等积变形
课前预习：让学生观察发现生活中的等积变形
课前：回想一下，关于长方体，我们已经会了些什么？师先集体问，再同桌互相考一考
师：要求长方体的高，该怎么办？
解决问题
一、复习引入
师：这是一个棱长1分米的正方体，体积是多少？
现在我把4个这样的正方体拼起来，拼成的体积是多少?为什么?
师：这样拼呢?
师：在这个过程中，什么变了?什么没有变?
生：形状变了，但体积没有变。
师：形状变了，体积不变。(板书)
在数学中，我们将这种现象称为等积变形。板书：等积变形。齐说.
师：想一想，你还见过哪些形状改变但体积不变的现象?
生：用一块橡皮泥捏出各种东西，形状变了，但体积始终没有变。
生：将一碗水倒在杯子里，形状变了，但体积不会变。
师：现在我们来实验一下，这是一块橡皮泥，如果将它没入水中，它的体积会使水面上升，请看，此刻水面在这个位置，用笔画一条线，请你来捏一捏，这时，它的形状怎样？体积呢？请看，水面还在这个位置，说明体积不变。这就是等积变形。今天，我们就利用等积变形的原理来解决一些问题。板书课题：解决问题
二、探究新知
１、学习例３
师：请看屏幕，先默读几遍，一起读一读。
师：读题后，你知道了什么?
师：这当中什么变了，什么没变？生：形状变了，体积不变。
师：你从哪看出来的？
师：钢坯是制作钢材的原型，这里的锻，就是用锤击的方法把它从正方体变成长方体，形状怎么样（师点击）？体积呢？（不变）怎么不变？能说具体点吗？生：也就是长方体钢材的体积=正方体钢坯的体积（师板书）。
师：求什么？（师点击）要求长方体的高，必须知道些什么？（板书：高？）生：要求长方体的高必须知道长方体的体积和长方体的底面积。
师：你能从题中挖出这些条件吗？试着在练习本上列出算式，并解答。
抽生板演一种方法
师：说说你每步的含义，
师：说得不错，再请个同学来说说，这个8000表示什么？那第二个8000也表示正方体的体积吗？想想它应该表示什么？为什么？
师：要求长方体的高必须用长方体的体积除以它的底面积。所以，第二个8000是长方体的体积，（师写长）一个8000是正方体的体积，（师写正）会不会矛盾呢？为什么？
师：哦，这是利用体积不变的原理，将正方体的体积转化成了长方体的体积，对吗？（师板书：转化）再用长方体的体积除以底面积求高。
师：还有别的方法吗？生说，师板书关键的一步算式，
问：可以吗？这是用长方体的体积除以长除以宽求高。
不论哪种方法，都要先算出正方体的体积，再把它转化成长方体的体积。一起口答。
师：现在，我想将这块钢材再变一变，将它锻成一个如图这样的长方体，它的长会是多少呢？能不能快速算出来？同桌互相说一说。
师：谁来汇报一下？生说师点击。
师：这里是在用体积除以横截面求长
师：观察这一块钢坯，形状在不断改变，（师点击变形）但体积不变，（等积）师：生活中利用等积变形原理解决的问题还有很多，比如铺路。（师点击出题）（给学生一点时间看题）
师：你们准备怎么分析这道题呢？生各抒已见。
师：这里什么变了，什么没有变呢？
师：为什么体积没有变？（因为是一车厢的石子铺在路上，没有增加也没有减少）那形状是怎么变的呢？（从长4米,宽2.5米,高1.5米的长方体变成了长20米,宽5米的长方体）也就是说这条路虽然薄，但也相当于一个长方体，求路的厚度也就是求这个长方体的高。能解答吗？把算式写在作业本上。
师：谁来说说方法？每步表示什么呢？
师：看到孩子们精彩的表现，老师很欣慰，但我心里还有个疑问，能帮我解快吗？规则物体即使变形，也能根据等积变形的原理求出体积，不规则的物体又该怎么办？比如这块土豆，有什么办法能算出它的体积呢?
师：同桌商量一下，想好办法了吗?
生：可以把土豆放入量杯里，用上升后水的体积减去上升前水的体积。
师：这种办法确实很好，要是我没有量杯，只有这种玻璃缸呢？怎么办？
生：也可以把土豆放进去，量出水上升了多少？
师：为什么一定要看关注水上升了多少?
