十)与图形变换有关的简单计算

滚动小专题(十)与图形变换有关的简单计算与证明

1．(2016·厦门)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，若点A，B的对应点分别是点D，E，画出旋转后的三角形，并求点A与点D之间的距离．(不要求尺规作图)

解：如图，△EDC即为所求．连接AD.

∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，

∴AC＝AB2－BC2＝3.

∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°，点A，B的对应点分别是点D，E，

∴AC＝CD＝3，∠ACD＝90°.

∴AD＝AC2＋CD2＝3 2.

2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝4，△ABC的周长为14，将△ABC平移到△DEF的位置．

(1)指出平移的方向和平移的距离；

(2)求四边形ABFD的周长．

解：(1)平移的方向是沿AD(或者是沿BC)方向，平移的距离是4.

(2)根据平移的性质：AD＝CF＝4.

∵△ABC≌△DEF，

∴AC＝DF.

∵C△ABC＝AB＋BC＋AC＝14，

∴C梯形ABFD＝AB＋BF＋DF＋AD＝AB＋BC＋CF＋AC＋AD＝C△ABC＋CF＋AD＝14＋4＋4＝22.

3．(2015·连云港)如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E.

(1)求证：∠EDB＝∠EBD；

(2)判断AF与DB是否平行，并说明理由．

解：(1)证明：由折叠可知：∠CDB＝∠EDB.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB.

∴∠CDB＝∠EBD.

∴∠EDB＝∠EBD.

(2)AF∥DB，理由如下：

∵∠EDB＝∠EBD，∴DE＝BE.

由折叠可知：DC＝DF.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC＝AB.

∴DF＝AB.

∴AE＝EF.

∴∠EAF ＝∠EFA.

在△BED 中，∠EDB ＋∠EBD ＋∠DEB ＝180°，

∴2∠EDB ＋∠DEB ＝180°.

同理，在△AEF 中，2∠E FA ＋∠AEF ＝180°.

∵∠DEB ＝∠AEF ，

∴∠EDB ＝∠EFA.

∴AF ∥DB.

4.(2016·齐齐哈尔)如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)，B(－4，0)，C(0，0)．

(1)画出将△ABC 向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；

(2)画出将△ABC 绕原点O 顺时针方向旋转90°得到△A 2B 2O ；

(3)在x 轴上存在一点P ，满足点P 到A 1与点A 2距离之和最小，请直接写出P 点的坐标．

解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1为所求作的三角形．

(2)如图所示，△A 2B 2O 为所求作的三角形．

(3)∵A 2坐标为(3，1)，A 3坐标为(4，－4)，

∴A 2A 3所在直线的解析式为y ＝－5x ＋16.

令y ＝0，则x ＝165

， ∴P 点的坐标为(165

，0)．

5．(2015·日照)如图，已知在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，E ，F 分别是CA ，CB 边的三等分点，将△ECF 绕点C 逆时针旋转α角(0°＜α＜90°)，得到△MCN ，连接AM ，BN.

(1)求证：AM ＝BN ；

(2)当MA ∥CN 时，试求旋转角α的余弦值．

解：(1)证明：∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，E ，F 分别是CA ，CB 边的三等分点，

∴CE ＝CF.

根据旋转的性质，CM ＝CE ＝CN ＝CF ，∠ACM ＝∠BCN ＝α.

在△AMC 和△BNC 中，???CA ＝CB ，

∠ACM ＝∠BCN ，CM ＝CN ，

∴△AMC ≌△BNC(SAS )．

∴AM ＝BN.

(2)∵MA ∥CN ，

∴∠ACN ＝∠CAM.

∵∠ACN ＋∠NCB ＝90°，

∴∠ACN ＋∠ACM ＝90°.

∴∠CAM ＋∠A CM ＝90°.

∴∠AMC ＝90°.

∴cos α＝CM AC ＝CE AC ＝13

.

