第7章 定量分析中的误差及有效数字答案
思考题
1. 指出在下列情况下，各会引起哪种误差？如果是系统误差，应该用什么方法减免？
(1) 砝码被腐蚀；
答：引起系统误差(仪器误差)，采用校准砝码、更换砝码。
(2) 天平的两臂不等长；
答：引起系统误差(仪器误差)，采用校正仪器(天平两臂等长)或更换仪器。
(3) 容量瓶和移液管不配套；
答：引起系统误差(仪器误差)，采用校正仪器(相对校正也可)或更换仪器。
(4) 试剂中含有微量的被测组分；
答：引起系统误差(试剂误差)，采用空白试验，减去空白值。
(5) 天平的零点有微小变动；
答：随机(偶然)误差。
(6) 读取滴定管体积时最后一位数字估计不准；
答：随机(偶然)误差。采用读数卡和多练习，提高读数的准确度。
(7) 滴定时不慎从锥形瓶中溅出一滴溶液；
答：过失，弃去该数据，重做实验。
(8) 标定HCl 溶液用的NaOH 标准溶液中吸入CO2。
答：系统误差(试剂误差)。终点时加热，除去CO2，再滴至稳定的终点(半分钟不褪色)。
2. 判断下列说法是否正确
(1) 要求分析结果达到0.2%的准确度，即指分析结果的相对误差为0.2%。
(2) 分析结果的精密度高就说明准确度高。
(3) 由试剂不纯造成的误差属于偶然误差。
(4) 偏差越大，说明精密度越高。
(5) 准确度高，要求精密度高。
(6) 系统误差呈正态分布。
(7) 精密度高，准确度一定高。
(8) 分析工作中，要求分析误差为零。
(9) 偏差是指测定值与真实值之差。
(10) 随机误差影响测定结果的精密度。
(11) 在分析数据中，所有的“0”均为有效数字。
(12) 方法误差属于系统误差。
(13) 有效数字中每一位数字都是准确的。
(14) 有效数字中的末位数字是估计值，不是测定结果。
(15) 有效数字的位数多少，反映了测量值相对误差的大小。
(16) 有效数字的位数与采用的单位有关。
(17) 对某试样平行测定多次，可以减少系统误差。
(18) Q检验法可以检验测试数据的系统误差。
答：(1) 对；(2) 错；(3) 错；(4) 错；(5) 对；(6) 错；(7) 错；(8) 错；(9) 错；(10) 对；(11) 错；(12) 对；
(13) 错；(14) 对；(15) 对；(16) 错；(17) 错；(18) 错
3. 单选题
(1) 准确度和精密度的正确关系是……………………..……………………………………………….( )
(A) 准确度不高，精密度一定不会高(B) 准确度高，要求精密度也高
(C) 精密度高，准确度一定高(D) 两者没有关系
(2) 从精密度好就可判断分析结果准确度的前提是…………………..……………………………….( )
(A) 偶然误差小(B) 系统误差小(C) 操作误差不存在(D) 相对偏差小
(3) 以下是有关系统误差叙述，错误的是………………………………...…………………………….( )
(A) 误差可以估计其大小(B) 误差是可以测定的
(C) 在同一条件下重复测定中，正负误差出现的机会相等(D) 它对分析结果影响比较恒定
(4) 测定精密度好，表示………….…………………………………..………………………………….( )
(A) 系统误差小(B) 偶然误差小(C) 相对误差小(D) 标准偏差小
(5) 下列叙述中错误的是…………….……………………………………..…………………………….( )
(A) 方法误差属于系统误差(B) 系统误差具有单向性
(C) 系统误差呈正态分布(D) 系统误差又称可测误差
(6) 下列因素中，产生系统误差的是………………………………………….………………………….( )
(A) 称量时未关天平门(B) 砝码稍有侵蚀
(C) 滴定管末端有气泡(D) 滴定管最后一位读数估计不准
(7) 下列情况所引起的误差中，不属于系统误差的是……..………………..………………………….( )
(A) 移液管转移溶液后残留量稍有不同(B): 称量时使用的砝码锈蚀
(C) 天平的两臂不等长(D) 试剂里含微量的被测组分
(8) 下述说法不正确的是……..…..………………..…………………….……………………………….( )
(A) 偶然误差是无法避免的(B) 偶然误差具有随机性
(C) 偶然误差的出现符合正态分布(D) 偶然误差小，精密度不一定高
(9) 下列叙述正确的是……….…………………..……………………………………………………….( )
(A) 溶液pH为11.32，读数有四位有效数字(B) 0.0150g试样的质量有4位有效数字
(C) 测量数据的最后一位数字不是准确值
(D) 从50mL滴定管中，可以准确放出5.000mL标准溶液
(10) 分析天平的称样误差约为0.0002克，如使测量时相对误差达到0.1%，试样至少应该称……….( )
(A) 0.1000克以上(B) 0.1000克以下(C) 0.2克以上(D) 0.2克以下
(11) 精密度的高低用（）的大小表示………………………..………………………………………….( )
(A) 误差(B) 相对误差(C) 偏差(D) 准确度
(12) 分析实验中由于试剂不纯而引起的误差属于…………………..…………….……………..…….( )
(A): 系统误差(B) 过失(C) 偶然误差(D)方法误差
(13) 四次测定结果：0.3406、0.3408、0.3404、0.3402，其分析结果的平均值为……………………….( )
(A) 0.0002 (B) 0.3405 (C) 0.059% (D) 0.076%
(14) 配制一定摩尔浓度的NaOH溶液时，造成所配溶液浓度偏高的原因是…..…………………….( )
(A) 所用NaOH固体已经潮解(B): 向容量瓶倒水未至刻度线
(C) 有少量的NaOH溶液残留在烧杯中(D) 用带游码的托盘天平称NaOH固体时误用“左码右物”
(15) 四次测定结果：55.51、55.50、55.46、55.49、55.51，其分析结果的平均偏差为………..………….( )
(A) 55.49 (B) 0.016 (C) 0.028 (D) 0.008
(16) 托盘天平读数误差在2克以内，分析样品应称至( )克才能保证称样相对误差为1% 。…..…….( )
(A) 100克(B) 200克(C) 150克(D) 50克
(17) 滴定时，不慎从锥形瓶中溅失少许试液，是属于…………………….……..…………………….( )
(A) 系统误差(B) 偶然误差(C) 过失(D) 方法误差
(18) 绝对偏差是指单项测定与( )的差值。…………………….……………..…..…………………….( )
(A) 真实值(B): 测定次数(C) 平均值(D) 绝对误差
(19) 要求滴定分析时的相对误差为0.2%，50mL滴定管的读数误差约为0.02毫升，滴定时所用液体体积至少要( )亳升。…………………………………………………….……………..…..…………………….( )
(A) 15毫升(B) 10毫升(C) 5毫升(D) 20毫升
(20) 四次测定结果：20.01、20.03、20.04、20.05，其分析结果的变异系数(相对标准偏差)为………….( )
(A) 0.013% (B) 0.017% (C) 0.085% (D) 20.03%
(21) 四次测定结果：20.01、20.03、20.04、20.05，其分析结果的标准偏差为…………….…………….( )
(A) 0.013 (B) 0.065 (C) 0.017 (D) 0.085
(22) pH＝4.230有( )位有效数字。………………………………………….…..…..…………………….( )
(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1
(23) 增加测定次数可以减少…………………………………………………...…..…………………….( )
(A) 系统误差(B) 过失(C) 操作误差(D) 偶然误差
答案：(1) B；(2) BD；(3) C；(4) B；(5) C；(6) B；(7) A；(8) D；(9) C；(10) C；(11) C；(12) A；(13) B；
(14) B；(15) B；(16) B；(17) C；(18) C；(19) B；(20) C；(21) C；(22) B；；(23) D
4. 多选题
(1) 下列情况引起的误差，属于系统误差的有………………..……………...…..…………………….( )
(A) 砝码腐蚀(B)天平零点稍有变动
