2011年全国高中数学联赛湖北省预赛试题word版含参考答案

2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案

（高一年级）

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）

1．计算：2222

sin 10sin 20sin 30sin 90?+?+?++? ＝ 5 ．

2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1221S =，则34910a a a a +++＝____7____． 3．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足23PA PB PC AB ++= ，则△ABP 与△ABC 的面积之

比为1:2

． 4．111(1)(1)(1)121231232011---+++++++ ＝6712011．

5．满足方程28sin()160x x xy ++=（R,[0,2)x y π∈∈）的实数对(,)x y 的个数为 8 ．

6．已知函数2()2||2f x x x =-+的定义域为[,]a b （其中a b <），值域为[2,2]a b ，则符合条件的

数组(,)a b 为1

(,22+． 7．设集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =.如果方程20x mx n --=（,m n A ∈）至少有一个根0x A ∈，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 23 ．

8．已知关于x 的方程||x k -=

[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是01k <≤．

二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1

()2

f x -是偶函数. （1）求()f x 的解析式；

（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.

解 （1）因为函数1

()2

y f x =-是偶函数，所以二次函数2()f x x bx c =++的对称轴方程为12

x =-，故1b =. ---------------------------------------

---4分

又因为二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =.

因此，()f x 的解析式为2()11f x x x =++. ------------------------------------------8分

（2）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P 2(,)m n ，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而224(21)43n m -+=，即[2(21)][2(21)]43n m n m ++-+=.

------------------------------------------12分 注意到43是质数，且2(21)2(21)n m n m ++>-+，2(21)0n m ++>，所以有2(21)43,2(21)1,n m n m ++=??-+=?解得10,11.m n =??=?

因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.

------------------------------------------16分

10．已知,R a b ∈，关于x 的方程432210x ax x bx ++++=有一个实根，求22

a b +的最小值． 解 设r 为方程432210x ax x bx ++++=的实根，则有432210r ar r br ++++=，即 222(1)()0r r ar b +++=.

显然0r ≠. ------------------------------------------5分 容易证明22224()()(1)ar b a b r +≤++，于是

2222

24422

22

2442424()(1)1(1)(21)[]11(1)(1)ar b r r r r a b r r r r r r r ++++++≥=-?==++++

42244422424(1)4(1)414448(1)1r r r r r r r r r r +++++==++≥=++. ------------------------------------------15分 当且仅当42

24141r r r r +=+且2a r b

=时等号成立，此时21r =，a b =. 结合222(1)()0r r ar b +++=可求得2,1,a b r ==-??

=?或2,1.a b r ==??=-? 因此22a b +的最小值为8. ------------------------------------------20分

11．已知数列{}n a 满足2*1121,(N )3n n n a a a a n n

+==+∈.证明：对一切*N n ∈，有 （1）11n n a a +<<； （2）1124n a n

>-． 解 （1）显然，0n a >，所以212n n n n a a a a n

+=+>（*n N ∈）. 所以，对一切*

k N ∈，211221k k k k k k a a a a a a k k ++=+<+，所以21111k k a a k +-<. --------------------5分 所以，当2n ≥时，

111121122111111111111()3[1]3[1()](1)1

n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=-->->-+=-+---∑∑∑∑ 13[11]111n n n =-+-

=>--， 所以1n a <. 又1113

a =<，故对一切*n N ∈，有1n a <. 因此，对一切*n N ∈，有11n n a a +<<. ------------------------------------------10分

（2）显然111113424

a =>=-. 由1n a <，知2122k k k k k a a a a a k k +=+<+，所以2

121

k k k a a k +>+，所以 2211122221111

k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+?=+++， 所以211111

k k a a k +->+， ------------------------------------------15分 所以，当*n N ∈且2n ≥时，

111121111111111111111()33()1(1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k

k ----====+=--<-<-=--+++∑∑∑∑ 1213(1)n n n

+=--=， 所以11112122(21)24n n a n n n >

=->-++. ------------------------------------------20分