生：上升部分水的体积就是土豆的体积。
师：也就是土豆的体积相当于上升部分水的体积。
师：如何求上升部分水的体积呢？
生：上升部分的水的长，宽和玻璃缸的长宽是相同的，也就是土豆放进去后，只有什么变了？什么没有变？（高变了，长宽不变）
师：现在告诉你这个玻璃缸内长为2分米，内宽为1.5分米，土豆放进去后，水面上升了0.2分米，土豆的体积可以怎么算？
师：谁来说说你的方法？
师：同意吗?真是聪明的孩子，
师：在历史上，古希腊数学家阿基米德最早想到，将不规则物体转化成水的体积来计算，他是怎么想到的呢？请看屏幕。抽生读。
师：看到了吧，好办法并不是天生存在于谁的脑子里，它需要观察与思考。师：好了，孩子们，回想刚才的学习过程，你能把自已的收获与同学们分享一下吗?
师：有没有信心再来试试。好，仔细审题，看哪些孩子是最善于观察与思考的。师：谁来说说你的分析过程，求什么？求高必须知道什么？体积和底面积，底面积就是玻璃缸的底面积，只差什么？体积，从哪来，就是铅块，取出铅块，水面下降，铅块的体积就是下降的水的体积。
师：数学是一门越品越有味的科学，希望同学们细细品味，品出数学的精彩。最后，留一道题给孩子们课后实践与思考。
小学五年级奥数精讲等积变形求面积(含答案)
小学奥数精讲：等积变形求面积 “三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道： 等底等高的两个三角形面积相等． 这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等，当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”． 另一类是两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边的所对的顶点在一条与底边平 行的直线上，如右图中的三角形A 1BC 与A 2BC 、A 3BC 的面积都相等。 图形割补是求图形面积的重要方法，利用割补可以把—些形状不规则 的图形转换成与之面积相等但形状规则的图形，或把不易求面积的图形转 换成易求面积的图形． 利用添平行线或添垂线的办法，常常是进行面积割补的有效方法，利 用等底等高的三角形面积相等这个性质则是面积割补的重要依据，抓住具体的图形的特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键． 进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案．不要盲目 地乱动手．本讲中．的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。 例1、已知三角形ABC 的面积为1，BE ＝ 2AB ，BC ＝CD ，求三角形BDE 的面积? 例2、如下图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=3 1 CD ，若△ABC(阴影部分)面积为5平方厘米，求△ABD 及△ACE 的面积． 例3、 2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它是由四个相同的直角 基本概念 例题分析
三角形拼成(直角边长为2和3)，问：大正方形面积是多少? 例4、下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的直角边长等于9厘米的等腰直角三角形，求阴影部分的面积． 1、如图，已知平行四边形ABCD的面积是60平方分米，E、F分别是AB、AD边上的中点，图中阴影部分的面积是多少平方分米? 2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米，AF=BE，图中阴影部分的面积是多少 平方厘米？ 练习提高
等积变形教案
“等积变形”教学设计 西林小学胡晓梁 教学内容： 小学数学几何初步知识教学中，关于等体积的物体之间相互转化的规律解决有关的实际问题。 教学目标： 1、使学生明白在物体的形状的转变中,体积不变的规律。 2、运用等积变形的思想正确寻找题目中的等量关系。 3、正确运用等积变形的思想解决生活中的实际问题。 教学重点： 明白等积变形的数学思想，会运用等积变形的思想正确寻找题目中的等量关系运用规律解决实际问题。 教学过程: 一、设置情景，情境人学。 1、投影出示图片《曹聪称象》请同学们回忆一下这篇课文的主要内容，说说曹聪是怎么 样称出大象的重量的？ 2、求长方体、正方体的体积： （1）长方体的长是9厘米、宽是8厘米、高是3厘米： （2）正方体的棱长是6厘米： 师问：通过计算你发现他妈的什么相同？ （3）现在有一个正方体钢坯棱长是6里面，把它加工成一个长方体，长是9厘米，宽是8厘米，高是多少厘米？ 3、引出课题：板书等积变形 二、自主学习、探索研究 1、出示习题： 有一个小金鱼缸，长4分米，宽2分米，水深2分米。把一块石头浸没在水中，水面上升了1分米。这块石头的体积是多少立方分米？ （1）学生独立思考并计算； （2）反馈交流，说说你是怎么想的？ 2、练习: 有一只长方体水槽，它的底面是边长为20厘米的正方形，有一段横截面是80平方厘米的长方体钢材浸没在其中，当钢材从水槽中取出后，水桶内的水下降了3厘米，求这段钢材长？ （1）提示学生：要求钢材的长，必须已知什么条件？ （2）思考：钢材的体积就是谁的体积？
