2015-2016学年吉林省实验中学高一(下)期中考试数学试题(解析版)

2015-2016学年吉林省实验中学高一（下）期中考试数学试题

一、选择题

1．已知直线l 经过点(2,0)A -与点(5,3)B -，则该直线的倾斜角为（ ）

（A ）150° （B ）75° （C ）135° （D ）45° 【答案】C

【解析】试题分析：该直线的斜率为30

15(2)

k -=

=----,倾斜角[)0,απ∈,而

tan k α=,所以135α= ,故选C.

【考点】1.直线斜率计算公式；2.倾斜角与斜率的关系. 2．,a b 是任意实数，且a b >，则下列结论正确的是（ ） （A ）33a b --< （B ）1b a < （C ）1

lg()lg

a b a b

->- （D ）22a b > 【答案】A

【解析】试题分析：对于A,由a b >有,a b -<-,而函数3x y =在定义域上为增函数,所以33a b --<,A 正确；对于选项B 、C 、D ，取3,4a b =-=-,得1b a

>,1lg()lg 0a b a b -==-,22

a b <, 选项B 、C 、D 都是错误的,故选A.

【考点】不等式的基本性质.

3．等差数列{a n }中，a 6＋a 9＝16，a 4＝1，则a 11＝（ ）

（A ）64 （B ）30 （C ）31 （D ）15

【答案】D

【解析】试题分析：在等差数列{}n a 中，69411a a a a +=+,所以1115a =,故选D. 【考点】等差数列的性质.

4．过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍的直线方程是（ ） （A ）2120x y +-= （B ）290x y +-=或250x y -= （C ）210x y --= （D ）2120x y +-=或250x y -= 【答案】B

【解析】试题分析：当此直线经过原点时,又过点(5,2),所以直线方程为250x y -=；当此直线不过原点时,设此直线方程为

1(0)2x y

a a a

+=≠,点(5,2)在此直线上,所以9

2

a =

,此时直线方程为290x y +-=.综上,满足题意得直线方程为290x y +-=或250x y -=,故选B.

【考点】1.求直线的方程；2.截距的概念.

5．A 为△A BC 的内角，则A A cos sin +的取值范围是（ ）

（A ） （B ）( （C ）(-

（D

）[ 【答案】C

【解析】试题分析

：s i n +c o 2s i n ()4

A A A π

=+,由于0A π<<,所以

54

44

A π

ππ

<+

<

,sin()14

A π

<+≤,

故1sin cos A A -<+选C. 【考点】1.辅助角公式；2.三角函数的性质.

6．设等比数列{a n }的前n 项和S n ，已知a 1＝2，a 2＝4，那么S 10等于（ ）

（A ）210＋2 （B ）29－2 （C ）210

－2 （D ）211

－2 【答案】D

【解析】试题分析：等比数列的公比214

22

a q a =

==,所以前10项和101011110(1)2(12)22112

a q S q --===---,选D.

【考点】等比数列的性质.

7．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若22()6c a b =-+，△ABC 的面

C 的大小为（ ） （A ）3π （B ）23π （C ）6π （

D ）56

π

【答案】A

【解析】试题分析：由22

()6c a b =-+有22226a b c ab +-=-,而

2223cos 12a b c C ab ab +-==-,

又1sin 22ABC S ab C == ,

所以sin ab C =,

所以

cos sin 1

C C =

,sin()3C π+=,因为0C π<<,所以3C π=,故选A. 【考点】1.余弦定理；2.三角形面积公式；3.已知三角函数值求角. 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 7a 5＝913，则S 13

S 9＝（ ）

（A ）1 （B ）－1 （C ）2

（D ）1

2

【答案】A

【解析】试题分析：因为

{}

n a 是等差数列，所以

12

121

1(21)()(21)2

n n n n a a S n a ++++

+==+，则1379

5

13,9S a S a ==,所以

137

95

1319S a S a ==,选A.

【考点】1.等差数列的性质；2.等差数列的前n 项和公式. 9．在△ABC 中，2

cos 22B a c

c

+=

，（a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边），则△ABC 的形状为（ ）

（A ）正三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰三角形或直角三角形 （D ）等腰直角三角形 【答案】B

【解析】试题分析：由2

cos 2cos

12B B =-有21cos cos 22B B +=,又2cos 22B a c c

+=,化简得cos a

B c =,由余弦定理有222cos 2a c b B ac +-=,所以2222a a c b c a c +-=,则

222a b c +=,满足勾股定理,所以ABC 为直角三角形.选B.

