数学(文)一轮教学案:第六章第4讲 数列求和、数列的综合应用 Word版含解析

数学(文)一轮教学案:第六章第4讲 数列求和、数列的综合应用 Word版含解析
数学(文)一轮教学案:第六章第4讲 数列求和、数列的综合应用 Word版含解析

第4讲 数列求和、数列的综合应用

考纲展示 命题探究

考点一 数列求和

数列的求和方法

(1)公式法

直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和

①等差数列的前n 项和公式:

S n =n (a 1+a n )2

=na 1+n (n -1)2d . ②等比数列的前n 项和公式:

S n =????? na 1

,q =1,a 1-a n q 1-q =a 1(1-q n )1-q ,q ≠1.

③常见数列的前n 项和公式:

a .1+2+3+…+n =n (n +1)2;

b .2+4+6+…+2n =n 2+n ;

c .1+3+5+…+(2n -1)=n 2;

d .12+22+32+…+n 2=n (n +1)(2n +1)6;

e .13+23+33+…+n 3

=??????n (n +1)22. (2)倒序相加法

如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法,

如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的.

(3)裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.

常见的裂项公式有:

①1n (n +1)=1n -1n +1

; ②1n (n +2)=12? ??

??1n -1n +2; ③1(2n -1)(2n +1)=12? ??

??12n -1-12n +1; ④1

n +n +1=n +1-n . (4)错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可用此法来求,如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的.

(5)分组求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后相加减.

注意点 裂项相消法求和时注意事项

(1)在把通项裂开后,应验证其是否恰好等于相应的两项之差. (2)在正负项抵消后,应注意是否只剩下第一项和最后一项,有时是前面剩下两项(或几项),后面也剩下两项(或几项).

1.思维辨析

(1)如果已知等差数列的通项公式,则在求其前n 项和时使用公

式S n =n (a 1+a n )2

较为合理.( ) (2)如果数列{a n }为等比数列,且公比不等于1,则其前n 项和S n

2019年高考数学高频考点专题43数列数列的求和4分组求和倒序相加法 文数(含解析)

专题43 数列 数列的求和4 ( 分组求和、倒序相加法) 【考点讲解】 一、具本目标:1.掌握等差、等比数列的求和方法; 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法. 考纲解读:会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和,非等差、等比数列的求和是高考的热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述: 求数列前n 项和的基本方法 (1)直接用等差、等比数列的求和公式求和; 等差:; 等比: 公比是字母时需要讨论. (理)无穷递缩等比数列时,q a S -= 11 (2)掌握一些常见的数列的前n 项和公式: ; ; ; ; (3)倒序相加法求和:如果一个数列 {}n a ,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数, 那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法. (4)错位相减法求和:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么

这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法:若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =?,其中{}n a 、 {}n b 中一个是等差数列,另一个是等比数列,求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比,然后再将所得新和式与原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和.这种方法叫q 倍错位相减法. 温馨提示:1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合. 2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留. (5)分组求和:有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,先分别求和,再合并.通项公式为a n = 的数列,其中数列{b n },{c n }是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和. 形如: n n b a +其中, (6)并项求和法 一个数列的前n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如类 型,可采用两项合并求解. 合并求和:如求 的和. (7)裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差,正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项: ; . 【真题分析】

高考数学题型全归纳:数列求和的若干常用方法含答案

数列求和的若干常用方法 数列求和是数列的重要内容之一,也是高考数学的重点考查对象。除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧.如某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法,递推法等。本文就此总结如下,供参考。 一、分组求和法 所谓分组法求和就是:对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。 例1.数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ,数列{b n }满)(,311* +∈+==N n b a b b n n n .(Ⅰ)证明数列{a n }为等比数列;(Ⅱ)求数列{b n }的前n 项和T n。 解析:(Ⅰ)由12,,1211-=∴∈-=++*n n n n a S N n a S , 两式相减得:,2211n n n a a a -=++01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知同, ,21=∴+n n a a 同定义知}{n a 是首项为1,公比为2的等比数列.(Ⅱ),22,211111-+-+-=-+==n n n n n n n n b b b b a ,2,2,2234123012=-=-=-b b b b b b ,221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得: ,222 121322211 2101+=--+=++++=---n n n n b b n T n n n 2)2222()22()22()22()22(12101210+++++=++++++++=∴-- =.12222 121-+=+--n n n n 例2.已知等差数列{}n a 的首项为1,前10项的和为145,求:. 242n a a a +++ 解析:首先由31452 91010110=?=??+=d d a S 则:6223221)21(232)222(32 2323)1(1224221--?=---=-+++=+++∴-?=?-=-+=+n n n a a a a n d n a a n n n n n n n 二、裂项求和法