3、有一段钢可做成一个底面直径8厘米，高9厘米圆柱形零件，如果把它改制成高是12厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？ （1）先说说圆柱和圆锥的体积计算公式？ （2）思考：这里的圆柱和圆锥有什么样的关系？ （3）独立计算并反馈。 三、巩固训练、提高练习 (一)、练习： 1、有一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽均是2分米，向容器倒入5.5升的水，再把一个苹果放人水中。这时量的容器内的水深是16厘米。这个苹果的体积是多少？ 2、一个圆锥形的沙堆的沙堆，底面积是12.56平方米，高是1.2米。用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？ （1）学生独立计算，教师巡视指导； （2）校对反馈，指导分析。 3、选作： 牙膏出口处直径为5毫米,小亮每次刷牙都挤出1厘米的牙膏。这样，一支牙膏可用36次。该品牌的牙膏推出的新包装只是将出口处直径改为6毫米，小亮还是按习惯每次挤出1厘米长的牙膏。这样，这支牙膏只能用多少次？ 四、课堂总结 这节课我们复习了那些知识，通过复习你掌握了那些知识？
小学五年级奥数 等积变形
奥数拓展：等积变形 （一）故事导入： 有一个富翁留了一块三角形的土地给两个儿子，两个儿子要求平分这块地，这可伤透了他们的脑筋，因为他们不知道怎样去测量、平分。同学们，你们能想出多少种方法将这块土地平分成2个面积相等的三角形吗？ 根据这个问题，你能得出什么结论？ 结论一：。 （二）即学即练： 1.你有什么方法将任意一个三角形分成3个面积相等的三角形？ 2.如图，把△ABC的底边BC四等分，那么甲、乙两个三角形的面积谁大，为什么？ 如图．三角形ABC中．D是AB的中点．点E、F．G、H把BC平均分成五份．阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？ （三）思维探索： （平行线间的等积变形）如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边，那么△ACD和△BCD的面积关系是怎样的？为什么？ 结论2：夹在间的一组同底三角形面积相等（四）即学即练： 1.如图，在梯形ABCD中共有8个三角形，其中面积相等的三角形有哪几对？
（五）结论总结： 一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论： （1）等底等高的两个三角形面积相等； （2）底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等； （3）若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （六）例题梳理 【例1】等积变形的等分点应用 1.如图，在直角三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，如果△AED的面积是30平方厘米．求△ABC 的面积？ 2.如图，A为三角形DE边上的中点，BF为CD边上的三等分点，如果三角形ABC的面积为5，求三角形ABD和三角形ACE的面积。 3.在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若三角形ADE的面积是1，求三角形BEF的面积。 【例2】平行线中的等积变形
五年级下册数学奥数试题-等积变形(无答案)(人教版)
第3讲等积变形 一、知识点 等积变形一般指三角形的等积变形，就是三角形面积相等的变化，经常用到的结论有： 1.等底等高的两个三角形面积相等； 2.两个三角形的底在同一条直线上而且相等，底所对的角顶点是同一个，则面积相等； 3.如果两个三角形的底（高）相等，一个三角形的高（底）是另一个三角形的几倍，则这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍； 4.几个三角形的底相等，都在两条平行线的同一条直线上，且同样长度底边所对的顶点在两条平行线的另一条上，则这几个三角形的面积相等. 二、例题精讲 例1 两条对角线将梯形分成四个小三角形，已知图中两个三角形的面积，则另外两个三角形的面积分别为多少？ 例2 如图，三角形ABC中D、E分别为各边中点.若阴影部分面积为1，则三角形ABC的面积为__________. 例3 如图，把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D，把它的另一边AC延长2倍到E，得到一个较大的三角形ADE,三角形ADE的面积是三角形ABC面积的________倍.