(C) 读取滴定管读数时，最后一位数字估测不准
(D) 以含量约98%的金属锌作为基准物质标定EDTA的浓度
(2) 提高分析结果准确度的方法是………………..…………………………...…..…………………….( )
(A) 做空白试验(B) 增加平行测定的次数(C) 校正仪器(D 使用纯度为98%的基准物
(E) 选择合适的分析方法
(3) 系统误差产生的原因有………………………….………………………...…..…….……………….( )
(A) 仪器误差(B) 方法误差(C) 偶然误差(D) 试剂误差(E) 操作误差
(4) 准确度的高低用( )大小来表示。…………………………………….……..………………….( )
(A) 相对偏差 (B) 相对误差 (C) 标准偏差 (D) 绝对误差 (E) 平均偏差 答案：(1) AD ；(2) ABCE ；(3) ABDE ；(4) B, D
5. 甲乙二人同时分析一矿物试样中含硫量，每次称取试样3.5g ，分析结果报告为：
甲：0.042%，0.041% 乙：0.04099%，0.04201% 。
习 题
1. 如果分析天平的称量误差为±0.2mg ，拟分别称取试样0.1g 和1g 左右，称量的相对误差各为多少？这些结果说明了什么问题？
【解】因分析天平的称量误差为±0.2mg 。故读数的绝对误差E a ＝±0.0002g
相对误差：
%2.0%1001000.00002.01.0±=?±=
g
g
g r E
%02.0%1000000.10002.01±=?±=g
g g
r E 这说明，两物体称量的绝对误差相等，但他们的相对误差并不相同。也就是说，当被测定的量较大时，相对误差就比较小，测定的准确程度也就比较高。
2. 滴定管的读数误差为±0.02mL 。如果滴定中用去标准溶液的体积分别为2mL 和20mL 左右，读数的相对误差各是多少？从相对误差的大小说明了什么问题？
【解】因滴定管的读数误差为±0.02mL ，故读数的绝对误差E a ＝±0.02mL
相对误差：
%1%100202.02±=?±=
mL
mL
mL r E
%1.0%1002002.020±=?±=mL
mL mL r E
这说明，量取两溶液的绝对误差相等，但他们的相对误差并不相同。也就是说，当被测定的量较大时，测量的相对误差较小，测定的准确程度也就较高。
3. 已知某标准样品中含KBr 的分数w (KBr)＝0.5356，甲、乙两人的分析结果为：甲：0.5316、0.5320、0.5318；乙：0.5335、0.5336、0.5338。分别计算甲、乙两人测定的平均值、绝对误差、相对误差和平均偏差，并比较其准确度和精密度。
【解】甲：平均值：(0.5316 + 0.5320 + 0.5318)/3＝0.5318； 绝对误差：0.5318－0.5356＝-0.0038 相对误差：-0.0038/0.5356＝-0.709%
平均偏差：[(0.5318-0.5316)+(0.5320-0.5318)+(0.5318-0.5318)/3＝0.0001333 乙：平均值：(0.5335 + 0.5336 + 0.5338)/3＝0.5336； 绝对误差：0.5336－0.5356＝-0.002
相对误差：-0.002/0.5356＝-0.373%
平均偏差：[(0.5336-0.5335)+(0.5336-0.5336)+(0.5338-0.5336)/3＝0.0001000
误差越小，准确度越高，偏差越小，精密度越高。
由两人实验结果的误差和偏差计算结果来看，乙无论是绝对误差、相对误差或平均偏差都比甲的要小，由此说明，乙的实验结果比甲的实验结果的准确度高，精密度也高。
4. 测定铁矿石中铁的质量分数(以32O Fe W 表示)，5次结果分别为：67.48%，67.37%，67.47%，67.43%和67.40%。 计算：(1) 平均偏差；(2) 相对平均偏差；(3) 标准偏差；(4) 相对标准偏差；(5) 极差。 解：（1）%43.675
%40.67%43.67%47.67%37.67%48.67=++++=x
∑=+++==-
%04.05
%03.0%04.0%06.0%05.0||1i d n d
（2）%06.0%100%
43.67%
04.0%100=?=
?=-
-
x
d d r （3）%05.01
5%)03.0(%)04.0(%)06.0(%)05.0(12
2222=-+++=
-=
∑n d
S i
（4）%07.0%100%
43.67%05.0%100=?=?=-
x
S S r
（5）R ＝x max －x min ＝67.48%－67.37%＝0.11%
5. 某分析人员测定试样中铜的质量分数，共测定4次，得平均值为0.1831，s ＝0.0010，计算置信度为90%和99%的置信区间。
【解】n ＝4，x (平均)＝0.1831，s ＝0.0010，查表t (90%)＝2.353，t (99%)＝5.841
置信度为90%时，置信区间：0012.01831.04
0010.0353.21831.0±=?±=?±=n
s t x μ
置信度为99%时，置信区间：0029.01831.04
0010.0841.51831.0±=?±=?±=n
s t μ
6. 测定分析纯NaCl 中Cl 的含量，先测定两次，测得的质量分数为0.6061和0.6058；再测定三次的数据为0.6063、0.6064和0.6057。分别以两次测定和以五次测定的数据来计算平均值的置信区间(95%置信度)。
【解】两次测定：平均值＝(0.6061 + 0.6058)/2＝0.6060
t ＝12.706
00022.01
2)6060.06058.0()6060.06061.0(2
2=--+-=s
置信区间：0020.06060.02
00022.0706.126060.0±=?±=?±=n
s t μ
五次测定：平均值＝(0.6061 + 0.6058 + 0.6063 + 0.6064 + 0.6057)/5＝0.6061
t ＝12.706
00022.01
2)6060.06058.0()6060.06061.0(2
2=--+-=
s
置信区间：0020.06060.02
00022.0706.126060.0±=?±=?±=n
s t μ
7. 测定石灰中铁的质量分数（%），4次测定结果为：1.59，1.53，1.54和1.83。(1) 用Q 检验法判断第四个结果应否弃去？(2) 如第5次测定结果为1.65，此时情况有如何(P 均为90%)？ 【解】(1) 8.053
.183.159.183.11
1=--=--=-x x x x Q n n n 计
由表7.2查得，n ＝4，P ＝90%时，Q 表＝0.76，因Q 计>Q 表，故1.83这一数据应弃去。 (2) 6.053
.183.165.183.11
1=--=--=-x x x x Q n n n 计
由表7.2查得，n ＝5，P ＝90%时，Q 表＝0.64，因Q 计算 ＜ Q 表，故1.83这一数据应保留。
8. 用K 2Cr 2O 7基准试剂标定Na 2S 2O 3溶液的浓度(mol·L －
1)，4次结果为：0.1029，0.1056，0.1032和
0.1034。(1) 用格鲁布斯法检验上述测定值中有无可疑值(P ＝95%)；(2) 比较置信度为90%和95%时平均值的置信区间，计算结果说明了什么？
【解】(1) 1038.04
1056.01034.01032.01029.0=+++=-
x
0011.01
40018.00004.00006.00009.012
2222
=-+++=-=∑n d
s i
82.00011
.01029.01038.011
=-=-=-
s x x G 计
64.10011
.01038.01056.042
=-=-=-
s x x G 计
查表7.3得，n ＝4，P ＝95%时，G 表＝1.46，G 计1 ＜ G 表，G 计2 ＞ G 表，故0.1056这一数据应舍去。
(2) 1032.03
1034.01032.01029.0=++=-
x
00025.01
30002.00003.01
2
22=-+=
-=
∑n d
s i
当P ＝90%，f ＝2，查7.1表得：t ＝2.92 因此
0004.01032.03
00025
.092.21032.0,1±=?
±=±=-
n
s t x f
p μ
当P ＝95%，f ＝2，查7.1表得：t ＝4.30 因此
0006.01032.03
00025
.030.41032.0,2±=?
