数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)

数学物理方程第二版答案

第一章． 波动方程

§1 方程的导出。定解条件

4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。

解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为

)()(x l g x T -=ρ

且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为

)(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ

其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角

又 .

sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程

x u

x x l t

u x ???+-=???)]([22ρ∣x u x l g x x ??--?+][ρ∣g x ρ

利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得

])[(2

2x u

x l x g t u ??-??=??。

5. 验证 2

221),,(y x t t y x u --=

在锥2

22y x t -->0中都满足波动方程

222222y u x u t u ??+??=??证：函数2221),,(y

x t t y x u --=在锥2

22y x t -->0内对变量t y x ,,有

二阶连续偏导数。且

t y x t t

u

?---=??-

2

3

222)(

225

222232222

2

)(3)(t y x t y x t t

u

?--+---=??--

)2()

(2222

3222

y x t y x t

++?--=-

x y x t x

u

?--=??-

2

3222)(

(

)()

2252222322

22

23x y x t y x

t x

u ----+--=??

(

)()222252222y x t y x t -+--=-

同理 ()()222252222

22y x t y x t y

u

+---=??-

所以 (

)().2222

22

2

522

22

22

2t u

y

x t

y x t y

u x

u ??=++-

-=??+

??-

即得所证。

§2 达朗贝尔公式、 波的传抪

3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）

???

?

???==??=??=+=-).()(0022

222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ?=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0) 所以 F(x)=)2

(x ψ-G(0). G （x ）=)2

(x ?-F(0). 且 F （0）+G(0)=).0()0(ψ?= 所以 u(x,t)=(

?)2at x ++)2

(at

x -ψ-).0(? 即为古尔沙问题的解。

8．求解波动方程的初值问题

???

???

?=??==??-??==x t u u x

t x u t u t t sin |,0sin 002222 解：由非齐次方程初值问题解的公式得

τξξτααττd d d t x u t t x t x t

x t x ???-+--+-+=0)

()

(sin 21

sin 21),(

=?----+---+-t

d t x t x t x t x 0

))](cos())([cos(21

)]cos()[cos(21ττττ

=?

-+t

d t x t x 0

)sin(sin sin sin τττ

=t t t x t x 0)]sin()cos([sin sin sin τττ-+-+ =x t sin 即 x t t x u sin ),(= 为所求的解。

§3混合问题的分离变量法 1. 用分离变量法求下列问题的解：

(1)

???

?

?

?

???==<<-=??=??=??==0),(),0()0()1(,3sin 0

22

222t l u t u l x x x t u l x u x u a t u o

t t π

解：边界条件齐次的且是第一类的，令

)()(),(t T x X t x u =

得固有函数x l

n x X n π

sin

)(=，且 t l

an B t l an A t T n n n π

πsin cos )(+=，)2,1( =n

于是 ∑∞

=+=

1

sin )sin cos

(),(n n n x l

n t l an B t l an A t x u π

ππ

今由始值确定常数n A 及n B ，由始值得

∑∞==1

sin 3sin n n x l n A l x π

π

∑

∞

==-1

sin )(n n x l n B l an x l x π

π 所以 ,13=A ,0=n A 当3≠n

?-=l

n xdx l

n x l x an B 0sin )(2π

π ??? ??+???? ??+-=x l n x n l x l n n l x l n x n l l an ππ

ππππ

π

cos sin cos 2

2222 )}

))1(1(4cos 2sin 2443

333222n l

an l x

l n n l x l n n x l --=--π

π

π

ππ 因此所求解为

∑∞

=--+

=1

4

4

3

s i n s i n )1(143s i n 3c o s ),(n n x l n t l an n a l x l t l a t x u π

ππππ

(2) ???

?

?

????=??==??==??-??0)0,(,)0,(0),(0

),0(022222x t

u

x l h x u t l t u

t u x u a t u 解：边界条件齐次的，令 )()(),(t T x X t x u =

得：??

