特殊平行四边形练习题(答案已做)

特殊平行四边形练习题(答案已做)
特殊平行四边形练习题(答案已做)

特殊平行四边形专题练习

一、基础知识点复习:

(一)矩形:

1、矩形的定义:__________________________的平行四边形叫矩形.

2、矩形的性质:①.矩形的四个角都是______;矩形的对角线__________________________.

②.矩形既是对称图形,又是图形,它有条对称轴.

3、矩形的判定:①.有_____个是直角的四边形是矩形.

②.对角线____________________________的平行四边形是矩形.

③.对角线________________________________的四边形是矩形.

4、练习:①矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠AOD=120°,AB=4cm,

则矩形对角线AC长为______cm.

②.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,能判断它为矩形的题设是()

A.AO=CO,BO=DO B.AO=BO=CO=DO

C.AB=BC,AO=CO D.AO=CO,BO=DO,AC⊥BD

③.四边形ABCD中,AD//BC,则四边形ABCD是 ___________,又对角线AC,BD交于点O,

若∠1=∠2,则四边形ABCD是_______________.

(二)菱形:

1、菱形的定义:有一组_________________________相等的平行四边形叫菱形.

2、菱形的性质:①.菱形的四条边______;菱形的对角线_____________,且每条对角线______________.

②.菱形既是对称图形,又是图形,它有条对称轴.

3、菱形的判定:①.__________________边都相等的四边形菱形.

②.对角线_____________________________的平行四边形是菱形.

③.对角线_____________________________________________的四边形是菱形.

4、菱形的面积与两对角线的关系是________________________

5、练习:①.如图,BD是菱形ABCD的一条对角线,若∠ABD=65°,则∠A=_____.

②.一个菱形的两条对角线分别是6cm,8cm,则这个菱形的周长等于cm,

面积= cm2

③.若菱形的周长为8cm,高为1cm,则菱形两邻角的度数比为

(三)正方形:

1、正方形的定义:的平行四边形叫正方形。

2、正方形的性质:①.正方形的四个角是_____角,四条边_____,对角线_______________________.

②.正方形是______对称图形,又是对称图形,它有______条对称轴.

4.练习:①正方形的面积为4,则它的边长为____,对角线长为_____.

②已知正方形的对角线长是4,则它的边长是 ,面积是 。 ③如图所示,在△ABC 中,AB=AC ,点D ,E ,F 分别是边AB ,BC ,AC 的中点,

连接DE ,EF ,要使四边形ADEF 是正方形,还需增加条件:_______.

二、复习练习: (一)、选择题:

1、矩形ABCD 的长AD=15cm ,宽AB=10cm ,∠ABC 的平分线分AD 边为AE 、ED

两部分,这AE 、ED 的长分别为( )

A .11cm 和4cm

B .10cm 和5cm

C .9cm 和6cm

D .8cm 和7cm

2、四边形ABCD 的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是( ) A .AB=CD B .AD=BC C .AB=BC D .AC=BD

3、如图,在正方形ABCD 的外侧,作等边三角形DCE ,则∠AEB ( ) A. 10° B .15° C .30° D .12.5°

4、如图,在菱形

ABCD 中,E 、F 分别是AD 、BD 的中点,如果EF=2,

那么菱形ABCD 的周长是( ) A. 4 B .8 C .12 D .16 (二)、填空题

5、已知正方形ABCD 对角线AC ,BD 相交于点O ,?且AC=?16cm ,?则DO=?_____cm , ?BO=____cm ,∠OCD=____度.

6、在平面直角坐标系中,四边形ABCD 是菱形,∠ABC=60°, 且点A 的坐标为(0,2),则点B 坐标( ), 点C 坐标为( ),点D 坐标为( )。

7、一平行四边形的一条边长是9,两条对角线长分别是12和 56,它是 形,它的面积是 ,周长是 。

8、如图ABCD 是一块正方形场地,在AB 边上取定了一点E ,量得

A

B

D

E

C

A

B

C

D

E

x

y A B

D

0 C

A D

E

F

(三)解答题:

9、如图,四边形ABCD 是菱形 ,∠ACD=30°,BD=6,求: (1)∠BAD,∠ABC 的度数; (2)边AB 及对角线AC 的长。

10、在Rt △ABC 中,∠ACB=90°CD ⊥AB 于点D ,∠BCD=3∠ACD ,点E 是斜边AB 的中点,求∠ECD 的度数。

11、如图,四边形ABCD 是菱形,对角线AC=8cm ,DB=6cm,DH ⊥AB 于点H ,求DH 的长.

A

B

C

D

E

H

12、如图,矩形ABCD 的对角线相交于点O ,DE ∥AC ,CE ∥BD ,求证:四边形OCED 是菱形。

13、如图:AE ∥BF ,AC 平分∠BAD ,且交BF 于点C ,BD 平分∠ABC ,且交AE 于点D ,连接CD , 求证:四边形ABCD 是菱形

14、如图,E 、F 、M 、N 分别是正方形ABCD 四条边上的点,且AE=BF=CM=DN ,

求证,四边形EFMN 是正方形 。 A

B

C

D

E

O

A

B

C

D

O E

F

A B

C

D

E

F

M N

15、如图,点E 、F 在正方形ABCD 的边BC 、CD 上,AE 、BF 相交于点G ,BE=CF

猜想AE 与BF 的关系并证明。

16、如图,四边形ABCD 是正方形,点G 是BC 上的任意一点,DE ⊥AG 于点E ,BF ∥DE , 且交AG 于点F 。求证:AF=BF+EF

A

B

C

D

E

G F A

B

C

D

E

F

G

三、课下练习

1、在正方形ABCD 中,直线EF 平行于对角线AC ,与边AB 、BC 的交点为E 、F ,在DA 的延长线上取一点G ,使AG=AD ,若EG 与DF 的交点为H ,求证:AH 与正方形的边长相等.

