二次函数交点式的代数方法
二次函数交点式的代数方法
解：1、交点式：设(x1, 0)、(x2 ,0)是二次函数与x轴的交点
则，可设二次函数: y=a(x-x1)(x-x2）
例如：已知，二次函数与x轴相交于(-1, 0) 和（5，0）并经过点(4,-10), 求这个二次函数解析式
解：设所求的二次函数: y=a(x+1)(x-5) 将点(4,-10)代入y=a(x+1)(x-5)
即：-10=a*5*(-1) 得：a=2
所以，所求的二次函数: y=2(x+1)(x-5) 即：y=2x2-8x-10
1、2014二次函数与代数综合题题(学生版)
二次函数与代数综合题 一、二次函数与一次函数关系 （相交，相切，相离） 1（基础练习）．已知抛物线322--=x x y . （1）它与x 轴的交点的坐标为_______ （2）将该抛物线在x 轴下方的部分(不包含与x 轴的交点)记为G ，若直线b x y +=与G 只有一个公共点，则b 的取值范围是_______． 1.（相切） 已知抛物线C 1：22y x x =-的图象如图所示，把C 1的图象沿y 轴翻折，得到 抛物线C 2的图象，抛物线C 1与抛物线C 2的图象合称图象C 3． （1）求抛物线C 1的顶点A 坐标，并画出抛物线C 2的图象； （2）若直线y kx b =+与抛物线2(0)y ax bx c a =++≠有且只有一个交点时,称直线与抛物线相切. 若直线y x b =+与抛物线C 1相切，求b 的值； （3）结合图象回答，当直线y x b =+与图象C 3 有两个交点时，b 的取值范围．
2. （相交）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2(3)3(0)y mx m x m =+-->的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 。 （1）求点A 的坐标； （2）当45ABC ∠=?时，求m 的值； （3）已知一次函数y kx b =+，点P （n ，0）是x 轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交二次函数 2(3)3(0)y mx m x m =+-->的图象于N 。若只有当22n -<<时，点 M 位于点N 的上方，求这个一次函数的解析式。
3．在平面直角坐标系x O y 中，抛物线 222--=mx mx y （0≠m ）与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B 。 （1）求点A ，B 的坐标； （2）设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的解析式； （3）若该抛物线在12-<<-x 这一段位于直线l 的上方，并且在32< 《二次函数的特殊形式》专题 班级 姓名 人的心灵在不同的时期有着不同的内容。 2.用十字相乘法分解因式： ①322 --x x ②342 ++x x ③6822 ++x x 3.若一元二次方程02 =++c bx ax 有两实数根21x x 、，则抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴交点坐标是 . 【自主探究】 1.根据上面第3题的结果，改写下列二次函数： ①322 --=x x y ②342 ++=x x y ③6822 ++=x x y = = = 2.求出上述抛物线与x 轴的交点坐标： ①322 --=x x y ②342 ++=x x y ③6822 ++=x x y 归纳： ⑴若二次函数c bx ax y ++=2 与x 轴交点坐标是（01，x ）、（02，x ），则该函数还可以表 示为 的形式； ⑵反之若二次函数是()()21x x x x a y --=的形式，则该抛物线与 x 轴的交点坐标 是 ，故我们把这种形式的二次函数关系式称为 式. ⑶二次函数的图象与x 轴有2个交点的前提条件是 ，因此这也 是 式存在的前提条件. 【练习】把下列二次函数改写成交点式，并写出它与坐标轴的交点坐标. ⑴232+-=x x y ⑵232-+-=x x y ⑶4622+-=x x y 与x 轴的交点坐标是： 与y 轴的交点坐标是： 例1.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（1,0），且函数的最值是3. ⑴求对称轴和顶点坐标. ⑵在下列平面直角坐标系中画出它的简图. ⑶求出该二次函数的关系式. ⑷若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（-1,0），则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（1,0），则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（-1,0），则对称轴是 . 二次函数与几何综合--面积问题 知识点睛 1.“函数与几何综合”问题的处理原则：_________________，__________________． 2.研究背景图形：①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________ ． 2___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息． 3．二次函数之面积问题的常见模型①割补求面积——铅垂法： ②转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ，若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，当P ，Q 在AB 异侧时，PQ ∥AB ．AB 平分PQ ． 