?='==+''0)(,

0)0(0

l X X X X λ (1)

及 )2(02

=+''X a T λ。

求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。

1 0<λ时，方程的通解为

x

x

e C e

C x X λλ--

-+=21)(

由0)0(=X 得021=+c c 由0)(='l X 得021=-----

-l

l

e C e

C λλλλ

解以上方程组，得01=C ，02=C ，故0<λ时得不到非零解。

2 0=λ时，方程的通解为x c c x X 21)(+=

由边值0)0(=X 得01=c ，再由0)(='l X 得02=c ，仍得不到非零解。

30>λ时，方程的通解为

x c x c x X λλsin cos

)(21+=

由0)0(=X 得01=c ，再由0)(='l X 得

0cos 2

=l c λλ 为了使02≠c ，必须 0cos

=l λ，于是

2

212??

?

??+==πλλl n n )2,1,0( =n

且相应地得到x l

n x X n π21

2sin

)(+= )2,1,0( =n 将λ代入方程(2)，解得

t a l

n B t a l n A t T n n n ππ21

2sin 212cos

)(+++= )2,1,0( =n 于是 ∑∞

=++++=0

21

2sin )212sin 212cos

(),(n n n x l

n t a l n B t a l n A t x u πππ 再由始值得

???

????++=+=∑∑∞

=∞

=00

212sin 2120212sin n n n n x

l n B a l n x l n A x l h

πππ 容易验证?

??

???+x l n π212sin

)2,1,0( =n 构成区间],0[l 上的正交函数系： ?????=≠=++?n m l n

m xdx l n x l m l

当当2

0212sin 212sin 0ππ

利用?

??

???+x l n π212sin

正交性，得 xdx l

n x l h l A l

n π212sin 20+=?

l

x l n n l x l n x n l l h 0

2

2212sin )12(2212cos )12(22???????

?

??+???

?

??++++-=ππππ

n n h

)1()12(82

2-+=

π

0=n B

所以 ∑∞

=+++-=02

221

2s i n 212c o s )

12()1(8),(n n x l n t a l n n h

t x u πππ 2。设弹簧一端固定，一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题归结为

???

?

???=??===??=??0)0,()0,(sin ),(,

0),0(22

222x t u x u t A t l u t u x u a t u ω 求解此问题。 解：边值条件是非齐次的，首先将边值条件齐次化，取t x l

A

t x U ωsin ),(=，则),(t x U 满足

0),0(=t U ，t A t l U ωsin ),(=

令),(),(),(t x v t x U t x u +=代入原定解问题，则),(t x v 满足

)1()0,(0)0,(0),(,0),0(sin 22

2222???

?

???-=??===+??=??x l A x t v x v t l v t v t x l A x v a t v ωωω

),(t x v 满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为x l

n x X n π

sin

)(=，)2,1,0( =n 故设 )2(sin

)(),(1

∑∞

==

n n x l

n t T t x v π

将方程中非齐次项t x l A ωωsin 2及初始条件中x l A ω-按?

??

???x l n πsin 展成级数，得 ∑∞

==1

2sin )(sin n n x l n t f t x l A π

ωω 其中 ?=l

n xdx l

n t x l A l t f 02sin sin 2)(π

ωω

l

x l n n l x l n x n l t l A 0

22222

sin cos sin 2???

??

?+-=ππππ

ωω x l

A t n A n ωωπω--=+sin )1(212

x l

n n n π

ψsin

1

∑∞

== 其中 n l

n n A xdx l n x l A l )1(2sin 202-=-=?π

ω

πωψ 将(2)代入问题(1)，得)(t T n 满足???

???

?-='=-=??

?