2、若以直角三角形ABC 的边AB 为边,在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ,AF 是BC 边的高,延长FA 使AG=BC ,求证:BG=CD .

_ C

_ D

_ A

_ B

_ G

_ E

_ F

_ H

_ E

_ D

_ B _ C

_ A

_ G

_ F

3、在正方形ABCD 的对角线BD 上,取BE=AB ,若过E 作BD 的垂线EF 交CD 于F ,求证:CF=ED .

4、平行四边形ABCD 中,∠A 、∠D 的平分线相交于E ,AE 、DE 与DC 、AB 延长线交于G 、F ,求证:AD=DG=GF=FA .

_ C

_ D

_ A

_ B

_ E

_ F _ E

_ A

_ D

_

F _ G

_ B _ C

5、在正方形ABCD 的边CD 上任取一点E ,延长BC 到F ,使CF=CE ,求证:BE=DF

6、在正方形ABCD 中,P 是BD 上一点,过P 引PE ⊥BC 交BC 于E ,过P 引PF ⊥CD 于F ,求证:AP ⊥EF .

_ C

_ D

_ A

_ B

_ F

_ E

_ C

_ B

_ A

_ D

_ F

_ P

_ E

_ H

第一章 特殊平行四边形单元测试及答案

第一章特殊平行四边形单元测试 一、选择题 1.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若AB=8,则CD的长是( ) A.6 B.5 C.4 D.3 2.如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若∠OAD=40°,则∠COD=( ) A.20° B.40° C.80° D.100° 3.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,下列说法错误的是( ) A.AB∥DC B.AC=BD C.AC⊥BD D.OA=OC 4.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若OA=2,则BD的长为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 5.如果要证明 ABCD为正方形,那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上,进一步证明( ) A.AB=AD且AC⊥BD B.AB=AD且AC=BD C.∠A=∠B且AC=BD D.AC和BD互相垂直平分 6.菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的边长是( ) A.10 B.8 C.6 D.5 7.在正方形ABCD中,AB=12,对角线AC,BD相交于点O,则△ABO的周长是( ) A.12+12 2 B.2+6 2 C.12+ 2 D.24+6 2 8.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E为AB的中点,且OE=a,则菱形ABCD的周长为( ) A.16a B.12a C.8a D.4a 9.正方形的一条对角线长为4,则这个正方形面积是( ) A.8 B.4 2 C.8 2 D.16 10.下列命题中,错误的是( ) A.平行四边形的对角线互相平分 B.菱形的对角线互相垂直平分 C.矩形的对角线相等且互相垂直平分 D.角平分线上的点到角两边的距离相等 11.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( ) A.AB=BC B.AC=BC C.∠B=60° D.∠ACB=60° 12.如图,E是矩形ABCD中BC边的中点,将△ABE沿AE折叠到△AFE,F在矩形ABCD内部,延长AF交DC于G点,若∠AEB=55°,则∠DAF=( ) A.40° B.35° C.20° D.15° 13.如图,在正方形ABCD外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为( ) A.75° B.60° C.55° D.45° 14.将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD,转动这个四边形,使它形状改变,当∠B=90°时,如图1,测得AC=2,当∠B=60°时,如图2,AC=( ) A. 2 B .2 C. 6 D.2 2 15.如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件, 不能使四边形DBCE成为矩形的是( ) A.AB=BE B.DE⊥DC C.∠ADB=90° D.CE⊥DE 二、填空题 16.如图,菱形ABCD的一条对角线的中点O到AB的距离为2,那么O点到另一边的距离为________.第1题图 第2题图第3题图 第4题图第7题图 第8题图 第11题图第12题图第13题图 第14题图 第15题图 第16题图第17题图

特殊的平行四边形试题及答案

第一章特殊平行四边形检测题 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.下列四边形中,对角线一定不相等的是( D ) A.正方形 B.矩形 C.等腰梯 形 D.直角梯形 3.顺次连接一个四边形的各边中点,得到了一个矩形,则下列四边形中满足条件的是( D ) ①平行四边形;②菱形;③等腰梯形;④对角线互相垂直的四边形. A.①③ B.②③ C.③④ D.②④ 4.已知一矩形的两边长分别为10 cm和15 cm,其中一个内角的平分线分长边为两部分,这两部分的长为( B ) A.6 cm和9 cm B. 5 cm和10 cm C. 4 cm和11 cm D. 7 cm和8 cm 5.如图,在矩形 中, 分别为边 的中点.若

, ,则图中阴影部分的面积为( B ) A.3 B.4 C.6 D.8 第6题图 第5题图 6.如图,在菱形 中, ,∠ ,则对角线 等于(D )

A.20 B.15 C.10 D.5 7.若正方形的对角线长为2 cm,则这个正方形的面积为( B ) A.4 B.2 C. D. 8.矩形、菱形、正方形都具有的性质是( C ) A.每一条对角线平分一组对角 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 A. B. C. D.