±=±=-
n
s t x f
p μ
由两次置信度高低可知，置信度越大，置信区间越大。
9. 用电位滴定法测定铁精矿中铁的质量分数(%)，6次测定结果如下：
60.72 60.81 60.70 60.78 60.56 60.84
(1) 用格鲁布斯法检验有无应舍去的测定值(P ＝95%)；
(2) 已知此标准试样中铁的真实含量为60.75%，问上述测定方法是否准确可靠(P ＝95%)？ 【解】(1) %74.606
%84.60%56.60%78.60%70.60%81.60%72.60=+++++=-
x
%10.01
6%10.0%18.0%04.0%04.0%07.0%02.01
2
222222=-+++++=
-=
∑n d
s i
8.1%
10.0%56.60%74.6011=-=-=-
s x x G
0.1%
10.0%74.60%84.6062=-=-=-
s x x G
查表7.3得，n ＝6，P ＝95%时，G 表＝1.82，G 计1 ＜ G 表，G 计2 ＜ G 表，故无舍去的测定值。
(2) 24.06%
10.0|%75.60%74.60|||=?-=?-=-
n s T x t 计
查表7.1得，f ＝5，P ＝95%时，t 表＝2.57，t 计 ＜ t 表，说明上述方法准确可靠。
10. 已知某清洁剂有效成分的质量分数标准值为54.46%，测定4次所得的平均值为54.26%，标准偏差为0.05%。问置信度为95%时，平均值与标准值之间是否存在显著性差异? 【解】根据84%
05.0|%46.54%26.54|||=?-=?-=-
n s T x t x
计
查表7.1得，f ＝3，P ＝95%时，t 表＝3.18，t 计 ＞ t 表，说明平均值与标准值之间存在显著性差异。
11. 某药厂生产铁剂，要求每克药剂中含铁48.00mg.对一批药品测定5次，结果为(mg·g －
1)：47.44，
48.15，47.90，47.93和48.03。问这批产品含铁量是否合格(P ＝95%)？ 【解】 89.475
03.4893.4790.4715.4844.471=++++==∑-
i x n x
27.01
5)14.0()04.0()01.0()26.0()45.0(2
2222=-++++=s
91.0527
.0|00.4889.47|||=?-=?-=-
n s T x t 计
查表7.1得，f ＝4，P ＝95%时，t 表＝2.78，t 计 ＜ t 表，说明这批产品含铁量合格。 12. 有甲乙两个分析人员用同一分析方法测定某样品中CO 2含量，测到的结果分别为： 甲：14.7%、14.8%、15.2%、15.6% 乙：14.6%、15.0%、15.2%
试问甲、乙两个人测定的结果是否一致(置信度为95%)。 【解】甲：%1.154
%6.51%5.51%8.41%7.41=+++=甲x ， %41.012=-=
∑n d
s i
甲
乙：%9.144
%2.51%.051%6.41=++=乙x ， %31.01
2=-=
∑n d
s i
乙
%37.02
340031.0)13(0041.0)14(2)1()1(2
222=-+?-+?-=-+-+-=乙甲乙乙甲甲n n s n s n s
71.03
43
40037.0149.0151.0=+??-=
+-=
乙
甲乙甲乙
甲计算n n n n s
x x t
查表7.1得，f ＝5，P ＝95%时，t 表＝2.57，t 计 ＜ t 表，说明甲、乙两个人测定的结果是一致的。
13. 分别用硼砂和碳酸钠两种基准物标定某HC1溶液的浓度(mol·l －
1)，结果如下：
用硼砂标定 1x ＝0.1017，s 1＝3.9×10－
4，n 1＝4
用碳酸钠标定 2x ＝0.1020，s 2＝2.4×10－
4，n 2＝5
当置信度为0.90时，这两种物质标定的HC1溶液浓度是否存在显著性差异？ 【解】n 1＝4，1x ＝0.1017，s 1＝3.9×10－
4
n 2＝5，2x ＝0.1020，s 2＝2.4×10－
4
64.2)104.2()109.3(2
42422
2
1=??==--s s F 计 当P ＝90%时，由表7.4查出F (3,4)表＝6.59，因F 计 ＞ F 表，说明此时未表现s 1与s 2有显著性差异(P ＝90%)。
14. 根据有效数字的运算规则进行计算：
(1) 213.64 + 4.4 + 0.3244 ＝？ (2) 0.0853×2.605×73.48 ÷148.9＝？
(3) (6.325×0.38) + 3.78×10－
4－(0.04164×0.00367)＝？
(4) pH ＝2.20，[H +]＝？ (5)
?100100
3348.13034
.121)49.1850.25(08082.0=???
-?
【解】(1) 213.64 + 4.4 + 0.3244 ＝ 213.6 + 4.4 + 0.3＝218.3
(2) 0.0853×2.605×73.48 ÷148.9＝0.0853×2.60×73.5÷149＝0.109 (3) (6.325×0.38) + 3.78×10－
4－(0.04164×0.00367)
＝(6.3×0.38) + 3.78×10－
4－(0.0416×0.00367)
＝ 2.4 + 3.78×10－4
+ 1.53×10－
4
＝2.4
(4) pH ＝12.20，[H +]＝6.3×10－13
mol·L
－1
(5)
4
.17100100
34.131021.101.70808.010*******.130
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定量分析中的误差及有效数字练习题
定量分析中的误差及有效数字练习题 定量分析中的误差及有效数字练习题 一、填空题： 1在分析过程中，读取滴定管读数时，最后一位数字n 次读数不一致，对分析结果引起的误差属于______________ 误差。 答案：偶然误差 2标定HCI溶液用的NaOH标准溶液中吸收了C02 , 对分析结果所引起的误差属于______________ 差。 答案：系统误差中的试剂误差（你们可答系统误差或试剂误差） 3移液管、容量瓶相对体积未校准，由此对分析结果引起的误差属于___________ 差。 答案：系统误差中的仪器误差（你们可答系统误差或仪器误差） 4在称量试样时，吸收了少量水分，对结果引起的误差是属
于___________ 差。 答案：系统误差中的操作误差（你们可答系统误差或操作误差） 5标定NaOH溶液浓度时，所用的基准物邻苯二甲酸氢钾中含有少量的邻苯二甲酸，对标定结果将产生__________ 误差。 答案：负 6用减量法称取试样，使用了一只磨损的砝码，将对测 定结果产生_______ 差。 答案：正 7在定量分析中, ________ 误差影响测定结果的精密 度；_____ 差影响测定结果的准确度。 答案：偶然；系统 8偶然误差服从 ________ 律，因此可采取 _________ 的措施减免偶然误差。 答案：正态分布，平行多次操作 9不加试样，按照试样分析步骤和条件平行进行的分析试验，称为_________ 。通过它主要可以消除由试剂、蒸馏水及器皿引入的杂质造成的_______ 。 答案：空白试验。仪器和试剂误差 10系统误差的减免是采用校正仪器以及做 ___________ 试验、试验和空白试验等办法减免的，而偶然误差则是采用增加_________ 的办法，减小偶然误差。
有效数字及其运算法则
