初二奥数竞赛02
专题02 乘法公式
阅读与思考
乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：
1．熟悉每个公式的结构特征；
2．正用 即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用；
3．逆用 即将公式反过来逆向使用；
4．变用 即能将公式变换形式使用；
5．活用 即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．
例题与求解
【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是 ．
（全国初中数字联赛试题）
解题思路：因22()()a b a b a b -=+-，而a b +a b -的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．
【例2】（1）已知,a b 满足等式2220,4(2)x a b y b a =++=-，则,x y 的大小关系是( )
A ．x y ≤
B ．x y ≥
C ．x y <
D ．x y >
（山西省太原市竞赛试题）
（2）已知,,a b c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=-，则a b c ++的值等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
（河北省竞赛试题）
解题思路：对于（1），作差比较,x y 的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．
【例3】计算下列各题：
（1） 2486(71)(71)(71)(71)1+++++；
（天津市竞赛试题） （2）221.23450.7655 2.4690.7655++?；
（“希望杯”邀请赛试题） （3）22222222(13599)(246100)++++-++++ ．
解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．
【例4】设221,2a b a b +=+=，求77
a b +的值． （西安市竞赛试题）
解题思路：由常用公式不能直接求出77a b +的结构，必须把77a b +表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．
【例5】观察：
222123415;
2345111;3456119;
???+=???+=???+=
（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；
（2）根据（1），计算20002001200220031???+的结果（用一个最简式子表示）．
（黄冈市竞赛试题）
解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．
【例6】设,,a b c 满足2223331,2,3,a b c a b c a b c ++=++=++=求：
（1）abc 的值；
（2）444
a b c ++的值．
（江苏省竞赛试题）
解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．
能力训练
A 级
1．已知22(3)9x m x --+是一个多项式的平方，则m = ． （广东省中考试题）
2．数4831-能被30以内的两位偶数整除的是 ．
3．已知222246140,x y z x y z ++-+-+=那么x y z ++= ．
（天津市竞赛试题）
4．若3310,100,x y x y +=+=则22x y += ．
5．已知,,,a b x y 满足3,5,ax by ax by +=-=则2222()()a b x y ++的值为 ．
（河北省竞赛试题）
6．若n 满足22(2004)(2005)1,n n -+-=则(2005)(2004)n n --等于 ．
7．2222
1111(1)(1)(1)(1)2319992000---- 等于（ ） A ．19992000 B ．20012000 C ．19994000 D ．20014000
8．若222210276,251M a b a N a b a =+-+=+++，则M N -的值是（ ）
A ．正数
B ．负数
C ．非负数
D ．可正可负 9．若222,4,x y x y -=+=则19921992x
y +的值是（ ） A ．4 B ．19922 C ．21992 D ．41992
（“希望杯”邀请赛试题）
10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能
组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？ （“CASIO ”杯全国初中数学竞赛试题）
11．设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数．
（
“希望杯”邀请赛试题）
12．观察下面各式的规律：
222222222222(121)1(12)2;
(231)2(23)3;(341)3(34)4;
?+=+?+?+=+?+?+=+?+
写出第2003行和第n 行的式子，并证明你的结论．
B 级
1．()n a b +展开式中的系数，当n =1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出901.1的值为 ． （《学习报》公开赛试题）
2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3
的对面的数分别为,,a b c ，则222
a b c ab bc ac ++---的值为 ．
（天津市竞赛试题）
3．已知,,x y z 满足等式25,9,x y z xy y +==+-则234x y z ++= ．
4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为 ．
（全国初中数学联赛试题）
5．已知19992000,19992001,19992002a x b x c x =+=+=+，则多项式222a b c ab bc ac ++---的
值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 6．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ）
A ．16种
B ．14种
C ．12种
D ．10种
（北京市竞赛试题）
7．若正整数,x y 满足2264x y -=，则这样的正整数对(,)x y 的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
（山东省竞赛试题）
8．已知3a b -=，则33
9a b ab --的值是（ ）
A ．3
B ．9
C ．27
D ．81
（“希望杯”邀请赛试题）
9．满足等式221954m n +=的整数对(,)m n 是否存在？若存在，求出(,)m n 的值；若不存在，说明理由． 第2题图 1
1 2
1 1 3
3 1 1
4 6 4 1 1
5 10 10 5 1 … … … … … … …
10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方
数，求所有这样的两位数．
（天津市竞赛试题）
11．若x y a b +=+，且2222x y a b +=+， 求证：2003200320032003x y a b +=+．
12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如
222222420,1242,2064,=-=-=-因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为22k +和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？ （浙江省中考试题）