(1)(2) 一、填空题(每小题3分,共24分) 11.已知菱形的边长为6,一个内角为60°,则菱形的较短对角线的长是___6______. 13.如图,四边形ABCD是正方形,延长AB到点E,使 ,则∠BCE的度数是22.5° . 14.如图,矩形 的两条对角线交于点 ,过点 作 的垂线 ,分别交 , 于点 ,

平行四边形经典题型

1.平行四边形的性质: ①平行四边形两组对边相等。 ②平行四边形两组对角相等。 ③平行四边形对角线互分平分。 2.平行四边形判定: 定理1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 定理2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 定理3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。 定理4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 3.三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。 4.逆定理1:在三角形内,与三角形的两边相交,平行且等于三角形第三边一半的线段是 三角形的中位线。 逆定理2:在三角形内,经过三角形一边的中点,且与另一边平行的线段,是三角形的中位线。

第四节:中心对称图形 课堂练习 1.下列图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是() A.正三角形 B.平行四边形 C.等腰直角三角形 D.正六边形 2.下列图形中,不是中心对称图形的是() 3.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(). 4.下三图是由三个相同的小正方形拼成的图形,请你再添加一个同样大小的小正方形,使 所得的新图形分别为下列A,B,C题要求的图形,请画出示意图. (1)是中心对称图形,但不是轴对称图形; (2)是轴对称图形,但不是中心对称图形; (3)既是中心对称图形,又是轴对称图形. 第五节:平行四边形的判定 例题讲解 例1:判断下列说法的正误,如果错误请画出反例图 ①一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形。 ( ) ②一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形. ( ) ③一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形.( ) ④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ( ) ⑤两组邻角互补的四边形是平行四边形。( ) ⑥相邻两个角都互补的四边形是平行四边形。 ( ) ⑦对角互补的四边形是平行四边形 ( ) ⑧一条对角线分四边形为两个全等三角形,这个四边形是平行四边形 ( ) ⑨两条对角线相等的四边形是平行四边形 ( )例2:如图所示,平行四边形ABCD中,M、N分别为AD、BC的中点,连结AN、DN、BM、CM,且AN、BM交于点P,CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗为什么

特殊的平行四边形培优测试

1.下列说法正确的有() ①对角线互相平分的四边形是平行四边形②对角线相等的四边形是矩形 ③对角线互相垂直的四边形是菱形④对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形⑤对角线相等的平行四边形是矩形 2.若一个多边形的内角和等于720,则这个多边形的边数是() 3.四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,设有下列条件:①AB=AD;②∠DAB=900;③AO=CO,BO=DO;④矩形ABCD;⑤菱形ABCD,⑥正方形ABCD,则在下列推理不成立的是 ( ) A、①④?⑥ B、①③?⑤ C、①②?⑥ D、②③?④ 4.已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm,则菱形的面积为() 5.菱形的周长为8cm,高为1cm,则菱形两邻角度数比为() 6.如图边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′,两图叠成一个“蝶形风筝”(如图所示阴影部分),则这个风筝的面积是()。 7.如图,菱形OABC的一边OA在x轴上,将菱形OABC绕原点 O顺时针旋转75°至OA’B’C’的位置.若OB=C=120°,则点B’的坐标为 . 8.如图,点P是矩形ABCD的边AD的一个动点,矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4,那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是. 6题图7题图8题图 9.如图,E为正方形ABCD的边AB上的一点,AE=3,BE=1,P为AC上的动点,则PB+PE的最小值为_________. 10.如图:菱形ABCD中,AB=2,∠B=120°,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值是_________ . 11.如图,菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,M、N分别是BC、CD的中点,P是线段BD上的一个动点,则PM+PN 的最小值是.

初三中考数学专题复习特殊平行四边形综合练习题含答案

初三中考数学专题复习特殊平行四边形综合练 习题含答案 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]

1. 若平行四边形对角线的平方和等于它一边平方的四倍,则该平行四边形一定为() A.矩形.B.菱形.C.矩形和菱形.D.正方形.2. 如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若AB=8,则CD的长是() A.6 B.5 C.4 D.3 3. 将一张矩形纸对折再对折(如图),然后沿着图中的虚线剪下,得到①、 ②两部分,将①展开后得到的平面图形是() A.矩形 B.三角形 C.正方形 D.菱形 4. 菱形ABCD中,若:2:1 A B ∠∠=,CAD ∠的平分线AE与边CD间的关系是() A.相等 B.互相平分但不垂直 C.互相垂直但不平分 D.垂直平分5. 矩形ABCD的长为5,宽为3,点E 、F将AC三等分,则△BEF的面积为(). A.355 .. 232 B C D.5 6. 一个矩形和一个平行四边形的边分别相等,若矩形面积为这个平行四边形的面积的2倍,则平行四边形的锐角的度数为(). A.15° B.30° C.45° D.60°

7. 正方形一边上任一点到这个正方形两条对角线的距离之和等于对角线长的 (). A.1 3 B.1 2 C.1 4 D.2倍 8. E为正方形ABCD的BC延长线上一点,且CE=AC,AE交CD于F,则∠ACE=(). A.° B.125° C.135° D.150° 9. 在ABCD中,AB=3,BC=4,当ABCD的面积最大时,下列结论正确的有() ①AC=5 ②∠A+∠C=180 °③AC⊥BD④AC=BD A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 10. 如图,正方形ABCD的面积为4,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD 内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为() A.2 B.3 C.2 3 11. 正方形ABCD中,M为AD上一点,ME⊥BD于E,MF⊥AC于F,若ME+MF= 8cm,则AC=_____. 12. 若矩形两邻边之比为3:4,周长为28cm,则它的边长为_____________. 13. 在矩形ABCD中,AB=2BC,E是AB上一点,且CE=AB,连结DE,则 ∠ADE=_________ 14. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,则菱形的高为_______. D C A

