[高等代数(上)课外习题第一章多项式]

高等代数第一章多项式课外习题

一、选择题

1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。

A ．零多项式

B ．零次多项式

C ．本原多项式

D ．不可约多项式

2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

3．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。 A . 充分 B . 充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要

4．下列对于多项式的结论不正确的是（）。

A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =

B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±

C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈?，有)()()(x h x g x f

D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f

（）

5、关于多项式的重因式，以下结论正确的是（）

A 、若p(x) 是f’(x)的k 重因式，则p(x) 是f(x)的k+1重因式

B 、若p(x)是f(x)的k 重因式，则p(x) 是f(x)，f’(x)的公因式

C 、若p(x)是f’(x)的因式，则p(x)是f(x)的重因式

D 、若p(x)是f(x)的重因式，则p(x)是))(),(()

(x f x f x f '的单因式

6 、关于多项式的根，以下结论不正确的是（）

A 、α是f(x)的根的充分必要条件是x-α|f(x)

B 、若f(x)没有有理根，则f(x)在有理数域上不可约

C 、每个次数≥1的复数系数多项式，在复数域中有根

D 、一个三次的实系数多项式必有实根

7 、关于不可约多项式p(x),以下结论不正确的是（）

A 、若p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)或p(x)|g(x)

B 、若q(x)也是不可约多项式，则（p(x),q(x)）=1或p(x)=cq(x) c ≠0

C 、p(x)是任何数域上的不可约多项式

8、设3()3f x x x k =-+有重根，那么k=（）

A 、1

B 、-1

C 、±2

D 、0

9、设32()31f x x x tx =-+-是整系数多项式，当t=( )时，f(x)在有理数域上可约。

A 、1

B 、0

C 、-1

D 、3或-5

10、令有理数域上的多项式542

()25139f x x x x =--+,下面只有哪个数可能是它的根

( )

(A) 2 （B ） 3 （C ） 5 （D ） 7

二、填空题

1．最小的数域是。

2．一非空数集P ,包含0和1, 且对加减乘除四种运算封闭，则其为。

3．设(),()[]f x g x F x ∈，若(())0,(())f x g x m ??=??=，则(()())f x g x ???= 。

4.求用2x -除43()25f x x x x =+-+的商式为，余式为。

5．设,a b 是两个不相等的常数，则多项式()f x 除以()()x a x b --所得的余式为____

6.设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x 2-1除f(x)余数是。

7. 若1-是52()1f x x ax ax =--+的重根，则a = ．

8. 已知12i +为32()375f x x x x =-+-的一个根，那么()f x 的其余根是．

9.当t 满足条件时，32()31f x x x tx =-+-有重根.

10. 若()(),()()g x f x h x f x ，并且，则()()()g x h x f x 。

11. 多项式()f x 、()g x 互素的充要条件是存在多项式()u x 、()v x 使得。

12. 设42()f x x x ax b =+++。2()2g x x x =+-，若((),())()f x g x g x =，则 =a ，=b 。

三、判断题

1.若整系数多项式()f x 在有理数域可约，则()f x 一定有有理根。（）

2.若()p x 、()q x 均为不可约多项式，且((),())1p x q x ≠，则存在非零常数c ，使得

()()p x cq x =。

（）

3.若()f x 无有理根，则()f x 在Q 上不可约。（）

4.两个本原多项式的和仍是本原多项式。（）

5.对于整系数多项式()f x ，若不存在满足艾森施坦判别法条件的素数p ，那么()f x 不可约。（）

6若()()h x f x ，但()h x 不整除()g x ，则()h x 不整除()()f x g x +．（）

7.设()()()h x f x g x ，但()h x ()g x ，则()()h x f x ．（）

8.若α是()f x 的导数()f x '的k 重根，则α为()f x 的1k +重根．（） 9 设()[]f x P x ∈，且(1)(1)0f f -==，则2

1()x f x -．（）

10. 在实数域上所有次数大于或等于3的多项式都是可约的. （）

11. 多项式()f x 有重根当且仅当()f x 有重因式. （）

12. 设(),(),()[]f x g x d x P x ∈且(),()[]u x v x P x ?∈，使得

()()()d x u x f x =+()()v x g x ，则()d x 为()f x 与()g x 的一个最大公因式．四、计算与证明题

1、求用2()2g x x x =-+除4()25f x x x =++的商式和余式。

2、求方程5432()378851

f x x x x x x =-+-+-的所有有理根.