例4 如图，在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，三角形EBF的面积是____________平方厘米. 例5 如图，已知三角形ABC的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC面积的2倍，则阴影部分的面积是______________平方厘米. 例6 如图，长方形ABCD中，AB=24厘米，BC=36厘米，E是BC的中点，F、G分别是AB、CD 的四等分点，H为AD上任意一点，求阴影部分的面积. 例7 在梯形ABCD中，若AB=8,DC=10,三角形AMD的面积是10，三角形BCM的面积是15，则梯形ABCD的面积是_____________. 例8 如图，三角形ABC的面积为10平方厘米，AE=ED,BD=2CD,则图中阴影部分的面积是
小升初奥数等积变形
一、学奥数到底有什么用 对目前绝大部分学奥数的孩子和他们的家长来说，那就是通过各种杯赛获奖得到一个上 重点中学试验班的机会，因为现在的升学制度决定了奥数已经成为升学的一个重要手段。其实我们目前学的某些内容，比如抽屉原理等，可能以后在初中甚至高中的课本里我们都根本 不可能接触到的，但是我们学习的其实是一些思想方法，更具体的说，是培养一种解决问题的能力。能把小学奥数学好的同学，我相信学习中学的知识的时候，至少在理科方面，那绝对是游刃有余的。 二、怎样学好奥数 学奥数最佳的起步时间应该是三年级，这个时间启蒙教育特别重要，能不能尽快入门， 或者说“开窍“，这是一个很重要的时期。五年级的时候最好就应该把六年级的内容学的差不 多了. 下面具体谈一下奥数的学习方法学奥数有诀窍吗？根据我学习奥数的经验，答案是没 有。但如果非要我说一个的话，那就是“做题”。 那么这里就有两个问题了，一是我该做哪些题呢？二是我该做多少，应该怎么做呢？ 我们先说一下做哪些题，现在市面上的奥数书种类繁多。我觉推荐《华罗庚学校数 学课本》，这本书内容不难，适合入门学习。《华罗庚思维训练导引》是一本分类习 题集，每个专题15个题目，虽然有的题目偏难，但这本书选题都非常有代表性，值 得一做（做三星题目为主）。 除了专题训练外，大量的综合练习也是必不可少的，《小学数学ABC》《小学数学奥林匹克试题详解》和刘京友编写的《题库》这3本书非常好。 通过做综合练习找出自己问题所在，再集中的有针对性的加强这方面的练习，达到差漏补缺的目的。这就要求我们每次做完题，不会的或者做错的一定要弄明白为 止。有的同学可能一天做好几套题目，做完了对对答案，每套错的都不多，自我感 觉也不错，做了半天也累了就把书扔下不管了。这样的学习是没有效果的，因为你 原先会的还是会，不会的那些呢？还是不会！ 因此题目不在于你做了多少，关键是你遇到的每一道题目无论你当时是否会做，事后你是否都真正理解了，再遇到类似的题目还会不会做。如果我真正能做到做一 套题就把里面所有的题目吃透，那么我学习的效果要比刚才提到的一天做好几套但 不注意总结的同学好的多。 其实你好好把题目总结一下花不了太多时间，而且对自己的帮助真的很大。希望同学们也能做到这点，至少，对于做错的题目一定要引起重视。每天学习完或者做 完题，自己都问问自己，我今天学到了什么新的方法，我哪个题目思路上有问题以
小学奥数——三角形的等积变形附答案
小学奥数三角形的等积变形 我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底×高÷2 这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来 角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系． 为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等． ②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等． ③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． ，它们所对的顶 点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等． 同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍． 例如在右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等． 例如右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC的高是△DBC高的2倍（D 是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2倍． 上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据． 例1 用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形． 方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC 等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积． 例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4． DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4． 当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．
人教版数学六年级下册等积变形教学设计
等积变形的教学设计 学习目标： 1. 通过“转化”的思想，会解决等积变形问题。 2.会灵活运用所学知识，解决生活中的实际问题。 教学过程： 一、回顾旧知。 1、圆柱、圆锥、长方体和正方体的体积公式。 2、计算: (1) 圆柱：d=4dm h=10dm V=? (2) 圆锥： V=15立方分米 s底=3平方分米 h=? （3）长方体：V=150立方米 b=10米 h=3米 a=？ 二、探究新知。 把一块长方体钢坯铸造成一根直径为4分米的圆柱形钢筋，钢筋的长是多少分米？ 思考： 1.题中的变和不变分别是什么？ 2.可得到怎样的等量关系？ 3.怎样求圆柱钢筋的长度呢？ 做一做: 1.一个圆锥形沙堆，底面积是25.12平方米，高是1.8米。用这堆沙在10米宽的公路上铺3厘米厚的路面，能铺多少米？ 2.一个圆柱形铁块，底面半径10厘米，高5厘米，把它熔铸成一个底面积是157平方厘米的圆锥形铁块，圆锥的高是多少？
三、课堂小结。 解决等积变形问题： 1.物体的形状改变，体积不变。 2.长方体、正方体、圆柱体，求体积时，通用公式V=sh。 3.利用圆锥体积公式求底面积或高时，体积的3倍除以高或底面积。 四、拓展延伸。 一个圆柱形容器与一个圆锥形容器的底面积都是15平方厘米，用圆锥形容器盛水倒入圆柱形容器中，4次正好装满。已知圆锥形容器的高是9厘米，圆柱形容器的高是多少？ 五、课堂检测。 1.一个棱长是3分米的正方体容器装满水后，倒入一个底面积是9平方分米的圆锥形容器里正好装满，这个圆锥的高是（）分米。 2.把一个棱长是6厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是10平方厘米的圆柱形铁块，这个圆柱形铁块的高是多少厘米？
