文科数学 2015江门一模

江门市2015年高考模拟考试

数学（文科）

本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：

1．答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。

2．做选择题时，必须用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。参考公式：锥体的体积公式Sh V 3

，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．集合{}72|<<=x x A ，{}103|<≤=x x B ，=B A

A ．)10 , 2(

B ．)7 , 3[

C ．]3 , 2(

D ．)10 , 7( 2． i 是虚数单位，

=++i i

A ．21i +

B ．2

1i - C ．231i + D ．21i --

3．下列函数中，奇函数是

A ．x x f 2)(=

B ．x x f 2log )(=

C ．1sin )(+=x x f

D ．x x x f tan sin )(+=

4．已知向量)4 , 3(-=a ，) , 1(m b =，若0)(=-?b a a ，则=m A ．

211 B ．2

- C ．7 D ．7- 5．如图1，四棱柱1111D C B A ABCD -中，E 、F 分

别是1AB 、1BC 的中点．下列结论中，正确的是 A ．1BB EF ⊥ B ．//EF 平面11A ACC

秘密★启用前试卷类型：B

C ．B

D EF ⊥ D ．⊥EF 平面11B BCC

6．某人午睡醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，他等待的时间不

多于15分钟的概率是

A ．

21 B ．31 C ．41 D ．6

1 7．若变量x 、y 满足约束条件??

??≤≤≥+4352y x y x ，则y x z +=的取值范围是

A ．]7 , 4[

B ．]7 , 1[-

C ．]7 , 2

[ D ．]7 , 1[

8．将函数)3

sin()(π

=x x f 的图象向右平移?（0>?）个单位长度，得到的曲线经

过原点，则?的最小值为 A ．

12π B ．6π C ．4π D ．3

π 9．下列命题中，错误．．

的是 A ．在ABC ?中，B A >是B A sin sin >的充要条件； B ．在锐角ABC ?中，不等式B A cos sin >恒成立；

C ．在ABC ?中，若B b A a cos cos =，则ABC ?必是等腰直角三角形；

D ．在ABC ?中，若?=60B ，ac b =2，则ABC ?必是等边三角形．

10．设)(x f ，)(x g 都是定义在实数集上的函数，定义函数))((x g f ：R x ∈?，

))(())((x g f x g f = ．若???≤>=.

0 ,,0 , )(2x x x x x f ，???>≤=.0 ,ln ,0 , )(x x x e x g x ，则

A ．)())((x f x f f =

B ．)())((x f x g f =

C ．)())((x g x f g =

D ．)())((x g x g g =

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． (一)必做题（11～13题）

11．命题“若a 、b 都是偶数，则b a +是偶数”的逆命题是．

12．数列{}n a 满足21=a ，*N n ∈?，n

n a a -=+11

1，则=2015a ．

13．某班甲、乙两位同学升入高中以来的5次数学考试成绩的茎叶图如图，则乙同学

这5次数学成绩的中位数是；已知两位同学这5次成绩的平均数都是84，成绩比较稳定的是（第二个空填“甲”或“乙”）．

(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程是5222=+y x ，

2C 的参数方程是????

?-==t

y t

x 3（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标是． 15．（几何证明选讲选做题）如图2，⊙O 的两条割线

与⊙O 交于A 、B 、C 、D ，圆心O 在PAB 上，

若6=PC ，3

=CD ，12=PO ，则=AB ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数x x x f ωωcos 3sin )(+=的最小正周期为π，R x ∈，0>ω是常数． ⑴求ω的值； ⑵若56)12

f ，)2

, 0(π

θ∈，求θ2sin ．

17．（本小题满分13分）

从某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量得到如图3的频率分布直方图，从左到右各组的频数依次记为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ．

⑴求图3中a 的值；

⑵图4是统计图3中各组频数的一个算法流程图，求输出的结果S ；

⑶从质量指标值分布在)

[、)