3、已知12i -为32()375f x x x x =-+-的一个根，求()f x 的其余根。

4. 求多项式1)(143)(2

3234--+=---+=x x x x g x x x x x f 与的最大公因式()d x ，并求()u x ，()v x ，使得()()()()()d x f x u x g x v x =+。

5.若3642(1)x x ax bx c -+++，求,,a b c 的值。

6．把5)(4-=x x f 表成1-x 的多项式。

7.若))(((|)1(2

223x xg x f x x x ++++, 则)(|)1(x f x +, )(|)1(x g x +。

8.令1212(),(),(),()f x f x g x g x 都是数域F 上的多项式,其中1()0f x ≠且

1212()()|()()g x g x f x f x , 11()|()f x g x ，证明: 22()|()g x f x 。

9. .若整数多项式()

f x有根p

，这里(,)1

p q=，则()(1)

q p f

-，

()(1)

q p f

+-．

10.设1

))

(

f，试证：

（1）1

)

(

)

(

f；

（2）1

))

(

)

(

)

(

11、设是一个整系数多项式,证明:如果有一个奇数和一个偶数使得都是奇数,那么没有整数根.

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第一章多项式习题解答1.用g( x)除f ( x)，求商q( x)与余式r ( x) . 1）f ( x) x3 3x2 x 1, g (x) 3x2 2x 1 3x 2 2x 1 x3 3x 2 x 1 1 x 7 x3 2 x2 1 x 3 9 3 3 7 x2 4 x 1 3 3 7 x2 14 x 7 3 9 9 26 x 2 9 9 1 x 7 , r ( x) 26 x 2 q( x) 9 9 . 3 9 2）f ( x) x4 2x 5, g(x) x2 x 2 x2 x 2 x 4 0x3 0 x2 2 x 5 x2 x 1 x4 x3 2x2 x3 2x2 2x x3 x2 2x x2 4x 5 x2 x 2 5x 7 q( x) x2 x 1, r ( x) 5x 7 . 2.m, p, q 适合什么条件时，有 1）x2 mx 1| x3 px q x 2 mx 1 x3 0 x2 px q x m x3 mx2 x mx2 ( p 1) x q m x2 m2 x m (m2 p 1) x ( q m) 当且仅当 m2 m 时x2 1| x3 px q .

本题也可用待定系数法求解.当x2 mx 1| x3 px q 时，用 x2 mx 1 去除x3 px q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为x q .于是有x3 px q ( x q)( x2 mx 1) x3 (m q)x2 (mq 1) x q . 因此有 m2 p 1 0, q m . 2）x2 mx 1| x4 px2 q 由带余除法可得 x4 px2 q ( x2 mx 1)( x2 mx p 1 m2 ) m(2 p m2 ) x (q 1 p m2 ) 当且仅当 r ( x) m(2 p m2 ) x (q 1 p m2 ) 0 时 x2 mx 1 | x4 px2 q .即 m(2 p m2 ) 0 ，即m 0, 或 p m2 2, q 1 p m2 0 q 1 p, q 1. 本题也可用待定系数法求解 .当x2 mx 1| x4 px2 q 时，用 x2 mx 1 去除x4 px2 q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为x2 ax q .于是有 x4 px2 q (x 2 ax q)( x2 mx 1) x4 (m a) x3 (ma q 1) x2 (a mq) x q. 比较系数可得 m a 0, ma q 1 p, a mq 0. 消去 a 可得 m 0, 或p m2 2, q 1 q 1. p, 3.求g( x)除f ( x)的商q( x)与余式r ( x) . 1）f ( x) 2x5 5x3 8x , g (x) x 3; 解：运用综合除法可得 3 2 0 5 0 8 0 6 18 39 11 7 327 2 6 1 3 39 109 327 商为 q(x) 2x4 6x3 13x2 39 x 109 ，余式为 r (x) 327.

