全等三角形总复习

专题总复习（一）全等三角形、轴对称

一、复习目标：

1、理解全等三角形概念及全等多边形的概念.

2、掌握并会运用三角形全等的判定和性质，能应用三角形的全等解决一些实际问题.

3、通过复习，能够应用所学知识解决一些实际问题，提高学生对空间构造的思考能力.

二、重难点分析：

1、全等三角形的性质与判定；

2、全等三角形的性质、判定与解决实际生活问题.

三、知识点梳理：

知识点一：全等三角形的概念——能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.

知识点二：全等三角形的性质.

（1）全等三角形的对应边相等. （2）全等三角形的对应角相等.

知识点三：判定两个三角形全等的方法.

（1）SSS （2）SAS （3）ASA （4）AAS （5）HL（只对直角三形来说）

知识点四：寻找全等三形对应边、对应角的规律.

①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.

②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角.

③有公共边的，公共边一定是对应边.

④有公共角的，公共角一定是对应角.

⑤有对顶角的，对顶角是对应角.

⑥全等三角形中的最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）.

知识点五：找全等三角形的方法.

（1）一般来说，要证明相等的两条线段（或两个角），可以从结论出发，看它们分别落在哪两具可能的全等三角形中.（常用的办法）

（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等.

（3）可以从已知条件和结论综合考虑，看它们能否一同确定哪两个三角形全等.

（4）如无法证证明全等时，可考虑作辅助线的方法，构造成全等三角形.

知识点六：角平分线的性质及判定.

（1）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.

（2）角平分线的判定：在角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上.

（3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条角平分线交于一点，且到三角形三边距离相等.

知识点七：证明线段相等的方法.（重点）

（1）中点性质（中位线、中线、垂直平分线）

（2）证明两个三角形全等，则对应边相等

（3）借助中间线段相等.

知识点八：证明角相等的方法.（重点）

（1）对顶角相等；

（2）同角或等角的余角（或补角）相等；

（3）两直线平行，内错角相等、同位角相等；

（4）角平分线的定义；

（5）垂直的定义；

（6）全等三角形的对应角相等；

（7）三角形的外角等于与它不相邻的两内角和.

知识点九：全等三角形中几个重要的结论.

（1）全等三角形对应角的平分线相等；

（2）全等三角形对应边上的中线相等；

（3）全等三角形对应边上的高相等.

知识点十：三角形中常见辅助线的作法.（重难点）

（1）延长中线构造全等三角形（倍长线段法）；

（2）引平行线构造全等三角形；

（3）作垂直线段（或高）；

（4）取长补短法（截取法）.

O D C

B A E F N B M 120°A E D C

B A

四、例题精讲：

考点一：考查全等三角形的性质定理及判定定理.

类型1 下列三角形全等的判定中，只适用于直角三角形的是（ ）

A 、SSS

B 、SAS

C 、ASA

D 、HL

类型2 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）

A 、一锐角和一直角边对应用相等

B 、两直角边对应相等

C 、两锐角对应相等

D 、斜边、直角边对应相等.

类型3 如图，AC 和BD 相交于点O ，BO =DO ，AO =CO ，则图中的全等三角形共有多少对（ ）

A 、1对

B 、2对

C 、3对

D 、4对

考点二：考查全等三角形与垂直平分线的应用.

类型1 在ABC ?中，AB cm BC A AC AB ，，，6120=?=∠=的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于F ，求证：NC MN BM ==.

类型2 如图所示，在ABC ?中，AC AB =，BD 平分ABC ∠，AD BC BD ==，DE AB ⊥.

（1）求A ∠的度数；

（2）求证：AE BE =.

图2图1C A D B E A E D C N M E F

D C B A

Q A

E B C

P

考点三：全等三角形与等边三角形的综合运用.

类型1 已知ABC ?和DEB ?为等边三角形，点B D A 、、在同一直线上，如图1所示.

（1）求证：AE DC =；

（2）若AE BN CD BM ⊥⊥，，垂足分别为N M 、，

如图2，求证：BMN ?是等边三角形.

类型 2 如图所示，ABC ?是边长为1的等边三角形，?=∠=120BDC CD BD ，，F E 、分别在AC AB 、上，且?=∠60EDF ，求AEF ?的周长.

类型3 如图所示，ABC ?是等边三角形，AD BQ CD AE ⊥=，于点Q BE 交AD 于点P ，

（1）求PBQ ∠的度数；

（2）请判断PQ 与PB 的数量关系，并说明理由；

（3）若31PQ PE ==，，求AD 的长.

A B C

F E D D A C B E A B C D B A E

类型4 如图所示，ABC ?为等边三角形，D 为BC 边上的一点，且AC DF AB DE ⊥⊥，，若A

B C ?的高为32，求DF DE +的值.

考点四：角平分线与全等三角形的综合运用. 类型1 在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，AD CE ⊥于E ，求证：ACE B ECB ∠=∠+∠.

类型2 如图所示，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，B C ∠=∠2，求证：CD AC AB +=.

类型3 如图所示，//AB CD ，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，求证：BC AB CD =+.

类型4 如图所示，在ABC ?中，?=∠60C ，BE AF ,分别为ABC CAB ∠∠,的角平分线，AF 交BC

A B 21C D D

G A

E B C

E D C B A 于点E ，BE 交AC 于点

F ，BE AF ,相交于点

G ，求证：GF GE =.

考点五：等腰三角形与全等三角形的综合运用.

类型 1 如图所示，ABC ?为等腰三角形，AB AC =，点,D E 分别在AB 和AC 的延长线上，且BD CE =，DE 交BC 于点G ，求证：DG GE =.

类型2 如图所示，在ABC ?中，CD BD =，21∠=∠，求证：AD 平分BAC ∠.

