安徽省黄山市屯溪一中2015届高三上学期第四次月考数学(理)试卷
2014-2015学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z满足（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是（）
A．和不为偶数的两个整数都为偶数
B．和为偶数的两个整数都不为偶数
C．和不为偶数的两个整数不都为偶数
D．和为偶数的两个整数不都为偶数
3．已知集合，则集合?R（M∪N）为（）A．{x|x≥1} B．Φ C．{x|x＞﹣3} D．{x|x＞1}
4．“a=1”是“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．由直线x=﹣，y=0与曲线y=sinx所围成的封闭图形的面积为（）
A．B．C．D．1
6．函数y=的图象大致为（）
A．B．
C．D．
7．在△ABC中，D是BC边上的一点，=λ（+）．||=2，|=4，若记=，
=，则用表示所得的结果为（）
A．B．C．D．
8．以S n表示等差数列{a n}的前n项和，若S5＞S6，则下列不等关系不一定成立的是（）A．2a3＞3a4 B．5a5＞a1+6a6
C．a5+a4﹣a3＜0 D．a3+a6+a12＜2a7
9．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）
A．3 B．C．2 D．
10．已知函数，则方程f（2x2+x）=a（a＞2）的根的个数不可能为
（）
A．3 B． 4 C． 5 D． 6
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在答题卡的相应位置．11．在极坐标系中，点到直线2ρcosθ﹣ρsinθ+2=0的距离为．
12．已知平面向量，，且，则向量与的夹角为．
13．设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．
14．把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所
有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式
为．
15．定义全集U的非空子集P的特征函数f p（x）=，这里?U P表示集合P在
全集U的补集．已知A，B均为全集U的非空子集，给出下列命题：
①若A?B，则对于任意x∈U，都有f A（x）≤f B（x）；
②对于任意x∈U，都有f?UA（x）=1﹣f A（x）；
③对于任意x∈U，都有f A∩B（x）=f A（x）?f B（x）；
④对于任意x∈U，都有f A∪B（x）=f A（x）+f B（x）．
则正确命题的序号为．
三．解答题：（本大题共6小题，共75分）
16．已知函数f（x）=2cos（x）（0≤x≤5），点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最
高点和最低点．
（1）求点A、B的坐标以及?的值
（2）设点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，求sin（﹣2β）的值．
17．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，
∠BPC=90°．
（1）若PC=．求PA．
（2）若∠APC=120°，求△ABP的面积S．
18．设公差不为0的等差数列{a n}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b n}满足，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．
19．对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则称函数f（x）为理想函数．
（1）若函数f（x）为理想函数，求f（0）的值；
（2）判断函数g（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；
（3）若函数f（x）为理想函数，假定?x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证f（x0）=x0．
20．现有六名篮球运动员进行传球训练，由甲开始传球（第一次传球是由甲传向其他五名运动员中的一位），若第n次传球后，球传回到甲的不同传球方式的种数记为a n．
（1）求出a1、a2的值，并写出a n与a n﹣1（n≥2）的关系式；
（2）证明数列是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；
（3）当n≥2时，证明：．
21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=+bx（a≠0）
（Ⅰ）若a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设φ（x）=e2x+be x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；（Ⅲ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R 作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N 处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．
2014-2015学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z满足（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考点：复数的基本概念．