例题示范例1：如图，抛物线y =ax 2+2ax -3a 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点 C ，且OA =OC ，连接AC ． （1）求抛物线的解析式． （2）若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，求△ACP 面积的最大值． （3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A ，B ， E ， F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的 点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 第一问：研究背景图形 【思路分析】 读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a ，可以求解A (-3，0)，B (1，0)，对称轴为直线x =-1；结合题中给出的OA =OC ，可得C (0，-3)，代入表达式，即可求得抛物线解析式． 再结合所求线段长来观察几何图形，发现△AOC 为等腰直角三角形． 【过程示范】 解：（1）由2 23y ax ax a =+-(3)(1) a x x =+-可知(30)A -，，(10)B ，， ∵OA OC =， ∴(03)C -，， 将(03)C -，代入2 23y ax ax a =+-， 第二问：铅垂法求面积 【思路分析】 （1）整合信息，分析特征： 由所求的目标入手分析，目标为S △ACP 的最大值，分析A ，C 为定点，P 为动点且P 在1()2 APB B A S PM x x =??-△ 二次函数交点式 【问题提出】已知二次函数经过三点13,24A ?? ??? ，(1,3)B -，(2,3)C ，求解析式. 法：由,B C 的纵坐标相等知，1 1x =-，22x =是方程()30f x -=的两个根，可设 零点式()3(1)(2)f x a x x -=+-. 把A 代入，得1a =，从而()(1)(2)3f x x x =+-+，化简即得2 ()1f x x x =-+. 【探究拓展】 探究1：如图，已知二次函数c bx ax y ++=2（a ，b ，c 为实数，0≠a ）的图象过点)2,(t C ，且与x 轴交于A ，B 两点，若BC AC ⊥，则a 的值 为 . 探究2：设函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (c c ＋12<1?－3 二次函数与几何综合 二次函数交点式练习题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 二次函数交点式练习题 一、选择 1.如果抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是3,那么c 的值等于（） （A ）8（B ）14 （C ）8或14（D ）-8或-14 2.二次函数y=x 2-(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x<1时，y 随着x 的增大而减小，则k 的值应取（） （A ）12（B ）11（C ）10（D ）9 3.若00,△>0 B.a>0,△<0 C.a<0,△<0 D.a<0,△<0 5.若抛物线 22y x x a =++的顶点在x 轴的下方，则a 的取值范围是（ ） Ａ．1a > Ｂ．1a < Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤ 二、填空 1、已知一条抛物线的开口大小、方向与2x y =均相同，且与x 轴的交点坐标是 （-2,0）、（-3,0），则该抛物线的关系式是. 2.已知一条抛物线的形状与22x y =相同，但开口方向相反，且与x 轴的交点坐 标是（1,0）、（4,0），则该抛物线的关系式是. 3.已知一条抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为3，其中一个交点坐标是 （1,0）、则另一个交点坐标是，该抛物线的对称轴是. 4.二次函数()()43---=x x y 与x 轴的交点坐标是，对称轴是. 5.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-1,0），（5,0），且函数的最值 是-3.则该抛物线开口向，当x 时，y 随的增大而增大. 6.请写出一个开口向下、与x 轴的交点坐标是（1,0）、（-3,0）的二次函数关系式：. /7、把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析 式为（???）． 8.已知二次函数)1(3)1(2-++-=a a x x a y 的图象过原点则a 的值为 9.二次函数432--=x x y 关于Y 轴的对称图象的解析式为 关于X 轴的对称图象的解析式为 关于顶点旋转１８０度的图象的解析式为 10.二次函数y=2(x+3)(x-1)的x 轴的交点的个数有__个，交点坐标为 _______。 11.已知二次函数222--=x ax y 的图象与X 轴有两个交点，则a 的取值范围是 12.二次函数y=(x-1)(x+2)的顶点为___,对称轴为_。 二次函数的图象和性质重点落实什么能力？ 2019北京中考26题重点题型------------ 必须会!!!!!! 例1 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 2443(0)y ax ax a a =-+-≠的顶点为A ． （1）求顶点A 的坐标； （2）过点(0,5)且平行于x 轴的直线l ，与抛物线 2443(0)y ax ax a a =-+-≠交于B ，C 两点． ①当2a =时，求线段BC 的长； ②当线段BC 的长不小于6时，直接写出a 的取值范围． 代数变形能力：2 443(0)y ax ax a a =-+-≠通过配方转化为2 (2)(0)3y a x a =-≠- 几何作图能力： 考点： 二次函数的性质 分析： （1）配方得到y=ax2-4ax+4a-3=a （x-2）2-3，于是得到结论； （2）①当a=2时，抛物线为y=2x2-8x+5，如图．令y=5得到2x2-8x+5=5，解方程即可得到结论；②令y=5得到ax2-4ax+4a-3=5，解方程即可得到结论． 解答： (1)∵y =ax 2?4ax +4a ?3=a (x ?2)2?3， ∴顶点A 的坐标为(2,?3)； (2)①当a =2时,抛物线为y =2x 2?8x +5，如图。 