高考数学一轮复习专题:数列求和(教案及同步练习)

1.等差数列的前n 项和公式 S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d . 2.等比数列的前n 项和公式 S n =???? ? na 1,q =1,a 1-a n q 1-q =a 1(1-q n )1-q ,q ≠1. 3.一些常见数列的前n 项和公式 (1)1+2+3+4+…+n =n (n +1) 2. (2)1+3+5+7+…+2n -1=n 2. (3)2+4+6+8+…+2n =n (n +1). (4)12+22+…+n 2=n (n +1)(2n +1) 6. 【知识拓展】 数列求和的常用方法 (1)公式法 等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和. (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解. (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项. 常见的裂项公式 ① 1n (n +1)=1n -1 n +1 ;

②1(2n -1)(2n +1)=12????1 2n -1-12n +1; ③ 1 n +n +1 =n +1-n . (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广. (6)并项求和法 一个数列的前n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如a n =(-1)n f (n )类型,可采用两项合并求解. 例如,S n =1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列,且公比不等于1,则其前n 项和S n =a 1-a n +1 1-q .( √ ) (2)当n ≥2时,1n 2-1=12(1n -1-1 n +1 ).( √ ) (3)求S n =a +2a 2+3a 3+…+na n 之和时,只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( × ) (4)数列{12n +2n -1}的前n 项和为n 2+1 2 n .( × ) (5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法,利用此法可求得sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 288°+sin 289°=44.5.( √ ) 1.(2017·潍坊调研)设{a n }是公差不为0的等差数列,a 1=2,且a 1,a 3,a 6成等比数列,则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A.n 2+7n 4 B.n 2+5n 3 C.2n 2+3n 4 D .n 2+n 答案 A 解析 设等差数列的公差为d ,则a 1=2, a 3=2+2d ,a 6=2+5d . 又∵a 1,a 3,a 6成等比数列,∴a 23=a 1·a 6.

高考数学第2讲数列求和及综合问题

第2讲数列求和及综合问题 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和,难度中档偏下;2.在考查数列运算的同时,将数列与不等式、函数交汇渗透. 真题感悟 1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{a n}满足a n+2+(-1)n a n=3n-1,前16项和为540,则a1=________. 解析法一因为a n+2+(-1)n a n=3n-1, 所以当n为偶数时,a n+2+a n=3n-1, 所以a4+a2=5,a8+a6=17,a12+a10=29,a16+a14=41, 所以a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14+a16=92. 因为数列{a n}的前16项和为540, 所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=540-92=448.① 因为当n为奇数时,a n+2-a n=3n-1, 所以a3-a1=2,a7-a5=14,a11-a9=26,a15-a13=38, 所以(a3+a7+a11+a15)-(a1+a5+a9+a13)=80.② 由①②得a1+a5+a9+a13=184. 又a3=a1+2,a5=a3+8=a1+10,a7=a5+14=a1+24,a9=a7+20=a1+44,a11=a9+26=a1+70,a13=a11+32=a1+102,

