泛的应用。在上式中，若令

1n =，则得到

1

112

{}D P E ξξξεε

-≥≤

然而，通过下面的证明得到更加严密的Kolmogorov 不等式

设1ξ，2ξ， ，n ξ是独立随机变量，k E ξ有限且k ξc <,1,2,,k n = ,则对于每个

0ε>，有

2

2

11

1

(2)1

1{max }n

k k k

n

k n

k k

k c P S ES D D εεξ

ε

ξ

≤≤==+-≤-≥≤

∑∑ 5—（16）

如果诸方差之中有一为无穷，则右半不等式自然成立，此时坐半不等式无意义（因为必有c =∞）。因此，假定方差都有限，当c =+∞时，坐半不等式自然成立。因此，我们假定c 有限而证明此不等式。

证明：为了简单起见，不失一般性，我们假定k ξ都已中心化，于是所求证的不等式中

k E ξ=0，条件中的k c ξ≤换为2k c ξ≤。

令{max }k j j k

A S ε≤=<，1k k k

B A A -=-=11{,,,}k k S S S εεε-<<≥ 。这时k B ，

1,2,,k n = 两两不交。记0A =Ω，则

0c n

n A A A =-=011211

()()()n

n n k

k A A A A A A B

-=-+-++-=∑

且 1{,}k k k B S S εε-?<≥

由于k k B S χ与n k S S -独立及()0n k E S S -=，有

2222

()k k k

k

n n B k B n k B B S dP E S E S E S S χχχ==+-?

2

2()k

k B k E S P B χε≥≥

因此，

2

22

1

1

c n

k

n

n

k

n n n A B k k D E S S dP S dP ξ

===≥=∑∑??2

2

1

1

n n

k

k

k k P

B D ε

εξ==≥=∑∑（）

由于

1111k k k k k k A k A k A k A k B S S S S χξχχχχ----+==+ 5—（17）

注意到1k S -，1k A χ-均与k ξ独立及0k k A B χχ=，对4—（5）式两端的模取平方，然后取数学期望有

12

2

2

11()k k k k A k k k A k B E S D P A E S E S χξχχ---+=+ 5—（18）

再由2k c ξ≤得

1(2)k k k k k B k B k B B S S c χχξχεχ-≤+≤+ 5—（19）

利用1()()k n P A P A -≥并将5—（19）式代入5—（18）式中可得

122

21()(2)()k k k A k n k A k E S D P A E S c P B χξχε--+≤++

对1,2,,k n = 求和，最后得到

2

21

()()(2)()

