2010年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案

2010年全国高中数学联赛四川省预赛

2010年全国高中数学联赛四川赛区预赛由四川省数学会普及工作委员会及四川省数学竞赛委员会主办，由四川省数学竞赛委员会组织及负责命题，命题负责人：柳斌.

预赛命题范围以现行高中数学教学大纲为准，主要考察学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力. 试题相当于高考数学试题的中、难度水平，有利于广大学生拓宽视野，促进素质教育. 学生自愿报名参加. 全省在同一时间由各市、州统一组织竞赛(不在县级以下单位设置考场). 试卷答题时间120分钟，试题总分140分，其中包括：6道选择题（每道5分，共30分）、6道填空题（每道5分，共30分）；4道解答题（每道20分，共80分）. 命题难度大体相当于普通高考试题. 预赛时间定在5月1 6日(星期日)下午14:30~16:30.

竞赛完后先由各市、州集中评卷，然后将其中10％的优秀试卷上报四川省数学竞赛委员会(原则上每个参赛学校均应有试卷上报)，由四川省数学竞赛委员会组织专人复查. 从中评出一等奖300名、二等奖500名、三等奖700名，由四川省数学竞赛委员会颁发获奖证书.

经四川省数学竞赛委员会研究决定，为确保全国高中数学联赛的安全保密工作，自2007年起，四川省只在成都市设立一个考场，全省参赛人数控制在1000人左右，参赛学生为预赛的一、二等奖获得者及个别优秀学生(初赛人数较多的市、州可酌情增加决赛名额). 考场设在成都七中，个别边远地区的优秀考生经济确有困难者提出申请，经批准可由省数学竟赛委员会给予适当资助.

试 题

一、选择题（本题满分40分，每小题5分） 1、已知p ：342sin 1=

+α 和q ：3

4

cos sin =+αα．则p 是q 的（ ）. A 、充分但不必要条件 B 、必要但不充分条件

C 、充要条件

D 、既不充分也不必要条件

2、在5件产品中有4件正品、1件次品．从中任取2件，记其中含正品的个数个数为随机变量ξ，则ξ的数学期望ξE 是（ ）.

A 、

56 B 、57 C 、58 D 、5

9

3、设正三棱锥ABC S -的底面边长为3，侧棱长为2，则侧棱SA 与底面ABC 所成的

角的大小是（ ）.

A 、

30 B 、

45 C 、

60 D 、2arctan

4、已知函数4

24

)42()(24224+++-++=x x x k k x x f 的最小值是0，则非零实数k 的值是（ ）.

A 、4-

B 、2-

C 、2

D 、4

5、长方体1111D C B A ABCD -的八个顶点都在球O 的球面上，其中11=AA ，

22=AB ，33=AD ，则经过C B 、两点的球面距离是（ ）.

A 、

32π B 、3

4π

C 、π2

D 、π4 6、对任意实数m ，过函数1)(2++=mx x x f 图象上的点))2(,2(f 的切线恒过一定点

P ，则点P 的坐标为（ ）.

A 、)3,0(

B 、 )3,0(-

C 、)0,23

( D 、)0,2

3

(-

7、设A 1、A 2为椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左右顶点，若在椭圆上存在异于A 1、A 2

的点P ，使得02=?PA ，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）.

A 、)21,

0( B 、 )22,0( C 、)1,21( D 、)1,2

2

(

8、记)0(,)33(

)(),(2

2

≠++-=y y

x y x y x F ，则),(y x F 的最小值是（ ）. A 、 512 B 、5

16 C 、518

D 、4

二、填空题（本题满分20分，每小题5分）

9、)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)1()(x f x f -=，则=)2010(f ． 10、实数y x ，满足6|1|2|1|3≤-++y x ，则y x 32-的最大值是 ． 11、在数列}{n a 中，11=a ，当2≥n 时，2

1

,,-

n n n S S a 成等比数列，则=∞

→n n a n 2lim ．

12、集合的容量是指集合中元素的和．则满足条件“}7,6,5,4,3,2,1{?A ，且若A a ∈时，必有A a ∈-8”的所有非空集合A 的容量的总和是 ．（用具体数字作答）

三、解答题（本题满分80分，每小题20分）

13、已知函数)4

3cos(32cos 4)4

sin(2)4

sin()(ππ

π

+

+--

++

=x x x x x f ． （1）试判断函数)(x f 的奇偶性，并给出证明； （2）求)(x f 在],2

[ππ

上的最小值与最大值．

14、已知F 为抛物线x y 42=的焦点，M 点的坐标为(4,0)，过点F 作斜率为1k 的直线与抛物线交于A 、B 两点，延长AM 、BM 交抛物线于C 、D 两点，设直线CD 的斜率为2k ．