第一章：整式的运算概念

第一章：整式的运算单项式整式多项式同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方幂运算同底数幂的除法零指数幂负指数幂整式的加减单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法多项式与多项式相乘整式运算平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式一、单项式 1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。 2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。 3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。 4、单独一个数或一个字母也是单项式。 5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。 6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。 7、单独的一个非零常数的次数是0。 8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。 9、单项式的系数包括它前面的符号。 10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。 11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。 12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。二、多项式 1、几个单项式的和叫做多项式。 2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。 3、多项式中不含字母的项叫做常数项。 4、一个多项式有几项，就叫做几项式。 5、多项式的每一项都包括项前面的符号。 6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。 7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。三、整式 1、单项式和多项式统称为整式。 2、单项式或多项式都是整式。 3、整式不一定是单项式。整式的运算

4、整式不一定是多项式。 5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。四、整式的加减 1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。 2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。 3、几个整式相加减的一般步骤：（1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。（2）按去括号法则去括号。（3）合并同类项。 4、代数式求值的一般步骤：（1）代数式化简。（2）代入计算（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。五、同底数幂的乘法 1、n 个相同因式（或因数）a 相乘，记作a n ，读作a 的n 次方（幂），其中a 为底数，n 为指数，a n 的结果叫做幂。 2、底数相同的幂叫做同底数幂。 3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：a m ﹒a n =a m+n 。 4、此法则也可以逆用，即：a m+n = a m ﹒a n 。 5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。六、幂的乘方 1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。（a m ）n 表示n 个a m 相乘。 2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（a m ）n =a mn 。 3、此法则也可以逆用，即：a mn =（a m ）n =（a n ）m 。七、积的乘方 1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。 2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。即（ab ）n =a n b n 。 3、此法则也可以逆用，即：a n b n =（ab ）n 。八、三种“幂的运算法则”异同点 1、共同点：（1）法则中的底数不变，只对指数做运算。（2）法则中的底数（不为零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。（3）对于含有3个或3个以上的运算，法则仍然成立。 2、不同点：（1）同底数幂相乘是指数相加。（2）幂的乘方是指数相乘。（3）积的乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘。九、同底数幂的除法 1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：a m ÷a n =a m-n （a ≠0）。 2、此法则也可以逆用，即：a m-n = a m ÷a n （a ≠0）。十、零指数幂 1、零指数幂的意义：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：a 0=1（a ≠0）。十一、负指数幂 1、任何不等于零的数的―p 次幂，等于这个数的p 次幂的倒数，即： 1(0)p p a a a -=≠ 注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。

高等代数多项式习题解答

第一章多项式习题解答 1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r . 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 9731929269 791437134373 132131232223232 ----+----+----+-x x x x x x x x x x x x x x 9 2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 1 752 5 422225200222223232 342342-++--+-+--+---+-+-+++-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q . 2.q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1 m x m q x p m m x m x m q x p mx x mx x q px x x mx x --++++--+++--++++-+) ()1()1(01 222223232 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1.

本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有 q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323. 因此有m q p m ==++,012. 2）q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得 )1()2()1)(1(2222224m p q x m p m m p mx x mx x q px x --++--++-+-++=++ 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即 ???=--+=--0 10)2(22m p q m p m ，即???=+=,1,0p q m 或???==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有 )1)((2224++++=++mx x q ax x q px x .)()1()(234q x mq a x q ma x a m x ++++++++= 比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得 ???=+=,1,0p q m 或???==+. 1,22q m p 3.求)(x g 除)(x f 的商)(x q 与余式)(x r . 1）;3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f 解：运用综合除法可得 327 1093913623271170 83918605023--------- 商为109391362)(234+-+-=x x x x x q ，余式为.327)(-=x r