类型3 如图所示，在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，BC AC =，D 为BC 中点，AD CE ⊥于E ，交AB 于F ，连接DF ，求证：BDF ADC ∠=∠.

类型4 如图所示，已知AB CE AC BD AC AB ⊥⊥=，，，垂足分别为E D 、，CE BD ,相交于点F ， 求证：CD BE =.

B D

A E A

B

C

D A D C

类型5 已知ADE ABC ??、是两个腰互不相等的等腰直角三角形，

，，AE AD AC AB ==?=∠=∠90DAE BAC ，连结DC . （1）求证：CD BE =；（2）求证：CD BE ⊥.

考点六：考查中线与全等三角形的综合运用.

类型1 如图所示，AD 是ABC ?的中线，求证：AC AB AD +<2

类型2 如图所示，CE CB 、分别是ABC ?，ADC ?的中线，且AB AC =，求证：2CD CE =.

类型3 已知如图所示，在ABC Rt ?中，?=∠90C ，CD 是ABC Rt ?的中线，求证：CD BD AD ==.

A D

考点七：考查全等三角形关于“质点运动”问题（通常与一次函数相结合）（难点）

类型1 已知直线AB 的函数解析式为8+-=x y ，且与x 轴、y 轴分别交于B A 、两点，点O 到直线AB 的距离为24，动点Q 从点B 开始在线段BA 上向点A 移动，同时动点P 从点A 开始向线段AO 上向点O 移动，两点速度均以1个单位长度的速度移动，设点Q 、P 移动时间为t s .

（1）求出B A 、两点的坐标.

（2）当t 为何值时，APQ ?与OBQ ?全等.

（3）是否存在AOQ ?与OBQ ?全等？若存在，试求出此时t 的取值

范围及线段OQ 所在直线的函数解析式；若不存在，请说明理由.

考点八：旋转与全等三角形、等腰三角形、等边三角形的综合运用. 类型1：如图所示，点O 是等边ABC ?内一点，a BOC AOB =∠?=∠，110，将BOC ?绕点C 按顺时针方向旋转?60得ADC ?，连接OD .

（1）求证：COD ?是等边三角形；

（2）当?=150a 时，试AOD ?判断的形状，并说明理由；

A B

C

E C

F N B M 120°A

E D B A （3）探究：当a 为多少度时，AOD ?是等腰三角形？

五、练习巩固.

1、如上图若?=∠105A ，NF ME 、分别为AC AB 、的垂直平分线，求MAN ∠的度数.

2、如图所示，在ABC ?中，AC AB =，?=∠36A ，BD 平分ABC ∠，AB DE ⊥，

（1）图中有多少个等腰三角形，请写出来.

（2）求证：AD BC BD ==；

（3）若BDC ?的周长为24cm ，14=AB cm ，求ABC ?的周长.

3、如图所示，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，CD AC AB +=，求证：B C ∠=∠2

F A

B E

C A B C

D M C A B

F E (C )D E D E D A D E F

4、如图所示，在ABC ?中，BD DC =，ED DF ⊥，求证：BE CF EF +>.

5、如图所示，在ABC Rt ?中，?=∠45B ，AD 平分BAC ∠，求证：CD AC AB +=

6、如图所示，90B C ∠=∠=?，M 为BC 的中点，AM 平分DAB ∠，求证：DM 平分ADC ∠.

7、如图(1)所示，ABC ?沿着DE 对折，使点A 刚好落在点B 上，如图(2)所示，将图(2)再沿着()BF AF 对折（图(3)所示），使点C 刚好落在点D 上，得到图(4).请问： (1) ABC ?中A ∠的度数为__________；(2)根据上述的折叠，图(1)中，有_______个等腰三角形.

A

E

F F E D C B A

E C

D B A

8、如图所示，在ABC ?中，AD 是BAC ∠的角平分线，AC DF AB DE ⊥⊥，，228cm S ABC =?，，cm AB 20=cm AC 8=，求DE 的长.

9、如图所示，已知AB CE AD BD ⊥=，垂足为E ，CE BD ,相交于点F ，

求证：CDF ?为等腰三角形.

10、如图所示，在ABC ?中，CD AB =，BDA BAD ∠=∠，AE 是ABD ?的中线.求证：AE AC 2=.

11、如图所示，已知在ABC ?中，cm BC cm AC AB 810===，，点D 为AB 的中点，

（1）如果点P 在线段BC 上以s cm /3的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动.

①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，BPD ?与CQP ?是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD ?与CQP ?全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿

图1D F A C E G 图2D E B C A ABC ?三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC ?的哪条边上相遇？

12、如图1所示，ABC ?和DEB ?为等边三角形，E B A 、、在同一条直线上，连接CE AD 、分别交BD BC 、于点F G 、，连结GF .

（1）求证：CE AD =.

（2）求证：BGF ?是等边三角形.

（3）将BDE ?绕点B 按顺时针方向旋转?90，其他条件不

变的情况下，在图2中补出符合要求的条件，并判断第（1）

（2）两小题的结论是否成立？

13、如图①所示，在ABC Rt ?中，90BAC ∠=?，AB AC =，点D E 、是直线AC 上的两动点，且AD CE =，AM BD ⊥，垂足为M ，延长AM 交BC 于点N ，直线BD 交直线NE 于点F .

(1)试探究EDF ∠与DEF ∠的大小关系；

(2)如图②所示，若D E 、运动到如图位置，其他条件不变，图①中的EDF ∠与DEF ∠的大小关系

还成立吗？若成立，请证明出来，若不存在，试说明理由.

(3)如图③所示，当DE 运动到如图的位置，此时的EDF ∠与DEF ∠的大小关系又是如何？请证明