n n

k n n A k k D P A E S c P B ξχε=≤++∑

222()(2)()(2)c

n n P A c P A c εεε≤++≤+

稍加变形即是所求的不等式的左半。

2

1

(2)1n

k

k c D εξ

=+-

∑1(){max }c

n k k n

P A P S ε≤≤≤=≥

这正是Tchebychev 不等式。因此，Kolmogorov 不等式是Tchebychev 不等式的推广，而

Hajek -Renyi 不等式又是Kolmogorov 不等式的推广。

6.Tchebychev -Markov 型不等式在Kolmogorov 强大数定律的应用

Kolmogorov 强大数定律 设{}i ξ,1,2,i = 是独立随机变量序列，且2

1n

n D n

ξ∞

=<∞∑,则成立

1

1{lim ()0}1n

i i n i P E n ξξ→∞=-==∑ 6—（1）

证明：在Hajek -Renyi 不等式中，令1

j C j

=

，可以得到 22211111{max ()}()j m

n j i i j m j n i j j m i

D P

E D j m j ξξξεξε≤≤===+-≥≤+∑∑∑ 由概率的连续性

11{sup ()}j i i j m i P E j ξξε≥=-≥∑1

1lim {max ()}j

i i n m j n i P E j ξξε→∞≤≤==-≥∑

≤222

11

1()m

n j j j j m i

D D m j ξξε==++∑∑ 6—（2） 因为

2

1

j j D j

ξ∞

=<∞∑

，故由6—（2）得到

1

1lim {sup ()}j

i i n j m i P E j ξξε→∞≥=-≥=∑0 这正等价于6—（1）。定理证毕。

7.Tchebychev -Markov 型不等式在独立增量过程中的应用

定理 设{}n k P S S a α->≤，1,2,,k n = ，此处01α<<，则对任意0X >有 1

{max }{}1k n k n

P S a x P S x α

≤≥+≤

≥- 证明：令(){max }k j j k

A a x S a x ≤+=<+，

1()()()k k k B a x A a x A a x -+=+-+。

同上，0()A a x +=Ω（因为00S =），

1

(){max }()n

c n

j k j n

k A a x S a x B a x ≤=+=≥+=

+∑

由假设，对k n ≤有

1

{()}{()}{}1k k n k P B a x P B a x P S S a α+≤

+-≤-

111{,,,,}1k k n k P S a x S a x S a x S S a α-=<+<+≥+-≤- 111{,,,,}1k k n P S a x S a x S a x S x α

-≤<+<+≥+≥- 把上不等式对1,2,,k n = 求和得

{max }k k n P S a x ≤≥+≤1

1

{(),}1n

k n k P B a x S x α=+≥-∑11α≤-{}n P S x ≥

4 研究内容与方法及拟解决的主要问题

Tchebychev -Markov 不等式在概率极限理论的研究中起着十分关键的作用。但是

Tchebychev 不等式和Markov 不等式都有其不足之处，比如：

1.两个不等式所给出的{}P E ξξε-≥和{}P ξε≥的控制上限过粗。这给一些稍微精细的推导带来不便；

2.右端仅限于原点矩r

E ξ和中心矩()r E E ξξ-，对一般形式的(())E f ξ，缺少相应的结论；

3.不等式左端仅限于{}P E ξξε-≥和{}P ξε≥的形式，对于单边尾概率形式{()}

P E ξξε-≥，{}P ξε≥等也缺少相应的结论。 以上不足，都对实际应用带来一定的局限性，为了克服这些不足有必要对Tchebychev

不等式和Markov 不等式给予一定的推广。本论文主要解决以下5个广义的Tchebychev -Markov 型不等式。

不等式1：若(0)k Ee k ξ

>存在，则()k k Ee P e

ξ

ξξε≥≤

不等式2：若()f x 为非负不减的函数，则(())

{}()

E f P f ξξεξ≥≤

不等式3：证明：212

{()}(1)D P E D D εξξξεξξε--≥≤+=+ 不等式4：令g 为R 上非负函数，X 为任意随机变量。若g 在[0,)∞上非降，且为偶

函数，则对每个0a ≥有

()()()

{}()()

Eg X g a Eg X P X a g X g a ∞-≤≥≤

不等式5：若0X ≥，则

1

()()()

n n P X n E X P X n ∞∞

==≥≤≤≥∑∑

关键问题：

本论文的关键之处在于确定随机变量ξε≥，()E ξξε-≥的概率，经典的Tchebychev -Markov 型不等式只能解决{}P ξε≥，{}P E ξξε-≥的问题，而且只有上界，而没有下界，而且上界是关于原点矩和中心矩的，局限性较强。

5 工作的主要阶段和进度

本论文一共分为三个部分：（本论文此项内容要更详细）

1.大四上学期第15周—第21周：完成外文翻译、开题报告。

2.大四下学期第1周—第2周：指导老师审查外文翻译和开题报告完成情况。

3.大四下学期第3周—第13周：完成毕业论文正文。

6 最终目标及完成时间

（本论文此项内容要增加）

7 现有的条件及必须采取的措施

三峡大学图书馆和三峡大学理学院机房（本论文此项内容要更详细）

8 协助单位及解决的主要问题

三峡大学理学院（本论文此项内容要更详细）

9 参考文献

阅读的主要文献资料如下： [01] [02] [03]

……（本论文此项内容要更详细）