令y =5，得 2x 2?8x +5=5， 解得,x 1=0,x 2=4， ∴ a 2a 4线段BC 的长为4， ②令y =5,得ax 2?4ax +4a ?3=5， 解得,x 1= a a a 222 ,x 2=a a a 22-2 ∴线段BC 的长为 a 2a 4 ∵线段BC 的长不小于6， 《二次函数与坐标轴交点》专题 2014年（ ）月（ ）日 班级： 姓名 大多数人想要改造这个世界，但却罕有人想改造自己。 1.直线42-=x y 与y 轴交于点 ，与x 轴交于点 。 我们知道：①一次函数与x 轴的交点的求法 ②一次函数与y 轴的交点的求法 那么：③二次函数与x 轴的交点的求法 ④二次函数与y 轴的交点的求法 【归纳】(1)函数与x 轴y 轴交点的求法是：__________ ______________________ （2）反比例函数与坐标轴没有交点的原因是______________________________ 2.一元二次方程02 =++c bx ax ，当Δ 时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ 时，方程有两个相等的实数根；当Δ 时，方程没有实数根； 3.解下列方程 （1）0322=--x x （2）0962=+-x x （3）0322 =+-x x 5.对比第3题各方程的解，你发现什么？ 一元二次方程02 =++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数c bx ax y ++=2 与x 轴交 点的 .（即把0=y 代入c bx ax y ++=2 ） 1. 二次函数232 +-=x x y ，当x ＝1时，y ＝______；当y ＝0时，x ＝______． 2．抛物线342+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ； 3.二次函数642 +-=x x y ，当x ＝________时，y ＝3． 4.如图，一元二次方程02=++c bx ax 的解为 。 5.如图，一元二次方程32 =++c bx ax 的解为 。 6. 已知抛物线922 +-=kx x y 的顶点在x 轴上，则k ＝____________． 7．已知抛物线122-+=x kx y 与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是_________ （4） （5） 圆与二次函数综合题 1、已知：二次函数y=x2-kx+k+4的图象与y轴交于点c，且与x轴的正半轴交于A、B两点（点A 在点B左侧）。若A、B两点的横坐标为整数。 （1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；（2）若点D的坐标是(0,6），点P（t,0)是线段AB上的一个动点，它可与点A重合，但不与点B重合。设四边形PBCD的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）若点P与点A重合，得到四边形ABCD，以四边形ABCD的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积，并注明三角形高线的长。再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积（画示意图，不写计算和证明过程）。 2、（1）已知：关于x、y的方程组有两个实数解，求m的取值范围； (2）在（1）的条件下，若抛物线y=-(m-1)x2+(m-5)x+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积等于12，确定此抛物线及直线y=(m+1)x-2的解析式； （3）你能将（2）中所得的抛物线平移，使其顶点在（2）中所得的直线上吗？请写出一种平移方法。 3、已知：二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3，其中m为实数。 （1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图像与x轴必有两个交点；（2）设这个二次函数的 图像与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x1、x2的倒数和为,求这个二次函数的解析式。 4、已知二次函数y1=x2-2x-3. (1)结合函数y1的图像，确定当x取什么值时，y1>0,y1=0,y1<0; (2)根据（1）的结论，确定函数y2= (|y1|-y1)关于x的解析式； （3）若一次函数y=kx+b(k 0)的图像与函数y2的图像交于三个不同的点，试确定实数k与b应满足的条件。 5、已知：如图，直线y= x+ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，⊙M经过原点O及A、 B两点。 （1）求以OA、OB两线段长为根的一元二次方程； （2）C是⊙M上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD=∠CBO, 写出经过O、C、A三点的二次函数的解析式； （3）若延长BC到E，使DE=2,连结EA，试判断直线EA与 ⊙M的位置关系，并说明理由。（河南省） 6、如图，已知点A（tan ,0）B(tan ,0)在x轴正半轴上，点A在点B的左 边，、是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角。 （1）若二次函数y=-x2- 5/2kx+(2+2k-k2)的图像经过A、B两点，求它的解析式； （2）点C在（1）中求出的二次函数的图像上吗？请说明理由。（陕西省） 二次函数代数综合题 1．已知直线m x y +=和抛物线c bx x y ++=2都经过点A (1，0)，B (3，2)． (1)求m 的值和抛物线的解析式； (2) 结合函数图象，求不等式m x c bx x +>++2 的解集． 2．如图，二次函数的图象经过点D (0，39 7)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6. (1)求二次函数的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上找一点P ，使P A +PD 最小，求出点P 的坐标． 3．已知抛物线2442y ax ax a =-+-，其中a 是常数． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若25 a >，且抛物线与x 轴交于整数点(坐标为整数的点)，求此抛物线的解析式． 4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y mx n =++经过P ，A (0，2)两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l ，直线l 与抛 物线的对称轴交于C 点，求直线l 的解析式； (3)在(2)的条件下，求到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点的坐标． 5．已知关于x 的二次函数y =x 2-（2m -1）x +m 2+3m +4. （1）探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数. （2）设二次函数y 的图象与x 轴的交点为A （x 1，0），B （x 2，0），且21x +22x =5，与 y 轴的交点为C ，它的顶点为M ，求直线CM 的解析式. 6.已知抛物线223 4 y x kx k =+-（k 为常数，且k ＞0）． （1）证明：此抛物线与x 轴总有两个交点； （2）设抛物线与x 轴交于M 、N 两点，若这两点到原点的距离分别为OM 、ON ，且1123ON OM -=，求k 的值． 7． 已知二次函数y =x 2－(2m +4)x +m 2－4(x 为自变量)的图象与y 轴的交点在原点下方，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左边，且A ，B 两点到原点的距离AO 、OB ?满足3(?OB －AO )=2AO ·OB ，直线y =kx +k 与这个二次函数图象的一个交点为P ，且锐角∠POB ?的正切值4． (1)求m 的取值范围；(2)求这个二次函数的解析式；(3)确定直线y =kx +k 的解析式． 8．已知：二次函数y =2(32)220(0)mx m x m m -+++=>． (1)求证：此二次函数的图象与x 轴有两个交点； (2)设函数图象与x 轴的两个交点方程的分别为(1x ,0)，(2x ,0)(其中12x x <)．若y 是关于m 的函数，且212y x x =-，求这个函数的解析式； (3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 满足什么条件时，2y m ≤． 2014年中考解决方案二次函数与代数的综合 内容基本要求略高要求较高要求二次函数 能结合实际问题 情境了解二次函 数的意义；会用描 点法画出二次函 数的图象 能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表 达式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据 二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐 标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 能用二次函数解决 简单的实际问题； 能解决二次函数与 其他知识综结合的 有关问题 一、与一次函数只有一个交点 ?考点说明：二次函数一与次函数有交点问题，解法是联系解析式，组成关于x的二次方程，然后求解．如果只有一个交点，说明△=0，一次函数与二次函数相切；但是如果题目中给出的是直线，一定要注意是否有x a =的直线． 【例1】（2013年朝阳二模）已知关于x的一元二次方程2(4)10 x m x m --+-=． （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）此方程有一个根是3，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线2(4)1 y x m x m =--+-向右平移3个单位，得到一个新的抛物线，当直线y x b =+与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求b的值． 例题精讲 二次函数与代数的综合 中考说明 二、与x 轴的交点为整数 ?考点说明：二次函数与x 轴的交点问题是令0y =，解关于x 的二次方程，用含参量的未知数表示x ，然后用变量分离表示出x ，最后用整除解决问题． 【例2】 （2013年顺义区一模）已知关于x 的方程2 (32)220mx m x m -+++= （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根. （2）若关于x 的二次函数2 (32)22y mx m x m =-+++的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正 整数，且m 为整数，求抛物线的解析式. 【巩固】(2011年昌平一模)已知二次函数22(1)(31)2y k x k x =---+． ⑴二次函数的顶点在x 轴上，求k 的值； ⑵若二次函数与x 轴的两个交点A 、B 均为整数点（坐标为整数的点），当k 为整数时，求A 、B 两点的坐标． 内容 基本要求 略高要求 较高要求 二次函数 1.能根据实际情境了解二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二次函数的图像； 1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式； 2.能从函数图像上认识函数的性质； 3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向； 4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解； 1.能用二次函数解决简单的实际问题； 2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题； 一、二次函数与一次函数的联系 一次函数()0y kx n k =+≠的图像l 与二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像G 的交点，由方程组2 y kx n y ax bx c =+??