【金版教程】2015届高三数学(文)一轮限时规范训练：10-3 几何概型

05限时规范特训

A 级 基础达标

1．[2014·郑州质量预测]一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做试验计算圆周率，他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5120颗，正方形的内切圆区域有豆4009颗，则他们所测得的圆周率约为(保留三位有效数字)( )

A ．3.13

B ．3.14

C ．3.15

D ．3.16

解析：根据几何概型的定义有π×(12)

2

1＝4009

5120，得π≈3.13. 答案：A

2．[2014·江西九校联考]在区间[－3,3]上，随机地取两个数x ，y ，则x －y >2的概率是( )

A. 29

B. 49

C. 59

D. 79

解析：取出的数对(x ，y )组成平面区域{(x ，y )|－3≤x ≤3，－3≤y ≤3}，其中x －y >2表示的区域是图中的阴影部分ABC (如图)，

故所求的概率为1

2×4×46×6

＝2

9.

答案：

A

3．[2014·郑州模拟]分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )

A.4－π2

B.π－22

C.4－π4

D.π－24

解析：设AB ＝2，则S 阴影＝2π－4.∴2π－44＝π－2

2，故选B 项． 答案：B

4．[2013·武汉武昌区联考]若从区间(0,2)内随机取两个数，则这两个数的比不小于4的概率为( )

A.18

B.78

C.14

D.34

解析：设这两个数分别为x ，y ，则由条件知0

或x ≥4y ，则所求概率P ＝2×12×2×12

2×2

＝1

4.

答案：C

5．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意平掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )

A.14

B.13

C.12

D.23

解析：如图所示，这是长度型几何概型问题，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为P ＝1

3.

答案：B

6．[2014·石家庄质检]在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( )

A.14

B.13

C.12

D.32

解析：如图，设圆的半径为r ，圆心为O ，AB 为圆的一条直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为M ，若CD 为圆内接正三角形的一条边，则O 到CD 的距离为r

2，设EF 为与CD 平行且到圆心O 距离为r

2的弦，交直径AB 于点N ，所以当过AB 上的点且垂直于AB 的弦的长度超过CD 时，该点在线段MN 上移动，所以所求概率P ＝r

2r ＝1

2，选C.

答案：C

7．[2014·广州测试]有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．

解析：先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝2

3π.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为2

3π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.

答案：23

8．[2014·海口调研]张先生订了一份《南昌晚报》，送报人在早上6：30－7：30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00－8：00之间，则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是________．

解析：以横坐标x 表示报纸送到时间，以纵坐标y 表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，如图．因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落在阴影部分，就表示张先生在离开家之前能拿到报纸，即所求事件A 发生，所以P (A )＝1×1－12×12×1

2

1×1

＝7

8.

答案：78

9．[2014·抚顺模拟]若不等式组????

?

y ≤x y ≥－x

2x －y －3≤0

表示的平面区域

为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．

解析：如图，△AOB 为区域M ，扇形COD 为区域M 内的区域N ，易知A (3,3)，B (1，－1)，S △AOB ＝12×2×32＝3，S 扇形COD ＝π

4，所以豆子落在区域N 内的概率为S 扇形COD S △AOB ＝π

12

.

答案：π

12

10．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0. (1)若a ，b 是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率；

(2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求一元二次方程没有实数根的概率． 解：(1)基本事件(a ，b )共有36个，且a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，方程有两个正实数根等价于a －2>0,16－b 2>0，Δ≥0，即a >2，－4

设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19.

(2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4}，其面积为S (Ω)＝16.

设“一元二次方程无实数根”为事件B ，则构成事件B 的区域为B ＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2

＋b 2

<16}，其面积为S (B )＝14

×π×42＝4π，

故所求的概率为P (B )＝4π16＝π

4.

11．[2014·济南调研]已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )． (1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率． 解：(1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .

基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；

其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．

则P (A )＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16.

(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .基本事件空间为Ω＝{(x ，

y )|?

????