(完整word版)高等代数习题集

高等代数习题集苏州大学数学科学学院高等代数组收集 2003, 4,30 1.设X = ，求X。 2.设二次型f(x1, x2,... , x n)是不定的，证明：存在n维向量X0，使X0'AX0 = 0，其中A是该二次型的矩阵。 3.设W = {f (x)| f (x) P[x]4, f (2) = 0}。 a 证明：W是P[x]4的子空间。 b 求W的维数与一组基。 4.在R3中定义变换A：任意 (x1, x2, x3) R3, A(x1, x2, x3) = (2x2 + x3, x -4x2, 3x3)。 1 1，证明：A是Rr3上线性变换， 2，求A在基xi1 = (1, 0, 0), xi2 = (0, 1, 0), xi3 = (1, 1, 1)下的矩阵。 5.设，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。 6.设V是数域P上n维线性空间，A是V上可逆线性变换，W是A的不变子空间。证明：W也是A-1的不变子空间。

7.设V是n维欧氏空间，A是V上变换。若任意,V，有 (A, A) = (,)。证明：A是V上线性变换，从而是V上正交变换。 8.设X = ，求X。 9.设A是奇数级的实对称矩阵，且| A| > 0，证明：存在实n维向量X0 0，使X0'AX0 > 0。 10.设A = ，W = {|R4, A = 0}。证明： 1.[1，]W是4的一个子空间。 2.[2，]求W的维数与一组基。 11.设B，C = ，在R2 x 2中定义变换A：任意X R2 x 2, A(X) = BXC。 1，证明：A是R2 x 2上线性变换。。 2，求A在基E11, E12, E21, E22下的矩阵。 12.用正交线性替换，化实二次型f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形。 13.设V为数域P上线性空间，A是V上线性变换，若 (A2)-1(0) = A-1(0)，证明：V = AV.+A-1(0)。 14.设V是n维欧氏空间。A是V上正交变换，W是A的不变子空间。证明： W也是A的不变子空间。 15.设X = ，求X。

第一章多项式

第一章多项式习题精解 1．用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-= x x r x x q 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+3 2|1 2）q px x mx x ++++242|1 解 1) 由假设，所得余式为0，即 0)()1(2=-+++m q x m p 所以当 ? ??=-=++0012m q m p 时有 q px x mx x ++-+32|1 2）类似可得 ? ??=--+=--010)2(22m p q m p m 于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022 =--m p 时，代入（2）可得1=q 。综上所诉，当 ???+==10q p m 或? ??=+=212m p q 时，皆有 q px x mx x ++++242|1

3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式():r x 1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+ 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+ 解 1）432()261339109 ()327 q x x x x x r x =-+-+=-； 2） 2()2(52) ()98q x x ix i r x i =--+=-+ 4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成 2010200()()...()...n n c c x x c x x c x x +-+-++-+ 的形式： 1）50(),1f x x x == 2）420()23,2f x x x x =-+=- 3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=- 解 1）由综合除法，可得 2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- 2）由综合除法，可得 42234231124(2)22(2)8(2)(2)x x x x x x -+=-+++-+++ 3）由综合除法，可得 4322(1)3(7)x ix i x x i +-+-++ 234(75)5()(1)()2()()i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++ 5．求()f x 与()g x 的最大公因式： 1）43232()341,()1f x x x x x g x x x x =+---=+-- 2）4332 ()41,()31f x x x g x x x =-+=-+ 3）42432()101,()61f x x x g x x x =-+=-+++

高等代数与解析几何第七章习题7答案

习题习题设A 是一个n 阶下三角矩阵。证明：（1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i =，则A 必可对角化；（2）如果A 的对角线元素nn a a a === 2211，且A 不是对角阵，则 A 不可对角化。证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλ ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i =，所以A 有 n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。（2）假设A 可对角化，即存在对角阵???? ? ? ? ??=n B λλλ 21，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21 。又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλ ，从而 E a a a a B nn 112211=???? ? ? ? ??= ，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与假设矛盾，所以A 不可对角化。习题设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值 s λλλ,,,21 ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i =。证明：（1）s V V V +++ 21是直和；