??+''+n

n n n n

n

n A T T t n A t T l an t T )1(2)0(,0)0(sin )1(2)()(12

2

π

ω

ωπωπ

解方程，得通解2212)(sin )1(2sin cos )(?π?π?ππ-?-++=+l

an t

n A t l an B t l an A t T n n n n

由始值，得0=n A

222222231)(2)1(}))((2)1(2)1{(1l an al A l an n l A n A an B n n n n ?π??ππ?π?π--=----=+ 所以 ∑∞

=--=12

2sin )

()(2)1({),(n n t l an l an al A t x v π

?π?

x l n t n l an l A n π

?π

?π?sin }sin 1)()(2)1(22221?--++

x l n t n l t l an a l an l A n π

?π?π?π?sin }sin sin {)

()()1(212

22∑∞

=---=

因此所求解为

∑∞

=--+=12

22

)

()()1(2sin ),(n l an l A t x l A t x u ?π??

x l

n t nt l t l an a π

??πsin }sin sin

{-? 3．用分离变量法求下面问题的解

???

?

?

?

???===??=+??=??====0||0

||00022

222l x x t t u u t u u bshx x u a t u 解：边界条件是齐次的，相应的固有函数为 ),2,1(sin

)( ==n x l

n x X n π

设 ∑∞

==

1

sin

)(),(n n x l

n t T t x u π 将非次项bshx 按}{sin

x l

n π

展开级数，得 ∑∞

==1

sin

)(n n x l

n t f bshx π 其中 shl bn l n xdx l n shx l b t f n l

n πππ2)1(sin 2)(2221

+-==+? 将 ∑∞

==

1

s i n )(),(n n

x l n t T t x u π代入原定解问题，得)(t T n 满足 ????

?='=+-=+'

'+0

)0(,0)0(2)1()()(

)(22212n n n n n T T shl l n bn t T l an t T πππ 方程的通解为

shl l

n bn an l t l an B t l an A t T n n n n 12222)1(2)(sin cos

)(+-+?++=ππ

πππ 由0)0(=n T ，得：shl l

n bn an l A n n 12

222)1(2)(+-+-=ππ

π 由0)0(='n T ，得0=n B

所以 )cos 1()1(2)1()(12222t l

an shl l n bn an t T n n ππππ--+=+ 所求解为

∑∞=+-+-=12

22122sin )cos 1()

()1(2),(n n x l n t l an l n n shl a bl t x u π

πππ §4 高维波动方程的柯西问题

1． 利用泊松公式求解波动方程 )(2zz yy xx tt u u u a u ++=

的柯西问题 ?????=+===0

0230t t t u z

y x u

解：泊松公式

ds r a ds r a t u Sat M Sat M ????+??

??????????=ψ

πφπ4141 现 z y x 23,0+==φψ

且 ????=Φ=Φ

ππ

?θθ?θ020|sin ),,(at r s d d r r ds r M

at

其中 )cos ,sin sin ,cos sin (),,(θ?θ?θ?θr z r y r x r +++Φ=Φ )cos ()sin sin ()cos sin (2

3

θ?θ?θr z y r x ++++= ?θ?θ?θ33222

2

2

2

3

cos sin cos sin

3cos sin 3r xr r x z y x ++++=

θ?θ?θcos sin sin sin sin 2222r y rz yzr +++ θ?θ?θθcos sin sin sin cos sin 2232r yr ++

计算

??Φππ

?θθ?θ020

sin ),,(d d r r

)

(4)cos (2)(sin )(23020

02323z y x r z y x r d d r z y x +=-?+=+?

?

πθπψθθππ

π

????==?ππ

π

π

??θθ?θθ?θ020

20

2

2

22

0cos sin

3sin cos sin 3d d r

x d d r r x

?

???=?ππ

π

π

??θθ?θθ?θ020

20

2

3

3

222cos sin 3sin cos sin 3d d xr

d d r xr π

πφφθθ200

33]2sin 4

12[]cos cos 31[3+?-=xr ?θθ?θπππ

d d r r xr sin cos sin 433020

3?=??

3320

4

4

4cos sin xr d d r

π??θ

θπ

π

==?

?