北师大新版九年级数学特殊平行四边形题型归纳

九上 第一单元: 1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )。 A.对角线互相垂直B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角相等 2.在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6,若过点A作于E,则AE=()BCAE? A.4 B.5 C.4.8 D.2.4 3.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论不正确的是() A.当AC=BD时,它是菱形B.当AC⊥BD时,它是菱形 D.当AB=BC时,它是菱形C.当∠ABC=90°时,它是矩形 4、下列说法中,错误的是() A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B.两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C.四个角都相等的四边形是矩形 D.邻边相等的平行四边形是正方形 5.(兰州中考)下列命题中正确的是() A.有一组邻边相等的四边形是菱形 B.有一个角是直角的平行四边形是矩形 C.对角线垂直的平行四边形是正方形 D.一组对边平行的四边形是平行四边形 6.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为() A.45??75.D?60.C?55.B 第题图2 的、如图,四边形7ABCDCD的平行线交BD是菱形,作A过点 1 / 6 延长线于点E, 则下列式子不成立的是( ) A.DA=DE B.BD=CE C.∠EAC=90°D.∠ABC=2∠E 8.

将四根长度相等的细木条,转首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD动这个四边形,使AC=2.当 它形状改90变.当∠B=°时,如图①,测得∠B=60°时,如图②,AC=() 第5题图 DCB2. . . A. 6222)AC=6对角线,若过点A作于E,则AE=(9.在菱形ABCD中,AB=5,BC AE A.4 B.5 C.4.8 D.2.4 为矩形,四EFGHABCD中,E、F、G、H分别是四条边的中点,要使四边形10.在四边形ABCD 应具备的条件是()边形A.一组对边平行而另一组对边不平行.对角线相等B .对 角线互相平分 D B.C.对角线互相垂直 菱形具有而平行四边形不具有的性质是11. .对角线互相垂直D.对边平行且相等360 A.内角和是°B.对角相等 C CDF,的垂直平分线交对角线,∠BAD=12.如图:菱形ABCD80,ABAC于FE 的度 0为垂足,则∠ 数为C60B 80.A°.°.D 50°.40°2 / 6 第10 题图如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于2015?青岛) O点,E,F分别 13.( 是AB,BC边上的中点,连接EF.若EF=,BD=4,则菱形ABCD的周长为()

特殊的平行四边形测试y

特殊的平行四边形测试题 1.已知:AD ∥BC ,要使四边形ABCD 为平行四边形,需要增加条件是___________________. 2.若四边形ABCD 为平行四边形,请补充条件 使得四边形ABCD 为菱形. 3.如图1,矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,∠AOB =2∠BOC , 若对角线 AC =6cm ,则周长= ,面积= 。 4.如图2,菱形ABCD 的边长为8cm ,∠BAD =120°,则AC= ,BD= , 面积= 。 5.如图3,菱形ABCD 的对角线的长分别为2和5,P 是对角线AC 上任一点(点P 不与点A 、C 重 合)且PE ∥BC 交AB 于E ,PF ∥CD 交AD 于F ,则阴影部分的面积是 图1 图2 图3 6. 已知:如图3,O 是矩形ABCD 对角线的交点,AE 平分∠BAD ,∠AOD=120°,∠AEO . 7. 如图4,四边形ABCD 是菱形. 对角线AC=8㎝,DB=6㎝,DH ⊥AB 与H. DH= 。 8.如图5,菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,OE DC ∥交BC 于点E ,若8AD cm ,则OE 的长为 cm . 图3 图4 9.已知如图,菱形ABCD 中,∠ADC =120°,AC =123㎝, (1)求BD 的长;(2)求菱形ABCD 的面积, (3)写出A 、B 、C 、D 的坐标. B A D C O A B C D A B D C O H 图5 A B D E A B C O D

10.如图,矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ,过点D 作DP ∥OC ,且 DP =OC ,连结CP ,试判断四边形CODP 的形状.并证明。 如果题目中的矩形变为菱形(图一),结论应变为什么? 如果题目中的矩形变为正方形(图二),结论又应变为什么? 10.以△ABC 的边AB 、AC 为边作等边△ABD 和 等边△ ACE ,四边形ADFE 是平行四边形. ① 当∠BAC 等于 时, 四边形ADFE 是矩形; ② 当∠BAC 等于 时, 平行四边形ADFE 不存在; ③ 当△ABC 分别满足什么条件时,平行四边形ADFE 是菱形、正方形. A O D P B C P C D O B A 图二 B C A E F D A B D C O P 图一

北师大版九年级第一章 特殊平行四边形 单元检测题(含答案)

第一章特殊平行四边形检测题 (本检测题满分:120分,时间:120分钟) 一、选择题(每小题3分,共30分) 1. (2015?江苏连云港中考)已知四边形ABCD,下列说法正确的是( ) A.当AD=BC,AB∥DC时,四边形ABCD是平行四边形 B.当AD=BC,AB=DC时,四边形ABCD是平行四边形 C.当AC=BD,AC平分BD时,四边形ABCD是矩形 D.当AC=BD,AC⊥BD时,四边形ABCD是正方形 2.(2015·贵州安顺中考)如图,点O是矩形ABCD的中心,E是AB上的点,折叠后,点B 恰好与点O重合,若BC=3,则折痕CE的长为() 第2题图 A.2 B. C. D.6 3.从菱形的钝角顶点向对角的两条边作垂线,垂足恰好是该边的中点,则菱形的内角中钝角的度数是() A.150° B. 135° C. 120° D. 100° 4.已知一矩形的两边长分别为10 cm和15 cm,其中一个内角的平分线分长边为两部分,这两部分的长为() A.6 cm和9 cm B. 5 cm和10 cm C. 4 cm和11 cm D. 7 cm和8 cm 5.如图,在矩形中,分别为边的中点.若, ,则图中阴影部分的面积为() A.3 B.4 C.6 D.8 6.如图,在菱形中,,∠,则对角线等于() A.20 B.15 C.10 D.5 7.若正方形的对角线长为2 cm,则这个正方形的面积为() A.4 B.2 C. D. 第5题图第6题图