=++? 的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时?l 与G 没有交点. 二、二次函数与方程、不等式的联系 1.二次函数与一元二次方程的联系： 1.直线与抛物线的交点: （1）y 轴与抛物线2y ax bx c =++的交点为(0, c ). （2）与y 轴平行的直线x h =与抛物线2y ax bx c =++有且只有一个交点(h ,2ah bh c ++). （3）抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点?0?>?抛物线与x 轴相交； ②有一个交点（顶点在x 轴上）?0?=?抛物线与x 轴相切； ③没有交点?0? 二次函数之交点式 【课前自习】 2.用十字相乘法分解因式： ①322 --x x ②342 ++x x ③6822 ++x x 3.若一元二次方程02 =++c bx ax 有两实数根21x x 、，则抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴 交点坐标是 . 【课堂学习】 一、探索归纳： 1.根据《课前自习》第3题的结果，改写下列二次函数： ①322 --=x x y ②342 ++=x x y ③6822 ++=x x y = = = 2.求出上述抛物线与x 轴的交点坐标： ①322 --=x x y ②342 ++=x x y ③6822 ++=x x y 坐标： 3.你发现什么？ 4.归纳： ⑴若二次函数c bx ax y ++=2 与x 轴交点坐标是（01，x ）、（02，x ），则该函数还可以 表示为 的形式； ⑵反之若二次函数是()()21x x x x a y --=的形式，则该抛物线与x 轴的交点坐标是 ，故我们把这种形式的二次函数关系式称为 式. ⑶二次函数的图象与x 轴有2个交点的前提条件是 ，因此这也 是 式存在的前提条件. 练习.把下列二次函数改写成交点式，并写出它与坐标轴的交点坐标. ⑴232 +-=x x y ⑵232 -+-=x x y ⑶4622 +-=x x y 与x 轴的交点坐标是： 与y 轴的交点坐标是： 二、典型例题： 例1.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（1,0），且函数的最值是3. ⑴求对称轴和顶点坐标. ⑶求出该二次函数的关系式. ⑷若二次函数的图象与x ，则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（1,0），则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（-1,0），则对称轴是 . 归纳：若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴的交点坐标是（01，x ）、（02， x ）则，对称轴是 ，顶点 坐标是【拓展提升】 已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（⑴求对称轴和顶点坐标. ⑶求出该二次函数的关系式. 专题:二次函数与代数综合题 【典例1】（2019?自贡）如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两点． （1）求抛物线C函数表达式； （2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标； （3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=17 4 的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【点拨】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式； （2）过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出△AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标； （3）如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则可根据BF＝BN，CF＝CN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可． 【解答】解：（1）由题意把点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝ax2+2x+c， 得，， 解得a＝﹣1，c＝3， ∴此抛物线C函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K， 将点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝kx+b中， 得，， 解得，k＝1，b＝1， ∴y AB＝x+1， 设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1）， 则MK＝﹣a2+2a+3﹣（a+1） ＝﹣（a﹣）2+， 根据二次函数的性质可知，当a＝时，MK有最大长度， ∴S△AMB最大＝S△AMK+S△BMK ＝MK?AH+MK?（x B﹣x H） ＝MK?（x B﹣x A） ＝××3 ＝， ∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时， S最大＝2S△AMB最大＝2×＝，M（，）； （3）存在点F， ∵y＝﹣x2+2x+3 ＝﹣（x﹣1）2+4， ∴对称轴为直线x＝1， 当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3， ∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0）， 如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H， 抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，设F（1，a），连接BF，CF， 则BF＝BN＝﹣3＝，CF＝CH＝， 6.3.3二次函数的特殊形式 【学习目标】 1.