《高等数学(上)》2015春离线作业答案

《高等数学上》习题三答案

一、单项选择题（本大题共40小题，每小题2分，共80分）

1. ()2

1sin 1(1)lim 1n n n n π

+→∞??-+=????

（ D ）

(A) n

e (B) 1

e π

(C) 2n

e (D) 2

e π

2. lim 1bx d

x a x +→∞

??

+= ?

??

（ C ）

(A) e (B) b e (C) ab e (D) ab d e +

3. 设{}n a 与{}n b 均为单调递增数列，且有lim n n a a →∞

=，lim n n b b →∞

=，并知对n a 的每一个固定项总有

n b 的项大于它，同样，对n b 的每一个固定项总有n a 的项大于它，则必有（ A ）

(A) a b = (B) a b > (C) a b < (D) a b ≥

4. 设{}n a 与{}n b 满足n a a ≤≤n b ，且lim[]0n n n b a →∞

-=，则{}n a 与{}n b （ A ）

(A) 都收敛于a (B) 都收敛，但不一定收敛于a (C) 可能收敛，也可能发散 (D) 都发散

5. 设01,1,2,3,

n x n <<=，且有2

12n n n x x x +=-+，则（ C ）

(A) lim n n x →∞

=∞ (B) lim n n x →∞

不存在

(C) lim 1n n x →∞

= (D) lim 2n n x →∞

=

6. 设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim[]0x g x x ?→∞

-=，则()lim x f x →∞

（ D ）

(A) 存在且一定等于零 (B) 一定不存在 (C) 存在但不一定等于零 (D) 不一定存在

7. 下列极限存在的是（ B ）

(A) 1

lim x

x e → (B) 20

1sin

lim

sin x x x x

→

(C) 01

lim

21

x x →- (D) lim sin x x →∞

8. 下列极限不存在的是（ C ）

(A) 1

lim 2x

x →+∞

(B) 0

1lim cos sin

x x x x

→ (C) 252

lim x x x x

→∞-+ (D) 201lim arctan x x →

9. 若22

2lim 22

x x ax b

x x →++=--，则必有（ D ） (A) 2,8a b == (B) 2,5a b == (C) 0,8a b ==- (D) 2,8a b ==-

10. 若()1lim 2n

n n x f x n →∞+??

-= ?-??

，则()f x =（ B ） (A) 2e (B) 3x e + (C) 3x e - (D) x e

11. 若3214

lim

1

x x ax x l x →--+=-，则必有（ B ） (A) 2,5a l == (B) 4,10a l == (C) 4,10a l ==- (D) 4,10a l =-=

12. 已知33lim(1)0x x x λμ→∞

---=，则必有（ C ）

(A)1,1λμ== (B) 2λμ== (C)1,0λμ=-= (D) 1,0λμ==

13. 已知2lim (52)2x x ax bx →+∞

-++=，则必有（ A ）

(A) 25,20a b ==- (B) 25a b == (C) 25,0a b =-= (D) 1,2a b ==

14. 已知21

lim(

)01

x x ax b x →∞+--=+，则必有（ C ） (A) 1a b == (B) 1a b ==-

(C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=

15. 当0x →时,下列变量中（ D ）为无穷小量

(A)ln x (B) 1

sin x

(C)cot x (D) 21

x e -

16. 当0x →时,下列变量为无穷小量的是（ D ）

(A)311x x -- (B) 1x e - (C)ln 1x - (D) ()

11sin 1x x -+-

17. 当0x →时,2sin x x -是x 的（ B ）

(A)等价无穷小 (B) 同价但不等价的无穷小 (C)低阶的无穷小 (D) 高阶的无穷小

18. 当0x →时,2

cos x x x e e -与n x 的同价无穷小，则为n （ A ）

(A) 5 (B) 4 (C)

5

2

(D) 2 19. 当0x →时,()(),x x αβ都是无穷小()0β≠，则当0x →时，下列表达式中哪一个不一定是无

穷小（ D ）

(A) ()()x x αβ+ (B) ()()22x x αβ+

(C) ()()ln[1]x x αβ+ (D) ()

()

2x x αβ

20. 当n →∞时,m 为自然数,2,211,2n n n

n m n

x n m n

?+=+??=??=??是（ D ）

(A)无穷大量 (B) 无穷小量 (C)有界变量 (D) 无界变量

21. 设()()31,11x

x x x x

?ψ-=

=-+，则当1x →时（ D ） (A) ?与ψ为等价无穷小 (B) ?是比ψ为较高阶的无穷小 (C) ?是比ψ为较低阶的无穷小 (D) ?与ψ是同价无穷小

22. 若已知()0

lim x x f x k →=，则必定是（ C ）

(A)()f x 在0x 点连续 (B) ()f x 在0x 点有定义

(C) ()f x 在0x 点的某去心邻域上有定义 (D) ()0f x k x x -<-

23. 若已知()()

ln 1,01cos ,0kx x f x x

x x x +?>?