8.矩形、菱形、正方形都具有的性质是( ) A.每一条对角线平分一组对角 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 9.如图,将一个长为 ,宽为 的矩形纸片先按照从左向右对折,再按照从下向上 的方向对折,沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下(如图(1)),再打开,得到如图(2)所示的小菱形的面积为( ) A. B. C. D. D C B A (1) (2) 10.如图是一张矩形纸片, ,若将纸片沿折叠,使落在上,点的 对应点为点,若,则 ( ) A. B. C. D. 二、 填空题(每小题3分,共24分) 11.已知菱形的边长为6,一个内角为60°,则菱形的较短对角线的长是_________. 12.如图,在菱形ABCD 中,∠B =60°,点E ,F 分别从点B ,D 同时以同样的速度沿边BC ,DC 向点C 运动.给出以下四个结论: ① ; ② ∠ ∠ ; ③ 当点E ,F 分别为边BC ,DC 的中点时,△AEF 是等边三角形; ④ 当点E ,F 分别为边BC ,DC 的中点时,△AEF 的面积最大. 上述正确结论的序号有 . 第12题图 F E D C B A 第13题图 E D C B A 第14题图 第9题图 第10题图

特殊的平行四边形专题(题型详细分类)精编版

特殊的平行四边形讲义 知识点归纳 矩形,菱形和正方形之间的联系如下表所示: 矩形 菱形 正方形 性 质 边 对边平行且相等 对边平行,四边相等 对边平行,四边相等 角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 对角线 互相平分且相等 互相垂直平分,且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 判定 ·有三个角是直角; ·是平行四边形且有一个角是直角; ·是平行四边形且两条对角线相等. ·四边相等的四边形; ·是平行四边形且有一组 邻边相等; ·是平行四边形且两条对 角线互相垂直。 ·是矩形,且有一组邻边相等; ·是菱形,且有一个角是直角。 对称性 既是轴对称图形,又是中心对称图形

专题一:特殊四边形的判定 【知识点】 1.平行四边形的判定方法: (1)______________ (2)______________ (3)______________ (4)______________ (5)______________ 2.矩形的判定方法: (1)______________ (2)______________ (3)______________ 3.菱形的判定方法: (1)______________ (2)______________ (3)______________ 4.正方形的判定方法: (1)______________ (2)______________ (3)______________ 5.等腰梯形的判定方法: (1)______________ (2)______________ (3)______________ 【练一练】 一.选择题 1.能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是(). A.AB∥CD,AD=BC B.∠A=∠B,∠C=∠D C.AB=CD,AD=BC D.AB=AD,CB=CD 2.具备下列条件的四边形中,不能确定是平行四边形的为(). A.相邻的角互补 B.两组对角分别相等 C.一组对边平行,另一组对边相等 D.对角线交点是两对角线中点 3.下列条件中,能判定四边形是平行四边形的条件是( ) A.一组对边平行,另一组对边相等 B.一组对边平行,一组对角相等 C.一组对边平行,一组邻角互补 D.一组对边相等,一组邻角相等 4.如下左图所示,四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,下列判断正确的是(). A.若AO=OC,则ABCD是平行四边形; B.若AC=BD,则ABCD是平行四边形; C.若AO=BO,CO=DO,则ABCD是平行四边形; D.若AO=OC,BO=OD,则ABCD是平行四边形 5.不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是() A.AB=CD,AD=BC B.AB∥CD,AB=CD C.AB=CD,AD∥BC D.AB∥CD,AD∥BC 6.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,能判断它为矩形的题设是() A.AO=CO,BO=DO B.AO=BO=CO=DO C.AB=BC,AO=CO D.AO=CO,BO=DO,AC⊥BD 7.四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是() A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD 8.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列条件能判定这个四边形是正方形的是() A、AC=BD,AB∥CD,AB=CD B、AD∥BC,∠A=∠C C、AO=BO=CO=DO,AC⊥BD D、AC=CO,BO=DO,AB=BC