（2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕= 21。证明：（1）取s V V V +++ 21的零向量0，写成分解式有 021=+++s ααα ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1 =。现用1 2,,,-s σσσ 分别作用分解式两边，可得 ??? ??? ?=+++=+++=+++---000 1212111221121s s s s s s s s αλαλαλαλαλαλααα 。写成矩阵形式为 )0,,0,0(111),,,(11221 1121 =? ??? ??? ? ?---s s s s s s λλλλλλααα。由于s λλλ,,,21 是互不相同的，所以矩阵? ??? ??? ? ?=---11221 11111s s s s s B λλλλλλ 的行列式不为零，即矩阵B 是可逆的，进而有 )0,,0,0()0,,0,0(),,,(1121 ==--B BB s ααα，)0,,0,0(),,,(21 =s ααα。这说明s V V V +++ 21的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得 s V V V +++ 21是直和。（2）)(?因i V ，s i ,,2,1 =都是V 的子空间，所以有s V V V V ⊕⊕⊕? 21。又因σ可对角化，所以σ有n 个线性无关的特征向量，它们定属于某一特征值，即它们都属于s V V V ⊕⊕⊕ 21。对任意的V ∈α，一定可由n 个线性无关的特征向量线性表示，所以s V V V ⊕⊕⊕∈ 21α，即得 s V V V V ⊕⊕⊕? 21成立，故有s V V V V ⊕⊕⊕= 21。 )(?因s V V V V ⊕⊕⊕= 21，所以分别取i V ),,2,1(s i =的基：i id i i ααα,,,21 ，

高等代数多项式习题解答(供参考)

第一章多项式习题解答 1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r . 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 9 2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q . 2.q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1. 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有 q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323. 因此有m q p m ==++,012. 2）q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即 ???=--+=--010)2(22m p q m p m ，即???=+=,1,0p q m 或? ??==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得 ???=+=,1,0p q m 或???==+. 1,22q m p

(完整word版)高等代数作业第一章多项式答案

高等代数第一次作业第一章多项式 §1—§3 一、填空题 1. 如果()|()f x g x ,()|()g x h x ，则。()|()f x h x 2. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ，则。()|()f x h x 3. 若()|()f x g x ,()|()/f x h x ，则。()|()()/f x g x h x + 二、判断题 1. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域（）√ 2. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是整数是数域（）× 3. 若()|()()f x g x h x ,()|()/f x g x ,则()|()f x h x ( ) × 4. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ,则()|()f x h x （）√ 5. 数集}{ 是有理数b a b a ,|2+是数域（）√ 6. 数集}{为整数n n |2是数域（）× 除法不封闭 7. 若()|()()f x g x h x ，则()|()f x g x 或()|()f x h x ( ) × 当()f x 是不可约时才成立 8. 若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x ( ) × 如2()f x x =，()()g x h x x ==时不成立 9. 若()|()()f x g x h x +,()|()()f x g x h x -，则()|()f x g x 且()|()f x h x ( ) √ 三、选择题 1. 以下数集不是数域的是（）B A 、{是有理数b a bi a ,|+，21i =-} B 、{是整数b a bi a ,|+，21i =-} C 、{ }是有理数b a b a ,|2+ D 、{}全体有理数 2. 关于多项式的整除，以下命题正确的是（）C A 、若()|()()f x g x h x 且()|()/f x g x ,则()|()f x h x B 、若()|()g x f x ,()|()h x f x ,则()()|()g x h x f x C 、若()|()()f x g x h x +，且()|()f x g x ，则()|()f x h x D 、若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x 四、计算题数域P 中的数q p m ,,适合什么条件时, 多项式q px x mx x ++-+32|1? 解：由假设，所得余式为0，即 0)()1(2=-+++m q x m p 所以当???=-=++0 012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1 五、证明题试证用21x -除()f x 所得余式为 2 )1()1(2)1(1-++--f f x f f ）（。证明：设余式为ax b +，则有2()(1)()f x x q x ax b =-++ (1),(1)f a b f a b =+-=-+ 求得a =2)1()1(,2)1()1(-+=--f f b f f 高等代数第二次作业第一章多项式 §4—§6 一、填空题

高等代数习题及答案(1)

高等代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。（） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。（） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。（） 4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的一个子空间。（） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。（） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。（） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。（） 8、线性变换的属于特征根0 的特征向量只有有限个。（） 9、欧氏空间V 上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。（） 10、若 n ,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且 n i i i x 1 ，那么 n i i x 1 2 。（）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（） ① n n n x g x f x g x f ,, ； ② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ； ③ x g x g x f x g x f ,, ； ④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0 D ，则D 中必有一行全是零； ④若0 D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；