专题：数系的扩充和复数．
分析：由复数的除法运算化简复数z，得到对应点的坐标得答案．
解答：解：由，得
=．
∴z在复平面内对应的点的坐标为，是第一象限的点．
故选：A．
点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2．命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是（）
A．和不为偶数的两个整数都为偶数
B．和为偶数的两个整数都不为偶数
C．和不为偶数的两个整数不都为偶数
D．和为偶数的两个整数不都为偶数
考点：命题的否定．
专题：简易逻辑．
分析：直接利用命题的否定写出结果即可．
解答：解：命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是：和为偶数的两个整数不都为偶数．
故选：D．
点评：本题考查命题的否定，注意命题的否定形式以及否定词语的应用．
3．已知集合，则集合?R（M∪N）为（）A．{x|x≥1} B．Φ C．{x|x＞﹣3} D．{x|x＞1}
考点：交、并、补集的混合运算；其他不等式的解法．
专题：计算题．
分析：先利用分式不等式解法化简M，再进行计算，得出结果．
解答：解：M={x|（x+3）（x﹣1）＜0}={x|﹣3＜x＜1}，
M∪N={x|﹣3＜x＜1}∪{x|x≤﹣3}={x|x＜1}，
∴?R（M∪N）={x|x≥1}．
故选A．
点评：本题考查集合的基本运算，要注意对M正确化简，是基础题．
4．“a=1”是“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点：三角函数的周期性及其求法；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：计算题．
分析：化简y=cos2ax﹣sin2ax，利用最小正周期为π，求出a，即可判断选项．
解答：解：函数y=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，它的周期是，a=±1
显然“a=1”可得“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”
后者推不出前者，
故选A．
点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题．
5．由直线x=﹣，y=0与曲线y=sinx所围成的封闭图形的面积为（）
A．B．C．D．1
考点：定积分在求面积中的应用．
专题：导数的概念及应用．
分析：先根据题意画出直线及y=sinx所围成的封闭图形，然后利用定积分表示区域面积，最后转化成等价形式．
解答：解：作出对应的图象如图：
则对应的区域面积S==2=2（﹣cosx）|=2（1﹣cos）
=2×，
故选：D
点评：本题主要考查了利用定积分求面积，同时考查了定积分的等价转化，属于基础题．
6．函数y=的图象大致为（）
A．B．C．
D．
考点：函数的图象．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用函数的奇偶性，对称性和特殊点的特殊值分别进行判断即可．
解答：解：因为，所以函数为奇函数，
图象关于原点对称，所以排除A．
当x=1时，y＞0，所以排除C．
因为，所以当x→+∞时，
y→1，所以排除D．
故选B．
点评：本题主要考查函数图象的识别，要充分利用函数的性质去判断．
7．在△ABC中，D是BC边上的一点，=λ（+）．||=2，|=4，若记=，
=，则用表示所得的结果为（）
A．B．C．D．
考点：平面向量的基本定理及其意义．
专题：平面向量及应用．
分析：B，D，C三点共线，所以根据已知条件对于，能够得到，所以得到，所以=．
解答：解：如图，B，D，C三点共线，存在μ，使；
∴；
∴；
又；
∴；
∴；
∴；
∴=．
故选C．
点评：考查共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，向量的减法．
8．以S n表示等差数列{a n}的前n项和，若S5＞S6，则下列不等关系不一定成立的是（）A．2a3＞3a4 B．5a5＞a1+6a6
C．a5+a4﹣a3＜0 D．a3+a6+a12＜2a7
考点：等差数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：a5＞0，a6＜0，这个数列是递减数列，公差d＜0．由此入手对各个选项逐个进行分析，能求出结果．
解答：解：∵S n表示等差数列{a n}的前n项和，S5＞S6，
∴S6﹣S5=a6＜0，
则2a3＞3a4有可能成立，即A有可能成立；
∵5a5﹣（a1+6a6）
=5（a1+4d）﹣[a1+6（a1+5d）]
=﹣2a1﹣10d
=﹣2a6＞0，
∴5a5＞a1+6a6不成立，即B不成立；
∵a5＞0，a4＞0，a3＞0，
∴a5+a4﹣a3＜0有可能成立，即C是有可能成立；
∵a3+a6+a12﹣2a7=（3a1+18d）﹣（2a1+12d）=a1+6d=a7＜0，
∴a3+a6+a12＜2a7，故D成立．
故选：B．
点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
9．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）
A．3 B．C．2 D．
考点：导数的运算．
专题：综合题；压轴题．
分析：先求导，由f′（0）＞0可得b＞0，因为对于任意实数x都有f（x）≥0，所以结合二次函数的图象可得a＞0且b2﹣4ac≤0，又因为，利用均值不等
式即可求解．
解答：解：∵f'（x）=2ax+b，
∴f'（0）=b＞0；
∵对于任意实数x都有f（x）≥0，
∴a＞0且b2﹣4ac≤0，
∴b2≤4ac，
∴c＞0；