等积变形(附答案)之令狐文艳创作
三角形的等积变形 令狐文艳 我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底×高÷2 这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)．同样若三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来 角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系． 为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等． ②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等． ③若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．
它们所对的顶点同为A点，(也就是它们的高相等)那么这两个三角形的面积相等． 同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍． 例如在图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底 都是BC)，它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，(也就是它们的高相等)，那么这两个 三角形的面积相等． 例如图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都 是BC)，△ABC的高是△DBC高的2倍(D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE)，则△ABC的面积是△DBC面积的2倍． 上述结论，是我们研究三角形等积变形的重 要依据． 例1、用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形． 方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、 连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC 等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积． 例2、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4． DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4． 当然本题还有许多种其他分法，同学们可以 自己寻找解决．
等积转换法
等积转换法 【知识与方法】 在平面几何图形中，我们往往可以根据同底等高、等底同高、等底等高等等发现面积相等的图形，这些图形有的形状相同，有的形状不同，但既然面积与面积之间具有相等关系，我们就可以相应地进行一些转化，从而使问题解决起来更加简便。 【例题精讲】 例1：如图，ABCD 是边长为4分米的正方形，长方形DEFG 的长是5分米，求长方形DEFG 的宽。 F A E D C B G 思维点拨：连接AG ，三角形ADG 的面积等于长方形面积的一半，同时也等于正方形面积的一半。 模仿练习 如图，ABCD 是正方形，EDGF 是长方形，CD=6厘米，DG=8厘米，求宽ED=? F A B G C D E 86 例2： 如图，梯形上底AB 长是18厘米，三角形ABD 的面积是198平方厘米，三角形COD 的面积比三角形AOB 的面积多66平方厘米，求梯形ABCD 的面积。 A D C B O 思维点拨：因为三角形ABD 和三角形ABC 同底等高，所以三角形ABD 的面积等于三角形ABC 相等。 模仿练习
如图，在四边形ABCD 中，DCFG 为正方形，ABED 为梯形，DE=12厘米，DG=8厘米，AB=24厘米，求梯形ABED 的面积是多少？ 例3：已知大正方形的边长是5厘米，小正方形的边长是4厘米，求阴影部分的面积。 A B 思维点拨：连接AC ，三角形GEA 和三角形GEC 同底等高。 模仿练习 如图，ABCD 、CEFG 都是正方形，AB=8厘米，CE=6厘米，求图中阴影部分的面积。 A B 例4： 长方形ADEF 的面积是16平方厘米，三角形ADB 的面积是3平方厘米，三角形ACF 的面积是4平方厘米，求三角形ABC 的面积。 A D B E C F 思维点拨：连接AE ，求出三角形BCE 的面积是非常关键的一步。 模仿练习 如图,在三角形ABC 中，BD=2DC ，AE=BE ，已知三角形ABC 的面积是18平方厘米，求四边形ACDE 的面积。（提示：连接AC ） A B D E C 例5： 如图，已知四边形ABCD 被它的两条对角线分成四个三角形，其中甲的面积是1，乙的面积是2，丙的面积是3，求丁的面积。
六年级奥数-等积变形(教师版)
第三讲 等积变形 1.等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 2.鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，
则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 3.蝶形定理 任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2 a b +． 4.相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A
等积变形习题
六年级奥数解析（七十）形体的等积变形 [ 2013-3-21 2:57:00 | By: spring ] 4 推荐 《奥赛天天练》第42讲《形体的等积变形》。 在实际生活中有些物质如金属、橡皮泥、或装在容器里的液体等，可以通过重塑或更换容器等改变原来的形状，在这个变换的过程中物体的形状发生了变化，体积不变，这就是形体的等积变形。 本专题学习，需要学生熟练掌握并能灵活运用长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积计算公式。解答此类问题的关键是抓住题中隐藏的等量关系：物体在改变形状的过程中体积不变，即形状发生改变前后物体的体积相等。 《奥赛天天练》第42讲，模仿训练，练习1 【题目】： 在底面半径是10厘米的圆柱形杯中装有7厘米高的水，把一小块铁浸入水中，这时水面上升到9厘米，问这块铁块的体积有多大？ 【解析】： 这块铁块的体积就是圆柱形杯中上升的那部分水的体积（即底面半径为10厘米，高为2厘米的圆柱形体积）： 3.14×102×（9－7）＝628（立方厘米）。 《奥赛天天练》第42讲，模仿训练，练习2 【题目】： 有甲、乙两个容器如图所示，（长度单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器，求乙容器的水深。 【解析】： 先求出倒入甲容器的水的体积： 3.14×62×10×1/3＝376.8（立方厘米）