有效数字及其运算法则 物理实验中经常要记录很多测量数据，这些数据应当是能反映出被测量实际大小的全部数字，即有效数字。但是在实验观测、读数、运算与最后得出的结果中。哪些是能反映被测量实际大小的数字应予以保留，哪些不应当保留，这就与有效数字及其运算法则有关。前面已经指出，测量不可能得到被测量的真实值，只能是近似值。实验数据的记录反映了近似值的大小,并且在某种程度上表明了误差。因此，有效数字是对测量结果的一种准确表示，它应当是有意义的数码，而不允许无意义的数字存在。如果把测量结果写成54.2817±0.05（cm）是错误的，由不确定度0.05（cm）可以得知，数据的第二位小数0.08 已不可靠，把它后面的数字也写出来没有多大意义，正确的写法应当是：54.28±0.05（cm）。测量结果的正确表示，对初学者来说是一个难点，必须加以重视，多次强调，才能逐步形成正确表示测量结果的良好习惯。 一、有效数字的概念 任何一个物理量，其测量的结果既然都或多或少的有误差，那么一个物理量的数值就不应当无止境的写下去，写多了没有实际意义，写少了有不能比较真实的表达物理量。因此，一个物理量的数值和数学上的某一个数就有着不同的意义，这就引入了一个有效数字的概念。若用最小分度值为1mm的米尺测量物体的长度，读数值为5.63cm。其中5和6这两个数字是从米尺的刻度上准确读出的，可以认为是准确的，叫做可靠数字。末尾数字3是在米尺最小分度值的下一位上估计出来的，是不准确的，叫做欠准数。虽然是欠准可疑，但不是无中生有，而是有根有据有意义的，显然有一位欠准数字，就使测量值更接近真实值，更能反映客观实际。因此，测量值应当保留到这一位是合理的，即使估计数是0，也不能舍去。测量结果应当而且也只能保留一位欠准数字，故测量数据的有效数字定义为几位可靠数字加上一位欠准数字称为有效数字，有效数字数字的个数叫做有效数字的位数，如上述的5.63cm称为三位有效数字。 有效数字的位数与十进制单位的变换无关，即与小数点的位置无关。因此，用以表示小数点位置的0不是有效数字。当0不是用作表示小数点位置时，0和其它数字具有同等地位，都是有效数字。显然，在有效数字的位数确定时，第一个不为零的数字左面的零不能算有效数字的位数，而第一个不为零的数字右面的零一定要算做有效数字的位数。如0.0135m是三位有效数字，0.0135m和1.35cm及13.5mm三者是等效的，只不过是分别采用了米、厘米和毫米作为长度的表示单位；1.030m是四位有效数字。从有效数字的另一面也可以看出测量用具的最小刻度值，如0.0135m是用最小刻度为毫米的尺子测量的，而1.030m是用最小刻度为厘米的尺子测量的。因此，正确掌握有效数字的概念对物理实验来说是十分必要的。 二、直接测量的有效数字记录 物理实验中通常仪器上显示的数字均为有效数字（包括最后一位估计读数）都应读出，并记录下来。仪器上显示的最后一位数字是0时，此0也要读出并记录。对于有分度式的仪表，读数要根据人眼的分辨能力读到最小分度的十分之几。在记录直接测量的
误差与有效数字练习答案
误差与有效数字练习题答案 1.有甲、乙、丙、丁四人，用螺旋测微计测量一个铜球的直径，各人所得的结果表达如下：d 甲 =（±）cm ，d 乙 =（±）cm ，d 丙 =（±）cm ，d 丁 =（±）cm ，问哪个人表达得正确其他人错在哪里 答：甲对。其他人测量结果的最后位未与不确定度所在位对齐。 仪 =0.0002g 请计算这一测量的算术平均值，测量标准误差及相对误差，写出结果表达式。 3.61232i m m g n ∑= = A 类分量： (0.6831 1.110.0001080.000120S t n g =-=?= B 类分量： 0.6830.6830.00020.000137u g =?=?=仪 合成不确定度：0.000182U g == 取 ，测量结果为： (3.612320.00018)m U g ±=± ( P= ) 相对误差: 0.000180.005%3.61232 U E m = == 试求其算术平均值，A 类不确定度、B 类不确定度、合成不确定度及相对误差，写出结果表达式。 cm n L L i 965.98=∑= ， A 类分量: (0.6831S t n =-=?0.0064cm 类分量: 0.6830.6830.050.034u cm =?=?=仪 合成不确定度: 0.035U cm ==== 相对误差: %04.096 .9804.0=== L U E ( P= ) 结果: cm U L )04.096.98(±=±
4.在测量固体比热实验中，放入量热器的固体的起始温度为t 1 ±S t 1= ± 0.3℃，固体放入水中后，温度逐渐下降，当达到平衡时，t 2 ±S t 2= ± 0.3℃，试求温度降低值t =t 2 – t 1的表示式及相对误差。 处理：t =t 2 – t 1= U ==+=+2 222t 21t 3.03.0S S ℃ , %7.03 .735 .0=== t U E （ 或 ℅） t =( ± ℃ ( P= ) 5.一个铅质圆柱体，测得其直径为d ±U d =（±） cm ，高度为 h ±U h =（ ± ）cm ， 质量为m ±U m =（ ± ）g 。试求：（1）计算铅的密度ρ；（2）计算铅的密度ρ的相对误差和不确定度；（3）表示ρ的测量结果。 处理：（1）072.11120 .4040.214159.310 .149442 2=???=== h d m V m πρg/㎝3 （2）%3.00030.0120.4003.0040.2003.0410.14905.02 22==?? ? ??+??? ??+??? ??==ρρ U E 3cm g 04.0033.0003.0072.11U ==?=?=E ρρ （3） )04.007.11(±=±ρρU g/㎝3 ( P= ) 6.按照误差理论和有效数字运算规则改正以下错误： （1）N =± 正：N =（±）cm ，测量误差决定测量值的位数（测量结果存疑数所在位与误差对齐） （2）有人说有五位有效数字，有人说只有三位，请纠正，并说明其原因。 答：有效数字的位数应从该数左侧第一个非零数开始计算，应有四位有效数字。其左端的“0”为定位用，不是有效数字。右端的“0”为有效数字。 （3）L =28cm =280mm 正：L =×102mm ，改变单位时，其有效数字位数不变。 （4）L =（28000±8000）mm 正：L =（±）×104mm ，误差约定取一位有效数字。 7.试计算下列各式（在书写计算过程中须逐步写出每步的计算结果）： （1）已知y = lg x ，x ±σx =1220 ± 4 ，求y ： 处理： y = lg x = lg 1220 = 10 ln 12204 10ln = =x Ux Uy = 0014.00864.3±=±Uy y ( P= ) （2）已知y = sin θ ，θ±S θ=45°30′±0°04′ ，求y ： 处理： y = sin45°30′= U y =∣cos θ∣U θ =∣cos 45°30′∣60 1804 ???π= , 0008.07133.0±=±Y U y ( P= )
有效数字和误差
误差与有效数字 武汉市第六中学物理教研组 朱克生 物理实验离不开误差分析和测量值与计算值的有效数问题。本文主要目的是了解误差的有关概念，并对测量值与计算值的有数数字的保留个数做一个定量的描述。 一、误差 1、误差的定义 测量值与被测物体的真实值之间的差异叫误差。误差是绝对不能避免的，但是可以减小。 2、误差的分类 （1）、从误差来源上分为偶然误差与系统误差。 ①偶然误差是由于实验人和读数的不准确等偶然因素造成的。它的特点是：当多次重复同一测量时，偏大和偏小的机会比较接近，可以用取平均值的方法来减小偶然误差。 比如长度的测量，多次测量同一个物体的长度，估计值就会或大或小，为了减小误差可以取平均值。 ②系统误差是由仪器结构缺陷、实验方法不完善造成的。系统误差的特点：多次重复同一测量的结果总是大于（或小于）被测量的真实值，呈现单一倾向。比如采用打点计时器来验证机械能守恒定律，由于空气阻力和计时器与纸带的摩擦，造成物体增加的动能总比．．物体减小的重力势能小。 （2）、从误差分析上分为绝对误差与相对误差。 ①绝对误差，测量值与真实值之差。注意：绝对误差有正负之分的。比如长度的测量，要估计到最小分度的下一位，估读总是不准确的，测量值有时比真实值大，有时比真实值小，所以绝对误差有正有负，但绝对误差的大小一般不大于最小分度值（天平指感量）。 ②绝对误差的绝对值与测量值的百分比称为相对误差。如果绝对误差用Δx 表示，测量值用x 表示，则相对误差就是η=%100??x x 。严格讲，式中分母应为真实值。实验估算时则用测量值代替。（人教版高中物理必修一P99） 绝对误差由于仪器本身的原因造成，一般很难减小，所以在相同的条件下为了提高测量的准确程度，应该考虑尽量减小相对误差。 比如用逐差法求匀变速直线运动的加速度。如果所给的长度有五段，此时应该舍去一段，我们就舍弃长度小的哪一段，因为在绝对误差相同的情况下，长度小的相对误差要大一些。 二、有效数字 1、定义：具体地说，是指在实验中实际能够测量到的数字。比如某一物体的长度测量值