????==?ππ

ππ

??θθ?θθ?θ0

20

2

2

020

0sin sin

2sin sin sin 2d d yzr d d r yzr

z r z r d d rz d d r z r 320

03320

20

3

020

2

2

2

3

4]2sin 412[]cos cos 31[sin sin sin sin sin π??θθ??θθ?θθ?θπππ

π

ππ

=-?-==?????

????==?π

π

ππ

?θθθ?θθθ0

20

2

2020

2

0sin cos sin cos d d r

y d d r r y

????==??π

π

ππ

??θθθ?

θθ?θθ20

23020

2

sin cos sin 2sin sin sin 2d d yr d d r coc yr

???

?

=?=?ππ

ππ

??θθθ?θθθ?θ0

20

234020

2

230

sin cos sin sin cos sin sin d d r d d r r

所以

]

3

1

[4]344)(4[22222233

22z t a t xa z y x at z r r z y x r ds r Sat

M

at

r +++=+++=Φ??=ππππ

u(x,y,z)=

??Φ

?

??Sat

M

r a t π41

z t a x t a z y x z t a t xa z ty tx t 2222232232233]

3

1

[+++=+++??=

即为所求的解。

2． 试用降维法导出振动方程的达朗贝尔公式。 解：三维波动方程的柯西问题

????

?==++===)

,,(),,,()

(002

z y x u z y x u u u u a u t t t zz yy xx tt φ? 当u 不依赖于x,y,即u=u(z),即得弦振动方程的柯西问题：

?????=====)(),(0

02z u z u u a u t t

t zz tt φ?

利用泊松公式求解 ????+??=

Sat

M Sat

M ds r

a ds r a t u ?

π?π41}41{ 因只与z 有关，故

????

?+=

Sat

M

d d at at

at z ds r

ππ

?θθ???

200

2sin )()

cos (

θθθ??π

π

d at at z d sin )cos (20

??+=

令α= atcos +z ,α d = d atsin -

得 ???+-=Sat

M at

z at

z d ds r αα?π?

)(2

所以

??+-+-

+??=at z at z at

z at z d a d a t t z u ααφαα?)(21

)(21),(

?+-

+-++=at

z at z d a at z at z ααφ??)(21

)}()({21 即为达郎贝尔公式。

3. 求解平面波动方程的柯西问题：

()

()

?????=+=+===0

||0202t t t yy

xx tt u y x x u u u a u

解： 由二维波动方程柯西问题的泊松公式得：

()()

()()

????

?

∑----??

=??m

at

d d y x t a t a t y x u ηζηζηζ?π2

2

2

2,21,,

()

()()

??

???∑----+

??

m

at

d d y x t a ηζηζηζψ2

2

22,

()

?

?-++??

=

π

θθθ?π20

2

2

20

sin ,cos 21rdrd r

t a r y r x t

a at

又

()()()θθθθ?sin cos cos sin ,cos 2r r y x r x r y r x ++++=++

()()()θθ222cos cos 2r y x r y x x y x x +++++= ()()θθθθθcos sin cos 2sin cos 22++++xr r x ()θθθsin cos cos 23++r

因为

???===π

π

π

πθθθθθθ20

2

20

20

c o s ,0s i n ,0c o s

d d d

.0sin cos ,0cos ,0cos sin 20

220

3

20

???===π

π

π

θθθθθθθθd d d 所以

()

??

-++at rdrd r

t a r y r x 020

2

2

2sin ,cos θθθ?π

()()?

?

-++-+=at

at

r

t a dr r y x r

t a rdr y x x

2

2

232

2

22

32ππ

又

?

=--=-at

at

at r t a r t a rdr 0

02222

22|

?

?-+--=-at

at

at rdr r t a r t a r r t a dr r 0

222022222

2232|

()33023

2223

2|32t a r t a a

=--=

于是 ()()()??

?

??+++??=

y x a y x ax t a t y x u 332221,,332

πππ ()()y x t a y x x +++=3222 即为所求的解。

4. 求二维波动方程的轴对称解（即二维波动方程的形如()t r u u ,=的解，

)22y x r +=

.