6．(2016·北京)在等边△ABC 中：

图1 图2

(1)如图1，P 、Q 是BC 边上两点，AP ＝AQ ，∠BAP ＝20°，求∠AQB 的度数；

(2)点P 、Q 是BC 边上的两个动点(不与点B 、C 重合)，点P 在点Q 的左侧，且AP ＝AQ ，点Q 关于直线AC 的对称点为M ，连接AM 、PM.

①依题意将图2补全；

②小茹通过观察、实验，提出猜想：在P 、Q 运动的过程中，始终有PA ＝PM.小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：要证明PA ＝PM ，只需证△PAM 是等边三角形．

想法2：在BA 上取一点N ，使得BN ＝BP ，要证PA ＝PM ，只需证△ANP ≌△PCM.

想法3：将线段BP 绕点B 顺时针旋转60，得到线段BK ，要证PA ＝PM ，只需证PA ＝CK ，PM ＝CK.

……

请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA ＝PM(一种方法即可)．

解：(1)∵AP ＝AQ ，

∴∠AQB ＝∠APC.

又∵∠APC ＝∠B ＋∠BAP ＝60°＋20°＝80°，

∴∠AQB ＝80°.

(2)①如图所示．

②证明：∵△ABC 为等边三角形，

∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠BAC ＝60°.

又∵AP ＝AQ ，∴∠APQ ＝∠AQB.

∴∠BAP ＋∠ABC ＝∠APQ ＝∠AQB ＝∠CAQ ＋∠ACB.∴∠BAP ＝∠CAQ.

∵Q ，M 关于AC 对称

∴AQ ＝AM ，∠QAC ＝∠MAC.

∴∠PAM ＝∠PAC ＋∠MAC ＝∠PAC ＋∠BAP ＝∠BAC ＝60°.

又∵PA ＝QA ＝MA ，

∴△APM 为正三角形．

∴PA ＝PM.

7．有一根直尺，短边的长为4 cm ，长边的长为10 cm ，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长16 cm .如图1，将直尺的短边DE 与直角三角形纸板的斜边AB 重合，且点D 与点A 重合，将直尺沿AB 方向平移，如图2，图3，设平移的长度为x cm ，且满足0≤x ≤12，直尺与直角三角形纸板重合部分的面积(即图中阴影部分)为S cm 2.

(1)当x＝0时，S＝8cm2；当x＝4时，S＝24cm2；当x＝6时，S＝28cm2；

(2)是否存在一个位置，使阴影部分的面积为26 cm2？若存在，请求出此时x的值．解：存在．

当S＝26 cm2时，4＜x＜12，

∴S＝S△ABC－S△ADG－S△BEF，

即1

2×16×8－

1

2x

2－1

2(16－x－4)

2＝26.

解得x1＝6－2，x2＝6＋ 2.

故当x1＝6－2，x2＝6＋2时，阴影部分面积为26 cm2.

8．(2016·十堰)如图，将矩形纸片ABCD(AD＞AB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.

(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；

(2)若AB＝3，BC＝9，求线段C E的取值范围．

解：(1)四边形CEGF为菱形．

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC.

∴∠GFE＝∠FEC.

∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线，

∴∠GEF＝∠FEC.

∴∠GFE＝∠FEG.

∴GF＝GE.

∵图形翻折后EC与GE完全重合，

∴GE＝EC.

∴GF＝EC.又∵GF∥EC，

∴四边形CEGF为平行四边形．

∴四边形CEGF为菱形．

(2)如图1，当F与D重合时，CE取最小值，

由折叠的性质得CD＝DG，∠CDE＝∠GDE＝45°.

∵∠ECD＝90°，

∴∠DEC＝45°＝∠CDE.

∴CE＝CD＝DG.

∵DG∥CE，

∴四边形CEGD是正方形．

∴CE＝CD＝AB＝3.

如图2，当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得AE＝CE.

∵∠B＝90°，

∴AE2＝AB2＋BE2，即CE2＝32＋(9－CE)2. ∴CE＝5.

∴线段CE的取值范围3≤CE≤5.