第7章定量分析中的误差及有效数字答案
思考题 1. 指出在下列情况下，各会引起哪种误差如果是系统误差，应该用什么方法减免 (1) 砝码被腐蚀； 答：引起系统误差(仪器误差)，采用校准砝码、更换砝码。 (2) 天平的两臂不等长； 答：引起系统误差(仪器误差)，采用校正仪器(天平两臂等长)或更换仪器。 (3) 容量瓶和移液管不配套； 答：引起系统误差(仪器误差)，采用校正仪器(相对校正也可)或更换仪器。 (4) 试剂中含有微量的被测组分； 答：引起系统误差(试剂误差)，采用空白试验，减去空白值。 (5) 天平的零点有微小变动； 答：随机(偶然)误差。 (6) 读取滴定管体积时最后一位数字估计不准； 答：随机(偶然)误差。采用读数卡和多练习，提高读数的准确度。 (7) 滴定时不慎从锥形瓶中溅出一滴溶液；
答：过失，弃去该数据，重做实验。 (8) 标定HCl 溶液用的NaOH 标准溶液中吸入CO2。 答：系统误差(试剂误差)。终点时加热，除去CO2，再滴至稳定的终点(半分钟不褪色)。 2. 判断下列说法是否正确 (1) 要求分析结果达到%的准确度，即指分析结果的相对误差为%。 (2) 分析结果的精密度高就说明准确度高。 (3) 由试剂不纯造成的误差属于偶然误差。 (4) 偏差越大，说明精密度越高。 (5) 准确度高，要求精密度高。 (6) 系统误差呈正态分布。 (7) 精密度高，准确度一定高。 (8) 分析工作中，要求分析误差为零。 (9) 偏差是指测定值与真实值之差。 (10) 随机误差影响测定结果的精密度。 (11) 在分析数据中，所有的“0”均为有效数字。
(12) 方法误差属于系统误差。 (13) 有效数字中每一位数字都是准确的。 (14) 有效数字中的末位数字是估计值，不是测定结果。 (15) 有效数字的位数多少，反映了测量值相对误差的大小。 (16) 有效数字的位数与采用的单位有关。 (17) 对某试样平行测定多次，可以减少系统误差。 (18) Q检验法可以检验测试数据的系统误差。 答：(1) 对；(2) 错；(3) 错；(4) 错；(5) 对；(6) 错；(7) 错；(8) 错； (9) 错；(10) 对；(11) 错；(12) 对；(13) 错；(14) 对；(15) 对；(16) 错； (17) 错；(18) 错 3. 单选题 (1) 准确度和精密度的正确关系是……………………..……………………………………………….( ) (A) 准确度不高，精密度一定不会高 (B) 准确度高，要求精密度也高 (C) 精密度高，准确度一定高 (D) 两者没有关系 (2) 从精密度好就可判断分析结果准确度的前提
定量分析中的误差及有效数字
定量分析中的误差及有效数字 本章教学目的： 1、掌握绝对误差、相对误差、平均偏差、相对平均偏差及标准偏差的概念和计算方法，明确准确度、精密度的概念及两者间的关系。 2、掌握提高分析结果准确度的方法。 3、掌握系统误差和偶然误差的概念及减免方法。 4、掌握有效数字的概念及运算规则，并能在实践中灵活运用。 教学重点与难点：准确度和精密度表示方法；误差来源及消除方法；有效数字及运算法则。 教学内容： 一、准确度与精密度 1、准确度与误差 例1：测定酒精溶液中乙醇含量为 （1）50.20%； （2）50.20%； （3）50.18%； （4）50.17% 平均值：50.19%，真实值：50.36% 什么是误差：分析结果与真实值之间的差值。 误差的表示：绝对误差（E）= 测得值（X）- 真实值（T） 测得值(X) - 真实值(T) 相对误差（RE）= ×100% 真实值(T) 绝对误差：表示测定值与真实值之差。
相对误差：误差在真实值（结果）中所占百分率。 有关真实值：实际工作中人们常将用标准方法通过多次重复测定所求出的算术平均值作为真实值。 准确度：实验值与真实值之间相符合的程度，误差越小，准确度越高；误差越大，准确度越低。 例2：测定值57.30，真实值57.34。 绝对误差（E）= X – T = 57.30 - 57.34 = -0.04 E -0.04 相对误差（RE）= ×100% = ×100% = -0.07% T 57.34 例3：测定值为80.35，真实值85.39。 E = X – T = 80.35 - 85.39 = -0.04 E -0.04 RE = ×100% = ×100% = -0.05% T 80.39 得出结论：绝对误差相同，但相对误差不同。 练习：测定值：80.18%，真实值：80.13%。 计算：绝对误差（E），相对误差（RE） 应用：实际测定时，相对误差使用较多，仪器分析使用绝对误差较多，具体情况具体分析。 2、精密度与偏差 例1：甲乙丙 50.20 50.40 50.36 50.20 50.30 50.35 50.18 50.25 50.34
误差与有效数字
分享 ?丁铖 ? ?丁铖的分享 ? ?当前分享 返回分享首页? 分享 大物实验 - 误差与有效数字练习来源：姚晨炜的日志 误差与有效数字练习题答案 1.有甲、乙、丙、丁四人，用螺旋测微计测量一个铜球的直径，各人所得的结果表达如下：d甲 =（1.2832±0.0003）cm ，d乙 =（1.283±0.0003）cm ，d丙 =（1.28±0.0003）cm ，d丁 =（1.3±0.0003）cm ，问哪个人表达得正确？其他人错在哪里？ 答：甲对。其他人测量结果的最后位未与不确定度所在位对齐。 2.一学生用精密天平称一物体的质量m，数据如下表所示：Δ仪 =0.0002g 请计算这一测量的算术平均值，测量标准误差及相对误差，写出结果表达式。 A类分量： B类分量： 合成不确定度：=0.00018g 取0.00018g ，测量结果为： ( P=0.683 ) 相对误差: 3.用米尺测量一物体的长度，测得的数值为
试求其算术平均值，A类不确定度、B类不确定度、合成不确定度及相对误差，写出结果表达式。 ， A类分量: =1.060.006=0.0064cm B类分量: 合成不确定度: =0.04cm 相对误差: ( P=0.683 ) 结果: 4.在测量固体比热实验中，放入量热器的固体的起始温度为t1±S t1= 99.5 ± 0.3℃，固体放入水中后，温度逐渐下降，当达到平衡时，t2±S t2= 26.2 ± 0.3℃，试求温度降低值t =t2–t1的表示式及相对误差。 处理：t =t2–t1=26.2-99.5=-73.3℃, U =0.5℃ , （或 -0.7℅） t =( -73.3 ± 0.5)℃ ( P=0.683 ) 5.一个铅质圆柱体，测得其直径为d ±U d=（2.040±0.003） cm ，高度为h±U h=（4.120 ± 0.003）cm， 质量为m±U m =（149.10 ± 0.05）g。试求：（1）计算铅的密度ρ；（2）计算铅的密度ρ的相对误差和不确定度；（3）表示ρ的测量结果。 处理：（1）g/㎝3 （2） （3） g/㎝3 ( P=0.683 ) 6.按照误差理论和有效数字运算规则改正以下错误： （1）N=10.8000±0.3cm 正：N =（10.8±0.3）cm ，测量误差决定测量值的位数（测量结果存疑数所在位与误差对齐）
分析化学中的有效数字及其运算