解： 解法一：利用二维波动方程柯西问题的积分表达式

()()()()()()()()()]`

,,[21,,2

2

22

2

2????∑

----+

∑

----??

=

m

att

m

att

y x at d d y x at d d t

a t y x u ηζη

ζηζψηζη

ζηζ?π

由于u 是轴对称的(),,t r u u =故其始值?,ψ只是r 的函数，()r u t ?===0|，,

()()().,|222

2

0t a y x r u m

at t t ≤-+-=∑=ηζψ为圆又记圆上任一点()ηζ,p 的矢径为ρ

22ηζρ+=圆心),(y x M 其矢径为22y x r +=记()()22y x s -+-=

ηζ则由余弦

定理知，θρcos 22

2

2

rs s r -+=，其中θ为oM 与Mp 的夹角。选极坐标),(θs 。

()()(

)θ?ρ?ηζ?cos 222rs s r -+==，

()()()θψρψηζψcos 2,2

2

rs s r

-+==

于是以上公式可写成

()(

)()???

?--+??=

?

?θθ

?ππ

sdsd s at rs s r t

a t y x u at 20

2

2220

cos 221,,

(

)()??

?--++?

?

θ

θ

ψπ

sdsd s at rs s r at

20

2

2220

cos 2 由上式右端容易看出，积分结果和),(t r 有关，因此所得的解为轴对称解，即

??-++??=

at sdsd s

at rs s r t a t r u 0202222)(cos 2[21),(πθθ?π +

])(cos 2(020

2

2

22θθ

ψπ

sdsd s

at r s r at ??

--+

解法二：作变换θcos r x =,θsin r y =.波动方程化为

)1(22

222r

u r r u a t u ??-+??=?? 用分离变量法，令u(r,t)=R(r)T(t).代入方程得

?????=++=+0

2'"22"R r rR R r t a T λλ

解得：

?????=+=)

()(sin cos )(0r J r R t

a B t a A t T λλλλλ

令

μλ=叠加得

du J t B t A t r u )()sin )(cos )((),(00

μγαμμαμμ?

∞

+=

5.求解下列柯西问题

??

?

??=??=++===),(),,()(0022y x r v

y c v v c v v a v t t yy xx tt ψ? [提示：在三维波动方程中，令),,(),,(t y x v e z y x u a

cz =] 解：令 ),,

(),,,(t y x v e t z y x u a cz

=

则 yy a cz yy

xx a cz xx

tt a cz

tt v

e u v

e u v

e u =

=

=,,

v e a

c u a cz

zz

22= 代入原问题，得

?????==++===)

,(),,()(002y x e u y x e u

u u u a u a cz

t t a cz t zz yy xx tt ψ? ds a ds a t t z y x u M

at

a c M at

a c S r e S r e ????+??=)

,(41}41{),,,(),(ηξψζ

ζ

ππηξ? 22222)()()(:t a z y x S M

at =-+-+-ζηξ

记+M at S 为上半球，-M at S 为下半球，

∑

M

at 为M at S 在ηξo 平面上的投影。

ηξηξd d y x t a at

ds 2

2

2

2)

()(----=

,则

??

??

??+-

+=

M at

M at

M at

S

S S a c a c a c ds e r ds e r ds r e ),(1

),(1)

,(ηξ?ηξ?ηξ?ξ

ξζ

??

∑----=

----+M

at

d d y x t a e

y x t a z a

c

ηξηξ?ηξηξ),()()(2

2

2

2))()((2222

ηξηξ?ηξηξd d y x t a e

M

at

y x t a z a

c

),()

()(2

2

22))()((2222??

∑----+

-----

ηξηξ?ηξηξd d y x t a y x t a a c

ch e

M

at

a

cz ),()

()()()(222222222??

∑--------= θθθ?πrdrd r y r x r t a r a

c

t c ch e

at a

cz )sin ,cos ()(2200

2

2

22

22++--=??

