概率论与数理统计(修订版)复旦大学出版习题三答案
习题三
1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与
出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律.
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律.
3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为
F （x ，y ）=?????≤
≤≤≤.,
020,20,sin sin 其他ππy x y x
求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域?
??
?
??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ
{0,}(3.2)463
P X Y <≤
<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636
F F F F --+
ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin
434636
1).4
=--+=
题3图
说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度
f （x ，y ）=???>>+-.,
0,
0,0,)43(其他y x A y x e
求：（1） 常数A ；
（2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1） 由
-(34)0
(,)d d e d d 112
x y A
f x y x y A x y +∞+∞
+∞
+∞
+-∞
-∞
==
=??
?
?
得 A =12 （2） 由定义，有 (,)(,)d d y x
F x y f u v u v -∞-∞
=
??
(34)340012e
d d (1
e )(1e )0,0,
0,0,
y y
u v x y u v y x -+--??-->>?==??
?????其他
(3) {01,02}P X Y ≤<≤<
1
2
(34)3800
{01,02}
12e d d (1e )(1e )0.9499.
x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈?
?
5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=??
?<<<<--.,
0,
42,20),6(其他y x y x k
（1） 确定常数k ；
（2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有
2
4
2
(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞
-∞
-∞
=--==??
?
?
故 18
R =
（2） 13
{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞
<<=??
1
3
0213(6)d d 88
k x y y x =
--=?? (3) 1
1.5
{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=
????如图
1.5
4
2127d (6)d .832
x x y y =
--=?
?
(4) 2
4{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=
??
??如图b
2
40
2
12d (6)d .83
x x x y y -=--=??
题5图
6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为
f Y （y ）=???>-.,
0,
0,55其他y y e
求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }.
题6图
【解】（1） 因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为
1
,00.2,
()0.2
0,
.X x f x ?<
55e ,0,
()0,
.y Y y f y -?>=??其他
所以
(,),()(
)X Y f x y X Y f x f y 独立 5515e
25e ,00.20,0.20,0,y
y x y --???<<>?==??
???
且其他. (2) 5()(,)d d 25e d d y y x
D
P Y X f x y x y x y -≤≤=
??
??如图
0.20.2
-550
-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.
x
y
x x y x
-==-+≈???
7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为
F （x ，y ）=???>>----.,
0,
0,0),1)(1(24其他y x y x e e
求（X ，Y ）的联合分布密度.
【解】(42)28e ,0,0,
(,)(,)0,
x y x y F x y f x y x y -+?>>?==?
???其他. 8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,
0,.y x x y x -≤≤≤≤??
?
其他
求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞
-∞
=
?
x
204.8(2)d 2.4(2),01,
=0,.0,
y x y x x x ??--≤≤?=??
????其他 ()(,)d
Y f y f x y x +∞
-∞
=
?
12y 4.8(2)d 2.4(34),01,
=0,.0,
y x x y y y y ?-?-+≤≤?
=??????其他
题8图 题9图
9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=???<<-.,
0,
0,其他e y x y
求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞
-∞
=
?
e d e ,0,
=0,.0,
y x x y x +∞
--??>?=??
????其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞
-∞
=?
0e d e ,0,
=0,.0,
y
y x x y y --??>?=??
????其他
题10图
10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=???≤≤.,
0,
1,22其他y x y cx
（1） 试确定常数c ；
（2） 求边缘概率密度. 【解】（1）
(,)d d (,)d d D
f x y x y f x y x y +∞+∞
-∞
-∞
??
??如图
21
1
2-1
4
=
d d 1.21
x
x cx y y c =
=?
? 得 214
c =
. (2) ()(,)d X f x f x y y +∞
-∞
=
?
2124
22121(1),11,
d 84
0,0,.x x x x x y y ??--≤≤??==??????
?其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞
-∞
=?
52
27d ,01,
20,0, .x y x y y ??≤≤??==??????
其他 11.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=??
?<<<.