2.2 分析化学中的有效数字及其运算 一、分析结果的有效数字及其处理 1. 有效数字的概念 既然真值表示分析对象客观存在的数量特征，那么分析结果作为真值的估计值，就应正确反映分析对象的量的多少。由于随机误差不可避免，测定值都是些近似值，都有一定的不确定度，因此测定值包含确定的数字(重复测定时不会发生变化的准确数字)和它后面的不定数字(重复测定时会发生变化的数字)，但是只有确定的数字和它后面第一位具有一定不确定度的不定数字才能正确反映分析对象的量的多少．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。 能够正确反映分析对象的量的多少的数字称为有效数字 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，由确定的数字和它后面第 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(significant figure) 一位具有一定不确定度的不定数字构成，决定于单位的数字和多余的不定数字不能正确反映分析对象的量．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 的多少因而不是有效数字。 ．．．．．．．．．．．．如用示值变动性为±0.0001 g的分析天平称得样品0.203 16g，则末位数字6是多余的不定数字而首位数字0是决定于单位大小的数字，都不是有效数字；但数字2、中间的0、3和1能够正确反映对象的量的多少，都是有效数字，因此该数据只有四位有效数字。可见，实际能够测量到的数字就是有效数字的观点是错误的，但可以说准确测定的数字都是有效数字。 有效数字最后一位的不确定度常写在它后面的括号里，最后一位的不确定度为±0.02，最末一位不定数字9的不确定度为2。再如标称值为100mL的A级容量瓶量取溶液的体积为100.0 mL，其不确定度为±0.1 mL，最末一位不定数字0的不确定度为1，省略不写。 2. 有效数字的确定 有效数字不但表明了分析对象的量的多少，还反映了分析结果的准确度或不确定度 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。例如，称得样品的质量为(0.200 0±0.000 2)g，可见其不确定度为±0.0002 g，相对不确定度±1‰。又如，氯的相对原子质量为35.452 7(9)，可见其不确定度为±0.000 9，相对不确定度为±0.03‰。 所以，根据分析结果的准确度或不确定度可确定分析结果的有效数字 ．．．．．．．．．．．)．，或 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(．准确数字和末位不定数字 者说分析结果的有效数字可根据分析结果的准确度或不确定度来确定，有效数字最后一位数字必须是不定．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 数字并且只有最后一位数字是不定数字 ．．．．．．．．．．．．．．．．．。 [例2-8] 有效数字的确定举例如下： ①(0.305 0±0.000 2)g(样品质量)，78.96(3)(Se的相对原子质量)和20.43 mL(标准溶 液体积)均为四位有效数字；31.05%(百分含量，计算结果)也为四位有效敷字。 ②0.095 7(3)mol/L(标准溶液浓度，其中0为与单位有关的数字即不是有效数字)， 20.0 mL(试剂体积)和1.75×10-5 g/mol(HAc的酸度常数)，均为三位有效数字。 ③0.50 g(试剂质量)，7.8 mL(试剂体积)，2.0 mol/L(试剂浓度)和pH=8.35(溶液酸度，其中8是与单位有关的数字；即8不是有效数字，[H+]＝0.45×10-8 mol/L)，均为两位有效数字。 ④0.000 3 mol/L(标准偏差)和一0.3%(相对误差)，±2‰。(相对不确定度)，都只有一位有效数字。 由于误差、偏差、标准偏差和不确定度等衡量的是分析结果的最后—位不定数字的差异程度，因而分． 析结果的误差、偏差、标准偏差和不确定度等参数都只有一位有效数字，允许保留一位参考数字的做法是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 错误的 ．．．。 3. 数字修约规则 舍弃多余数字的过程称为数字修约，它所遵循的规则称为数字修约规则。过去人们习惯采用“四舍五
高中物理实验误差和有效数字
高中物理实验误差和有效数字 一、考试大纲中实验能力的要求 能独立的完成知识列表中的实验，能明确实验目的，能理解实验原理和方法，能控制实验条件，会使用仪器，会观察、分析实验现象，会记录、处理实验数据，并得出结论，对结论进行分析和评价；能发现问题、提出问题，并制定解决方案；能运用已学过的物理理论、实验方法和实验仪器去处理问题，包括简单的设计性实验． 二、考试大纲对实验的说明 1．要求会正确使用的仪器主要有：刻度尺、游标卡尺、螺旋测微器、天平、秒表、电火花计时器或电磁打点计时器、弹簧秤、电流表、电压表、多用电表、滑动变阻器、电阻箱等． 2．要求认识误差问题在实验中的重要性，了解误差的概念，知道系统误差和偶然误差；知道用多次测量求平均值的方法减少偶然误差；能在某些实验中分析误差的主要来源；不要求计算误差．3．要求知道有效数字的概念，会用有效数字表达直接测量的结果．间接测量的有效数字运算不做要求． 三、有效数字
1．带有一位不可靠数字的近似数字叫做有效数字． 2．有效数字的位数：从左侧第一个不为零的数字起到最末一位数字止，共有几个数字，就是几位有效数字． 例：0.092 3、0.092 30、2.014 0有效数字的位数依次为3位、4位和5位． 3．科学记数法：大的数字，如36 500，如果第3位数5已不可靠时，应记作3.65×104；如果是在第4位数不可靠时，应记作 3.650×104． 四、误差 1．系统误差产生的原因及特点 (1)来源：一是实验原理不够完善；二是实验仪器不够精确；三是实验方法粗略．例如，在验证力的平行四边形定则实验中，弹簧测力计的零点未校准；在验证牛顿第二定律的实验中，用砂和砂桶的重力代替对小车的拉力等． (2)基本特点：实验结果与真实值的偏差总是偏大或偏小． (3)减小方法：改善实验原理；提高实验仪器的测量精确度；设计更精巧的实验方法． 2．偶然误差产生的原因及特点
定量分析中的误差
第二章定量分析中的误差及其处理 分析结果必须达到一定的准确度，满足对分析结果准确度的要求。因为不准确的分析结果会导致产品的报废和资源的浪费，甚至在科学上得出的错误的结论，给生产或科研造成很大的损失，人民生活造成巨大困难或灾难。但是分析结果是由分析者对所取样品(供试品或样品)利用某种分析方法、分析仪器、分析试剂得到的，必然受到这些分析的限制，分析结果不可能和样品的真实组成或真实含量完全一致，在一定条件下分析结果只能接近于真实值而不能达到真实值。测定值与客观存在的真实值的差异就是所谓的误差(error)。因此分析误差是客观存在、不可避免的，我们只能得到一定误差范围内的真实含量的近似值，达到一定的准确度。采用哪些措施可能减小误差，依赖于误差本身的性质。所以，我们应当了解误差的有关理论，明确误差的性质和来源，根据分析目的对误差的要求，选择准确度合适的分析方法，合理安排分析实验，设法减小分析误差，使分析结果的准确度达到要求，避免追求过高的准确度。同时，也应当了解对分析结果的评价方法，以判断分析结果的可靠程度，对分析结果做出正确的取舍和表示。 2.1 分析结果的误差 一、真值、样本平均值和总体平均值 1. 真值与相对真值 真值(true value)是指某物理量本身具有的客观存在的真实数值，表示物质存在的数量特征，用T来表示。 由于分析误差是不可避免的，因此真值是不可能测得的，实际工作中往往将理论值、约定值和标准值当作真值来检验分析结果的准确度，分别称为理论真值、约定真值和标准真值。 理论真值是指由公认理论推导或证明的某物理量的数值。如水的组成常数或组成分数即为理论真值：1 mol H2O含2mol H和1 mol O，再如H+与OH-的反应的化学计量关系即H+与OH-的反应量之比为1 mol H+ : 1 mol OH-，该比值也是理论真值。 约定真值是指计量组织、学会或管理部门等规定并得到公认的计量单位的数值。如国际计量大会定义的长度、时间、质量和物质的量等物理量的基本单位：光在真空中传播(1/299 792 458)s所经过的路径长度为1 m，国际千克原器的质量为1 kg、铯-133原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的9 192 631 770个周期的持续时间为1 s等。 标准真值又称相对真值，是指由公认的权威组织发售的标准样品的证书或标签上所给出的保证值，严格按照标准方法平行分析多次后用数理统计方法确定的相对准确的测定值，或者由公认的权威专家反复分析确定的相对准确的测定值。如基准试剂标签所给保证值、标准方法对照分析结果、国际相对原子质量和相对分子质量等都是标准真值。 2. 样本平均值与总体平均值 对样品重复测定可以发现，一组平行测定值有一种集中趋势，这种集中趋势常用样本平均值和总体平均值来表示。 样本平均值(sample mean)简称为平均值(mean value)，是指对某一分析对象总体取n份样品进行平行测定或重复测定，所得分析结果(测定值)之和的1/n，用X来表示，即