八年级数学特殊的平行四边形测试题

八年级数学特殊的平行四边形测试题 考试时间:100分钟,满分:120分 一、填空题(每题3分,共30分) 1.用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法 是 。 2.如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等,那么这个正方形的边长为______cm . 3.已知菱形两条对角线的长分别为5cm 和8cm ,则这个菱形的面积是 cm 2. 4.如图1,DE ∥BC ,DF ∥AC ,EF ∥AB ,图中共有_______个平行四边形. 5若四边形ABCD 是平行四边形,请补充条件 (写一个即可),使四边形ABCD 是菱形. 6.如图2,在平行四边形ABCD 中,已知对角线AC 和BD 相交于点O ,△ABO 的周长为17,AB =6,那么对角线AC +BD = ⒎以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE ,则∠AED 的度数 为 。 8.如图3,延长正方形ABCD 的边AB 到E ,使BE =AC ,则∠E = ° 9.已知菱形ABCD 的边长为6,∠A =60°,如果点P 是菱形内一 点,且PB =PD =2那么AP 的长为 . 10.在平面直角坐标系中,点A 、B 、C 的坐标分别是A(-2,5), B(-3,-1),C(1,-1),在第一象限内找一点D ,使四边形 ABCD 是平行四边形,那么点D 的坐标是 . 二、选择题(每题3分,共30分) 11.如图4在平行四边形ABCD 中,∠B=110°,延长AD 至F ,延 长CD 至E ,连结EF ,则∠E +∠F =( ) A .110° B .30° C .50° D .70° 12.菱形具有而矩形不具有的性质是 ( ) A .对角相等 B .四边相等 C .对角线互相平分 D .四角相等 13.如图5,平行四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O , 点E 是BC 的中点.若OE=3 cm ,则AB 的长为 ( ) A .3 cm B .6 cm C .9 cm D .12 cm 14.已知:如图6,在矩形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别为边 AB 、BC 、CD 、DA 的中点.若AB =2,AD =4, 则图中阴影部分的面积为 ( ) A .8 B .6 C .4 D .3 15.将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形:①平行四边形(不包括菱形、矩形、正方形)②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形 ( ) A .①③⑤ B .②③⑤ C .①②③ D .①③④⑤ 16.如图7是一块电脑主板的示意图,每一转角处都是 直角,数据如图所示(单位:mm),则该主板的周长 是 ( ) A .88 mm B .96 mm C .80 mm D .84 mm 17、下列汽车标志中,是中心对称图形但不是轴对称图形的有( )个。 (A )2 (B )3 (C )4 (D )5 18、小明将下列 4张牌中的3张旋转180°后得到, 没有动的牌是( )。 (A )2 (B )4 (C )6 (D )8 19、四边形ABCD ,仅从下列条件中任取两个加以组合,使得ABCD 是平行四边形, 一共有多少种不同的组合?( ) AB ∥CD BC ∥AD AB=CD BC=AD (A )2组 (B )3组 (C )4组 (D )6组 20、下列说法错误的是( ) (A )一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形。 (B ) 每组邻边都相等的四边形是菱形。 (C ) 对角线互相垂直的平行四边形是正方形。 (D )四个角都相等的四边形是矩形。 三、阅读理解题(每空2分,共8分) 21、如图8,在四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分 别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点,阅读下列材料, ⑴连结AC 、BD ,由三角形中位线的性质定理可证四边形 EFGH 是 。 ⑵对角线AC 、BD 满足条件 时,四边形 EFGH 是矩形。 (1) (3) (2) (7) (8) (4) (5) (6) A E F D C B H G 回答问题:

第一章特殊平行四边形检测题

第一早《特殊平仃四边形》检测题 一、选择题(每小题3分,共27分) 1.从菱形的钝角顶点向对角的两条边作垂线,垂足恰好是该边的中点,贝U 菱形的内角中 钝角的度数是( 2.顺次连接一个四边形的各边中点,得到了一个矩形,则下列四边形中满足条件的是: ① 平行四边形:②菱形;③矩形;④对角线互相垂直的四边形.( ) 3.已知一矩形的两边长分别为10 cm 和15 cm,其中一个内角的平分线分长边为两部分, 这两部分的长为( ) 则图中阴影部分的面积为( 7.矩形、菱形、正方形都具有的性质是( A.每一条对角线平分一组对角 B.对角线相等 8.如图,将一个长为iO 口口,宽为S cm 的矩形纸片先按照从左向右对折, 再按照从下向 上的方向对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下(如图( 1)),再 打开,得到如图(2)所示的小菱形的面积为( B. 20 C 宦 C. 4" cni" A.150 ° B. 135 C. 120 ° D. 100 ° A.①③ B.②③ C.③④ D.②④ A.6 cm 和 9 cm B. 5 cm 和 10 cm C. 4 cm 和 11 cm D. 7 cm 和 8 cm 4.如图,在矩形A 肚D 中,匚几 G H 分别为边AS. DA. CD ?,班的中点.若45 = 2 =4 , A.3 C.6 5.如图,在菱形磁D 中,= = 3,则对角线」〔等于( ) A.20 B.15 C.10 D.5 6.若正方形的对角线长为2 cm , 则这个正方形的面积为( B.2 口口卫 C.住 cm- D. C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 D. 30 cini" C C D D.8 第5题图

特殊平行四边形综合练习题

特殊平行四边形综合练习题 考点综述: 特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形,它们是四边形的必考内容之一,主要出现的题型多样,注重考查学生的基础证明和计算能力,以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括:矩形、菱形、正方形的性质与判定,以及相关计算,了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系,掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。 典型例题: 例1:(2007义乌)在下列命题中,正确的是( ) A .一组对边平行的四边形是平行四边形 B .有一个角是直角的四边形是矩形 C .有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D .对角线互相垂直平分的四边形是正方形 例2:(2007大连)如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,若OA =2,则BD 的长为( )。 A .4 B .3 C .2 D .1 例3:(2008台州)如图,在菱形ABCD 中,对角线AC BD ,相交于点O E ,为AB 的中点,且OE a =,则菱形ABCD 的周长为( ) A .16a B .12a C .8a D .4a 例4:(2008青岛)已知:如图,在正方形ABCD 中,G 是CD 上一点,延长BC 到E ,使CE CG =,连接BG 并延长交DE 于F . (1)求证:BCG DCE △≌△; (2)将DCE △绕点D 顺时针旋转90o 得到DAE '△,判断四边形E BGD '是什么特殊四边形?并说明理由. 实战演练: 1.(2007滨州)对角线互相垂直平分的四边形是( ) A B C D E F E ' G