所以a 1+a 1+10+a 1+44+a 1+102=184,所以a 1=7. 法二 同法一得a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15=448. 当n 为奇数时,有a n +2-a n =3n -1, 由累加法得a n +2-a 1=3(1+3+5+…+n )-n +1 2 =32(1+n )·n +12-n +12=34n 2+n +1 4, 所以a n +2=34n 2+n +1 4+a 1. 所以a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15 =a 1+? ????34×12+1+14+a 1+? ????34×32+3+14+a 1+? ?? ?? 34×52+5+14+a 1+ ? ????34×72+7+14+a 1+? ????34×92+9+14+a 1+? ?? ??34×112 +11+14+a 1+ ? ???? 34×132+13+14+a 1=8a 1+392=448,解得a 1=7. 答案 7 2.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6=________. 解析 法一 因为S n =2a n +1,所以当n =1时,a 1=2a 1+1,解得a 1=-1. 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2a n +1-(2a n -1+1), 所以a n =2a n -1,所以数列{a n }是以-1为首项,2为公比的等比数列, 所以a n =-2n -1. 所以S 6=-1×(1-26)1-2 =-63. 法二 由S n =2a n +1,得S 1=2S 1+1,所以S 1=-1,当n ≥2时,由S n =2a n +1得S n =2(S n -S n -1)+1,即S n =2S n -1-1,∴S n -1=2(S n -1-1),又S 1-1=-2,∴{S n -1}是首项为-2,公比为2的等比数列,所以S n -1=-2×2n -1=-2n ,所以S n =1-2n ,∴S 6=1-26=-63.

高考理科数学复习题解析 数列求和

高考数学复习 第四节 数列求和 [考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法. 1.公式法 (1)等差数列的前n 项和公式: S n =n a 1+a n 2 =na 1+n n -12 d ; (2)等比数列的前n 项和公式: 2.分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解. 3.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. 4.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,这个数列的前n 项和可用错位相减法求解. 5.倒序相加法 如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解. 6.并项求和法 一个数列的前n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如a n =(-1)n f (n )类型,可采用两项合并求解. 例如,S n =1002 -992 +982 -972 +…+22 -12 =(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050. [常用结论] 1.一些常见的数列前n 项和公式:

(1)1+2+3+4+…+n = n n +1 2 ; (2)1+3+5+7+…+2n -1=n 2 ; (3)2+4+6+8+…+2n =n 2 +n . 2.常用的裂项公式 (1) 1n n +k =1k ? ?? ??1 n -1n +k ; (2)1 4n 2-1=1 2n -1 2n +1=12? ?? ??1 2n -1-12n +1; (3) 1 n +n +1 =n +1-n ; (4)log a ? ?? ??1+1n =log a (n +1)-log a n . [基础自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列,且公比不等于1,则其前n 项和S n =a 1-a n +1 1-q .( ) (2)当n ≥2时, 1n 2-1=12? ?? ??1 n -1-1n +1.( ) (3)求S n =a +2a 2 +3a 3 +…+na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( ) (4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法,利用此法可求得sin 2 1°+sin 2 2°+sin 2 3°+…+sin 2 88°+sin 2 89°=44.5.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2.(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ,若a n =1 n n +1 ,则S 5等于( ) A .1 B.56 C.16 D. 1 30 B [∵a n = 1n n +1=1n -1 n +1 , ∴S 5=a 1+a 2+…+a 5=1-12+12-13+…-16=5 6.] 3.若S n =1-2+3-4+5-6+…+(-1) n -1 ·n ,则S 50=________. -25 [S 50=(1-2)+(3-4)+…+(49-50)=-25.] 4.数列112,314,518,7116,…,(2n -1)+1 2 n ,…的前n 项和S n 的值等于________.

高考数学一轮复习:30 数列求和

高考数学一轮复习:30 数列求和 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共12题;共24分) 1. (2分) (2018高二上·莆田月考) 已知数列满足,是等差数列,则数列 的前10项的和() A . 220 B . 110 C . 99 D . 55 2. (2分) (2017高一下·宜昌期中) 已知函数f(x)=xa的图象过点(4,2),令(n∈N*),记数列{an}的前n项和为Sn ,则S2017=() A . B . C . D . 3. (2分) (2018高一下·石家庄期末) 已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是,接下来的两项是,,再接下来的三项是,,,依此类推,则该数列的前94项和是() A . B . C .