经历探索二次函数交点式的过程，体会方程与函数之间的联系； 2.渗透数形结合的数学思想. 【课前预习】 2.用十字相乘法分解因式： ①322 --x x ②342 ++x x ③6822 ++x x 3.若一元二次方程02 =++c bx ax 有两实数根21x x 、，则抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴 交点坐标是 . 一、探索归纳： 1.根据《课前预习》第3题的结果，改写下列二次函数： ①322 --=x x y ②342 ++=x x y ③6822 ++=x x y = = = 2.求出上述抛物线与x 轴的交点坐标： ①322 --=x x y ②342 ++=x x y ③6822 ++=x x y 坐标： 3.你发现什么？ 4.归纳： ⑴若二次函数c bx ax y ++=2 与x 轴交点坐标是（01，x ）、（02，x ），则该函数还可以 表示为 的形式； ⑵反之若二次函数是()()21x x x x a y --=的形式，则该抛物线与x 轴的交点坐标是 ，故我们把这种形式的二次函数关系式称为 式. ⑶二次函数的图象与x 轴有2个交点的前提条件是 ，因此这也 是 式存在的前提条件. 练习.把下列二次函数改写成交点式，并写出它与坐标轴的交点坐标. ⑴232 +-=x x y ⑵232 -+-=x x y ⑶4622 +-=x x y 与x 轴的交点坐标是： 与y 轴的交点坐标是： 二、尝试练习： 1.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（1,0），且函数的最值是3. ⑴求对称轴和顶点坐标. ⑶求出该二次函数的关系式. ⑷若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（-1,0），则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（1,0），则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（-1,0），则对称轴是 . 归纳：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点坐标是（01，x ）、（02， x ）则，对称轴是 ，顶点 坐标是 . 2.已知一条抛物线的开口大小、方向与2x y -=均相同，且与x 轴的交点坐标是（2,0）、（-3,0），则该抛物线的关系式是 . 3.已知一条抛物线与x 轴有两个交点，其中一个交点坐标是（-1,0）、对称轴是直线1=x ，则另一个交点坐标是 . 4.已知一条抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为4，其中一个交点坐标是（0,0）、则另 一个交点坐标是 ，该抛物线的对称轴是 . 5.二次函数()()43-+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，对称轴是 . 6.请写出一个二次函数，它与x 轴的交点坐标是（-6,0）、（-3,0）： . 7.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-1,0），（5,0），且函数的最值是3.求出该二 次函数的关系式.（用2种方法） 解法1： 解法2： 成都市中考压轴题（二次函数）精选 【例一】．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式； （2）求证：AO=AM； （3）探究： ①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值； ②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数． 的长，然后代入计算即可得解； ，x+，再联立抛物线与直线解析式， ， x ， =AM==+==1x ，+==，+ = 取何值，++ 【例二】. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B 在第一象限 内，且AB ，sin ∠（1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式； （2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若将点O 、点A 分别变换为点Q （ -2k ,0）、点R （5k ，0）（k>1的常数），设过Q 、R 两点，且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ，其顶点为M ，记△QNM 的面积为QMN S ，△QNR 的面积QNR S ?，求QMN S ?∶QNR S ?的值. 解：（1）如图，过点B 作BD OA ⊥于点D ． 在Rt ABD △中， AB = sin OAB ∠= sin 3BD AB OAB ∴=∠==． 又由勾股定理， 得6AD = ==． 1064OD OA AD ∴=-=-=． 点B 在第一象限内， ∴点B 的坐标为(43)，． ∴点B 关于x 轴对称的点C 的坐标为(43)-，． · ·················································· 2分 设经过(00)(43)(100)O C A -，，，，，三点的抛物线的函数表达式为 2(0)y ax bx a =+≠． 由11643810010054 a a b a b b ? =?+=-?????+=??=-??，． ∴经过O C A ，，三点的抛物线的函数表达式为215 84 y x x = -． ····························· 2分 （2）假设在（1）中的抛物线上存在点P ，使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形． ①点(43)C -， 不是抛物线215 84 y x =-的顶点， ∴过点C 作直线OA 的平行线与抛物线交于点1P ． 一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??? ??