一次同余式与一次同余式组的解的讨论

一次同余式与一次同余式组的解的讨论

摘 要: 这篇文章先给出有关同余式、同余式的解的概念，并在Euler 定理及孙子定理的基础上,详细地讨论了一次同余式、一次同余式组的是否有解的条件，若有解，则给出了求解方法. 一次同余式和一次同余式组的相关知识是学习数论过程中必须要掌握的知识，它在数学领域内有着及其广泛的应用。

关键词: 一次同余式; 一次同余式组;孙子定理;Euler 定理

1引言

南北朝时期的数学著作《孙子算经》中“物不知数”是这样的“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”解法和答案用算式表示为：702213152105223?+?+?-?=，即得到适合题意的最小正整数是23。

《孙子算经》的“物不知数”题虽然开创了一次同余式研究的先河，但真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的是南宋时期的数学家秦九韶。秦九韶在他的《数书九章》不仅给出了一次同余式的解，而且用“大衍求一术”数学方法给出了一次同余式组的最小正整数解。

2基本定义和定理

定义2.1 设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 是整系数多项式，m 是一正整数，称

()0(mod )f x m ≡ (1)

是模m 的同余式，若0(mod )n a m ≡/，则n 叫做同余式(1)的次数。

定义2.2 若a 是整数，且使得()0(mod )f a m ≡成立，则(mod )x a m ≡叫做同余式(1)的一个解。即把适合(1)式且对模m 相互同余的一切数叫做同余式(1)的一个解。

定义2.3 欧拉函数()a ?是定义在正整数上的函数，它在正整数a 上的值等于序列0,1,2,,1a - 中与a 互质的数的个数。

定理2.1(Euler) 设1m >，(,)1a m =，则()1(mod )m a m ?≡。

证明 设12(),,,m r r r ? 是模数m 的一组简化剩余系，则由定理（若(,)1,a m x =通过m 的

简化剩余系，则

ax 通过模m 的简化剩余系.）

可知12(),,,m ar ar ar ? 也是模m 的一组简化剩余系，故 12()12()()()()(mod )m m ar ar ar r r r m ??≡

即 ()12()12()(mod )m m m a r r r r r r m ???≡ (﹡) 由于 ()i r ,1,1,2,,().m i m ?==

故 12()(,)1.m r r r m ?= (﹡﹡)

根据性质（若11,,(,)1,a a d b b d d m ===则11(mod ).a b m ≡） 以及 (﹡)和(﹡﹡)得 ()1(mod ).m a m ?≡

定理2.2（孙子定理） 设12,,,k m m m 是k 个两两互素的正整数,

12,(1,2,,),k i i m m m m m m M i k ===

则同余式组

1122(mod ),(mod ),,(mod )k k x b m x b m x b m ≡≡≡ (2)

有唯一关于模m 的解

1112

22(mod ),k k k x M M b M M b M M b m '''≡+++ (3) 其中1(mod )(1,2,,).i i i M M m i k '≡=

证明 由于(,)1,i j m m i j =≠，即得(,)1i i M m =.由定理3.1知对每一i M ，有一

i M '存在，使1(mod ).i i i M M m '≡由i i m m M =，知|,j i m M i j ≠. 故

1

(mod ),1,2,,.k

j

j

j

i i i i i j M M b

M M b b m i k =''≡≡=∑

即(3)为(2)的解。

若12,x x 是适合(2)式的任意两个整数，则

12(mod )(1,2,,).i x x m i k ≡=

又由于(,)1,i j m m i j =≠，于是12(mod )x x m ≡，故(2)仅有解(3)。

3一次同余式

定理3.1 若(),1,|a m d d =>,b 则(mod )ax b m ≡无解。

证明 若有解，即可得()mod .ax b m ≡而|,d a 于是有0(mod ).b d ≡而这与|,d b 相矛盾，所以同余式无解。

定理3.2 设(,)1,0a m m =>，则同余式

(mod )ax b m ≡ (4)

有唯一解 ()1

(m o d ).m x b a

m ?-≡ 证明 由于1,2,,m 组成一组模数m 的完全剩余系，(,)1a m =，故,2,,a a m a 也

组成模数m 的一组完全剩余系，故其中恰有一个数设为aj ，适合

(mod ),(mod )aj b m x j m ≡≡

就是(4)的唯一解。

方法一 由定理2.1知 ()()()1mod .m m a x ba m ??-≡。 从而()()1mod m x ba m ?-≡为所求的解。 即原命题成立。 方法二

因为(),1a m =.由定理(若(),a b d

=由最大公因数性质可知必有二数,s t 使 1.as bt

+=)

知必有二数s t ，使1as mt +=，

即()1mod .as m ≡ 故由()mod asx bs m ≡知同余式(4)的解为 ()mod .x bs m ≡

定理3.3 设(,),0a m d m =>，同余式(4)有解的充分必要条件是|d b ，且恰有d 个解。

证明 若(4)有解，则由|,|d a d m 推出|d b 。如果|d b ，则,1a m d d ??