第一章多项式练习题

第一章多项式一．填空题 1、当p(x)是多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。 2、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。 32+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= 、设f(x)=x +3x b= 。3 42-kx+2用x-1除余数为3，则k= 4、设f(x)=x +3x 。22432+ax+b，则a= b= -3x +6x 5、如果(x。-1) |x6、f(x)没有重根的充分必要条件是。 3-3x+k有重根，那么k= 7、如果f(x)=x 。 (k?1)(xf))p(xp(x)f(x)k的8．若不可约多项式是是的因式重因式，则 9、a是f(x)的根的充分必要条件是。 10、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。11．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个条件。答案 1、不可约 2、互素 3、a=0,b=1 4、k=3 5、a=3,b=-7 6、(f(x),f'(x))=1 7、k=±2 5432+14x-4 11. 充分-20x x-a|f(x) 9、10、x -6x +15x8. 单因式二．判断并说明理由 1、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x),则f(x)|h(x) （） 2、若f(x)|g(x)h(x)，则f(x)|g(x)或f(x)|h(x) ( ) 2?1f(xx)0]f(??f(1)1)?Pf(x)?[x．，则 3. 设（，且） ?(xf)的k-1重因式。则k重因式，p(x)是）（f(x)上不可约多项式，设4、p(x)是数域p 如果p(x)是的5．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。)xf(f(x)．若一整系数多项式6在有理数域上可约。有有理根，则Qf(x)xf()）在7.若上不可约。（无有理根，则在实数域上所有次数大于或等于8. 3的多项式都是可约的.）（34（f(x)=x9、-2x+8x-10在有理数域上不可约。） 1 答案√8. 时成立7. × 5. √ 6. ×次数≥24√1、2、×当f(x)是不可约时才成立 3. √、√ 、√9三．选择题）1、以下数集不是数域的是（ ??2是有理数bbi|a,a? A、= -1，i??2是整数|a,b?abi，i = -1B、 ??是有理数,bb2|aa?、C??全体有理数D、2、关于多项式的整除，以下命题正确的是（） |g(x)则f(x)|h(x) f(x)|g(x)h(x),且f(x) A、若?B、若g(x)|f(x),h(x)|f(x),则g(x)h(x)|f(x)

高等代数多项式试题库(精品文档)

§1 数域[达标训练题] 一填空题 1．数集{0}对运算封闭. 2．自然数集N 对运算封闭. 3．数集},{Z b a bi a ∈+对封闭. 二判断题 1. 数域必含有无穷多个数. 2. 所有无理数构成的集合是数域. 三证明 1. 证明},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域,这里n 不是完全平方数. 2. 证明},2{3 Q b a b a ∈+不是数域. 3. 若21,P P 是数域,证明21P P 也是数域,而21P P 不一定是数域. §1 数域[达标训练题解答] 一填空题 1．加法、减法、乘法；2.加法、乘法；3.加法、减法、乘法. 二判断题 1. ( T)； 2. ( F) 三、解答题 1．证明显然n Q ∈1,0. 对任意的)(,2211n Q n b a n b a ∈++, )()(2211n b a n b a +±+=)(21a a ±+n b b )(21±)(n Q ∈; )()(2211n b a n b a +?+ n b a b a bn b a a )()(12212121+++=)(n Q ∈. 当011≠+n b a 时, n b a n b a 1122++ ) (21212 12121212121n Q n n b a a b b a n b a n b b a a ∈?--+--= .故},{)(Q b a n b a n Q ∈+=对加法减法乘法除法封闭.即},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域. 2．证明因为 ∈3 2},2{3 Q b a b a ∈+, ?=?333 422},2{3 Q b a b a ∈+. 即} ,2{3Q b a b a ∈+对乘法不封闭.所以 } ,2{3Q b a b a ∈+不是数域. 3．证明由于任意数域都包含有理数, 故21,P P 也包含有理数域, 从而2 1P P 包含有理数域.令21,P P b a ∈, 则1,P b a ∈, 2,P b a ∈.由于21,P P 是数域,故

高等代数第一章答案(多项式)

高等代数例题(全部)