=??++≤?

在点0x =处有极限，则常数k 必定是（ C ） (A) 1 (B)

2

3 (C) 2 (D) 3 24. 当x →∞时，211

~1

ax bx c x +++，则,,a b c 一定为（ B ）

(A) 1a b c === (B) 0,1,a b c ==为任意常数 (C) 0,,a b c =为任意常数 (D) ,,a b c 为任意常数

25. 若()0

lim x x f x A -→=，()0

lim x x f x A +

→=，则()f x 在点0x 处（ D ） (A) 一定有定义 (B)一定连续 (C) 必有()0A f x = (D)极限存在

26. ()22132

x f x x x -=-+的间断点是（ B ）

(A) 2,1x x ==- (B) 1,2x x == (C) 2,1x x =-= (D) 1,2x x =-=-

27. ()1211

x

e f x x x -=

+-的间断点的个数是（ D ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

28. 讨论函数()21lim

1n

n x

f x x →∞+=+的间断点，其结论是（ B ）

(A) 不存在间断点 (B) 存在间断点1x = (C) 存在间断点0x = (D) 存在间断点1x =-

29. 设()f x 和()x ?在(),-∞+∞内有定义，()f x 为连续函数，且()()0,f x x ?≠有间断点，则（ D ）

(A) ()[]f x ?必有间断点 (B) ()2[]x ?必有间断点 (C) ()[]f x ?必有间断点 (D)

()

()

x f x ?必有间断点

30. ()22

3

(34)

x f x x x x -=+-的间断点的个数是（ B ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

31. 若函数()sin ,0

2tan ,0

x ae x f x x x ?<=?+≥?在0x =处连续，则a =（ C ）

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) e

32. 设(),0

0,0x

x x f x x ?≠?=??=?

，则（ B ）

(A) ()f x 在0x =处连续 (B) ()f x 在0x =处左右极限存在但不相等 (C) ()f x 在0x =处有极限但不连续 (D) ()f x 在0x =处左右极限都不存在

33. 设()()sin ,0,0ln 1,0tan x

x x f x k x x

x x ?

==??+?>??

在0x =处连续，则k =（ B ）

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 1-

34. 设函数()1

2111

x x f x e x -

-=-，则1x =是()f x 的（ A ）

(A) 第二类间断点 (B) 第一类非可去间断点 (C) 第一类可去间断点 (D) 连续点

35. 若函数()2lim 12n

n

n n x f x x →∞

??=++ ???

，则()f x （ C ）

(A) 在1x =处间断 (B) 在2x =间断 (C) 在[0,)+∞连续 (D) 在(0,)+∞连续

36. 设{}{}{}n n n c b a ,,均为非负数列，且0lim =∞

→n n a ，1lim =∞

→n n b ，∞=∞

→n n c lim ，则必有 ( D )

(A) n n b a < 对任意n 成立. (B) n n c b < 对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞

→lim 不存在. (D) 极限

n n n c b ∞

→lim 不存在.

37. 当1→x 时，函数1

1

21

1---x e x x 的极限 ( D )

(A) 等于2. (B) 等于0. (C) 为∞. (D) 不存在但不为

∞.

38. 设()()()

2121ln cos 1tan lim 2

=-+--+-→x

x e d x c x b x a ，其中022≠+c a ，则必有 ( D ) (A) d b 4=. (B) d b 4-=. (C) c a 4=. (D) c a 4-=. 39. 把+

→0x 时的无穷小?=x

dt t 0

2

cos α，?=2

0tan x dt t β，?

=x

dt t 0

3sin γ排列起来，使排在后

面的是前一个的髙阶无穷小,则正确的排列次序是 ( B )

(A) .,,γβα (B) .,,βγα (C) .,,γαβ (D) .,,αγβ 40. 设()00=f ，则()x f 在点0=x 可导的充要条件为 ( B )

(A) ()cosh 11lim

20

h -→f h

存在. (B) ()

h

e f h -→11lim 0h 存在. (C) ()sinh 1lim

20h -→h f h 存在. (D)

()()[]h f h f h

-→21lim 0h 存在.

二、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，正确填“T ”，错误填“F ”）

1. 函数在一点处极限存在的充要条件是函数在该点的左极限等于右极限。（T ）

2. 函数的间断点要么是第一类间断点，要么是第二类间断点。（T ）

3. 函数在一点的极限存在，则一定没有间断点。（F ）

4. 函数在一点的极限不存在，则一定是间断点。（T ）

5. 函数在一点的极限存在与函数在一点处连续没有关系。（F ）

6. 无穷间断点就是函数在该点的极限是无穷。（T ）

7. 可导一定连续，但是连续不一定可导。（T ）

8. 可导一定可微，可微不一定可导。（F ）

9. 导数的定义与极限没有关系。（F ） 10. 导数就是函数的增量的近似表示。（F ）