第十一届希望杯初二第1试

第十一届“希望杯”数学竞赛初二第一试

一、选择题： 1．

与

的关系是（ ）。

（A ）互为倒数 （B ）互为相反数 （C ）互为负倒数 （D ）相等

2．已知x ≠0，则的值是（ ）。

（A ）0 （B ）-2 （C ）0或-2 （D ）0或2 3．适合|2a ＋7|＋|2a-1|＝8的整数a 的值的个数有（ ）。 （A ）5个 （B ）4个 （C ）3个 （D ）2个

4．如图1，四边形ABCD 中，AB//CD ，∠D ＝2∠B ，若AD ＝a ，AB ＝b ，则CD 的长等于（ ）。 （A ）b-a （B ）b- （C ）

(b-a) （D ）2(b-a)

5．有四条线段，a ＝14，b ＝13，c ＝9，d ＝7，用a 、c 分别作一个梯形的下、上两底，用b 、d 分别作这个梯形的两腰(作出的全等的梯形算一种)，那么这样的梯形（ ）。 （A ）只能作一种 （B ）可以作两种 （C ）可以作无数种 （D ）一种也作不出 6．当1≤x ≤2时，代数式可以化简为（ ）。

（A ）0 （B ）2 （C ）2 （D ）-2

7．已知＝a, ＝b ，则用a 、b 表示为（ ）。 （A ）

（B ）

（C ）

（D ）

8．互不相等的三个正数a 、b 、c 恰为一个三角形的三条边长，则以下列三个数为长度的线 段一定能作成三角形的是（ ）。 （A ）, ,

（B ）a 2, b 2, c 2 （C ）

, ,

（D ）|a-b|, |b-c|, |c-a|

9．在一个凸八边形中，每三个顶点形成三个角(如又A 、B 、C 三个顶点形成∠ABC 、∠BAC 、 ∠ACB)，一共可以作出168个角，那么这些角中最小的一个一定（ ）。 （A ）小于或等于20° （B ）小于或等于22.5° （C ）小于或等于25° （D ）小于或等于27.5° 10．设a 、b 、c 均为正数，若

，则a 、b 、c 三个数的大小关系是（ ）。

（A ）c

二、A 组填空题:

11．分解因式a 3b ＋ab ＋30b 的结果是 。

图1D

C

B

A

12．若实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，则-|b-a|＋|b＋c|等

于。

13．已知分式的值是-，那么x的值应是。

14．如图3，∠1＝27.5°,∠2＝95°, ∠3＝38.5°,则∠4的大小是。

图3

4

3 2

1

F

E D C

B

A

图4

F

E D

C B

A

图5

15．设A1A2A3……A n是一个有n个顶点的凸多边形，对每一个顶点A i(i＝1, 2, 3, ……, n)，将构成该角的两边分别向外延长至A i1, A i2, 连接A i1A i2得到两个角∠A i1, ∠A i2，那么所有这些新得到的角的度数的和是。

16．如图4，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝7，过顶点A作∠BAD的平分线交BC于E，过E作EF⊥ED交AB于F，则EF的长等于。

17．如图5，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，BC＝2，D是AC的中点，过D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连接DF，则DF的长等

于。

18．某次数学竞赛第一试有试题25道，阅卷规定：每答对一题得4分，每答错(包括未答)一题扣除一分，若得分不底于60分的同学可以参加二试，那么参加二试的同学在一试中至少需答对的题数是。

19．若510510的所有质因数按照从小到大的顺序排列为a1, a2, a3, ……, a k(k是最大的质因数的序号)，则(a1-a2)(a2-a3)(a3-a4)……(a k-1-a k)的值是。20．两个七进制整数454与5的商的七进制表示为。

三、B组填空题：

21．已知a＋＝，则a5＋的值等于或。

22．一项工程，甲单独完成需要a天，乙单独完成需要b天，a、b都是自然数，现在乙先工作3天后，甲、乙再共同工作1天恰好完工，则a＋b的值等于或。23．一个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和恰为500°，那么这个多边形的边数是或。