（1）求

2

1

k k 的值； （2）求直线AB 与直线CD 夹角θ的取值范围．

15、已知函数1)(23+--=x mx x x f ，其中m 为实数． （1）求函数)(x f 的单调区间；

（2）若对一切的实数x ，有4

7

||)(-≥'x x f 成立，其中)(x f '为)(x f 的导函数． 求实数m 的取值范围．

16、已知n S 是数列}{n a 的前n 项的和，对任意的正整数n ，都有n

n n ba S b 4)1(+-=-成立，其中0>b ．

（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n n n a c 4

= )(*

∈N n ，若2||≤n c ，求实数b 的取值范围．

解 答

1、C 提示：因为3

4

cos sin )cos (sin 2sin 12=

+=+=+ααααα，故p 是q 的充要条件．故选C ．

2、C 提示：数学期望是：5

8

2125242514=?+?C C C C ．故选C.

3、A 提示：设顶点S 在底面ABC ?的射影是H ，则H 为ABC ?的外心．从而

32

3332=??=

AH ，于是可得 30=∠SAH ．故选A ． 4、B 提示：42)62(1)(2

422

++-++=x x x k k x f ，因为2

444x x ≥+，故6

1

420242≤++≤x x x .

当0622

≥-+k k 时，1min =f ，不合题意； 当0622<-+k k 时，

)62(6

1

1,12min max -++==k k f f ，

由条件知0)62(6

112

=-++

k k ，解得2-=k 或0（舍去）．故选B . 5、C 提示：球O 的半径3)33()22(12

1

22=++=R ，在O B C ?中3==OC OB ，33==AD BC ，则21cos -=∠BOC ，从而32π

=∠BOC ．

所以，经过C B 、两点的球面距离是ππ23

1

32=??．故选C ．

6、 B 提示：因为m x x f +='2)(，故m f +='4)2(．于是过))2(,2(f 的切线方程

是：)2)(4()25(-+=+-x m m y ，即3)4(-+=x m y ，因此切线方程恒过)3,0(-．故选B ．

7、D 提示：由题设知∠OP A 2=90°，设P (x,y )(x >0)，以OA 2为直径的圆方程为

4)2(222a y a x =+-，与椭圆方程联立得0)1(2222=+--b ax x a

b ．由题设知，要求此方程

在(0, a )上有实根．由此得a a

b a <-<

)

1(2022

化简得212>

e ，所以e 的取值范围为)1,2

2

(．故

选D ．

8、C 提示：设动点)3,(x x P -与)3,(y

y Q ，则2

),(PQ y x F =，点P 的轨迹为直线

3x y -=，点Q 的轨迹为双曲线x y 3=，双曲线上的任一点)3

,(0

0x x 到直线03=+y x 的距

离

10

610

3

30

0≥

?+=

x x d ， 当30±=x 时等号成立．故),(y x F 的最小值为

5

18

．故选C ． 9、0 提示：由条件知0)0(=f ，)()()1(x f x f x f -=-=+，于是)()2(x f x f =+，

即)(x f 是以2为周期的周期函数．所以，0)0()2010

(==f f ．故填0． 10、4 提示：由6|1|2|1|3≤-++y x 确定的图形是以四边形ABCD 及其内部，其中

)4,1(-A 、)1,1(B 、)2,1(--C 、)1,3(-D ．由线性规划知识知，y x 32-的最大值是4，

当2,1-=-=y x 时可取到．故填4．

11、2

1

-

提示：由条件知当2≥n 时， )2

1)(()21(12

--=-=-n n n n n n S S S S a S ，

从而

21

11

=--n n S S ，于是 12)1(2111

-=-+=n n S S n ， 所以1

21

-=

n S n ．于是 )

32)(12(2

3211211---=---=

-=-n n n n S S a n n n . 所以，

n n a n 2

lim ∞→21

)

32)(12(2

lim )32)(12(2lim 2

-=---=---=∞

→∞→n

n n n n n n ．

故填2

1

-

． 12、224 提示：先找出满足条件的单元素和二元素的集合有：}4{1=A ，}7,1{2=A ，

}6,2{3=A ，}5,3{4=A ，将这四个集合中的元素任意组合起来也满足要求，则所有符合条

件的集合A 中元素的总和是 ：2242)8884(3=?+++．故填224．.