= ???

，

故同余式

mod a b m x d d d ??≡ ???

①

有一组解，即同余式(4)有一组解。

若整数c 适合(4)，c 也适合同余式①；反之，若c 适合同余式①，c 也适合同

余式(4)。设t 适合①，则①有唯一解 (m o d )m

x t d

≡，

即全体整数,0,1,2,,m

t k k d

+?=±±

对模数m 来说，恰可选出d 个互不同余的整数

,,2,,(1).m m m

t t t t d d d d ++?+- ②

这是因为对于m

t k d +，设,0k qd r r d =+≤<代入得

()(mod ).m m m m

t k t qd r t r qm t r m d d d d

+?=++=++≡+

又若 ()0,0,mod m m

e d

f d t e t f m d d

≤<≤<+≡+，则推出f e =.这就证明了(4)的

任一解恰与②中的某一数模数m 同余，而②中的d 个数，又模数m 两两互不同余，即知(4)恰有d 个解。 一般地，我们有

定理3.4 设1k ≥，同余式

110(mod )k k a x a x b m +++≡ (5)

有解的充分必要条件是 ()1,,,|.k a a m b (6) 若条件(6)满足，则(5)的解数为()11,,,k k m a a m - 。

证明 现用归纳法来证明。由定理3.2知当1k =时结论显然成立。 设()()1111,,,,,,,k k a a m d a a m d -== ，则()11,d a d =。

由定理 3.3知 ()10m o k k a x b d +≡ （ⅰ） 有d 个解

()()()()11111mod mod mod 1mod k k k d d

x t d x t d x t d d d d

≡≡+

≡+- ，，

,， 从而对模数m 来说有1

m

d d ?

个解：

111

1

111(mod ),(mod ),,(

1)(mod ),(1)(mod ),,(1)(1)(mod )

k k k k k x t m x t d m m

x t d m d d x t d m d d m

x t d d m d d ≡≡+≡+-≡+

-≡+-+-

对（ⅰ）的一个解k x ，设11

n k a x b

b d +=， 由归纳法假定，

1111110(mod )k k a x a x b d m --+++≡

的解数为 22111(,,,)k k k m a a m m d ---= ， 故(5)的解数为2111

k k m

m d d m d d --??=. 例1

解同余式 ()11175mod 321.x ≡

解 因为()111,3213,3|75,≡故同余式有解，且化为()3725mod107.x ≡ 故 ()257532

899m o d 10

7.371114

x -≡

≡≡≡-≡ 于是原同余式有三个解：()99,206,313mod321.x ≡ 例2

解同余式()286121mod341.x ≡

解 因为()286,34111,11|121,≡故同余式有解，且化为()2611mod31.x ≡

故 ()1120

4m o d 31

.265

x -≡

≡≡- 于是原同余式有三个解：

()4,35,66,97,128,159,190,221,252,283,314mod341.x ≡

4一次同余式组

定理4.1 设12,m m 是两个正整数，同余式组

()()1122mod mod x b m x b m ≡???≡??

(7) ① 若()12,|m m 12b b -，则同余式组(7)无解。

② 若()1212,|m m b b -，则同余式组(7)有以[]12,m m 为模的一类剩余解。

证明 ①满足同余式()11mod x b m ≡的数为 1,x b m t t Z ≡+∈ ⑴ 并且满足同余式 ()22mod x b m ≡， 则有 ()1122mod b m t b m +≡

即 ()1212m o d m t b b m

≡- ⑵ 由于()12,|m m 21b b -,所以同余式()22mod x b m ≡无解，即同余式组无解。 ③ 若()1212,|m m b b -，则可设

()

11222112,,,, 1.m m d m m d b b bd m m ''''==-==

由⑵得 (

)

12mod m t b m ''≡ ⑶

因为()()

1212m m m m d

d ''==，d ，，故(

)

121m m ''=，，所以⑶式有一个解。设()

2m o d t b m '≡ 从而⑵有d 个解

()()222,,,1mod t b b m b d m m ''≡++-

将2,t b m Z λλ'=+∈代入⑴有 ()

1121112.x b m b m b bm m m λλ''=++=++

又[]12

1212,m m m m m m d

'=

= []()1112

m o d ,x b b m m m ∴=+ 由于11,b m 是给定的，而且b 是唯一确定的，从而同余式组有唯一的解。 显然，若()12,1,m m =则同余式组(7)恒有解。 例3

解同余式组()()7mod152mod 6x x ≡???≡??