A .平行四边形、菱形 B .矩形、菱形 C .矩形、正方形 D .菱形、正方形 2.(2008常州)顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是( ) A .等腰梯形 B .正方形 C .平行四边形 D .矩形 3.(2008扬州)如图,已知四边形ABCD 是平行四边形,下列结论中不正确的是( ) A .当AB=BC 时,它是菱形 B .当AC ⊥BD 时,它是菱形 C .当∠ABC=900时,它是矩形 D .当AC=BD 时,它是正方形 4.(2007连云港)如图,在ABC △中,点E D F ,,分别在边 AB ,BC ,CA 上,且DE CA ∥,DF BA ∥.下列四个判断中,不正确...的是( ) A .四边形AEDF 是平行四边形 B .如果90BA C ∠=o ,那么四边形AEDF 是矩形 C .如果A D 平分BAC ∠,那么四边形AEDF 是菱形 D .如果AD BC ⊥且AB AC =,那么四边形AEDF 是菱形 5.(2007德州)如图,四边形ABCD 为矩形纸片.把纸片ABCD 折叠,使点B 恰好落在CD 边的中点E 处,折痕为AF .若6CD =,则AF 等于( ) A . B . C . D .8 6.(2008潍坊)如图,矩形ABCD 的周长为20cm ,两条对角线相交于O 点,过点O 作AC 的垂线EF ,分别交AD BC ,于E F ,点,连结CE ,则CDE △的周长为( ) A .5cm B .8cm C .9cm D .10cm 7.(2007泉州)在右图的方格纸中有一个菱形ABCD (A 、B 、C 、D 四点均为格点), 若方格纸中每个最小正方形的边长为1,则该菱形的面积为 8.如图,在矩形ABCD 中,对角线AC BD ,交于点O ,已知120 2.5AOD AB ∠==o ,,则AC 的长为 . D C B A A F C D BE B F C E D A A D A B C D A B C D

特殊平行四边形知识点总结及题型.

新天宇教育授课讲义 授课科目初三上册授课时间(2016.9.11)授课内容特殊的平行四边形 1 基础知识1.基础知识点(概念、公式) 1.菱形 菱形定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. (1)是平行四边形;(2)一组邻边相等. 菱形的性质 性质1菱形的四条边都相等; 性质2 菱形的对角线互相平分,并且每条对角线平分一组对角; 菱形的判定 菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形. 2.矩形 矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形). 矩形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,矩形也是轴对称图形,对称轴是通过对边中点的直线,有两条对称轴; 矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征) 矩形性质1: 矩形的四个角都是直角. 矩形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分. 矩形的判定方法. 矩形判定方法1:对角钱相等的平行四边形是矩形. 矩形判定方法2:有三个角是直角的四边形是矩形. 矩形判定方法3:有一个角是直角的平行四边形是矩形.

矩形判定方法4:对角线相等且互相平分的四边形是矩形. 2.正方形 正方形是在平行四边形的前提下定义的,它包含两层意思: ①有一组邻边相等的平行四边形(菱形 ②有一个角是直角的平行四边形(矩形) 正方形不仅是特殊的平行四边形,并且是特殊的矩形,又是特殊的菱形. 正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,正方形又是轴对称图形,对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线,共有四条对称轴; 因为正方形是平行四边形、矩形,又是菱形,所以它的性质是它们性质的综合,正方形的性质总结如下: 边:对边平行,四边相等; 角:四个角都是直角; 对角线:对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角. 注意:正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是45°;正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形,这是正方形的特殊性质. 正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质. 正方形的判定方法: (1)有一个角是直角的菱形是正方形; (2)有一组邻边相等的矩形是正方形. 注意:1、正方形概念的三个要点: (1)是平行四边形; (2)有一个角是直角; (3)有一组邻边相等. 2、要确定一个四边形是正方形,应先确定它是菱形或是矩形,然后再加上相应的条件,确定是正方形.

人教版八年级数学特殊的平行四边形同步测试题测试题

数学:特殊的平行四边形同步测试题(人教新课标八年级下) 一、填空题(每题3分,共30分) 1.用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是. 2.如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等,那么这个正方形的边长为______cm. 3.(08贵阳市)如图,正方形ABCD的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为cm2. A D B C 4.如图1,DE∥BC,DF∥AC,EF∥AB,图中共有_______个平行四边形. 5.若四边形ABCD是平行四边形,请补充条件 (写一个即可),使四边形ABCD是菱形. 6.在平行四边形ABCD中,已知对角线AC和BD相交于点△O,ABO的周长为17,AB=6,那么对角线AC+BD= ⒎以正方形ABCD的边BC为边做等边△BCE,则∠AED的度数 为. 8.延长正方形ABCD的边AB到E,使BE=AC,则∠E=° 9.已知菱形ABCD的边长为6,∠A=60°,如果点P是菱形内一点,且PB=PD =2,那么AP的长为. 10.在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别是A(-2,5),B(-3,-1),C(1,-1),在第一象限内找一点D,使四边形ABCD是平行四边形,那么点D 的坐标是. 二、选择题(每题3分,共30分) 11.如图4在平行四边形ABCD中,∠B=110°,延长AD至F,延长CD至E,连结EF,则∠E+∠F=() A.110°B.30°C.50°D.70° 12.菱形具有而矩形不具有的性质是() A.对角相等B.四边相等 C.对角线互相平分D.四角相等