,
0,
10,,1其他x x y
求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）
.
题11图
【解】()(,)d X f x f x y y +∞
-∞
=
?
1d 2,01,
0,
.x x y x x -?=<
11
1d 1,10,
()(,)d 1d 1,01,0,
.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞
-∞
?=+-<
???
??
?其他
所以
|1
,||1,
(,)(|)2()0,
.Y X X y x f x y f y x x
f x ?<
?其他
|1
, 1,1(,)1
(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y
?<
?==-<
其他
12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大
的号码为Y .
（1） 求X 与Y 的联合概率分布； （2） X 与Y 是否相互独立？ 【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表
(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010
P X P Y P X Y ===
?=≠=== 故X 与Y 不独立
（2） X 与Y 是否相互独立？
(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===? 0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.
14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为
f Y （y ）=?????>-.
,
0,0,
2
12/其他y y e （1）求X 和Y 的联合概率密度；
（2） 设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0，试求a 有实根的概率.
【解】（1） 因1,01,()0,X x f x <
1e ,1,
()20,y
Y y f y -?>?==???
其他.
故/2
1e
01,0,(,),()()2
0,
.
y X Y x y f x y X Y f x f y -?<<>?=??? 独立其他
题14图
(2) 方程2
20a Xa Y ++=有实根的条件是
2(2)40X Y ?=-≥
故 X 2≥Y ，
从而方程有实根的概率为：
22{}(,)d d x y
P X Y f x y x y ≥≥=
??
2
1
/2001d e d 2
1(1)(0)]0.1445.
x y x y
-==-Φ-Φ=??
15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X 和Y 相互独立，且服
从同一分布，其概率密度为
f （x ）=?????>.,
0,
1000,10002其他x x
求Z =X /Y 的概率密度.
【解】如图,Z 的分布函数(){}{
}Z X
F z P Z z P z Y
=≤=≤ (1) 当z ≤0时，()0Z F z =
（2） 当0 1000 z ）(如图a) 336 6 102222101010()d d d d yz Z z x y z F z x y y x x y x y +∞≥ = =?? ?? 33610231010=d 2z z y y zy +∞ ??-= ???? 题15图 (3) 当z ≥1时，（这时当y =103时，x =103z ）（如图b ） 336 6 222210101010()d d d d zy Z x y z F z x y y x x y x y +∞≥ = =?? ?? 336231010101 =d 12y y zy z +∞ ??-=- ??? ? 即 11,1,2(), 01,20, .Z z z z f z z ? -≥???=< ???其他 故 21 ,1,21 (),01,20, .Z z z f z z ?≥???=< ??? 其他 16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202）分布.随机地选取4 只， 求其中没有一只寿命小于180的概率. 【解】设这四只寿命为X i (i =1,2,3,4)，则X i ~N （160，202）， 从而 123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥ 之间独立 34{180}{180}P X P X ≥≥ 1234 [1{180}][1{180}][1{180}][1{180}] P X P X P X P X =-<-< -<-< 4 4144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063. P X ?-? ??=-<=-Φ ??????? =-Φ== 17.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为 P {X =k }=p （k ），k =0，1，2，…， P {Y =r }=q （r ），r =0，1，2，…. 证明随机变量Z =X +Y 的分布律为 P {Z =i }= ∑=-i k k i q k p 0 )()(，i =0，1，2，…. 【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数， 所以 {}{}Z i X Y i ==+= {0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-== 于是 0{}{,},i k P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立0 {}{}i k P X k P Y i k ===-∑ ()()i k p k q i k == -∑ 18.设X ，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n ，p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参 数为2n ，p 的二项分布. 【证明】方法一：X +Y 可能取值为0，1，2，…，2n . {}{,}k i P X Y k P X i Y k i =+====-∑ 00202(){} 2k i k i n i k i n k i i k k n k i k n k P X i P Y k i n n p q p q i k i n n p q i k i n p q k =---+=-=-===-????= ? ?-???? ????= ???-???? ??= ??? ∑∑∑ 方法二：设μ1,μ2,…,μn ;μ1′,μ2′,…，μn ′均服从两点分布（参数为p ），则 X =μ1+μ2+…+μn ，Y =μ1′+μ2′+…+μn ′, X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′, 所以，X +Y 服从参数为（2n ,p )的二项分布. (1) 求P {X =2｜Y =2}，P {Y =3｜X =0}； （2） 求V =max （X ，Y ）的分布律； （3） 求U =min （X ，Y ）的分布律； （4） 求W =X +Y 的分布律. 【解】（1）{2,2} {2|2}{2}P X Y P X Y P Y ===== = 5 {2,2} 0.051 ,0.252 {,2} i P X Y P X i Y ==== = ===∑ {3,0} {3|0}{0}P Y X P Y X P X ===== = 3 {0,3} 0.011 ;0.033 {0,} j P X Y P X Y j ==== = ===∑ （2）{}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i ====<+≤= 10 {,}{,},i i k k P X i Y k P X k Y i -=== ==+==∑∑ 0,1,2,3,4, i = 所以V 的分布律为 (3) {}{min(,)}P U i P X Y i === 3 5 1 {,}{,} {,}{,} k i k i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i ==+==≥+>====+ = =∑∑ 0,1,2,3 i = 于是 （1） 求P {Y ＞0｜Y ＞X }； （2） 设M =max{X ，Y }，求P {M ＞0}. 题20图 【解】因（X ，Y ）的联合概率密度为 22221,, (,)π0, .x y R f x y R ?+≤?=???其他 （1）{0,} {0|}{} P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>= > 0(,)d (,)d y y x y x f x y f x y σσ >>>= ???? π 2π/405π42π/401 d d π1 d d πR R r r R r r R θθ=?? ?? 