. 解 因为()6,153,3|72,=-故此同余式组无解。 例4

解同余式组()()7mod154mod 6x x ≡???≡??

. 解 因为()15,63,3|74,=-故同余式组有解。 由第一个同余式得 715,

x y =+ 代入第二式 ()715

4m o d 6,y +≡ 得 ()33m o d 6,y ≡- 即 ()1m o d 2,y ≡ 将12y z =+代入715x y ==中，得

()715122230.x z z =++=+

即同余式组得解为()22mod30.x ≡

下面把定理6推广到含任意个同余式的情形。先给出 命题1 设12,,,,(3)k m m m k ≥ 是任意k 个正整数，则

[]()()()()1

2

1

1

1121,,,,,,,,,,,2,3,, 1.s

s s s s s m m m m m

m m m m m s k ++++==-????

证明 对k 应用数学归纳法。 当3k =时，即证：

[]()()()1

2

3

1

3

2

3

,,,,,.m m m m m m m =????

设121

2,1,2,3.i i ri

i r j m p p p i p ααα== 是素数。0,1,2,,.ji a j r ≥= 令()()()()()

122123max min ,,min ,3,min max ,,.j j j j j j j j δααααγααα== 因为

[]()1

2

1

2

3

1

2,,.r r m m m p p p γ

γγ=

()()12132312,,,,r

r m m m m p p p δδδ=????

只需证： ,1,2

,,j j j r γδ== 当123j j j a a a ≥≥时，

()()333133max ,,min ,.j j j j j j j j a a a a a a δγ====

所以 .j j δγ= 当312j j j a a a ≥≥时，

()()121131max ,,min ,.j j j j j j j j a a a a a a δγ====

所以 .j j δγ= 当231j j j a a a ≥≥时，

()()133233max ,,min ,.j j j j j j j j a a a a a a δγ====

所以 .j j δγ=

再有对称性可知，对一切非负整数123,,j j j a a a 有：,1,2,,.j j j r δγ== 即

[]()(

)()1

2

3

1323,,,,

,.m m m m m m m =????

假设对(3)k s s =≥时成立，即

[]()()()()1

1

1

2

1

,,,,,,,,,.s s

s

s

s s m m m m m m m m

m --=????

假设对1k s =+时，因为 [][]12121,,,,,,,.

s s s m m m m m m m -??=??

由3k =的情形和归纳假设得：

[]()[]()

[]()()()()()()1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1211,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.

s

s s s

s s s s

s s s s s s s m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m +-+-++-+??=????=??

=????

定理4.2 设12,,,k m m m 是k 个正整数，则同余式组

()

()()1122mod mod mod k k x b m x b m x b m ≡??

≡??

??≡?

(8)

令 (),.1.

i j i j m m d i j k =≤<≤ ①若至少有一个|ij d i j b b -，则同余式组(8)无解。

②若所有的ij d 都能整除.i j b b -则同余式组(8)有一个以[]12,,,k n m m m m M == 为模的一类剩余解。

证明： ①若|ij d i j b b -，则由定理4.1知同余式组中的第i 个和第j 个同余式没有公共解，从而同余式组(8)无解。 ②若所有的ij d 都能整除i j b b -,则可设

[][][][][][][]122

123233

1234344

123112

,,,,,,,,,,,,,,n n n n m m M m m m M m M m m m m M m M m m m m m M m M --=======

有定理4.1知同余式组(8)的前两个同余式必由一公解：()2mod .x M α≡ 假设同余式组(8)的前1n -个同余式已有一公共解()1mod n x M β-≡ 即 ()mod .1,2,, 1.i i b m k n β≡=-

()mod ,1,2,, 1.i i i i b t m i n t β=+=- 是整数.