120

110

[

的产品中随机抽取2件产品，求所抽取两件产品的

质量指标值之差大于10的概率．

18．（本小题满分14分）

如图5，直角梯形ABCD，0

∠ADC，CD

AB//，2

=AB

AD，点E为AC的中点，将ACD

?沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直（如图6）．在图6所示的几何体ABC

D-中：

⑴求证：⊥

BC平面ACD；

⑵点F在棱CD上，且满足//

AD平面BEF，求几何体BCE

F-的体积．

19．（本小题满分13分）

已知{}n a是公差为d的等差数列，*N

n∈

?，

a与

a的等差中项为n．

⑴求

a与d的值；

⑵设

=2，求数列{}n b的前n项和n S．

20．（本小题满分14分）

设A是圆4

x上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l

与x 轴的交点，点M 在直线 l 上，且满足2

=．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．

⑴求曲线C 的标准方程；

⑵设曲线C 的左右焦点分别为1F 、2F ，经过2F 的直线m 与曲线C 交于P 、Q 两点，若21212||||||Q F P F PQ +=，求直线m 的方程． 21．（本小题满分14分）

已知函数4)(23++=ax x x f （R a ∈是常数），曲线)(x f y =在点))1( , 1(f 处的切线在y 轴上的截距为5．

⑴求a 的值；

⑵0≤k ，讨论直线kx y =与曲线)(x f y =的公共点的个数．

评分参考

一、选择题 BADCB CDDCA

二、填空题 ⒒若b a +是偶数，则a 、b 都是偶数（对1句3分；表达有误适当扣分）

⒓1- ⒔82，甲（若两空一对一错，给3分）

⒕)1 , 3(-（若坐标符号错误给2分，其他不给

分） ⒖16

三、解答题 ⒗⑴)3

sin(2cos 3sin )(π

ωωω+

=+=x x x x f ……3分（振幅1分，辅助

角2分）

由)(x f 的最小正周期πω

2T ……4分，得2=ω……5分

⑵由⑴知)3

2sin(2)(π

=x x f

cos 2)2sin(2]3)122(2sin[2)122(==+=++?=+θπθππθπθf ……8分（前3个等号每个1分），5

cos =θ……9分

∵)2 , 0(πθ∈，∴5

cos 1sin 2=-=θθ……10分

cos sin 22sin ==θθθ……12分（公式1分，代入求值1分）

⒘⑴依题意，110)04.003.002.02(=?+++a ……2分

解得005.0=a ……3分

⑵12010005.01=??=A ，82010040.02=??=A ，62010030.03=??=A ，

42010020.04=??=A ，12010005.05=??=A (6)

分（2A 、3A 、4A 各

1分）

输出的18432=++=A A A S ……8分（列式、结果各1分） ⑶记质量指标在)120 , 110[的4件产品为1x ，2x ，3x ，4x ，质量指标在)90 , 80[的1件产品为1y ，则从5件产品中任取2件产品的结果为：()21,x x ，()31,x x ，()41,x x ，()11,y x ，()32,x x ，()42,x x ，()12,y x ，

()43,x x ， ()13,y x ，()14,y x ，共10种……10分

记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A ，则事件

A 中包含的基本事件为：()11,y x ，()12,y x ，()13,y x ，

()14,y x 共4种……11分

∴5

104)(==

A P ……12分

答：从质量指标……，……的概率为5

2……13分

⒙⑴2222=+=CD AD AC ……1分，045=∠=∠ACD BAC ，4=AB ，

845cos 20222=??-+=AB AC AB AC BC (3)

分（其他方法求值

也参照给分）

∵16222

=+=BC AC AB ，∴090=∠ACB （BC AC ⊥） (4)

分

∵平面⊥ACD 平面ABC ，平面 ACD 平面AC ABC =，

∴⊥BC 平面ACD ……6分

⑵∵//AD 平面BEF ，?AD 平面ACD ，平面 ACD 平面EF

BEF =，

∴EF AD //……8分

∵点E 为AC 的中点，∴EF 为ACD ?的中位线……9分由

⑴

知

，

几

何

体

BCE

F -的体积

BC S V V CEF CEF B BCE F ??=

=?--31

……11分 21

41==??ACD CEF S S ……13分，

222131=

??=-BCE F V ……14分

⒚⑴依题意，d n a a n )1(1-+=……1分

（方法一）由n a 与1+n a 的等差中项为n 得n a a n n =++2

……2分

即

n d n a nd a d n a =-+=++-+)2

(2][])1([111……3分

??=-=021

1d a d ……5分，解得211

=a ，1=d ……6分（方法二）由n a 与1+n a 的等差中项为n 得，1a 与2a 的等差中项为1，2a 与3a 的等差中项为2……3分

??????