∴，
当a=c时取等号．
故选C．
点评：本题考查了求导公式，二次函数恒成立问题以及均值不等式，综合性较强．
10．已知函数，则方程f（2x2+x）=a（a＞2）的根的个数不可能为
（）
A．3 B．4 C． 5 D． 6
考点：函数与方程的综合运用．
专题：压轴题；数形结合．
分析：先画出y=f（x）与y=2x2+x的图象，结合两个函数图象，利用分类讨论的数学思想讨论f（2x2+x）=a（a＞2）根可能的根数即可．
解答：解：画图，和y=2x2+x图象，
结合两个函数的图象可知
或a＞3，4个根，
，5个根，
，6个根．
故选A．
点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及分类讨论的数学思想，属于难题之列．
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在答题卡的相应位置．
11．在极坐标系中，点到直线2ρcosθ﹣ρsinθ+2=0的距离为．
考点：简单曲线的极坐标方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：点P化为直角坐标P（0，1）．直线2ρcosθ﹣ρsinθ+2=0化为2x﹣y+2=0．再利用点到直线的距离公式即可得出．
解答：解：点P化为直角坐标P（0，1）．
直线2ρcosθ﹣ρsinθ+2=0化为2x﹣y+2=0．
∴点P到直线的距离d==．
故答案为：．
点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．
12．已知平面向量，，且，则向量与的夹角为90°．
考点：数量积表示两个向量的夹角．
专题：计算题．
分析：将两边平方，整理得出=，再根据cos＜，＞
=═求出夹角余弦值，最后求出夹角大小．
解答：解：将两边平方，得，化简整理得
=.=
由向量的夹角公式cos＜，＞===0，所以向量与
的夹角为90°
故答案为：90°
点评：本题考查向量夹角的计算，向量模、向量数量积的运算．属于基础题．
13．设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1
的等差数列，则q的最小值是．
考点：等差数列与等比数列的综合．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用等差数列的通项公式将a6用a2表示，求出a6的最小值进一步求出a7的最小值，利用等比数列的通项求出公比的范围．
解答：解：方法1：∵1=a1≤a2≤…≤a7；a2，a4，a6成公差为1的等差数列，
∴a6=a2+2≥3，
∴a6的最小值为3，
∴a7的最小值也为3，
此时a1=1且a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，必有q＞0，
∴a7=a1q3≥3，
∴q3≥3，q≥，
方法2：
由题意知1=a1≤a2≤…≤a7；中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，得，所以，即q3﹣2≥1，
所以q3≥3，解得q≥，
故q的最小值是：．
故答案为：．
点评：解决等差数列、等比数列的综合问题一般利用通项公式、前n项和公式列出方程组，解方程组求解．即基本量法．
14．把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式为y=sin （x+）．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
解答：解：把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得y=sin （x+）的图象；
再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=sin（x+）的图象；
故得到的图象所表示的函数解析式为y=sin（x+），
故答案为：y=sin（x+）．
点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
15．定义全集U的非空子集P的特征函数f p（x）=，这里?U P表示集合P在
全集U的补集．已知A，B均为全集U的非空子集，给出下列命题：
①若A?B，则对于任意x∈U，都有f A（x）≤f B（x）；
②对于任意x∈U，都有f?UA（x）=1﹣f A（x）；
③对于任意x∈U，都有f A∩B（x）=f A（x）?f B（x）；
④对于任意x∈U，都有f A∪B（x）=f A（x）+f B（x）．
则正确命题的序号为①②③．
考点：集合的包含关系判断及应用．
专题：综合题；集合．
分析：根据题中特征函数的定义，利用集合的交集、并集和补集运算法则，对①②③④各项中的运算加以验证，可得①②③都可以证明它们的正确性，而D项可通过反例说明它不正确．由此得到本题答案．
解答：解：∵f A（x）=，f B（x）=，
而C U A中可能有B的元素，但C U B中不可能有A的元素
∴f A（x）≤f B（x），
即对于任意x∈U，都有f A（x）≤f B（x）故①正确；
对于B，∵f?UA（x）=，
结合f A（x）的表达式，可得f?UA（x）=1﹣f A（x），故②正确；
对于C，f A∩B（x）==?=f A（x）?f B（x），故③正确；
对于D，f A∪B（x）=
当某个元素x在A中但不在B中，由于它在A∪B中，故f A∪B（x）=1，
而f A（x）=1且f B（x）=0，可得f A∪B（x）≠f A（x）?f B（x）
由此可得④不正确．
故答案为：①②③．
点评：本题给出特征函数的定义，判断几个命题的真假性，着重考查了集合的运算性质和函数对应法则的理解等知识，属于中档题．
三．解答题：（本大题共6小题，共75分）