高等代数例题第一章多项式 1．44P 2 （1）m 、p 、q 适合什么条件时，有2 3 1x mx x px q +-++ 2．45P 7 设3 2 ()(1)22f x x t x x u =++++，3 ()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式，求t 、 u 的值。 3．45P 14 证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x += 4．45P 18 求多项式3 x px q ++有重根的条件。 5．46P 24 证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x - 6．46P 25 证明：如果233 12(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x - 7．46P 26 求多项式1n x -在复数域内和实数域内的因式分解。 8．46P 28 （4）多项式1p x px ++ （p 为奇素数）在有理数域上是否可约？ 9．47P 1 设1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+，且0ad bc -≠。求证： 11((),())((),())f x g x f x g x =。 10．48P 5 多项式()m x 称为多项式()f x ，()g x 的一个最小公倍式，如果（1）()()f x m x ，()()g x m x ；（2）()f x ，()g x 的任意一个公倍式都是()m x 的倍式。我们以[(),()]f x g x 表示首项系数为1的那个最小公倍式。证明：如果()f x ，()g x 的首项系数都为1，那么()() [(),()]((),()) f x g x f x g x f x g x = 。 11．设 m 、n 为整数，2()1g x x x =++除33()2m n f x x x =+-所得余式为。 12．求证：如果()d x |()f x ，()d x |()g x ，且()d x 是()f x 与()g x 的一个组合，那么()d x 是()f x 与 ()g x 的一个最大公因式。 13． 14 3 4141)g( , 21212321)(23423456 -+--=+--+-- =x x x x x x x x x x x x f 求())(),(x g x f 。 14．设22()(1) 21m n f x x x x =+--- (m ,n 是正整数),2()g x x x =+ 。证：()g x |()f x 。

高等代数考研真题第一章多项式

第一章多项式 1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4 (1)X -整除,而()1f x -能被4(1)X +整除。 2、（南航2001—20分）（1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2 +px+q ，求p,q 之值。（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式（x 2 +1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0 （x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0 证明：x 2 +1∣f(x)，x 2 +1∣g(x) 3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n -1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。 4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x )，g 3(x )，f(x),已知g 1(x)∣f(x)， g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。证明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。 6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出 f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m (x)。 7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。若存在数α使得f(α)=g(α)=0，则f(x)∣g(x)。 8、（南航2004—30分）（1）设f(x)=x 7+2x 6 -6x 5-8 x 4 +19x 3+9x 2-22x+8，g(x)=x 2+x -2，将f(x)表示成g(x)的方幂和，即将f(x)表示成 f(x)=C k (x)g(x)k + C k-1(x)g(x)k-1+ … + C 1(x)g(x)+C 0(x) 其中次（C i (x)）<次（g(x)）或C i (x)=0，i=0,1, …,k。（15分）（2）设d(x)=( f(x)，g(x))，f(x)∣g(x)和g(x)∣h(x)。证明：f(x)g(x)∣d(x)h(x)。（15分） 9、（北京化工大2005—20分）设f 1(x)≠0，f 2(x)，g 1(x)，g 2(x)是多项式，且g 1(x)g 2(x)∣f 1(x) f 2(x)，证明：若f 1(x)∣g 1(x), 则g 2(x)∣f 2(x)。

高等代数多项式月测试题(2010年10月)