所以 +--??=

??

x r

t a r a c t c ch e a

t z y x u at

a

cz ()(21{),,(200

2

2222

2?ππ

++})sin ,cos θθθtftf r y r

θθθψππrdrd r y r x r

t a r a c t c ch e a

at

a

cz )sin ,cos ()(21

200

2

2222

2++--??

于是 +--?????=

??x r

t a r a

c

t c ch a t t y x v at

()(21),,(200

2

2

22

22?ππ

}+--+++??x r t a r a

c t c ch a rdr

d r y r at

()(21)sin ,cos 200

22222

2ψπθθθπ θθθrdrd r y r )sin ,cos ++

即为所求的解。

6．试用4?第七段中的方法导出平面齐次波动方程 ),,()(2t y x f u u a u yy xx tt ++= 在齐次初始条件 0,00

====t t

t u u

下的求解公式。

解：首先证明齐次化原理：若),,,(τt y x w 是定解问题

?????=+===)

,,(,0)

(2

ττy x f w w w w a w t o t yy xx tt

的解，则?

=t

d t y x w t y x u 0

),,,(),,(ττ即为定解问题

?????==++===0

,0)

,,()(002

t t t yy xx tt u u t y x f u u a u

的解。

显然，00

==t u

ττττd t w d t w t y x w t u t

t

t ????=??+=??=0

0),,,( （ 0==τt w ）.所以

00

=??=t t

u

又 ττd t

w

t w

t

u t

t

???+??=??=0222

2

τττ

d y w

y u d x w x u d y

w

t y x f t

t

t

?????=????=????+=22

22

22

22

0220,),,(

因为w 满足齐次方程，故u 满足

)(),,(2222222y

x u a t y x f t u u ??+??+=?? 齐次化原理得证。由齐次方程柯西问题解的泊松公式知

ηζηζττηζπττd d y x t a f a

t y x w M

t a ??

∑-----=

-)

(2

2

2

2

)

()()()

,,(21),,,(

所以

θττθθπτπ

rdrd r

t a r y r x f a t y x u t t a ???

---++=

)(0

20

2

2

2

)()

,sin ,cos (21

),,(

即为所求的解。 所以 ???---++=

t t a d r d r d r

t a r y r x f a t y x u 0)(020222)()

,s i n ,c o s (21),,(τπτθττθθπ 7．用降维法来解决上面的问题

解：推迟势

dv r

a r

t f a t z y x u at

r ???

≤-=

)

,,(41),,,(2

ηξπ 其中积分是在以),,(z y x 为中心，at 为半径的球体中进行。它是柯西问题

???

??==+++===0

,0),,,()(002t t t zz yy xx tt u u t z y x f u u u a u

的解。对于二维问题u ，f 皆与z 无关，故

dsdr r

a r

t f a t y x u at

S M r ???

-

-=

02

)

,,(41

),,(ηξπ 其中M

r s 为以)0,,(y x M 为中心r 为半径的球面，即

2222)()(:r y x S M r =+-+-ζηξ

ηξηξd d y x r r

ds 2

2

2

)

()(----=

ds r a r

t f ds r a r t f ds r a r t f M r

M r

M

r S S S ??????

-

+-+-=-)

,,(),,(),,(ηξμξηξ

ηζηξηξd d y x r a r

t f M

r ??

∑-----=222)

()()

,,(2

其中-+

M r M r

s s ,分别表示M r s 的上半球面与下半球面，∑M r

表示M

r s 在ηξo 平面上的投影。 所以 ???

∑-----=

at

rM

d d y x r a r

t f a t y x u 02222

)

()()

,,(21

),,(ηξηξηξπ

dr d d r a r t y x f a at

r ?????

?

???????????--++=0020222),sin ,cos (21πθρρρθρθρπ 在最外一层积分中，作变量置换，令τ=-

a

r

t ，即),(τ-=t a r τad dr -=，当0=r 时t =τ，当at r =时，0=τ，得

???