D . 4. (2分)(2017·泉州模拟) 若数列{an}的前n项和为Sn , S2n﹣12+S2n2=4(a2n﹣2),则2a1+a100=() A . ﹣8 B . ﹣6 C . 0 D . 2 5. (2分) (2019高一下·哈尔滨月考) 对于任意实数x,符号[x]表示不超x的最大整数,例如[3]=3,[﹣1.2]=﹣2,[1.2]=1.已知数列{an}满足an=[log2n],其前n项和为Sn ,若n0是满足Sn>2018的最小整数,则n0的值为() A . 305 B . 306 C . 315 D . 316 6. (2分)在数列{an}中,a1=﹣56,an+1=an+12(n≥1),则它的前()项的和最小. A . 4 B . 5 C . 6 D . 5或6 7. (2分)(2017·辽宁模拟) 定义为n个正数P1 ,P2…Pn的“均倒数”,若已知正整数数列{an}的前n项的“均倒数”为,又bn= ,则 + +…+ =() A .

2020届高考数学一轮复习通用版讲义数列求和

第四节数列求和 一、基础知识批注——理解深一点 1.公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)d 2 . 推导方法:倒序相加法. (2)等比数列{a n }的前n 项和S n =????? na 1 ,q =1,a 1(1-q n )1-q ,q ≠1. 推导方法:乘公比,错位相减法. (3)一些常见的数列的前n 项和: ①1+2+3+…+n = n (n +1) 2 ; ②2+4+6+…+2n =n (n +1); ③1+3+5+…+2n -1=n 2. 2.几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和后相加减. (2)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得前n 项和. (3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前n (4)倒序相加法:如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解. 二、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”,错的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列,且公比不等于1,则其前n 项和S n =a 1-a n +1 1-q .( ) (2)当n ≥2时, 1n 2 -1=12? ???1 n -1-1n +1.( ) (3)求S n =a +2a 2+3a 2+…+na n 之和时,只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( )

高考数学一轮复习: 专题6.4 数列求和(练)

专题6.4 数列求和 【基础巩固】 一、填空题 1.数列112,314,518,7116,…,(2n -1)+1 2n ,…的前n 项和S n =________. 【答案】n 2 +1-12 n 【解析】该数列的通项公式为a n =(2n -1)+1 2 n ,则S n =[1+3+5+…+(2n -1)]+ ? ?? ??12+122+…+12n =n 2+1-12n . 2.(·南通调研)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 4=4,S 4=10,则数列???? ?? 1a n a n +1的前2 017 项和为________. 【答案】2 017 2 018 3.数列{a n }的通项公式为a n =(-1)n -1 ·(4n -3),则它的前100项之和S 100=________. 【答案】-200 【解析】S 100=(4×1-3)-(4×2-3)+(4×3-3)-…-(4×100-3)=4×[(1-2)+(3-4)+…+(99-100)]=4×(-50)=-200. 4.(·江西高安中学等九校联考)已知数列5,6,1,-5,…,该数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前16项之和S 16=________. 【答案】7 【解析】根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1,-5,-6,-1,5,6,发现从第7项起,数字重复出现,所以此数列为周期数列,且周期为6,前6项和为5+6+1+(-5)+(-6)+(-1)=0. 又因为16=2×6+4,所以这个数列的前16项之和S 16=2×0+7=7. 5.(·泰州模拟)数列{a n }满足a n +a n +1=12 (n ∈N * ),且a 1=1,S n 是数列{a n }的前n 项和,则S 21

高考数学一轮复习: 专题6.4 数列求和(测)