《高等代数》多项式月测试题 (2010年10月21日胡付高命题) 一、填空题(每小题5分,共20分) 1．用g (x )=x 2?x +2除f (x )=x 4+2x +5,商式为 ;余式为.2．多项式f (x )=[4(5x ?4)2000x 2?2x ?1]2010(8x 3?11x 2+2)2011的所有系数之和= ,常数项=.3．能被任一多项式整除的多项式是;能整除任意多项式的多项式一定是.4.已知(x ?1)2|Ax 4+Bx 2+1,则A =,B =.二、判断题(对的打√,简述原因或证明;错的打×,并举反例.每小题4分,共20分) 1．若p (x )|f (x )g (x ),则p (x )|f (x )或p (x )|g (x ). 2．若整系数多项式在有理数域上可约,则它一定有有理根. 3．若整系数多项式有有理根,则它在有理数域上一定可约. 4．若p (x )在数域P 上不可约,且p (x )|f (x )g (x )以及p (x )|[f (x )+g (x )]成立,则p (x )|f (x )且p (x )|g (x ). 5．若两个多项式在复数域上不互素,则它们一定有公共的复根.　三、设f (x )=x 4+x 3?3x 2?4x ?1,g (x )=x 3+x 2?x ?1,求(f (x ),g (x )).(共10分) 四、设f (x )=x 5?x 3+4x 2?3x +2. (1)判断f (x )在R 上有无重因式?如果有,求出所有的重因式及重数; (2)求f (x )在R 上的标准分解式.(共15分) 五、设f (x )是一个整系数多项式.证明:若对某个整数m ,使得f (m )与f (m +1)都是奇数,则f (x )没有整数根.(共10分) 六、设f (x )与g (x )互素,证明: (1)f (x )与f (x )?g (x )互素; (2)f (x )g (x )与f (x )?g (x )互素.(共15分) 七、设p 是素数,a 是整数,f (x )=ax p +px +1,且p 2|a +1.证明:f (x )在有理数域上不可约.(共10分) 选做题: 1、设f (x ),g (x ),h (x )为实系数多项式,它们适合下列关系: (x 2+1)h (x )+(x ?1)f (x )+(x ?2)g (x )=0 (x 2+1)h (x )+(x +1)f (x )+(x +2)g (x )=0 证明:f (x ),g (x )都能被x 2+1整除. 2、已知f (x )是一个n 次多项式,对于k =0,1,2,···,n 时有f (k )=k k +1,试求f (n +1).提示:作?(x )=(x +1)f (x )?x .

(完整word版)高等代数多项式习题解答

第一章多项式习题解答 1. 用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x). 5x 2. m, p,q 适合什么条件时，有 1) x 2 mx 11 x 3 px q q(x) x 2 x 1, r(x) 5x 7. x 3 0x 2 px q x p 1 0,q m 时 x 2 mx 11 x 3 px 1) f(x) x 3 3x 2 2x 3x 2 3 2 x 3x x 1 3 2 2 1 x —x -x 3 3 7 2 4 1 x x 3 3 7 2 14 7 —x ■ x — 3 9 9 26 2 —x 9 9 q(x) ￡ r (x ) 26 x 9 2) f(x) 2x 5, g(x) 4 x 4 x 0x 3 0x 2 x 3 2x 2 x 3 2x 2 2x 3 2 x x 2x x 2 x 2x 5 4x 5 x 2 mx 1 当且仅当m 2 i,g(x) x 2x 1 1 —x 3 3x 2

本题也可用待定系数法求解 .当X 2 mx 1| x 3 px q 时，用x 2 mx 1去除 x 3 px q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为 x q.于是有因此有m 2 p 1 0, q m . 2) x 2 mx 11 x 4 2 px q 由带余除法可得 4 2 / 2 x px q (x mx 1)( x 2 mx 2 p 1 m ) m(2 p m 2)x (q 1 p m 2) 当且仅当r(x) m(2 p 2 m )x (q 1 p m 2) 0 时 2 x 4 2 mx 11 x px q .即 m(2 p m 2 ) 2 m ，即 m Q 或 p 2 小 m 2, q 1 p 0 q 1 p, q 1. 本题也可用待定系数法求解.当x 2 mx 1|x 4 px 2 q 时，用x 2 mx 1去除 x 4 px 2 q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为 x 2 ax q .于是有 3. 求 g(x)除 f (x)的商 q(x)与余式 r(x). 5 3 1) f (x) 2x 5x 8x, g(x) x 3; 解：运用综合除法可得 32 5 8 0 6 18 39 117 327 2 6 13 39 109 327 商为 q(x) 2x 4 6x 3 13x 2 39x 109，余式为 r(x) 327. 4 2 x px q (x 2 ax q)( 2 x mx 1) (m a)x 3 (ma 2 q 1)x (a mq)x q. ma q 1 p, a mq 0.消去a 可得 m 0,或 2 p m 2, q 1 p, q 1. x 4 比较系数可得m a 0, 2 px q (x q)(x mx 1) x 3 (m q)x 2 (mq 1)x q .

[高等代数(上)课外习题 第一章多项式]