于是 ,1,2,, 1.n i n i i b b b t m i n β-=-+=-

由于|,n i n in i d b b d m -,从而 |,1,2,, 1.in n d b i n β-=- 所以 12(1),,,|n n n n n d d d b β-??-?? 有命题1可得 ()1,|n n n M m b β--. 又由定理4.1知同余式组

()()1mod mod n n n x M x b m β-≡???

≡??

必有一公共解()mod n x r M ≡.也就是说同余式组(8)有解. 下面证明这个解的唯一性.

设还有一解()mod n x M δ≡,则由 ()mod ,1,2,,.i i r b m i n ≡= 及 ()mod ,1,2,,.i i b m i n δ≡= 有：

()()0mod 0mod ,1,2,,.i n r m M i n δ-≡≡=

即()mod n r M δ≡即唯一性得证.

如果12,,,n m m m 两两互素,则同余式组(8)恒有一个以12n m m m 为模的一类剩余解.

例5 解同余式组

()()()8mod153mod102mod8x x x ≡??

≡??≡?

. 解 因为()10,8|32,-故此同余式组无解。 例6

解同余式组

()()()8mod153mod101mod8x x x ≡??

≡??≡?

●. 解 因为()()()15,10|83,10,8|31,8,15|81,---所以此同余式组有解。 由①式有

815x y =+ ④

代入②式得 ()8153mod10,y +≡ 故得 ()1mod 2.y ≡ 即 12.y z =+ 将此式代入④式 得

()815122330.x z z =++=+ ⑤

代入③式得 ()23301mod8,z +≡

即得 ()22mod8.z ≡-从而()3mod 4,z ≡即34,z u == 代入⑤式得 ()233034113120.x u u =++=+ 即()113mod120x ≡为同余式组的解。

定理4.3 设12,,,k m m m 是k 个正整数，同余式组

()()()111222mod mod mod k

k k a x b m a x b m a x b m ≡??

≡??

??≡? 有解的充分且必要条件是以下两条同时成立： (ⅰ) (),|,1,2,,.i i i a m b i k =

（ⅱ） 若()mod i i i x x t m ≡是()mod i i i ax b m ≡1,2,,.i k = 的解。

则 (),|.,1,2,,i j i i j j m m x t x t i j k

-

= ； 若有解，设对模[]12,,,k m m m 的解的个数为T ， 则 ()10,.k

i i i T a m =≤≤∏ 证明 必要性

若(1)有解,即存在整数0x 使()mod .i i i i a x b m ≡成立.由定理知

(),|,1,2,,.i i i a m b i k =

即(ⅰ)成立.

若(ⅰ)对模[]12,,,k m m m 的解为[]()012mod ,,,k x x m m m ≡ .

而 ()0m o d ,1,2,,.i i i x x t m i k ≡= 即 []()012

m o d ,,,k

x x m m m ≡ 是同余式

()()()111222mod ,mod ,,mod .k k k x x t m x x t m x x t m ≡≡≡

的解，由定理4.2知

(),|,,1,2,,.i

j

i i

j j

m m x t x t i j k -=

充分性

由(),|i i i a m b 知 ()mod .1,2,,.i i i i a x b m i k ≡= 有解。

令 ()()m o d .1,2,.1,2,,,i i i i i i x x t m

i k t a m ≡== 是 ()m o d i i i a x b m ≡ 的所有解。 对于每一个i 任取一解，构成一下同余式组

()()()111222mod ,mod ,,mod .k k k x x t m x x t m x x t m ≡≡≡

且()1,2,,,i i i t a m = ，其中有()1

,k

i i i a m =∏个一次同余式组，在这些同余式组中，

若满足 (),|.,1,2,

,..

i j i i j j m m x t x t i j k i j -

=≠ 则有对模[]12,,,k m m m 的唯一解；若不满足（ⅱ），则无解。 所以至多有 ()10,k

i i i T a m =≤≤∏ 个解。

例7

解同余式组

()()

46mod14915mod 33x x ≡???≡??. ① 解 因为()()4,14|6,9,33|15,所以原同余式组有解，且原同余式组可化为

()()23mod 735mod11x x ≡???≡??

② 解之得

()()5mod 79mod11x x ≡???≡??

③ 又因为()7,111,=故由定理4.1知同余式组③有解，且以[]7,1177=为模。显然，同余式

组③的解就是同余式组①的解。

从而得 ()2m o d 77.x ≡- 即 ()75m o d 77.x ≡ 若写成以[]14,33462=为模，则原同余式组的解为

()75,152,229,306,383,460mod 462.x ≡