专题6.4 数列求和 一、填空题 1.(·皖西七校联考)在数列{a n }中,a n =2n -12n ,若{a n }的前n 项和S n =321 64 ,则n =______ 【解析】由a n =2n -12n =1-12n 得S n =n -12+122+…+12n =n -? ????1-12n ,则S n =32164=n -? ?? ??1-12n ,将各选项中的值代入验证得n =6. 2.已知等差数列{a n }的各项均为正数,a 1=1,且a 3,a 4+5 2 ,a 11成等比数列.若p -q =10,则 a p -a q =______ 3.在数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,a n +2-a n =1+(-1)n ,那么S 100的值为______ 【解析】当n 为奇数时,a n +2-a n =0,所以a n =1,当n 为偶数时,a n +2-a n =2,所以a n =n , 故a n =??? ?? 1n 为奇数, n n 为偶数, 于是S 100=50+ 2+100×50 2 =2 600. 4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,当n ≥2时,a n +2S n -1=n ,则S 2 017的值为______ 【解析】因为a n +2S n -1=n ,n ≥2,所以a n +1+2S n =n +1,n ≥1,两式相减得a n +1+a n =1,n ≥2.又a 1=1,所以S 2 017=a 1+(a 2+a 3)+…+(a 2 016+a 2 017)=1 009 5.已知数列{a n }满足a n +2-a n +1=a n +1-a n ,n ∈N *,且a 5=π2,若函数f (x )=sin 2x +2cos 2x 2, 记y n =f (a n ),则数列{y n }的前9项和为______ 【解析】由已知可得,数列{a n }为等差数列,f (x )=sin 2x +cos x +1,∴f ? ?? ??π2=1.∵f (π- x )=sin(2π-2x )+cos(π-x )+1=-sin 2x -cos x +1,∴f (π-x )+f (x )=2.∵a 1+a 9 =a 2+a 8=…=2a 5=π,∴f (a 1)+…+f (a 9)=2×4+1=9,即数列{y n }的前9项和为9. 6.设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和,S 1,S 2,S 4成等比数列,且a 3=-5 2,则数 列?? ? ? ?? 12n +1 a n 的前n 项和T n =______ 【解析】设{a n }的公差为d ,因为S 1=a 1,S 2=2a 1+d =2a 1+ a 3-a 12=3 2a 1-5 4 ,S 4=3a 3+a 1=a 1-

高三数学高考数列求和(裂项及错位)

考点十二 数列求和(裂项及错位) [真题1] (2009山东卷)等比数列{n a }的前n 项和为n S ,已知对任意的n N +∈,点(,)n n S 均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. (1)求r 的值; (11)当b=2时,记1()4n n n b n N a + += ∈,求数列{}n b 的前n 项和n T . [命题探究] 创新是高考命题的要求,《考试大纲》提出命题要“创设比较新颖的问题情境”,同时,“在知识的交汇点处设计命题”是近年来高考命题的一种趋势。本题将数列的递推关系式以点在函数图像上的方式给出,体现了这种命题理念,也渗透了数列是定义在正整数集上的函数观念。第(2)问中对b 的赋值,旨在使问题变得简捷,也使设置的数列求和问题降低难度,达成“不求在细节上人为地设置障碍,而是在大方向上考查考生的数学能力”的命题指导思想。 [命题探源] 本题在设置等比数列的递推关系时,以点(,)n n S 在函数(0x y b r b =+>的图像上的方式给出,这种命题方式与2008年福建一道文科有相似之处:“已知{a n }是正数组成的数列,a 1=1 1n a +)(n ∈N *)在函数y =x 2+1的图象上.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)若列数{b n }满足b 1=1,b n +1=b n +2n a ,求证:b n ·b n +2<b 2 n +1.”本题中增加了对参数r 的求解,因此,如何正确求出r 的值,成为本题的解题思考点,这恰好需要对递推 关系式{ 11,(1) ,(2) n n n S n a S S n -==-≥的正确理解(理角题目的条件:数列{n a }是等比数列,则11S a =满足数列递推式)。第(2)问求数列{}n b 的前n 项和n T , 所用的方法是错位相减法,也是课本中推导等比数列前n 项和公式时所用的方法。高考复习历来提倡回归课本,理解教材,例题的求解方法、公式的推导方法,都需要我们在回归课本中积累知识,提炼方法,形成能力。 [知识链接] 数列求和的几种常见题型与求解方法 (1)裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有: ① 111(1)1n n n n =-++; ②1111()()n n k k n n k =-++; ③ )(1 )0(1 n k n k k k n n -+= >++ **④ 2 1 1 1 1 1 1 1 1(1)(1)1k k k k k k k k k - = < < = - ++--. (2)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n 和公式的推导方法). 设{a n }是等差数列,且公差为d,{b n }是等比数列,且公比为q,记S n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a S ++++++=----1122332211... ① =n qS 1112233221...+-----++++++n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a ② =-n S q )1(+11b a 11232)...(+---+++++n n n n n b a b b b b b d (3)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和. (4)倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n 和公式的推导方法). 《规范解答》 广东省汕头市高三数学复习系列 等差数列、等比数列的性质及应用 新人教A 版 一.课题:等差数列、等比数列的性质及应用 二.教学目标:熟练掌握等差(比)数列的基本公式和一些重要性质,并能灵活运用性质解决有关的问题,培养对知识的转化和应用能力. 三.教学重点:等差(比)数列的性质的应用. 四.教学过程: (一)主要知识:

高考数学一轮复习必备 数列求和

第24课时:第三章数列——数列求和 一.课题:数列求和 二.教学目标:1.熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式; 2.能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算; 3.熟记一些常用的数列的和的公式. 三.教学重点:特殊数列求和的方法. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.等差数列与等比数列的求和公式的应用; 2.倒序相加、错位相减,分组求和、拆项求和等求和方法; (二)主要方法: 1.求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式; 2.求和过程中注意分类讨论思想的运用; 3.转化思想的运用; (三)例题分析: 例1.求下列数列的前n项和 n S: (1)5,55,555,5555,…,5 (101) 9 n-,…;(2) 1111 ,,,,, 132435(2) n n ???+ ; (3) n a=(4)23 ,2,3,,,n a a a na; (5)13,24,35,,(2), n n ???+;(6)2222 sin1sin2sin3sin89 ++++.解:(1)555555555 n n S=++++ 个 5 (999999999) 9 n =++++ 个 23 5 [(101)(101)(101)(101)] 9 n =-+-+-++- 23 5505 [10101010](101) 9819 n n n n =++++-=--. (2)∵ 1111 () (2)22 n n n n =- ++ , ∴ 11111111 [(1)()()()] 2324352 n S n n =-+-+-++- + 11 11 (1) 2212 n n =+-- ++ . (3 )∵ n a===

(新课标)高考数学总复习:考点15-数列求和(含解析)

考点15 数列求和 1.(2010·天津高考理科·T6)已知 {}n a 是首项为1的等比数列,n s 是{}n a 的前n 项和,且369s s =, 则数列1n a ??????的前5项和为( ) (A )158或5 (B )3116或5 (C )3116 (D )158 【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n 项和公式. 【思路点拨】求出数列 {} n a 的通项公式是关键. 【规范解答】选C .设1 n n a q -=,则36361199(1)111q q q q q q --?=?-=---, 即33 918,2q q q =+?=∴=,11112()2n n n n a a --∴=?=,5 51 1()31211612T -∴==-. 2.(2010·天津高考文科·T15)设{an}是等比数列,公比2q = ,Sn 为{an}的前n 项和. 记 *21 17,. n n n n S S T n N a +-= ∈设0n T 为数列{n T }的最大项,则0n = . 【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n 项和、基本不等式等基础知识. 【思路点拨】化简 n T 利用基本不等式求最值. 【规范解答】 , )2(,2 1])2(1[,2 1])2(1[112121n n n n n n a a a S a S =--= --= + ∴ ], 17)2()2(16[ 2 11)2(2 1])2(1[2 1])2(1[171211-+?-= --- --?= n n n n n n a a a T ∵ , 8)2()2(16 ≥+n n 当且仅当16)2(2=n 即216n =,所以当n=4,即04n =时,4T 最大. 【答案】4 3.(2010·安徽高考理科·T20)设数列12,,,, n a a a 中的每一项都不为0. 证明: {}n a 为等差数列的充分必要条件是:对任何n ∈N ,都有

高中数学 数列求和常见的7种方法

数列求和的基本方法和技巧 一、总论:数列求和7种方法: 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法(合并法求和) 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法,等比数列的求和方法是错位相减法, 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式:?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ,求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解:由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x