再用水的体积除以乙容器的底面积，求出乙容器的水深： 378.6÷（3.14×42）＝7.5（厘米）。 注：此类习题列综合算式，先约分再计算，可以使计算更加简洁。 《奥赛天天练》第42讲，巩固训练，习题1 【题目】： 把一块长19厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体铝块和一个棱长为7厘米的正方体铝块熔铸成一个底面周长为31.4厘米的圆柱形的铝块，求圆柱形铝块的高是多少厘米？ 【解析】： 熔铸成的圆柱形铝块的体积就等于长方体铝块和正方体铝块的体积之和：19×5×3＋73＝628（立方厘米） 用圆柱形铝块的体积除以它的底面积，可以求出它的高为： 628÷[3.14×（31.4÷3.14÷2）2]＝8（厘米）。 《奥赛天天练》第42讲，巩固训练，习题2 【题目】： 在一个底面半径是20厘米的圆柱形水桶里，有一个底面半径为10厘米的圆柱形钢材完全浸没在水中，当钢材从桶里取出后，桶里的水面下降3厘米，求这段钢材的长。 【解析】： 圆柱形钢材的体积就等于水桶里下降的那部分水的体积（即底面半径为20厘米，高为3厘米的圆柱形体积）： 3.14×202×3＝3768（立方厘米） 所求钢材的长为： 3768÷（3.14×102）＝12（厘米）。 《奥赛天天练》第42讲，拓展提高，习题1 【题目】： 有两个等高的圆柱体，小圆柱体底面积是50平方厘米，大圆柱体的底面直径比小圆柱体大20％，大圆柱体的体积为360立方厘米，求小圆柱体的体积。 【解析】： 要求出小圆柱体的体积，已知小圆柱体的底面积，还需要先求出小圆柱体的高。因为两个圆柱体等高，只求出大圆柱体的高就等于小圆柱体的高。 由“大圆柱体的底面直径比小圆柱体大20％”，可以求出大、小圆柱体底面直径之比为： （1＋20％）：1＝6 ：5 则两个圆柱的底面积比为：62：52＝36 ：25 解法一：又因为小圆柱体底面积是50平方厘米，可以求出大圆柱体的底面积为： 50×36/25＝72（平方厘米）
年级等积变形
6 等积变形 有一个富翁留了一块三角形的土地给两个儿子，两个儿子要求平分这块地，这可伤透了他们的脑筋，因为他们不知道怎样去测量、平分。同学们，你们能想出多少种方法将这块土地平分成2个面积相等的三角形吗？ 根据这个问题，你能得出什么结论？ 结论一：。 思维探索 例1：你有什么方法将任意一个三角形分成6个面积相等的三角形？ 即学即练 如图，把△ABC的底边BC四等分，那么甲、乙两个三角形的面积谁大，为什么？ 例2：如下图所示，在△ABE中，有BC=1，CD=DE=2，如果△ABC的面积是a，△ABE的面积是多少？如果△ACD的面积是b，那么△ABD的面积是多少？ 即学即练 如图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点。已知三角形DEF的面积是6平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？ : 思维探索 例3：（平行线间的等积变形）如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边，那么△ACD和△BCD的面积关系是怎样的？为什么？ 例4
形有哪几对？ 即学即练 如下图，在梯形ABCD中，梯形ABCD的面积是20，△ABC的面积是15，△ABD的面积是多少？ 融会贯通 例5：如图，在直角三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，如果△AED的面积是30平方厘米．求△ABC的面积？ 即学即练 如下图，在△ABC中，D、E是所在边的中点，如果△ABC的面积是4，那么△CDE的面积是多少？ 例6：如图，ABFE和CDEF都是长方形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米。那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 即学即练 在边长为6厘米的正方形中有一点P，将点P分别和四条边的中点相连，如下图，求阴影部分的面积。 练习册 知识导航 一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论： （1）等底等高的两个三角形面积相等； （2）底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等； （3）若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 数海拾贝 1.你能用四种方法将任意一个三角形分成面积相等的四部分吗？ 2.把△ABC分成甲、乙、丙三部分，使甲的面积是乙的面积的2倍，丙的面积是甲的面积的4倍． 3.如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和．（单位：厘米） 4.-个梯形与一个三角形等高，梯形下底的长是上底的2倍，梯形上底的长又是三角形
小学数学《三角形的等积变形》练习题(含答案)
小学数学《三角形的等积变形》练习题（含答案） 内容概述 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）； 如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ① 等底等高的两个三角形面积相等． ②若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． 若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． ③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，ACD ?和BCD ?夹在一组平行线之间，且有公共底边CD 那么BCD ACD S S ??=；反之，如果 BCD ACD S S ??=，则可知直线AB 平行于CD 。 例题精讲 【例1】 如右图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线长。 ① 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ② 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ 【例2】 如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ， AD=12厘米，DE=3厘米。 ① 求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？ A C D B
四年级奥数讲义-等积变形二 通用版