【考点】1.半角公式；2.余弦定理.

10．在等差数列{}n a 中，11a =，n S 为其前n 项和．若

1917

61917

S S -=，

则10S 的值等于（ ） （A ）246 （B ）258 （C ）280 （D ）270 【答案】C

【解析】试题分析：在等差数列{}n a 中，公差为d ,因为

12

n n

S a a n +=，所以111

11222n n n n S S a a a a d n n ++++-=-=+为常数,则数列n S n ??????

是公差为2d 的等差数列, 所以

1917

1917

S S d -=,即数列

{}

n a 的公差

6d =,所以

101

109

1

01045628

2

S a d ?=+=+?=.故选C. 【考点】1.等差数列前n 项和公式；2.等差数列的性质.

【方法点晴】本题主要考查了等差数列中的基本计算,利用定义证明等差数列,属于中档题.在本题中,从

191761917S S -=入手,得出

“数列n S n ??

????

是公差为2d 的等差数列”这个结论, 求出数列{}n a 的公差6d =,再利用前n 项和公式,1(1)

2

n n n S na d -=+

, 在等差数列{}n a 中,当10n =, 11,a =公差6d =时, 求出10S , 得出结论.

11．已知,a b 为正实数，且12

1a b

+=，若0a b c +-≥对于满足条件的,a b 恒成立，则c 的取值范围为（ ）

（A ）(,3-∞+ （B ）(,3-∞+

（C ）(,3-∞+ （D ）(,3-∞+

【答案】B

【解析】试题分析：由0a b c +-≥有c a b ≤+恒成立，所以min ()c a b ≤+，而由,a b 为

正实数，且

12

1a b +=,有122()()33b a a b a b a b a b

+=++=++

≥+,当且仅当

b =,即12a b =时等号成立,所以3

c ≤+故选B.

【考点】1.恒成立的转化；2.基本不等式.

【思路点晴】本题主要考查了利用恒成立等价转化为求a b +的最小值,属于中档题. 注意恒成立的等价转化:()a f x ≤恒成立?min ()a f x ≤.在求a b +的最小值时,充分利用条件:,a b 为正实数，且

12

1a b

+=. 利用基本不等式有“当两正数积为定值时,它们的和有最小值”.还要注意等号成立的条件,就可得到结果. 本题用到了等价转化思想. 12．已知函数2()41f x x =-，若数列1()f n ??

????

前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ）

（A ）20172018 （B ）20162018 （C ）4036

4037

（D ）

2018

4037

【答案】D 【

解

析

】

试

题

分

析

：

因

为

2

()

41f x x =-，所以

2111111()()41(21)(21)22121f n n n n n n ===---+-+，所以数列1()f n ??

????

前2018项

和201811111111112018

(1)()()(1)23235240354037240374037

S =

-+-++-=-= ,故选D.

【考点】裂项相消法求和.

【易错点晴】本题主要考查了利用裂项相消法求数列的前n 项和,属于中档题. 当数列的通项能分裂为两项之差, 且分裂后相邻的项正负抵消从而求得其和,这时采用裂项相消法求和.在用裂项相消法求和时注意:要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了那些项, 切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点.

二、填空题 13．不等式

11

1

>-x 的解集为_________． 【答案】(1,2)

【解析】试题分析：由

111>-x 有1101x ->-,通分有2

01

x x -+>-,等价为(1)(2)0x x --+>,所以12x <<,故原不等式的解集为(1,2).

【考点】分式不等式的解法.

14．过()0,1与直线022=--y x 平行的直线方程为 ． 【答案】

【解析】试题分析：与直线022=--y x 平行的直线方程设为20x y λ-+=,又过点

()0,1,所以10λ+=,解出1λ=-,故所求的直线方程为210x y --=.

【考点】1.两直线平行的条件；2.求直线的方程.

15．等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 ． 【答案】4

【解析】试题分析：数列{lg }n a 的前8项和8128128lg lg lg lg()T a a a a a a =+++= ,由

等

比

数

列

的

性

质

有

18273645

a a a a a a a a ===,所以

44812812845lg lg lg lg()lg()lg(10)4T a a a a a a a a =+++==== .

【考点】1.等比数列的性质；2.对数的运算.

【易错点晴】本题主要考查数列的求和,属于中档题. 等比数列的性质：在等比数列

{}n a 中，若,,,m n s t N *∈，且m n s t +=+，则m n s t a a a a =.还有对数的性质:若

0,0M N >>,0a >且1,a ≠则log log log ()a a a M N MN +=,所以数列{lg }n a 的前

8项和8128128lg lg lg lg()T a a a a a a =+++=

4445lg()lg(10)4a a ===.