---++=

t t a d d d t a y x f a t y x u 0

)(0

20

2

2

2

)()

,sin ,cos (21

),,(τπ

τθρρρ

ττθρθρπ

即为所求，与6题结果一致。

8． 非齐次方程的柯西问题

???+==-+?===yz x u u t y u u t t t tt 2

00

,0)

(2 解：由解的公式得

)1()

,,,(41

41),,,(2=-+=

?????

≤a dV r

a r

t f a ds r a t z y x u M at

S at

r ζηξπψπ

计算

?????

++++=M

t S r z r y r x ds r ππ

θ?θ?θψ

020

2

)]cos )(sin sin ()

cos sin [(??+++=?=ππ

?

θ?θ?

θθ020

2222cos sin cos sin 2(sin r xr yz x d d r t

r t

r d d r r zr yr =+++?

θθ?θθ?θθsin )sin cos sin sin sin cos 2??=ππ

π?θθ020

,4sin d d

??=ππ

?θ?θ020

20cos sin d d ??=ππ

π?θ?θ020

2

3,34cos sin d d ??=ππ

?θθθ020

0cos sin d d

?

?=ππ

?θ?θ020

2

,0sin sin d d

??=ππ

?θ?θθ020

2

.0s i n c o s s i n d d 所以

??

++=M

t S t yz x t ds r 323

4)(4ππψ

计算

???

???≤≤+-+=-t

r t

r d drd r r r t r y dV r r t f ?θθ?θζηξsin )sin sin (2),,,(2

???+-+=t d drd r r t r y 0020sin )sin sin (2ππ

?θθ?θ

??+-=t drd r r t y 00

sin )(4π

θθπ

.3443)(218320

32

t yt r r t y t

πππ-=???? ??+-=

所以 3

2323

131)(),,,(t yt t yz x t t z y x u -+++=

)(2yt yz x t ++=

即为所求的解。

§5 能量不等式，波动方程解的唯一和稳定性

1． 设受摩擦力作用的固定端点的有界弦振动，满足方程 t xx tt cu u a u -=2 证明其能量是减少的，并由此证明方程

f cu u a u t xx tt +-=2

的混合问题解的唯一性以及关于初始条件及自由项的稳定性。

证：

1 首先证明能量是减少。

能量 ?

+=l

x t dx u a u t E 0

2

22)()(

?+=l

xt x tt t dx u u a u u dt t dE 0

2)22()

( ]|[220

20dx u u u u a dx u u xx l

t l

t x tt l

t ??-+=

l

t x xx tt l t u u a dx u a u u 0

2

20

|2)(2+-=?

因弦的两端固定， ,0|,0|0====l x x u u 所以

0|,0|0====l x t x t u u

于是 dx u a u u dt t dE xx tt l

t )(2)

(20

-=?

020

2

<-=?

dx u c l

t ()0>c

因此，随着t 的增加，)(t E 是减少的。

.

2 证明混合问题解的唯一性 混合问题:

???

??====+-=====)

(|),(|0

|,0|00

02x u x u u u f cu u a u t t t l x x t xx tt ψ? 设21,u u 是以上问题的解。令,21u u u -=则u 满足

???

??====-=====0

|,0|0|,0|00

02t t t l x x t

xx tt u u u u cu u a u

能量 dx u a u t E x l

t )()(2

20

2+=?

当,0=t 利用初始条件有,0|0==t t u 由,0|0==t u 得

0|0==t x u 所以 0)0(=E

又)(t E 是减少的，故当,0)0()(,0=≤>E t E t 又由)(t E 的表达式知,0)(≥t E 所以

0)(≡t E 由此得,0≡t u 及,0≡x u 于是得到

≡u 常量

再由初始条件,0|0==t u 得,0≡u 因此,21u u ≡即混合问题解的唯一的。

3.

证明解关于初始条件的稳定性，即对任何,0.>ε可以找到,0>η只要初始条件之差

2121,ψψ??--满足