?=+=+=+=+2

232

213212

1d a a a d a a a ……5分，解得2

1=a ，1=d

……6分

⑵由⑴得2

=n a n

，1222--?=?=n n n n n n a b ……7分

（方法一）记n n n n n T 22)1(232221132?+?-++?+?+?=- ，则

143222)1(2322212+?+?-++?+?+?=n n n n n T (8)

分

两式相减得，13222222+?+-----=n n n n T ……10分

22211+-?=++n n n (11)

分

数列{}12-n 的前n 项和12222112-=++++-n n ……12分 ∴3232)12()222(111+?-?=--+-?=+++n n n n n n n n S ……13分（方法二）

)

22(]22)1[()223()222()221(12123120----?+-?-++-?+-?+-?=n n n n n n n S )

22(]22)1[()223()222()221(211342312n n n n n n n S -?+-?-++-?+-?+-?=+- ……9分，两式相减得

)22()212121()221(1320n n n n n S -?+?++?+?--?-=+ (11)

分

32321+?-?=+n n n ……13分

⒛⑴设) , (y x M 是曲线C 上任意一点，则)0 , (x D ……1分，

对应圆上的点为) , (0y x A ，由DA DM 2

得

) , 0(2

) , 0(0y y =

……2分 y y 3

20=……3分，

依题意，4202=+y x ，4)332(22=+y x ……4分

曲线C 的标准方程为13

2=+y x ……5分

⑵由⑴得1=c ，)0 , 1(1-F ，)0 , 1(2F ……6分

①若m 为直线1=x ，代入

2=+y x 得23±

=y ，即)2

, 1(P ，

, 1(-Q (7)

分

直接计算知9||2=PQ ，2

25||||2121=

+Q F P F ，21212||||||Q F P F PQ +≠，1=x 不符合题意 (8)

分

②若直线m 的斜率为k ，直线m 的方程为)1(-=x k y

由??

???-==+)1(1

2x k y y x 得0)124(8)43(2222=-+-+k x k x k ……9分设) , (11y x P ，) , (22y x Q ，则2221438k k x x +=+，2

2214312

k x x +-=?……10分

由21212||||||Q F P F PQ +=得，011=?F F ……11分

即0)1)(1(2121=+++y y x x ，0)1()1()1)(1(2121=-?-+++x k x k x x

0)1())(1()1(2212212=+++-++k x x k x x k (12)

分

代入得0438)1()143124)(1(2

222

=+?-+++-+k

k k k k k ，即0972=-k ……13分

解得7

73±

=k ，直线m 的方程为)1(7

3-±

=x y ……14分

21．⑴R x ∈?，ax x x f 23)(2/+=……1分，a f 23)1(/+=，a f +=5)1(

切线方程为)1)(23()5(-+=+-x a a y ……2分

切线在y 轴上的截距5)23()5(=+-+a a ……3分，解得3-=a ……4分

⑵由⑴得43)(23+-=x x x f ，解063)(2/=-=x x x f 得0=x ，

2=x (5)

分

记43)()(23+--=-=kx x x kx x f x g ，则直线kx y =与曲线)

(x f y =的公共点的个数即为函数43)(23+--=kx x x x g 零点的个数

①0

0 , 1(-至少有一个零点……9分，

∵kx x f x g -=

)()(在)0 , (-∞单调递增，∴)(x g 在)0 , (-∞上有且

仅有一个零点……10分

) , 0[∞+∈x 时，0)2()(=≥f x f （等号当且仅当2=x 时成立）……

11分，从而0)()(>-=kx x f x g ，)(x g 在) , 0[∞+上没有零点 (12)

分

②0=k 时，)()(x f x g =，由①讨论知，)(x g （即)(x f ）有两个

零点。

综上所述，0

0=k 时，直线kx y =与曲线)(x f y =有两个公共点 (14)

分