等积变形（二） 【动手算一算】 ⑴如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。 ①求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？ ②求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ (★★) ⑵如图，E在AD上，AD垂直BC，AD＝12厘米，DE＝3厘米。求 三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？ 如图，三角形ABC的面积是40，D、E和F分别是BC、AC和AD 的中点。求：三角形DEF的面积。 (★★★) 1
如图，在三角形ABC中，BC＝8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB 和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？ (★★★) 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF＝2CF，三 角形AFE(图中阴影部分)的面积为10平方厘米。平行四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？ (★★★) 如图，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BD＝DC＝4，BE＝3， AE＝6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ (★★★★) 如图，三角形ABC的面积为1，其中AE＝3AB，BD＝2BC，三角形 BDE的面积是多少？ (★★★) 2
如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长 BC至E，使CE＝BC；延长CA至F，使AF＝2AC，求三角形DEF 的面积。 (★★★★) 如图，D是三角形ABC一边上的中点，两个长方形分别以B、D为顶 点，并且有一个公共顶点E，已知两块阴影部分的面积分别是100和 120，则三角形BDE的面积是多少？ (★★★★★) 【大海点睛】 一、重要结论 1．结论㈠：等底等高的两个三角形面积相等 结论㈠拓展：夹在平行线间的一组同底三角形面积相等 如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底 边CD，那么S△ACD＝S△BCD 2．结论㈡ ⑴若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的 几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 ⑵若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的 几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 二、技巧方法 1．平行线的来源 ⑴平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形 ⑵已知平行 ⑶并排摆放的正方形的同方向对角线 2．已知做底边，等高优先找 三、经典例题 等积变形(上)：例3，例5，例6，例7 等积变形(下)：例2，例4，例5，例7 3
小学奥数几何篇 五大模型——等积变换和共角定理(附答案)
等积变换与共角定理 我们的目标:掌握三角形等积变换与共角定理的基本模型;学会构造出模型进行解题三角形等积变换模型 （1）等底等高的两个三角形面积相等； （2）两个三角形高相等，面积比等于底之比；如左图1 2 : :S S a b （3）两个三角形底相等，面积比等于高之比； 在一组平行线之间的等积变形，如右图； S△ACD=S△BCD； 共角定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如下两图
例1. 如图三角形ABC的面积为1，其中AE＝３AB，BD=2BC，三角形BDE的面积是多少？ 例2. 如图，三角形ABC的面积是24，D、E分别是BC、AC和AD的中点，求三角形DEF的面积。 例3.如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△ OAB、△ABC、△BCD、△CDE 、△DEF 的面积都等于1，则△DCF的面积等于 例4.E、M分别为直角梯形ABCD两边的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若AD=5，BC=7，AE=5，EB=3.求阴影部分的面积
例5.如图，已知CD=5，ＤＥ＝７，ＥＦ＝１５，ＦＧ＝６，线段ＡＢ将图形分成两部分，左边部分面积是３８，右边部分是６５，那么三角形ＡＤＧ的面积是 例６. 如图，正方形的边长为１０，四边形ＥＦＧＨ的面积为５，那么阴影部分的面积是 ＝ 例７. 已知正方形的边长为１０，ＥＣ＝３，ＢＦ＝２，则Ｓ 四边形ＡＢＣＤ
例8．如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2BC，DG=3DC，HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。 例9. 已知△DEF的面积为7平方厘米，BE=CE，AD=2BD，CF=3AF，求△ABC的面积
等积变形(附解答)
三角形的等积变形 我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底×高÷2 这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)．同样若三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来 角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等． ②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等． ③若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． 它们所对的顶点同为A点，(也就是它们的高相等)那么这两个三角形的面积相等． 同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍． 例如在图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，(也就是它们的高相等)，那么这两个三角形的面积相等．
例如图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，△ABC的高是△DBC 高的2倍(D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE)，则△ABC的面积是△DBC面积的2倍． 上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据． 例1、用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形． 方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．