3/83 ;1/24 = = (2) {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤ 00 131{0,0}1(,)d 1.44 x y P X Y f x y σ≤≤=-≤≤=- =- =?? 21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0，x =1,x=e 2所围成，二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，求（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少？ 题21图 【解】区域D 的面积为 2 2e e 01 1 1 d ln 2.S x x x = ==? （X ,Y ）的联合密度函数为 2 11,1e ,0, (,)20,. x y f x y x ?≤≤<≤?=???其他 （X ，Y ）关于X 的边缘密度函数为 1/20 1 1d ,1e ,()220, .x X y x f x x ?=≤≤?=????其他 所以1 (2).4 X f = 22.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）联合分布律及关于X 和 【解】因2 1 {}{,}j j i j i P Y y P P X x Y y ==== ==∑, 故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+== 从而11111{,}.6824 P X x Y y === -= 而X 与Y 独立，故{}{}{,}i j i i P X x P Y y P X x Y y ===== , 从而11111 {}{,}.624P X x P X x Y y =? ==== 即：1111{}/.2464 P X x == = 又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+== 即1,3111{},4248 P X x Y y =++== 从而131{,}.12P X x Y y === 同理21{},2P Y y == 223 {,}8 P X x Y y === 又 3 1 {}1j j P Y y ===∑,故3111 {}1623P Y y ==--=. 同理23 {}.4 P X x == 从而 23313111 {,}{}{,}.3124 P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-= 故 23.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率 为p （0 【解】(1) {|}C (1) ,0,0,1,2,m m n m n P Y m X n p p m n n -===-≤≤= . (2) {,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ====== e C (1) ,,0,1,2,.! m m n m n n p p n m n n n λλ--=-≤≤= 24.设随机变量X 和Y 独立，其中X 的概率分布为X ~? ?? ? ??7.03.021 ，而Y 的概率密度为f (y )，求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ). 【解】设F （y ）是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U =X +Y 的分布函数为 (){}0.3{|1}0.7{|2}G u P X Y u P X Y u X P X Y u X =+≤=+≤=++≤= 0.3{1|1}0.7{2|2}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-= 由于X 和Y 独立，可见 ()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤- 0.3(1)0.7(2).F u F u =-+- 由此，得U 的概率密度为 ()()0.3(1)0.7(2)g u G u F u F u '''==-+- 0.3(1)0.7(2).f u f u =-+- 25. 25. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P {max{X ,Y }≤1}. 解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有 1, 03,()3 0, 0,3;x f x x x ?≤≤?=??<>? 1, 03, ()30, 0, 3. y f y y y ?≤≤?=??<>? 因为X ，Y 相互独立，所以 1 , 03,03, (,)9 0, 0,0,3, 3. x y f x y x y x y ?≤≤≤≤?=??<<>>? 推得 1{max{,}1}9 P X Y ≤= . 26. 设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为 其中a ,b ,c 为常数，且X 的数学期望E (X )= -0.2,P {Y ≤0|X ≤0}=0.5，记Z =X +Y .求： （1） a ,b ,c 的值； （2） Z 的概率分布； （3） P {X =Z }. 解 (1) 由概率分布的性质知， a+b+c +0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由()0.2E X =-，可得 0.1a c -+=-. 再由 {0,0}0.1 {00}0.5{0}0.5 P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤= ==≤++, 得 0.3a b +=. 解以上关于a ，b ，c 的三个方程得 0.2,0.1,0.1a b c ===. (2) Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2， {2}{1,1}0.2P Z P X Y =-==-=-=， {1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=， {0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=， {1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===， {2}{1,1}0.1P Z P X Y =====， 即Z (3) {}{0}0.10.20.10.10.20.4P X Z P Y b ====++=++=. 一、单项选择题(每题2分，共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3．下列命题 不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ，则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ； (B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立 ； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+； 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数 为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥= 1. 解: (1)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R ; x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等. (2)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等. (3)不相等. 因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 解: (1)要使函数有意义,必须 400x x -≥?? ≠? 即 40x x ≤?? ≠? 所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞U . (2)要使函数有意义,必须 30lg(1)010x x x +≥?? -≠??->? 即 301x x x ≥-?? ≠?? 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计. 习题二 3.