函数与方程思想在初中数学解题中的应用
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函数与方程思想在初中数学解题中的应用
作者:刘园园
来源:《初中生世界·九年级》2016年第08期
函数与方程是初中数学很重要的内容,也是中考的重点,函数与方程思想是解决实际问题的重要工具.
例1 (2014·徐州)某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系:y=ax2+bx-75. 其图像如图1.
(1)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润为多少元?
(2)销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于16元?
【思路突破】(1)由函数y=ax2+bx-75的图像过点(5,0)、(7,16),根据待定系数法,可得二次函数解析式,进而求得顶点坐标可确定最值;
(2)根据函数值大于或等于16,列出不等式,求出x的值,得出单价销售范围.
解:(1) y=ax2+bx-75图像过点(5,0)、(7,16),∴25a+5b-75=0,49a+7b-
75=16,解得a=-1,b=20.
∴y=-x2+20x-75=-(x-10)2+25,顶点坐标是(10,25),
即当x=10时,y最大=25.
答:销售单价为10元时,该种商品每天的销售利润最大,最大利润为25元.
(2)(方法一)∵函数y=-x2+20x-75图像的对称轴为直线x=10,可知点(7,16)关于对称轴的对称点是(13,16),
又∵函数y=-x2+20x-75图像开口向下,
∴当7≤x≤13时,y≥16.
(方法二)由-(x-10)2+25=16,
得x1=13,x2=7.
又∵函数y=-x2+20x-75图像开口向下,
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