16．若△ABC 的内角,,A B C

满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 ．

【答案】

4

【解析】试题分析：由正弦定理

有2a c

=,所

以

c =

,

222

2

2

31422cos 22a b a b c C ab ab

++-==,由

于

2

2311

4

22a b b +?=,

故

cos C ≥,所以c o s C 的最小值

是 【考点】1.正弦定理；2.

余弦定理的推论；3.均值不等式.

【思路点晴】本题主要考查了余弦定理的推论及均值不等式求最值，属于中档题.在本题中，由正弦定理把sin 2sin A

B C =

化为2a c =，再由余弦定理推论求出cos C 的表达式，还用到用均值不等式求出

2231422

a b ab +≥，

再算出结果来.

三、解答题

17．三角形的三个顶点是(4,0)A ，(6,7)B ，(0,3)C ． （Ⅰ）求BC 边上的高所在直线的方程； （Ⅱ）求BC 边上的中线所在直线的方程．

【答案】（Ⅰ）32120x y +-=；（Ⅱ）5200x y +-=.

【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出C B 边所在直线的斜率，再利用C B 所在直线的斜率与C B 高线的斜率乘积为1-，由点斜式求出BC 边上的高所在直线的方程；（Ⅱ）求出C B 中点坐标，再由A 点坐标，求出直线方程. 试题解析： （Ⅰ）BC 边所在直线的斜率3

2

0637=--=

BC k 因为BC 所在直线的斜率与BC 高线的斜率乘积为—1

所以BC 高线的斜率为2

3

-

又因为BC 高线所在的直线过A （4，0） 所以BC 高线所在的直线方程为)4(2

3

0--=-x y ，即01223=-+y x

（Ⅱ）设BC 中点为M 则中点M （3,5）

所以BC 边上的中线AM 所在的直线方程为0205=-+y x 【考点】1.两直线垂直的条件；2.求直线的方程. 18．已知不等式220ax x c ++>的解集为11

{|}32

x x -<<．

（Ⅰ）求a 、c 的值；

（Ⅱ）解不等式220cx x a -+<．

【答案】（Ⅰ）12,2a c =-=；（Ⅱ）{}

23x x -<<.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知不等式的解集得到一元二次方程的解,再由韦达定理求出a 、c 的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的a 、c 的值代入所求的不等式中, 解不等式即可. 试题解析：（Ⅰ）由220ax x c ++>的解集为11{|}32x x -<<知0a <，

且方程220ax x c ++=的两根为1211

,32

x x =-=.

由根与系数的关系得11

2321132a

c a

?-+=-????-?=??，由此得12,2a c =-=.

（Ⅱ）不等式220cx x a -+<可化为260x x --<，解得23x -<<.

所以不等式的解集为{|23}x x -<<.

【考点】1.一元二次不等式与一元二次方程之间的关系；2.韦达定理；3.一元二次不等式的解法.

19．在锐角△ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C

2sin c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；

（Ⅱ）若c 面积的最大值．

【答案】（Ⅰ）3

C π

=

；（Ⅱ）ABC ?

. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由正弦定理得到；（Ⅱ）由余弦定理计算cos C ,由重要不等式求出ab 的范围,再由面积公式求出ABC ?的面积的最大值. 试题解析：

（Ⅰ）∵

sin sin a c A C

==

，∴sin C =，又C 是锐角，∴3C π

=. （Ⅱ）∵2222271

cos 222

a b c a b C ab ab +-+-===，∴2277a b ab ab +-=-≥2，∴7ab ≤，

∴1sin 2ABC S ab C ?==

当且仅当a b ==ABC ?

【考点】1.正弦定理；2.余弦定理；3.重要不等式.

20．已知数列{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．

（Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和．

【答案】（Ⅰ）3n a n =,132n n b n -=+；（Ⅱ）

3

(1)212

n n n ++-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先由13a =，412a =求出数列{}n a 的公差,再求出{}n a 的通项公式,由已知条件求出数列n n b a -的通项公式, 再求出{}n b 的通项公式；（Ⅱ）把{}n b 分成两组,分别求出通项公式来.

试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝413a a -＝123

3

-＝3． 所以a n ＝a 1＋（n －1）d ＝3n （n ＝1,2，…）． 设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3

＝

4411

b a b a --＝2012

43--＝8，解得q ＝2.