由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 (利用常用公式) =x x x n --1)1(= 2 11)211(21--n =1-n 21 资料来源QQ 群697373867 关注微信公众号:高中“数学教研室”回复任意内容获取资料 [例2] 设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解:由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n , )2)(1(2 1 ++=n n S n (利用常用公式) ∴ 1)32()(++= n n S n S n f =64 342++n n n = n n 64341+ += 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ,即n =8时,501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和,其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和:1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解:由题可知,{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n -1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② (设制错位) ①-②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- (错位相减) 再利用等比数列的求和公式得:n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解:由题可知,{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积

高考数学一轮复习: 专题6.4 数列求和(讲)

专题6.4 数列求和 【考纲解读】 【直击考点】 题组一 常识题 1. 等差数列{a n }的通项公式为a n =2n +1,其前n 项和为S n ,则数列???? ?? S n n 的前10项和为 ________. 【解析】易知S n n =n +2,所以???? ??S n n 的前10项和为10×3+10×9 2×1=75. 2.数列32,94,258,6516,…,n ·2n +1 2 n 的前n 项和为____________. 【解析】易知a n =n ·2n +12n =n +12n ,∴前n 项和S n =? ????1+121+? ????2+122+? ?? ??3+123+…+ ? ????n +12n = (1+2+3+…+n)+? ?? ??12+122+123+…+12n =(n +1)n 2+12? ? ???1-12n 1-12=n (n +1)2-12n +1. 3.数列1,11+2,11+2+3,…,1 1+2+…+n 的前n 项和为________. 【解析】易知该数列的通项公式为a n =2n (n +1),分裂为两项差的形式,即a n =21n -1 n +1, 则数列的前n 项和S n =21-12+12-13+13-14+…+1n -1n +1=2? ????1-1n +1= 2n n +1 . 4. 1+2x +3x 2 +…+nx n -1 =____________(x ≠0且x ≠1).

题组二 常错题 5.已知S n = 12+1 + 13+2+ 12+3 +…+ 1 n +1+n ,若S m =10,则m =________. 【解析】因为 1n +1+n = n +1-n n +1-n =n +1-n ,所以S m =2-1+3-2+… +m +1-m =m +1-1.由已知得m +1-1=10,所以m =120. 6.数列22,422,623, (2) 2 n ,…的前n 项和为________. 【解析】设S n =22+422+623+...+2n 2n ,①则12S n =222+423+624+ (2) 2n +1,② ①-②,得 ? ?? ??1-12S n =22+222+223+224+…+22n -2n 2n +1=2-12n -1-2n 2n +1 , ∴S n =4-n +2 2n -1. 题组三 常考题 7. 等差数列{a n }的公差是3,若a 2,a 4,a 8成等比数列,则{a n }的前n 项和S n =________. 【解析】由题意,得a 2,a 2+6,a 2+18成等比数列,即(a 2+6)2 =a 2(a 2+18),解得a 2=6,故a 1=3,所以S n =3n + n (n -1)2×3=3 2 n(n +1). 8.设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n +1=S n S n +1,则S n =________. 【解析】因为a 1=-1,a n +1=S n S n +1,所以S 1=-1,S n +1-S n =S n S n +1,所以1S n +1-1 S n =-1, 所以数列???? ??1S n 是首项为-1,公差为-1的等差数列,所以1S n =-n ,所以S n =-1 n . 9. 已知数列{a n }和{b n }满足a 1=2,b 1=1,a n +1=2a n (n ∈N * ),b 1+12b 2+13b 3+ (1) b n =b n +1 -1(n ∈N * ).记数列{a n b n }的前n 项和为T n ,则T n =______________. 【解析】由a n +1=2a n 可得a n +1 a n =2,即数列{a n }是以2为首项,2为公比的等比数列,故数 列{a n }的通项