24．小张以两种形式储蓄了500元，第一种储蓄的年利率为3.7%，第二种储蓄的年利率为2.25%，一年后得到利息为15.6元，那么小张以这两种形式储蓄的钱数分别是

或。

25．若a为整数，且分式-的值是正整数，则a的值等于或。

参考答案

一、选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B A D C D C B A 二、A组填空题

题号11 12 13 14 15 16 答案b(a＋3)(a2-3a＋10) -a-2c 19°360° 5

题号17 18 19 20

答案

17 128 65

2

三、B组填空题

题号21 22 23 24 25

9, 10 4, 5 300, 200 -1, 1

答案

,

【详解】

1、

2、

3、解：由此可得2a为-6，-4，-2，0的时候a取得整数，共四个值．

故选B．

4、解：延长AD，BC相交于E．

因为CD∥AB，∴∠ABC=∠DCE．

∵∠ADC=∠AEB+∠ECD=2∠ABC=2∠ECD，

∴∠ECD=∠AEB=∠ABC．

∴CD=DE=AE-AD=AB-AD=a-b．

故选A．

5、解：∵a-c=14-9=5．

（a-c）+d＜b

∴以b，d，a-c为边的三角形不存在．

∴这个梯形不存在．

故选D．

6、1<=x<=2

所以,0≤x-1≤1

0≤√(x-1)≤1

√(x+2√x-1) - √(x-2√x-1)

=√((x-1)+2√x-1 +1)- √((x-1)-2√x-1+1)

=√(√(x-1)+1)^2-√(√(x-1)-1)^2

=|√(x-1)+1|-|√(x-1)-1|

=(√(x-1)+1)-(1-√(x-1))

=2√(x-1)

7、

8、

9、解：因为凸八边形内角和（8-2）×180°=1080°，即正凸八边形每个内角为1080°÷8=135°，

所以凸八边形最小内角小于等于135°．

设最小内角的顶点为A，连接点A与所有和A不相邻的点，可以把角A分为6个角，

因为135°÷6=22.5°，

所以其中最小的一个角一定小于或等于22.5°．

故选B．

10、

11、

12、

13、

14、解：根据题意可知∠5=∠180°-（∠2+∠3）=180°-（95°+38.5°）=46.5°，

又∵∠5=∠1+∠4，

∴∠4=∠5-∠1=46.5°-27.5°=19°

15、解：n个顶点的凸多边形内角和等于：∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=（n-2）?180，

∠A11+∠A12+∠A1=180 （三角形的内角和）．

所以（∠A11+∠A12）+（∠A21+∠A22）+…+（∠An1+∠An2）=180n-180（n-2）=180×2=360．故答案为：360°．

16、解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=4，

∵AE为∠BAD的角平分线，∴∠BAE=45°，

∵∠ABE=90°，

∴△ABE为等腰直角三角形，即AB=BE．

∴BE=CD；

∵∠CDE+∠CED=90°，EF⊥ED，即∠CED+∠BEF=90°，∴∠CDE=∠BEF．

又∵∠B=∠C=90°，

∴△BEF≌△CDE．

∴EF=ED．

∵EC=BC-BE，

17、

18、解：根据题意，设答对的题数为x，

列出不等式：4x-（25-x）≥60

得出x≥17

所以至少答对17道题．

19、

20、解：454（七进制）=4×7×7+5×7+4=235，5=5．235÷5=47，

47÷7=6…5，

故47（十进制）=65（七进制）．

综上454（七进制）÷5=65（七进制）．

故答案为：65．

21、将已知的等式整理成一元二次方程，利用求根公式可以解得a=√3或a=√3/3,再将a的值代入待求的式子，可得值为：82√3/9、82√3/27

22、

23、解：设边数为n，这个内角为x度，则0＜x＜180°根据题意，得

24、解：设第一种储蓄的钱数为x元，第二种为y元，根据题意得：

x+y=500 3.7%x+2.25%y=15.6 ，

解得： x=300 y=200 ，

即第一种储蓄的钱数为300元，第二种储蓄为200元．

故答案为：300元、200元．

25、