2019高考文数小题专练：(10)圆锥曲线

小题专练（10）圆锥曲线

1.(2018·河北张家口模拟)椭圆x 216＋y 2

25＝1的焦点坐标为( )

A ．(±3,0) B．(0，±3) C ．(±9,0) D．(0，±9)

解析：根据椭圆方程可得焦点在x 轴上，且c 2

＝a 2

－b 2

＝25－16＝9，∴c ＝3，故焦点坐标为(0，±3)．故选B.

答案：B

2.已知圆(x+2)2

+y 2

=36的圆心为M,设A 为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN 的垂直平分线交MA 于点P,则动点P 的轨迹是 ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线

D.抛物线

【解析】选B.点P 在线段AN 的垂直平分线上, 故|PA|=|PN|,又AM 是圆的半径, 所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|, 由椭圆定义知,P 的轨迹是椭圆.

3．(2017·天津卷，5)已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的

渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )

A.x 24－y 212＝1

B.x 212－y 2

4＝1 C.x 2

3－y 2＝1 D ．x 2

－y 2

3

＝1 解析：本题主要考查双曲线的几何性质和双曲线的方程．

不妨设点A 在第一象限，由题意可知c ＝2，点A 的坐标为(1，3)，所以b

a

＝3，又

c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＝1，b 2＝3，故所求双曲线的方程为x 2

－y 2

3

＝1，故选D.

答案：D

4.(2014·全国卷Ⅰ)已知F 为双曲线C:x 2

-my 2

=3m(m>0)的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为 ( )

A. B.3

C.m

D.3m

【解析】选A.双曲线C:-=1,

则c 2

=3m+3,c=, 设焦点F(

,0),

一条渐近线方程为y=x,

即x-y=0,

所以点F 到渐近线的距离为d==.

5.P 是椭圆

+y 2

=1上的一点,F 为一个焦点,且△POF 为等腰三角形(O 为原点),则点P 的个

数为 ( ) A.2

B.4

C.6

D.8

【解题提示】可按腰分三种情况讨论,然后按每种情况分别求解,最后再得出结论. 【解析】选D.使△POF 为等腰三角形,包括|PF|=|PO|,|FP|=|FO|,|OF|=|OP|三种情形.分别为:作线段OF 的中垂线与椭圆交于两点;以F 为圆心,为半径画弧,与椭圆交于两点;以O

为圆心,

为半径画弧,与椭圆交于四点,共有8个点.

6．(2017·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近

线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )

A.x 24－y 2

12＝1 B.x 212－y 2

4＝1 C.x 23

－y 2

＝1 D ．x 2

－y 2

3

＝1

[解析] 由△OAF 是边长为2的等边三角形可知，c ＝2，b

a ＝tan60°＝3，又c 2＝a 2＋

b 2，

联立可得a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2

－y 2

3

＝1.

[答案] D

7．(2018·广东六校联盟联考)设F 1，F 2是双曲线x 2

－y 2

24

＝1的两个焦点，P 是双曲线上

的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )

A ．4 2

B ．8 3

C ．24

D ．48

[解析] 依题意，得F 1(－5,0)，F 2(5,0)，|F 1F 2|＝10.

∵3|PF 1|＝4|PF 2|，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝4

3x .

由双曲线的性质知4

3x －x ＝2，解得x ＝6.

∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴△PF 1F 2的面积＝1

2×8×6＝24.故选C.

[答案] C 8.经过椭圆+y 2

=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ,交椭圆于A,B 两点.设O 为坐标原点,则·等于 ( ) A.-3

B.-

C.-或-3

D.±

【解析】选B.依题意,当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时, 其方程为y-0=tan45°(x-1),即y=x-1, 代入椭圆方程

+y 2

=1并整理得3x 2

-4x=0,

解得x=0或x=,

所以两个交点坐标分别为(0,-1),,

所以

·

=-,

同理,直线l 经过椭圆的左焦点时,也可得

·

=-.

9．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，P A ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( )

A.7π12

B.2π3

C.3π4

D.5π6

[解析] 由抛物线定义知|PF |＝|P A |，∴P 点坐标为(3，23)，所以A 点坐标为(－1,23)，AF 与x 轴夹角为π3，所以直线AF 的倾斜角为2

3

π，选B.

[答案] B

10．(2017·河南三门峡灵宝期末)已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A ，点B 分别作AM ，BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M ，N 两点，那么∠MFN 必是( )

A ．锐角

B ．直角

C ．钝角

D ．以上皆有可能

[解析] 由题意画出图象，如图．由抛物线的定义，可知|NB |＝|BF |.所以△BNF 是等腰三角形．因为BN ∥OF ，所以NF 平分∠OFB .同理MF 平分∠OF A ，所以∠NFM ＝90°.故选B.

[答案] B

11．(2017·黑龙江七台河期末)已知抛物线C ：y 2＝－8x 的焦点为F ，直线l ：x ＝1，点A

是l 上的一动点，直线AF 与抛物线C 的一个交点为B .若F A →

＝－3FB →

，则|AB |＝( )

A ．20

B ．16

C ．10

D ．5

[解析] 由抛物线C ：y 2＝－8x ，得F (－2,0)．设A (1，a )，B (m ，n )，且n 2＝－8m .∵F A →

＝－3FB →

，∴1＋2＝－3(m ＋2)，解得m ＝－3，∴n ＝±2 6.

∵a ＝－3n ，∴a ＝±66，

∴|AB |＝(1＋3)2＋(26＋66)2＝20.故选A. [答案] A

12．(2017·湖北襄阳月考)已知抛物线y ＝1

2x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF

与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝( )

A ．2

B ．3 C. 2 D. 3 [解析]

如图，过N 作准线的垂线NH ，垂足为H . 根据抛物线的定义可知|NH |＝|NF |， 在△NHM 中，|NM |＝2|NH |，则 ∠NMH ＝45°.

在△MFK 中，∠FMK ＝45°， 所以|MF |＝2|FK |.而|FK |＝1. 所以|MF |＝ 2.故选C. [答案] C

13．(2018·武汉模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，倾斜角等于45°的直线过F 交该抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝__________.

[解析] 由抛物线焦点弦的性质，得|AB |＝2p

sin 2α＝2×2sin 245°＝8.

[答案] 8

14．已知过定点(1,0)的直线与抛物线x 2＝y 相交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则(x 1－1)(x 2－1)＝________.

解析：设过定点(1,0)的直线的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程x 2＝y 得x 2－kx ＋k ＝0，故x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝k ，因此(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1. 答案：1

15．已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2

c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点

为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|F A |＝c ，则双曲线的渐近线方程为______________．

解析：抛物线x 2

＝2py 的准线方程为y ＝－p 2，与双曲线的方程联立得x 2＝a 2

(1＋p 24b

2)，根据

已知得a 2

(1＋p 24b 2)＝c 2

①.由|AF |＝c ，得p 24

＋a 2＝c 2 ②.由①②可得a 2＝b 2，即a ＝b ，所以所

求双曲线的渐近线方程是y ＝±x . 答案：y ＝±x

16(2018·兰州一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭

圆上，O 为坐标原点，若|OP |＝12

|F 1F 2|，且|PF 1||PF 2|＝a 2

，则该椭圆的离心率为________．

解析：由|OP |＝12|F 1F 2|，且|PF 1||PF 2|＝a 2

，可得点P 是椭圆的短轴端点，即P (0，±b )，

故b ＝12×2c ＝c ，故a ＝2c ，即c a ＝22

.

答案：2

2