(6) 13.平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O, 点E是BC的中点.若OE=3cm,则AB的长为() A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm 14.已知:如图,在矩形ABCD中,E、F、G、H分别为边 AB、BC、CD、DA的中点.若AB=2,AD=4, 则图中阴影部分的面积为() A.8B.6C.4D.3 A H D E G B F C 15.将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形:①平行四边形(不包括菱形、矩形、正方形)②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形() A.①③⑤B.②③⑤C.①②③D.①③④⑤ 16.如图是一块电脑主板的示意图,每一转角处都是 直角,数据如图所示(单位:mm),则该主板的周长 是() A.88mm B.96mm C.80mm D.84mm 17、(08甘肃省白银市)如图,把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合,若∠1=50,则∠AEF=() A.110°B.115° C.120°D.130°

第一章特殊平行四边形单元测试

E D C B A 第一章 特殊平行四边形检测题 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题(每题4分,共32分) 1.下列图形中,不是轴对称图形的是( ) A .平行四边形 B .菱形 C .矩形 D .正方形 2.如图,在矩形 中, 分别为边 的中点.若正方形ABCD 的面积为8,则图中阴影部分的面积为( ) A.3 B.4 C.6 D.8 3.如图,四边形ABCD 中,AC 、BD 相交于O ,下列条件中,能判定这个四边形是正方形的是( ); A. AO = BO = CO = DO ,AC ⊥BD B. AB ∥CD ,AD ∥BC ,AC = BD C. AD ∥BC ,AB ∥CD, AC ⊥BD D. AO = CO ,BO = CO ,AB = BC 4.矩形、菱形、正方形都具有的性质是( ) A.每一条对角线平分一组对角 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 5.菱形的周长为32cm ,一个内角的度数是60°,则两条对角线的长分别是( ) A .8cm 和3.4cm 和3cm C .8cm 和3 D .4cm 和36.若矩形的对角线长为4cm ,一条边长为2cm ,则此矩形的面积为( ) A .3 2 B .32 C .3cm 2 D .8cm 2 7.依次连接菱形各边的中点为顶点,可以组成一个( ) A .平行四边形 B .菱形 C .矩形 D .正方形 8.如图,已知矩形ABCD 中,BD 是对角线,∠ABD=30°,将ΔABD 沿BD 折叠,使点A 落在 E 处,则∠CDE=( ) A .30° B .60° C .45° D .75° 第8题 第2题 第3题 A B C D O

特殊平行四边形测试题及答案

八年级数学下册特殊平行四边形与梯形测试题及答案 、选择题(3分X 10=30 分) 1.正方形具有而菱形不一定具有的特征有( A .对角线互相垂直平分 B .内角和为360 ° C .对角线相等 .对角线平分内角 A . 2.1cm B . 2.2cm C . 2.3cm 6.正方形ABC D 内有一点 巳且^ AB E 为等边三角形,则/ DCE %( 9.下列四边形中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( 2?平行四边形的一边长是 10cm 那么它的两条对角线的长度可能是( A . 8cm 和 12cm B .8cm 和 14cm C . 6cm 和 10cm D . 6cm 和 28cm 3. 一个正方形的对角线长为 2cm,则它的面积是( ) A . 2cn 2 B . 4cm 2 C . 6cm 2 D . 8cm 2 4. 若矩形的一条对角线与一边的夹角是 40 ,?则两条对角线所夹的锐角的度数为( A . 80° B . 60° C . 45° D .40 5?已知菱形的周长为 9.6cm ,两个邻角的比是 1 : 2,这个菱形较短的对角线的长是( D . 2.4cm A . 15° B .18° C . 22.5 ° D . 30 7.如图,在正方形 ABCD 中, CE=MN / BCE=40 , 则/ ANM 等于( A . 70° B .40 &在 Rt △ ABC 中,/ C=Rt /, A . 3 B . 1.5 C 77 D . 9 A .梯形 B .等腰梯形 C .平行四边形 D .矩形 10.如图所示, 矩形 ABCD 中, AB=—AD, E 为BC 上的一点,且 AE=AD 则/ EDC 的度数是 2 (?) A . 30° B . 75° C . 45° D . 15 ) AC=373 , BC=1,

特殊平行四边形单元测试题

九年级上册第一章单元测试卷 松岗中学李卫 一.选择题(共12小题) 1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,以下说法错误的是 () A.∠ABC=90° B.AC=BD C.OA=OB D.OA=AD 2.正方形的一条对角线长为8,则正方形的边长为() A.2 B.4 C. D. 3.在下列命题中,是真命题的是() A.两条对角线相等的四边形是矩形 B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 4.如图,已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,且BP=BC,则∠ACP度数是()

A.45° B.22.5° C.67.5° D.75° 第4题第5 题第6题 5.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示,点C的坐标是(6,0),点A的纵坐标是1,则点B的坐标是() A.(3,1) B.(3,﹣1) C.(1,﹣3) D.(1,3) 6.如图,在菱形ABCD中,AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,则菱形的边长AB等于() A.10 B. C.6 D.5

7.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件: ①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD中选两个作为补充条件,使?ABCD为正方形(如图),现有下列四种选法,你认为其中错误的是() A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 8.矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点M在边CD上,若AM平分∠DMB,则DM的长是() A. B. C. D.

第7题第8 题第9题 9.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,点P在AB上,P E⊥AC于E,PF⊥BD 于F,则PE+PF等于() A. B. C. D. 10.如图,小华剪了两条宽为1的纸条,交叉叠放在一起,且它们较小的交角为60°,则它们重叠部分的面积为() A.1 B.2 C. D.

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