定量分析中的误差和数据处理
第七章 氧化还原滴定法 思考题 1．何谓条件电位？它与标准电位有什么关系？为什么实际工作中应采用条件电位？ 答：（1）条件电位是指在一定条件下，当氧化形和还原形的分析浓度均为1mol/L 或它们的浓度比为1时的实际电位。 （2）它与标准电位的关系是：OX d d ox n αγαγφφR e Re 0'0log 059 .0+= （3）因为条件电位考虑了离了强度、副反应及酸度等外界因素的影响，应用条件电位比标准电位能更正确的说明氧化还原电对的实际氧化还原能力，正确地判断氧化还原反应的方向、次序和反应完成的成度 。 2．为什么说两个电对的电位差大于0.4V ，反应能定量地进行完全？ 答：因为对滴定反应一般要求完成程度达99.9％以上， 。 ，反应能定量进行完全的条件电位差大于因此，一般认为两电对型的反应：对型的反应：对又因：则V V m n n m m n V m n K n K 4.035.0059 .0) (31035600591log 059 .010'02'01' 02'01'' 02'016 '<+=-≠≠≈?=-=== -≥φφφφφφ 3．是否能定量进行完全的氧化还原反应都能用于滴定分析？为什么？ 答：能定量进行完全的氧化还原反应不一定都能用于滴定分析，因为用于滴定分析法的反应必须具备四个条件 （1）反应具有确定的计量关系。 （2）反应必须定量的进行完全，通常要求达到99.9%以上。 （3）反应速度要快。 （4）有比较简便、可靠的方法确定终点。 4．为什么氧化还原滴定中，可以用氧化剂和还原剂这两个电对的任一个电对的电位 计算滴定过程中溶液的电位？ 答：因为氧化还原滴定过程中，随着滴定剂的加入，溶液中氧化剂和还原剂的浓度逐渐变化，在任一平衡点时两电对的电位相等，所以可用任一个电对的电位计算滴定过程中溶液的电位。 5．氧化还原滴定中如何估计滴定突跃的电位范围？如何确定化学计量点的电位？滴 定曲线在计量点附近是否总是对称的？ 答：滴定突跃范围可用下式估计： 。 计量点附近是不对称的型的反应，滴定曲线在对计量点附近是对称的。 型的反应，滴定曲线在对化学计量点的电位：’‘等m n m n n m m n n m ≠==++=?-→?+ 1059 .03059.0302 01'01'02φφφφφ 6．如何确定氧化还原指示剂的变色范围？如果指示剂的条件电位Φ0’=0.85V ，计算它 的变色范围。
定量分析的误差
定量分析的误差 集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
定量分析的误差 和分析结果的数据处理 一、有效数字及运算规则 1、有效数字 ?有效数字就是是技能测量得到的数字。 ?有效数字组成： ①所有确定的数字 ②一位不确定数字（估定） 试样质量 21.4561g六位有效数字 液体体积 20.20mL四位有效数字 注意事项 （1）不能随意增减有效数字 为了得到准确的分析结果，不仅要准确地进行测量，还要正确地记录根据分析方法和测量仪器的准确度来决定数字的保留位数。 （2）“0”可作有效数字，也可作无效数字 数据中的“0”是否为有效数字，要看其作用。 例：试样质量 0.2000g （3）科学记数法的位数 a ×10b 10.2g 改写为mg时，该如何写？ 2、运算规则 ?运算原则：“先修约，后计算”
?修约规则：采取“四舍六入五留双”的办法，当尾数≤4时舍弃；尾数≥6时则进入；尾数=5时，若“5”前面为偶数（包括零）则舍，为奇数则入。 0.52664 0.5266 0.87676 0.8768 10.3456 10.34 10.3350 10.34 ?计算规则 ?1）加减法 ?各数据及最后计算结果所保留的位数是根据各数据中小数点后位数最少的一个数字所决定的。 ?2）乘除法 各数据及最后计算结果的相对不定值是与各数据中相对不定值最大的那个数相适应，其结果所保留位数与该有效数字的位数相同。 ?例：0.021 2×22.62÷0.292 15=？ ?例：20.32+8.405 4-0.055 0=？ ?解 20.32+8.40-0.06=28.66 解：各数据的最大不定值为 0.0001 ÷0.021 2 ×100%=0.5% 0.01 ÷22.62×100%=0.04% 0.00001 ÷0.292 15 ×100%=0.3%
误差有效数字和数据处理
第一章 误差、有效数字和数据处理 第一节 测量误差的基本概念 一、测量误差 进行物理实验，不仅要观察物理现象、定性地研究物体变化规律，而且要定量地测量所观察物体的量值（量值是指用数和适当的单位表示的量，如2.30 m 、15.5 kg 等）。通过测量可以认识物理现象的内在关系，揭示物理过程的本质。所谓测量，就是把待测的物理量与一个被选做标准的同类物理量进行比较，以确定它是标准量的多少倍。这个标准量称为物理量的单位，这个倍数称为待测物理量的数值。一个物理量必须由数值和单位组成。本书使用国际单位制。 1. 直接测量和间接测量 测量可以分为直接测量和间接测量两类。凡是能以量具、仪器的刻度直接测得待测量的大小的测量，叫做直接测量。但是大多数物理量都没有直接测量的仪器，需要进行间接测量。所谓间接测量，就是先经过直接测量得到一些量值，然后再通过一定的数学公式计算，才能得出所求结果的测量。 2. 测量误差 任何物理量在一定条件下都客观地存在一个唯一确定的值，这个值称为真值。但是，由于实验条件、测量方法、测量仪器和测量者自身判断等原因，任何测量都不是绝对准确的，所以测得数值与真值之间总存在着差异。我们把所得测量值与真值之差定义为测量值的误差，用下式表示 i i x x x （1） 式中：x 为真值；i x 为第i 次测量值；i x 为第i 次测量误差。 产生误差的原因是多方面的，根据误差的性质及其产生原因，可将误差分为系统误差和偶然误差两大类。 （1）系统误差。
系统误差的特点是测量的结果总向某一定方向偏离，或按照一定的规律变化。产生系统误差有以下几个原因：仪器本身的缺陷、理论公式或测量方法的近似性、环境的改变（如测量过程中温度、压强的变化）、个人存在的不良测量习惯等。 由于系统误差的数值和符号（＋、－）是定值或按某种规律变化，因此系统误差不能通过多次测量来消除或减小。但是，如果能找出产生系统误差的原因，就能采取适当的方法来消除或减小它的影响，或对测量结果进行修正。因此，实验中一定要注意消除系统误差。 （2）偶然误差。 即使在测量过程中已减小或消除了系统误差，但在同一条件下对某一物理量进行多次测量，总存在差异，误差时大时小、时正时负。这种现象的产生是由于观察者受到感官的限制，或由于实验过程中受到周围条件无规则变化的影响，或由于测量对象自身的涨落，或由于其他不可预测的偶然因素所引起的。这样的误差称为偶然误差。对某一次测量来说，偶然误差的大小、符号都无法预先知道，完全出于偶然。但是当测量次数足够多时，偶然误差就具有明显的规律性，即偶然误差遵循统计规律。理论和实验都表明，大量的偶然误差均服从“正态分布”。偶然误差有如下特点： ① 绝对值相等的正负误差出现的几率相等。 ② 绝对值小的误差出现的几率比绝对值大的误差出现的几率大。 ③ 偶然误差的算术平均值随测量次数的增加而减小，当测量次数趋于无穷时，它趋于零。 ④ 偶然误差存在一个“最大误差”，即误差的绝对值不超过某一限度。 由于偶然误差存在上述性质，我们可以用增加测量次数的方法来减小它。当测量次数足够多时，测量列的偶然误差趋于零，测量列的算术平均值就趋近于真值。 故在有限次测量中，我们应取测量列的算术平均值作为真值的估计值，或称之为最佳值。 二、直接测量的误差估算和测量结果的表示 1. 多次直接测量的误差及其表示 上面我们讲过，为了减小偶然误差，可以在同一条件下对同一物理量进行多次重复测量，用多次测量值的算术平均值作为被测量的最佳估计值。 设我们对某一物理量进行了n 次测量，测量值分别为12, , , n x x x 。其算术平均值为 121 11()n n i i x x x x x n n （2） 由上所述，x 为该物理量的最佳值。那么，各次测量值与x 的偏差，就近似为各测量值与真值的误差。在一般的讨论中，我们不去严格区分“偏差”和“误差”。 在物理实验中，多次测量的误差常用算术平均绝对偏差和标准偏差来表示。 （1）算术平均绝对偏差。