2020年四年级奥数春季班-第5讲等积变形(下)
2020年四年级奥数春季班 【动手算一算】 ⑴ ⑵ ⑴如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。 ①求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？ ②求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ ⑵如图，E在AD上，AD垂直BC，AD＝12厘米，DE＝3厘米。求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？ 如图，三角形ABC的面积是40，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求：三角形DEF 的面积。 等积变形（下） (★★) (★★★)
如图，在三角形ABC中，BC＝8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？ 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF＝2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为10平方厘米。平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？ 如图，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BD＝DC＝4，BE＝3，AE＝6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 如图，三角形ABC的面积为1，其中AE＝3AB，BD＝2BC，三角形BDE的面积是多少？ (★★★) (★★★★) (★★★) (★★★★) (★★★)
如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝BC；延长CA至F，使AF＝2AC，求三角形DEF的面积。 (★★★★★) 如图，D是三角形ABC一边上的中点，两个长方形分别以B、D为顶点，并且有一个公共顶点E，已知两块阴影部分的面积分别是100和120，则三角形BDE的面积是多少？ 【大海点睛】 一、重要结论 1．结论㈠：等底等高的两个三角形面积相等 结论㈠拓展：夹在平行线间的一组同底三角形面积相等 如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边CD，那么S△ACD＝S △BCD 2．结论㈡ ⑴若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个 三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 ⑵若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个 三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 二、技巧方法 1．平行线的来源 ⑴平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形 ⑵已知平行 ⑶并排摆放的正方形的同方向对角线 2．已知做底边，等高优先找 三、经典例题 等积变形(上)：例3，例5，例6，例7 等积变形(下)：例2，例4，例5，例7
等积变形(附答案)
For personal use only in study and research; not for commercial use 三角形的等积变形 我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底×高÷2 这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)．同样若三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来 角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等． ②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等． ③若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． 它们所对的顶点同为A点，(也就是它们的高相等)那么这两个三角形的面积相等． 同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍． 例如在图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，(也就是它们的高相等)，那么这两个三角形的面积相等． 例如图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，△ABC的高是△DBC 高的2倍(D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE)，则△ABC的面积是△DBC面积的2倍． 上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据． 例1、用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．
六年级奥数优胜教育第3讲：等积变形含答案
第三讲 等积变形 例1：如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ． 例2：长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ 例3：如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ． 例4：已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC ) 例5：如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ． E B
例6：如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． 例7：如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． 例8：如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比． 例9：如图所示的四边形的面积等于多少？ G F E D C B A A B C D E F G E D C B A E D C B A E D C B A E D C B A H G A B C D E F H G A B C D E F