13、（I ）)sin (cos 2

2

32cos 4)cos (sin 2)cos (sin 22)(x x x x x x x x f +---++=

x x 2cos 4cos 22--=， )(2cos 4cos 22)2cos(4)cos(22)(x f x x x x x f =--=----=-. 所以，)(x f 为偶函数． （II ）)1cos 2(4cos 22)(2---=x x x f 4cos 22cos 82

+--=x x 4

17

)82(cos 82++-=x . 因为 ],2

[

ππ

∈x ，故0cos 1≤≤-x ，所以，当0cos =x 时，)(x f 有最小值4；

当8

2

cos -

=x 时，)(x f 有最大值417．

14、（I ）由条件知)0,1(F ，设),(11y x A 、),(22y x B 、),(33y x C 、),(44y x D ，不妨

设01>y ．直线AB 的方程为)1(1-=x k y ，与x y 42=联立得0441

2=--y k y ，所以

421-=y y ，121=x x ．

① 当41=x 时，则)4,4(A ，故14

1

2-=-=

y y ，412=x ，即)1,41(-B ．直线AM 的

方程为4=x ，从而)4,4(-C ；直线BM 的方程为：)4(15

4

-=

x y ，与x y 42=联立得016152=--y y ，得164=y ，644=x ，即)16,64(D ．

于是341=

k ，31

464)4(162=---=

k ．所以．42

1=k k ． ② 当41≠x 时，直线AM 方程为)4(4

11--=

x x y y 与抛物线方程x y 42

=. 联立得21221)4(4)4(-=-x x x y ，又由1214x y =，化简上述方程得016)16(12121=++-x x x x x . 此方程

有一根为x 1，所以另一根1

316x x =，1316y y -=

．即)16,16(11y x C -，同理，)16,16(22y x D -．所

以

1121221211

212241

161616

16k x x y y y y x x x x y y k =--?-=-+-

=，

即

421=k k ．由①、②可知42

1=k k

． （II ） 43

431tan 2

1

12121≤+=+-=

k k k k k k θ，故43arctan ≤θ．所以，直线AB 与直线CD 夹角θ的取值范围是]4

3

arctan

,0(． 15、（I ）因为123)(2--='mx x x f ，01242

>+=?m ，所以0)(='x f 有两个不等

实根：3321+-=m m x ，3

322++=m m x ，显然21x x <．

当21x x x <<时，0)(<'x f ，即)(x f 单调递减； 当2x x >或1x x <时，0)(>'x f ，即)(x f 单调递增；

综上所述，有)(x f 的单调递减区间为：33[2+-m m ，]33

2++m m ；单调递增区

间为：)33,(2+--∞m m 、),3

3

(2+∞++m m ．

（II ）由条件有：4

7||1232

-

≥--x mx x . ①当0>x 时，043)12(32

≥+

+-x m x ，即12433+≥+m x

x 在0>x 时恒成立. 因为343

32433=?≥+

x

x x x ，当21=x 时等号成立．所以123+≥m ，即1≤m .

②当0

≥+

-+x m x ，即m x x 21|

|43||3-≥+在0

|43

||32||43||3=?≥+x x x x ，当21-=x 时等号成立．所以m 213-≥，

即1-≥m .

③当0=x 时，R m ∈．

综上所述，实数m 的取值范围是]1,1[-． 16、（I ）当1=n 时，有4)1(11+-=-ba a b ，故41=a ． 当2≥n 时，

n n n ba S b 4)1(+-=-

及

1114)1(---+-=-n n n ba S b .

于是

1143)()1(--?+--=-n n n n a a b a b ，

即1143--?+=n n n ba a

① 若4=b ，则

434411+=--n n n n a a ，于是)1(43

44

1-+=n a a n

n . 从而 14)13(-?+=n n n a )2(≥n ，所以，14)13(-?+=n n n a )1(≥n .

② 若4≠b ，则

)443

(44311--?-+=?-+

n n n n b a b b a 于是

11)443

(443-?-+=?-+

n n n n b b a b a 从而

n n n b b b a 443

)4124(1?---+

=- )2(≥n 所以，

n n n b b b a 44

3

)4124(1?---+

=- )1(≥n 综上所述，??

?

??≠?---+=?+=--)

4(443)4124()4(4)13(11

b b b b b n a n

n n n

（II ）若4=b 时，4

1

3+=n c n ，显然不满足条件，故4≠b ． 当4≠b 时，4

3

)4()4()1(4--?--=

b b b b b

c n n ．

若4>b 时，

0)

4()

1(4>--b b b ，故当+∞→n 时，+∞→n c ，不符合条件，舍去．

①若10<

0)

4()

1(4>--b b b ，

043>--b ，故从而n c 为单调递减数列，且0>n c ．所以，只须214

1

1≤==

a c 即可，显然成立．故10<<

b 符合条件； ②若1=b 时，1=n

c ，显然也满足条件．故1=b 符合条件； ③若41<

0)

4()

1(4<--b b b ，043>--

b ，从而n

c 为单调递增数列，因为011>=c ．

故0>n c ，要使2||≤n c 成立，只须243lim ≤--=∞

→b c n n 即可．于是2

5

1≤

5

1≤

5,0(．