实验中的误差和有效数字-教学设计
实验中的误差和有效数字 【教材分析】 本节选自鲁科版必修一第二章第三节，是在学习了匀变速直线运动速度变化规律、位移变化规律的内容之后，本节课的学习为高中物理实验探究的误差和数据分析打下基础，为下节课“科学测量：做直线运动物体的瞬时速度”做好铺垫。 【教学目标与核心素养】 物理观念：能理解相对误差与绝对误差的概念；掌握有效数字的表示和其位数的表达。 科学思维： 1．能根据实验目的和实验器材判断实验操作中存在的误差。 2．掌握减小误差的方法。 科学探究：能发现并提出物理问题；能分析纸带数据并找出实验中的误差，并制定解决方案。 科学态度与责任：知道实验器材的改进能促进人们认知的发展；知道物理实验的探究需要实事求是。 【教学重难点】 教学重点：有效数字的概念；科学测量中所存在的误差。 教学难点： 1．能在实验中分析误差的主要来源。 2．会用有效数字表达直接测量的结果。 【教学过程】 导入新课： 问题：1．能否确定在光滑斜面上下滑的小球是否做匀变速直线运动？ 学生：需要测得小球在斜面上的运动信息 问题：2．实验探究时，如何获得有效的、可信的数据？ 引发学生对实验误差的思考，引出本节内容 新课讲授： 一、科学测量中的误差 （一）绝对误差和相对误差 待测体
待测体在客观上存在着准确的数值，称为真实值（a） 实际测量得到的结果称为测量值（x） 思考：测量总存在误差。 1．绝对误差：测量值（x）与真实值（a）之差称为绝对误差（?x） ?x=x?a 问题：如何判断多个测量结果的可靠性？引出相对误差的概念。 2．绝对误差（?x）与真实值（a）的比值称为绝对误差（δ） 问题：如何获得真实数据？ 结论：科学测量中常用多次测量的平均值代替真实值。 思考：绝对误差相同时，相对误差也一定相同么？ 甲乙 真实值3.46cm真实值1.45cm 测量值3.47cm测量值1.44cm 绝对误差0.01cm绝对误差0.01cm 请同学计算甲、乙两种情况下的相对误差。 相对误差0.29％相对误差0.69％对比两种情况，得出结论：在绝对误差相同的情况下，被测量的数值越大，测量结果的相对误差就越小，测量结果的可靠性就越大。 （二）系统误差和偶然误差 1．系统误差 定义：由于测量原理不完善或仪器本身缺陷等造成的误差。 举例加深理解。 例：表盘刻度不准确所造成的误差
定量分析中的误差和数据处理(自测题)-923802176讲课教案
定量分析中的误差和数据处理(自测题)-923802176
第三章定量分析中的误差和数据处理 自测题 一.填空题 1.系统误差的特征 是：，，，。 2.随机误差的特征 是：，，，。 3.在分析过程中，下列情况各造成何种（系统、随机）误差（或过失）？ (1)天平两臂不等长，引起。 (2)称量过程中天平零点略有变动，是。 (3)过滤沉淀时出现穿滤现象，是。 (4)读取滴定管最后一位时，估测不准，是。 (5)蒸馏水中含有微量杂质，引起。 (6)重量分析中，有共沉淀现象，是。 4.测定饲料中淀粉含量，数据为20.01%，20.03%，20.04%，20.05%。则淀 粉含量的平均值为；测定的平均偏差为；相对平均偏差为；极差为。 5.总体平均值 是当测量次数为时，各测定值的值。若 没误差，总体平均值就是值。 6.测定次数n为时，标准偏差S的表达式为，式 中的n – 1被称为。
7.对某一溶液中NaOH的浓度测定4次，其结果分别是：0.2043, 0.2039, 0.2049, 0.2041 mol/L。则这一组测量的平均值x为，平均偏差 d为，标准偏差S为。由结果可知，同一组测量值的标准偏差值比平均偏差值，说明标准偏差对于更敏感。 8.检验分析结果的平均值与标准值之间是否存在显著性差异，应当用 检验法；判断同一试样的两组测定结果的平均值之间是否存在显著性差异，应先用检验法判断两组数据的是否有显著性差异，再进一步用检验法判断平均值之间是否有显著性差异。 9.25.5508有位有效数字，若保留3位有效数字，应按 的原则修约为。计算下式0.1001(25.450821.52)246.43 2.03591000 ?-? ? 并按 有效数字保留原则所得的结果为。 10.根据有效数字修约规则计算下列各式： pH = 3.25，[H+] = ； pH = 6.74，[H+] = ； [H+] = 1.02×10-5，pH = 。 [H+] = 3.45×10-5，pH = 。 二. 正误判断题 1.测定方法的准确度高，精密度一定高。 2.测定方法的精密度高，不一定能保证准确度也高。 3.随机误差小，准确度一定高。
有效数字及差计算
有效数字及误差计算 一、测量 所谓测量，就是被测量的物理量和选为标准的同类量（即，单位）进行 比较，确定出它是标准量的多少倍。如：测量一本书的长度，将书与米尺进行比较，书的长度是米尺的18.85％，则书的长度为0.1885m 。 测量结果的数值大小和选择的单位密切相关。同样一个量，测量时选择 的单位越小，测量结果数值就越大，所以任何测量结果都必须标明单位．如 273.15K ，3.0×108m/s 等等。 二、测量分类 根据获得数据的方法不同，测量可分为直接测量和间接测量两类。 1．直接测量 直接测量：使用量具或仪表等标准量具经过比较可直接读数获取数据。 相应测得量称为直接测量量。如：米尺测量长度、温度计测量温度、天平测量质量等等。 2．间接测量 间接测量：不能直接测量出结果，而必须先直接测量与它有关的一些物 理量，然后利用函数关系而获取被测量数据的测量．相应的测得量就是间接测量量。如：物质的密度3 /a m ＝ρ、物体运动的速度t S v /=、物体的体积等等。 三、有效数字 测量的结果因所用单位不同而不同，但在某一单位（量具）下，表示该 测量值的数值位数不应随意取位，而是要用有确定意义的表示法。 图1用毫米尺测量工件的长度
如图1是用毫米尺测量一段工件长度的示意图。此工件的长度介于13mm 和 14mm 之间，其右端点超过13mm 刻度线处，估计为6/10格，即工件的长度为 13.6mm 。从获得结果看，前两位13是直接读出，称为可靠数字，而最末一位 0.6mm 则是从尺上最小刻度间估计出来的，称为可疑数字（尽管可疑，但还是 有一定根据，是有意义的）。 定义： 由几位可靠数字加上一位可疑数字在内的读数，称为有效数字。 如上读数13.6mm 共有三位有效数字，这里的第三位数“6”已是估计出 来的，因此，用这种规格的尺子不可能测量到以毫米为单位小数点后第2位。 注： 1、有效数字的多少，表示了测量所能达到的准确程度，这与所用的测量 工具有关。 2、当被测物理量和测量仪器选定后，测量值的有效数字位数就可以确定 了。 3、仪器的读数规则 测量就要从仪器上读数，读数包括仪器指示的全部有意义的数字 和能够估读出来的数字。在测量中，有一些仪器读数是需要估读的， 如米尺、螺旋测微计、指针式电表等等。估读时，首先根据最小分格 大小、指针的粗细等具体情况确定把最小分格分成几分来估读，通常 读到格值的1/10，1/5或1/2。 4、有效位数的认定 （1）数字中无零的情况和数字间有零的情况：全部给出的数均为有效 数。如：56.14mm ，50.007mm 有效位数分别为四位、五位。 （2）对于小数末尾的零：有小数点时，小数点后面的零全部为有效数 字。如：50.140mm ，2.204500的有效位数分别为五位、七位。 （3）对于第一位非零数字左边的零：第一位非零数字左边的零称为无 效位零。如：0.05mm ，0.00155m 有效位数分别为一位、三位。 （4）科学计数法：计量单位的不同选择可改变量值的数值，但决不应 改变数值的有效位。因此，在变换单位时，为了正确表达出有效位 数，实验中常采用科学计数法（10的幂次方）。如： km 1030.4m 1030.4m 1030.4cm 30.4542--?=μ?=?= 注：大单位转换小单位或小单位转换大单位时，原数的有效位不变。 四、有效数字的运算规则 0．数值的舍入修约规则 （1）确定需要保留的有效数字和位数。