16．已知函数f（x）=2cos（x）（0≤x≤5），点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点．
（1）求点A、B的坐标以及?的值
（2）设点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，求sin（﹣2β）的值．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：（1）由x的范围求出x的范围，得到f（x）的最大值和最小值，从而求出A，
B的坐标，则?的值
可求；
（2）由点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上求出角α的值和角β的正余弦值，由倍角公式求得2β的正余弦值，展开两角差的正弦公式求得sin（﹣2β）的值．
解答：解：（1）∵0≤x≤5，∴，
∴﹣1≤cos（）≤．
当，即x=0时，f（x）取得最大值1，
当，即x=4时，f（x）取得最小值﹣2．
因此，所求的坐标为A（0，1），B（4，﹣2）．
则．
∴?=0﹣2=﹣2；
（2）∵点A（0，1）、B（4，﹣2）分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，
则，，
则sin2β=2sinβcosβ=2×=，
cos2β=2cos2β﹣1=2×=．
∴sin（﹣2β）=sin（）=
==．
点评：本题考查了三角函数最值的求法，考查了平面向量的数量积运算，训练了三角函数的倍角公式及和差化积公式，考查了任意角的三角函数的定义，是中档题．
17．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，
∠BPC=90°．
（1）若PC=．求PA．
（2）若∠APC=120°，求△ABP的面积S．
考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用．
专题：计算题；解三角形．
分析：（1）在Rt△BPC中利用三角函数的定义，算出sin∠PBC=，可得∠PBC=60°，从而BP=BCcos60°=．然后在△APB中算出∠PBA=30°，利用余弦定理即可算出PA的大小．
（2）设∠PBA=α，从而算出PB=sinα，∠PAB=30°﹣α．在△APB中根据正弦定理建立关于α的等式，解出sinα的值，得到PB长．再利用三角形面积公式加以计算，即可得出△ABP 的面积S．
解答：解：（1）∵在Rt△BPC中，PC=，BC=1，
∴sin∠PBC==，可得∠PBC=60°，BP=BCcos60°=．
∵∠PBA=90°﹣∠PBC=30°，
∴△APB中，由余弦定理PA2=PB2+AB2﹣2PB?AB?cos∠PBA，
得PA2=+3﹣2×=，
解得PA=（舍负）．
（2）设∠PBA=α，可得∠PBC=90°﹣α，∠PAB=180°﹣∠PBA﹣∠APB=30°﹣α，
在Rt△BPC中，PB=BCcos∠PBC=cos（90°﹣α）=sinα，
△ABP中，由正弦定理得，
∴sinα=2sin（30°﹣α）=2（cosα﹣sinα），
化简得4sinα=cosα，
∴结合α是锐角，解得sinα=，
∴PB=sinα=，
∴△ABP的面积S=AB?PB?sin∠PBA=．
点评：本题在直角三角形中求线段PA的长与角的正切值，着重考查了利用正余弦定理解三角形、同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式等知识，属于中档题．
18．设公差不为0的等差数列{a n}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b n}满足，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．
考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．
专题：综合题；等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由a2，a5，a14构成等比数列得关于d的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得a n；
（Ⅱ）由条件可知，n≥2时，=1﹣﹣（1﹣）=，再由（Ⅰ）可求得b n，注意
验证n=1的情形，利用错位相减法可求得T n；
解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），
∵a2，a5，a14构成等比数列，
∴=a2a14，即（1+4d）2=（1+d）（1+13d），
解得d=0（舍去），或d=2．
∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．
（Ⅱ）由已知，，n∈N*，
当n=1时，=；
当n≥2时，=1﹣﹣（1﹣）=．
∴=，n∈N*．
由（Ⅰ），知a n=2n﹣1，n∈N*，
∴b n=，n∈N*．
又T n=+++…+，
则T n=++…++．
两式相减，得T n=+（++…+）﹣=﹣﹣，
∴T n=3﹣．
点评：本题考查等差数列等比数列的综合应用、错位相减法对数列求和，属中档题．
19．对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则称函数f（x）为理想函数．
（1）若函数f（x）为理想函数，求f（0）的值；
（2）判断函数g（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；
（3）若函数f（x）为理想函数，假定?x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证f（x0）=x0．
考点：函数的值；抽象函数及其应用．
专题：计算题．