++22 B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()01222＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213? ±-= ，m x 321-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22-+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-01 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 二次函数一般式、顶点式、交点式 这节课我们学什么 1. 会用待定系数法求二次函数的解析式； 2. 会平移二次函数2(0)y ax a =≠的图象得到二次函数2()y a x h k =-+的图象； 了解特殊与一般相互联系和转化的思想； 3. 根据交点求解解析式． 知识点梳理 1、顶点式：()2y a x h k =-+的图像与性质 2、交点式：12()()y a x x x x =--的图像与性质 1x 、2x 分别是二次函数与x 轴的两个交点坐标，如果二次函数与x 轴的交点坐标已知，则我们可以设解析式为12()()y a x x x x =--，然后再根据条件求出a 即可； 3、一般式2y ax bx c =++的性质 对于一般式：2(0)y ax bx c a =++≠，我们怎么能知道二次函数的对称轴以及顶点坐标呢？ 将一般式配方成顶点式： 2y ax bx c =++=2 ()b c a x x a a ++=22222()44b b b c a x x a a a a ++-+ =222(())()22b b c b a x x a a a a +++- =222424b b ac a x a a -??+= ?? ? 所以，任意二次函数，其对称轴方程为：直线2b x a =-；顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ， 1． 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大； 2． 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；二次函数的特殊形式专题(交点式)
二次函数与几何综合--面积问题
二次函数交点式的研究 专题
二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)
题目背景
07 年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的 代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以 想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武 汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学 生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的 时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二 是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐 心，做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求 （1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系 数法求函数解析式，属于送分题。 （2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练 掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题 目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。 （3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目 所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条 件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系， 再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用， 这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种 常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一 步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这 一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底， 根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全 等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. （2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C1：y= x2﹣2 的顶点，点 B 的坐标为（1，
0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C二次函数交点式练习题
2018北京二次函数代数综合题例讲(解析版)
《二次函数图像和性质(交点式)》专题
打印版-圆与二次函数综合题精练(带答案)
一轮二次函数代数综合题)
4.二次函数与代数的综合
第7讲-二次函数与其它代数知识综合
二次函数的交点式
专题：二次函数与代数综合题(解析版)
二次函数的特殊形式
二次函数综合(定值)问题与解析
2018二次函数压轴题题型归纳
【精品讲义】二次函数一般式、顶点式、交点式