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函数并作图； (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 故X 的分布律为 （2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0 当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 22 35 当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数 (3) 4.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3. 故X 的分布律为 分布函数 5.（1） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=! k a k λ， 其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ， 试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知 故 e a λ -= (2) 由分布律的性质知 即 1a =. 6.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7) (1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+ 331212 33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++ (2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ =0.243 7.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有 即 200 2002001 C (0.02)(0.98) 0.01k k k k N -=+<∑ 利用泊松近似 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道. 8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则 故 1 3 p = 所以 4451210(4)C ()33243 P X === . 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3） (2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3） 10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间 隔起点无关（时间以小时计）. （1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32 (0)e P X -== (2) 52 (1)1(0)1e P X P X - ≥=-==- 11.设P {X =k }=k k k p p --22) 1(C , k =0,1,2 P {Y =m }=m m m p p --44) 1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=5 9 ，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥= ，故4(1)9 P X <=. 而 2 (1)(0)(1)P X P X p <===- 华东师范大学期末试卷 概率论与数理统计 一． 选择题（20分，每题2分） 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为： A ．)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿 命为300小时}，则： A ． B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （） A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容，则=)(B A P （） B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P , A, B 互不相容，则=)(B A P （） B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容，则它们相互独立 C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容 D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为： A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8．总体X ~),(2 σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、 A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量： A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记 ∑==n i i X n X 1 1， 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=， 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=， 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ，21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X , 第一章 1.见教材习题参考答案. 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C （1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A ，B ，C 都发生； （3） A ，B ，C （4） A ，B ，C 都不发生； （5） A ，B ，C （6） A ，B ，C 至多有1个不发生； 【解】（1） ABC （2） ABC （3）A B C (4) ABC =A B C (5) ABC (6) ABC ∪ABC ∪ABC ∪ABC =AB BC AC 3. . 4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6,P (B )=0.7, （1） 在什么条件下P （AB （2） 在什么条件下P （AB 【解】（1） 当AB =A 时，()()0.6P AB P A ==,()P AB 取到最大值为0.6. （2） 当A ∪B =Ω时，()()()()0.3P AB P A P B P A B =+-=,()P AB 取到最小值为0.3. 6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率. 【解】 因为P （AB ）=P （BC ）=0，所以P (ABC )=0， 由加法公式可得 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ = 14+14+13-112=34 模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件 表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对 于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概 率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。 三、（10分）已知，求证 四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查 到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数： 五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为 5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是： 如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。 九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算 得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别 取和0.01，已知， ） 十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下： 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． 