分析：（1）取x1=x2=0可得f（0）≥f（0）+f（0）?f（0）≤0，由此可求出f（0）的值．（2）g（x）=2x﹣1在[0，1]满足条件①g（x）≥0，也满足条件②g（1）=1．若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，满足条件③，收此知故g（x）理想函数．
（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，f（n）=f （n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x0）=x0．
解答：解：（1）取x1=x2=0可得f（0）≥f（0）+f（0）?f（0）≤0．（1分）
又由条件①f（0）≥0，故f（0）=0．（3分）
（2）显然g（x）=2x﹣1在[0，1]满足条件①g（x）≥0；（4分）
也满足条件②g（1）=1．（5分）
若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，
则
=
，即满足条件③，（8分）
故g（x）理想函数．（9分）
（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．（11分）
若x0＜f（x0），则f（x0）≤f[f（x0）]=x0，前后矛盾；（13分）
若x0＞f（x0），则f（x0）≥f[f（x0）]=x0，前后矛盾．（15分）
故x0=f（x0）．（16分）
点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设的中的隐含条件，注意性质的灵活运用．
20．现有六名篮球运动员进行传球训练，由甲开始传球（第一次传球是由甲传向其他五名运动员中的一位），若第n次传球后，球传回到甲的不同传球方式的种数记为a n．
（1）求出a1、a2的值，并写出a n与a n﹣1（n≥2）的关系式；
（2）证明数列是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；
（3）当n≥2时，证明：．
考点：数列与不等式的综合．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）第n﹣1次传球后，不同传球方式种数为5n﹣1，不在甲手中的种数为5n﹣1﹣a n ，由此能求出a1、a2的值，并写出a n与a n﹣1（n≥2）的关系式．
﹣1
（2）由a n=﹣a n﹣1+5n﹣1，得，由此能证明数列是以为首项，为公比的等比数列，从而能求出．
（3）当n（n≥3）为奇数时，则n﹣1为偶数，
=；当n（n≥2）为偶数时，则n+1
为奇数，从而，由此能证明当n≥2时，
．
解答：（本小题满分13分）
（1）解：a1=0，a2=5，
第n﹣1次传球后，不同传球方式种数为5n﹣1，
不在甲手中的种数为5n﹣1﹣a n﹣1，
∴当n≥2时，…（5分）
（2）解：由a n=﹣a n﹣1+5n﹣1，得，
又，
则数列是以为首项，为公比的等比数列．
从而，
故．…（9分）
（3）证明：当n（n≥3）为奇数时，则n﹣1为偶数，
=
=
＜6?
=
=
＜
==
当n（n≥2）为偶数时，则n+1为奇数，
从而
综上，当n≥2时，．…（13分）
点评：本题考查a n与a n﹣1（n≥2）的关系式的求法，考查数列是等比数列，考查数列{a n}的通项公式的求法，考查不等式的证明，注意构造法的合理运用．
21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=+bx（a≠0）
（Ⅰ）若a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设φ（x）=e2x+be x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；（Ⅲ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R 作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N 处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；两条直线平行的判定．
专题：计算题；证明题；压轴题．
分析：（I）根据a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，知道h′（x）在其定义域内大于等于零，得到一个关于b的不等式，解此不等式即得b的取值范围；（II）先设t=e x，将原函数化为关于t的二次函数，最后将原函数φ（x）的最小值问题转化成二次函数在某区间上的最值问题即可；
（III）先假设存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行，利用导数的几何意义求出切线的斜率进而得出切线的方程，后利用斜率相等求出R的横坐标，如出现矛盾，则不存在；若不出现矛盾，则存在．
解答：解：（I）依题意：h（x）=lnx+x2﹣bx．
∵h（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴对x∈（0，+∞）恒成立，
∴，∵x＞0，则．
∴b的取值范围是．
（II）设t=e x，则函数化为y=t2+bt，t∈[1，2]．
∵．
∴当，即时，函数y在[1，2]上为增函数，
当t=1时，y min=b+1；当1＜﹣＜2，即﹣4＜b＜﹣2时，当t=﹣时，；
，即b≤﹣4时，函数y在[1，2]上是减函数，
当t=2时，y min=4+2b．
综上所述：
（III）设点P、Q的坐标是（x1，y1），（x2，y2），且0＜x1＜x2．
则点M、N的横坐标为．
C1在点M处的切线斜率为．
C2在点N处的切线斜率为．
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2．
即．则
=，