－1≤x ≤2－1≤y ≤1}，

B ＝{(x ，y )|?????

－1≤x ≤2

－1≤y ≤1

2x ＋y <0

x ≠2y

}，

则由图可知，P (B )＝μB μΩ＝12×(12＋3

2)×23×2＝1

3，

即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是1

3.

12．[2014·锦州模拟]已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )在复平面上对应的点为M .

(1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机取一个数作为x ，从集合Q 中随机取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；

(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组：?????

x ＋2y －3≤0x ≥0，

y ≥0所表示的平面区域内的概率．

解：(1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .

∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ，

∴所求事件的概率为P (A )＝212＝1

6.

(2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域

{(x ，y )|?

????

0≤x ≤3

0≤y ≤4}内，属于几何概型，该平面区域的图形为右

图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.

而所求事件构成的平面区域为{(x ，y )|?????

x ＋2y －3≤0x ≥0

y ≥0}，其图形

如图中的三角形OAD (阴影部分)．

又直线x ＋2y －3＝0与x 轴、y 轴的交点分别为A (3,0)、D (0，3

2)， ∴三角形OAD 的面积为S 1＝12×3×32＝94. ∴所求事件的概率为P ＝S 1S ＝9412＝3

16. B 级 知能提升

1．已知平面区域Ω＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，平面区域M

＝{(x ，y )|?

????

1≤x ＋y ≤3

－1≤x －y ≤1}，若向区域Ω内随机抛掷一点P ，则点P

落在区域M 内的概率为( )

A. 1π

B. 2π

C. 4π

D. 8π

解析：如图，画出区域Ω与区域M ，则区域Ω是以点(1,1)为圆心，1为半径的圆，其面积为π，区域M 是边长为2的正方形，其面积为2×2＝2，故所求的概率为2

π，选B.

答案：B

2．[2014·南昌模拟]在区间[－6,6]内任取一个元素x 0，抛物线x 2

＝4y 在x ＝x 0处的切线的倾斜角为α，则α∈[π4，3π4]的概率为________．

解析：当切线的倾斜角α∈[π4，3π

4]时，切线斜率的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，抛物线x 2

＝4y 在x ＝x 0处的切线斜率是1

2x 0，故

只要x 0∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)即可，若在区间[－6,6]内取值，则只能取区间[－6，－2]∪[2,6)内的值，这个区间的长度是8，区间[－6,6]的长度是12，故所求的概率是812＝2

3.

答案：23

3．在某校趣味运动会的颁奖仪式上，为了活跃气氛，大会组委会决定在颁奖过程中进行抽奖活动，用分层抽样的方法从参加颁奖仪式的高一、高二、高三代表队中抽取20人前排就座，其中高二代表队有6人．

(1)把在前排就座的高二代表队6人分别记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，现从中随机抽取2人上台抽奖，求a 和b 至少有一人上台抽奖的概率；

(2)抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的随机数x ，y ，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．求该代表中奖的概率．

解：(1)由题意得，从高二代表队6人中随机抽取2人的所有基本事件有(a ，b )、(a ，c )、(a ，d )、(a ，e )、(a ，f )、(b ，c )、(b ，d )、(b ，e )、(b ，f )、(c ，d )、(c ，e )、(c ，f )、(d ，e )、(d ，f )、(e ，f )，共15种，

设“高二代表队中a 和b 至少有一人上台抽奖”为事件M ，则事件M 的基本事件有(a ，b )、(a ，c )、(a ，d )、(a ，e )、(a ，f )、(b ，c )、(b ，d )、(b ，e )、(b ，f )，共9种，所以P (M )＝915＝35.

(2)由已知0≤x ≤1,0≤y ≤1，点(x ，y )在如图所示的正方形OABC 内，由????

?

2x －y －1≤00≤x ≤1，

0≤y ≤1

得到的区域如图中阴影部分所示．

所以阴影部分的面积为12×(1＋12)×1＝34. 设“该代表中奖”为事件N ，则P (N )＝341＝3

4.