所以b n －a n ＝（b 1－a 1）q n －1

＝2n －1

，从而b n ＝3n ＋2

n －1

（n ＝1,2，…）．

（Ⅱ）由（1）知b n ＝3n ＋2n －1

（n ＝1,2，…）．

数列{3n}的前n 项和为32n （n ＋1），数列{2n －1}的前n 项和为1×1212

n --＝2n －1．

所以，数列{b n }的前n 项和为

32

n （n ＋1）＋2n

－1． 【考点】1.等差等比数列的通项公式；2.数列求和中的分组求和. 21．在数列{}n a 中，11a =，123n n a a +=+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设3+=n n a b ，求数列{}n nb 的前n 项和n S ． 【答案】（Ⅰ）123n n a +=-；（Ⅱ）2(1)24n n S n +=-?+．

【解析】试题分析：（Ⅰ）由条件123n n a a +=+构造等比数列{}3n a +,求出通项公式,再求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）由3n n b a =+求出{}n b 的通项公式,用错位相减法求出数列{}n nb 的前n 项和n S ． 试题解析：（Ⅰ）321+=+n n a a

)3(231+=+∴+n n a a

{}3+∴n a 是以31+a 为首项，公比为2的等比数列

112)3(3-?+=+∴n n a a

11=a

321-=∴+n n a

（Ⅱ）由（Ⅰ）得12+=n n b

12+?=∴n n n nb

13222221+?++?+?=∴n n n S (1)

把（1）乘以2得

243222212+?++?+?=∴n n n S (2)

由（1）-（2）得

21322222++?-+++=-n n n n S 2)22

121(4+?---=-n n n n S

22244+?-?+-=-n n n n S 22224++?+-=n n n n S 42)1(2+?-=∴+n n n S

【考点】1.用构造法求数列的通项公式；2.用错位相减法求和.

【思路点晴】本题主要考查了求数列的通项公式及用错位相减法求数列的前n 项和,属于中档题. 在（Ⅰ）中, 由123n n a a +=+化为132(3)n n a a ++=+, 由等比数列的定义知{}3n a +为等比数列, 再求出通项公式来,在（Ⅱ）中, 由数列{}n nb 通项公式

12n n b n +=?的特征, 用错位相减法求前n 项和.

22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且344n n S a =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21222l o g l o g l o g n n c a a a =+++

，12111

n n

T c c c =

+++

，求使得不等式2291

n

n n k n T n ?-+≥()恒成立的实数k 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）22n n a =；（Ⅱ）3

64

k ≥

. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由n a 与n S 的关系求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）用裂项相

消法求出n T ,由不等式2291n n n k n T n ?-+≥()恒成立, 转化为求

292n

n -的最大值. 试题解析：（Ⅰ）由344n n S a =-可得14a =， ∵344n n S a =-，∴11344n n S a --=-， ∴1133(44)(44)n n n n S S a a ---=---， ∴1344n n n a a a -=-，即

1

4n

n a a -=， ∴数列{}n a 是首项为14a =，公比为4的等比数列， ∴242n n n a ==．

（Ⅱ）由已知21222log log log 242(1)2(1)n n c a a a n n n n =+++=+++-+=+ ， ∴121111111111111223(1)22311

n n n T c c c n n n n n =+++=+++=-+-++-=???+++ ，

由2291

n n n k n T n ?-+≥()恒成立，即29

2n n k -≥恒成立．

设292n n n d -=，1112(1)929112222

n n n n

n n n n d d ++++----=-=， 所以当6n ≥时，数列{}n d 单调递减，当15n ≤≤时，数列{}n d 单调递增； 又5613

3264

d d =<=

，所以数列最大项为6364d =， ∴3

64

k ≥

【考点】1.由等比数列定义求出数列{}n a 的通项公式；2.用裂项相消法求和. 【思路点晴】本题主要考查了用裂项相消法求数列前n 项和及恒成立的等价转化,属于中档题. 在（Ⅰ）中,用到了公式1n n n a S S -=-, 求出n a 与1n a -的关系, 算出数列{}

n a 的通项公式, 在（Ⅱ）中,先用裂项相消法求出前n 项和n T , 不等式2291

n n

n k n T n ?-+≥()

恒成立, 转化为求29

2n

n-

的最大值, 由

11

112

2

n n n

n

d d

++

-

-=,得到数列{}n d的单调性,

求出

n

d的最大值, 即可得出k的范围.