习题二 1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 【解】 故所求分布律为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律； （2） X的分布函数并作图； (3) . 【解】 故X的分布律为 X 0 1 2 P （2）当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0 当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)= 当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)= 当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函数 (3) 3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3. 故X的分布律为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 分布函数 4.（1）设随机变量X的分布律为 P{X=k}= ， 其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a. （2）设随机变量X的分布律为 P{X=k}=a/N， k=1，2，…，N， 试确定常数a. 【解】（1）由分布律的性质知 故 (2) 由分布律的性质知 即 . 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1）两人投中次数相等的概率; （2）甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7) (1) + (2) =0.243 6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，则有 即 利用泊松近似 查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道. 7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？ 【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001） <概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率 为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=， 概率论与数理统计习题 集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤ （1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随 机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。 Unit 1 5. Fill in the blanks with the words given below. Change the forms where n ecessary. 1. forbade 2. mourning 3. charge 4. accumulate 5. begged 6. declared 7. n arrow 8. penniless 9. unioading 10. stolen 11. absenee 12. faithfully 6. Fill in the blanks with the expressions given below. Change the forms where n ecessary. 1. a good deal of 2. speak of 3. lea ning on 4. stood on his feet 5. at (the) most 6. both …and 7. counted out 8. with the help of 9. heard of 10. be blessed with 10. Tran slate the followi ng sen ten ces into En glish. 1. Driven by a strong will, he eventually fulfilled the task he had undertaken. 2. He promised to write to me as soon as he got there, but nothing has bee n heard of him so far. 3. The boss has n ever bee n so pleased with any employee before. The young man is a real find. 4. With the help of the doctors and nurses, the patient was able to stand on his feet once more and soon resumed work ing. 5. The old man? _s wrinkled face spoke of the hardships he had endured in his life. 6. When she recovered somewhat, she leaned on the window watching the children play on the lawn. Unit 2 5. Fill in the blanks with the words given below. Change the forms where n ecessary. 1. statistics 2. versions 3. legal 4. adventurous 5. fate 6. indeed 7. chatting 8. online 9. owed 10. I nternet 11.Hopefully 12. expe nses 6. Fill in the blanks with the expressions given below. Change the forms where necessary. I. insisted on 2. gave …notice 3. base ???on 4. from the beginning 5. in the middle of 概率论与数理统计复习题--带答案 ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）； 9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000 ·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i = ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； 概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生 （2）A ，B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9） 6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的 号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 （2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 （2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概 率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球， 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P概率论与数理统计期末试卷+答案
高等数学 复旦大学出版社 课后习题答案
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
概率论与数理统计习题集及答案
概率论与数理统计试题库
概率论与数理统计习题及答案
华东师范大学末试卷(概率论与数理统计)复习题
概率论与数理统计复旦大学出版社第一章课后答案
概率论与数理统计模拟试题
概率论与数理统计题库及答案
《概率与统计》习题答案(复旦大学出版社)
概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)
概率论与数理统计习题集及答案
21世纪大学实用英语综合教程4册答案_复旦大学出版社
概率论与数理统计复习题--带答案
哈工大概率论与数理统计课后习题答案 一
考研概率论与数理统计题库-题目