高考数学数列的求和测试

专题考案(2)数列板块 第3课 数列的求和 (时间:90分钟 满分:100分) 题型示例 已知y =f (x )是一次函数,且f (2),f (5),f (4)成等比数列,f (8)=15,求S n =f (1)+f (2)+…+f (n )(n ∈N x)的表达式. 分析 要求和,关键要先求出f (n ). 解 由y =f (x )是一次函数可设f (x )=ax +b ,则f (2)=2a +b ,f (5)=5a +b ,f (4)=4a +b , ∵f (2),f (5),f (4)成等比数列,∴(5a +b )2=(2a +b )(4a +b ). ∴17a 2+4ab =0,又∵a ≠0. ∴a =- 17 4b ① 又∵f(8)=15,∴8a +b =15 ② 联立方程①、②解得a =4,b =-17,∴f (x )=4x -17. ∴f (1),f (2),…,f (n )可看作是首项为-13,公差为4的等差数列. 由等差数列前n 项和公式可求得S n =-13n +2)1(-n n ×4=2n 2-15n . 点评 此题渗透了函数思想,解题时要注意知识的横向与纵向之间的联系. 一、选择题(9×3′=27′) 1.数列{a n }是等差数列的一个充要条件是 ( ) A.S n =an +b B.S n =an 2+bn +c C.S n =an 2+bn (a ≠0) D.S n =an 2+bn 2.设m =1×2+2×3+3×4+…+(n -1)·n ,则m 等于 ( ) A.3)1(2-n n B.21n (n +4) C.21n (n +5) D.2 1n (n +7) 3.若S n =1-2+3-4+…+(-1)n -1·n ,则S 17+S 33+S50等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 4.阅读下列文字,然后回答问题:对于任意实数x ,符号[x ]表示x 的整数部分,即[x ]是不超过x 的最大整数.函数[x ]叫做“取整函数”,也叫高斯函数.它具有以下性质:x -1<[x ]≤x <[x +1].请回答:[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 21024]的值是( ) A.1024 B.8202 C.8204 D.9216 5.设{a n }为等比数列,{b n }为等差数列,且b 1=0,c n =a n +b n ,若数列{c n }是1,1,2,…,则{c n }的前10项和为 ( ) A.978 B.557 C.467 D.979 6.1002-992+982-972+…+22-12的值是 ( ) A.5000 B.5050 C.10100 D.20200 7.若等比数列{a n }的前n 项和S n =2n +r ,则r 的值是 ( ) A.2 B.1 C.0 D.-1 8.已知S =1+ΛΛ++++22213121n ,那么S 的范围是 ( ) A.(1,23) B.(2 3,2) C.(2,5) D.(5,+∞)

高三数学数列求和专项复习

高中数学数列求和专题复习 1.公式法求和 ( 1 )等差数列前项和公式 ( 2 )等比数列前项和公式时 时 ( 3 )前个正整数的和 前个正整数的平方和 前个正整数的立方和 公式法求和注意事项( 1 )弄准求和项数的值; ( 2 )等比数列公比未知时,运用前项和公式要分类。 例 1 .求数列的所有项的和 例 2 .求和 ( ) 2 .分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.形如: 的形式,其中{ a n }、{ b n }是等差数列、等比数列或常见的数列. 例 1 、求数列的前 n 项和:,… 例 2.求数列 1 ,,,…,的所有项的和。

例 3 .已知数列中,,求。 练习 1 、求和: 练习 2 、求数列 1, , 前 n 项的和 . 练习 3 、已知: .求 . 练习 4 、已知等比数列分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项,且 (Ⅰ)求; (Ⅱ)设,求数列 3 .并项法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求 S n . 例 1 、求 cos1 ° + cos 2 ° + cos 3 ° + ··· + cos 178 ° + cos1 79 °的值 . 例 2 、在各项均为正数的等比数列中,若 的值 . 例 3 .数列中,,求。 例 64.数列中,,,求及。 4 .错位相减法求和 例 1 、 练习 1 、已知数列

练习 2 、已知数列,求数列的前 n 项和。 练习 3.求和()。 5 .裂项法求和 : 把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。 把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程中消去中间项,只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有: 若是公差为的等差数列,则; ; ; ; * ; 例 1 .求和。 例 2 .求和。 练习1、数列 { } 的前 n 项和为,且满足 ( I )求与的关系式,并求 { } 的通项公式; ( II )求和

相关文档
最新文档