陕西省师大附中2013届高三第一次模拟考试数学理试题(教师版)

陕西省师大附中2013届高三第一次模拟考试数学理试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若复数2(23)(1)z x x x i =+-+-为纯虚数，则实数x 的值为 A ．3 B ．1 C ．-3 D ．1或-3 2．已知{}n a 为等差数列,若1598a a a π++=,则28cos()a a +的值为 A ．2

1

-

B ．2

3

-

C ．21

D ．

2

3

3．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>

的离心率为2，则双曲线12222=-b

x a y 的离心率为

A

B

C

D ．2

4．函数()sin()f x A x ω?=+（其中0,||2

A π

?><）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的

图像，则只需将()f x 的图像 A ．向右平移6π

个长度单位 B ．向右平移12

π

个长度单位

C ．向左平移

6π

个长度单位 D ．向左平移12

π

个长度单位

5．设p ∶2

10||2

x x -<-，q ∶260x x +->，则p 是q 的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 6．新学期开始，学校接受6名师大学生生到校实习 ，学校要把他们分配到三个年级，每个年级2人，其中甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为 A ．18 B ．15 C ．12 D ．9

7．已知直线x y a +=与圆2

2

4x y +=交于,A B 两点，且||||OA OB OA OB +=-

（其中O 为坐标原点），则实数a 的值为 A ．2 B

C ．2或2- D

8.

2a <<

，则函数()2f x x =

-的零点个数为

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

9. 在抛物线2

5(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-,22x =

的两点，经过两点引一条割线，

有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆22

5536x y +=相切，则抛物线的顶点坐标是

A. (-2,-9)

B. (0,-5)

C. (2,-9)

D. (1,-6)

10．已知函数()f x 对任意x R ∈都有(4)()2(2)f x f x f +-=，若(1)y f x =-的图象关于直线

1x =对称，且(1)2f =，则(2013)f =

A ．2

B ．3

C ．4

D ．0

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填写在题中的横线上. 11. 右图中的三个直角三角形是一个体积 为3

20cm 的几何体的三视图，则h = cm

1223

4….8 （,a t 均为正实数），类比以上等式，可推测,a t 的值，则a t +＝ .

13. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示.从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，则其棉花纤维的长度小于20mm 的概率为 .

14．在二项式

)n x +的展开式中，各项的系数和比各

项的二项式系数和大992，则n 的值为 . 15.不等式3642x x x --->的解集为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分12分)

已知函数2()2sin()cos()()2

2

2

f x x x x α

α

α

=+

+

++

-为偶函数， 且[]πα,0∈

（Ⅰ）求α的值；（Ⅱ）若x 为三角形ABC 的一个内角，求满足()1f x =的x 的值.

甲、乙两个盒子里各放有标号为1，2，3，4的四个大小形状完全相同的小球，从甲盒中任取一小球，记下号码x 后放入乙盒，再从乙盒中任取一小球，记下号码y .

（Ⅰ）求2y =的概率；（Ⅱ）设随机变量y x X -=，求随机变量X 的分布列及数学期望.

18．（本题满分12分）

如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，

AD =PA =2

，CD E 、F 分别是AB 、PD 的中点.

（Ⅰ）求证：平面PCE ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求四面体PEFC 的体积．

19．（本小题满分12分）

数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*N n ∈，总有2,,n n n a S a 成等差数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设2

1

n n

b a =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证:1n n T n >+.

E

P

D

B A F

已知ABC ?的边AB 所在直线的方程 为360x y --=,(20)M ，满足=,

点(11)T -，在AC 所在直线上且0=?．

（Ⅰ）求ABC ?外接圆的方程；

（Ⅱ）一动圆过点(20)N -，，且与ABC ?的外接圆外切，求此动圆圆心的轨迹Γ的方程；

（Ⅲ）过点A 斜率为k 的直线与曲线Γ交于相异的,P Q 两点，满足6OP OQ ?>

，求k 的取值范

围．

21．（本小题满分14分） 设函数2

()2

x

k f x e x x =-

-. （Ⅰ）若0k =，求()f x 的最小值；

（Ⅱ）若当0x ≥时()1f x ≥，求实数k 的取值范围.

陕西省师大附中2013届高三第一次模拟考试数学理试题参考答案

一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

C

A

B

A

B

D

C

D

A

A

二、填空题:

11．4 12. 71 13. 310 14. 5 15. 1|2x x ?

?

? 三、解答题：

16．解：（Ⅰ）2()2sin()cos()()2

2

2

f x x x x α

α

α

=+

+

++

sin(2))2sin(2)3

x x x π

ααα=++=++

由()f x 为偶函数得,3

2

k k Z π

π

απ+

=+

∈

,6

k k Z π

απ∴=+

∈ 又 [0,]6

π

απα∈∴=

（Ⅱ）由()1f x = 得 1

cos 22

x =

又 x 为三角形内角，(0,)x π∈

56

6

x x π

π∴=

=

或 17．解：（Ⅰ）(2)(2,2)(2,2)P y P x y P x y ====+≠=

12311

45454

=

?+?= （Ⅱ）随机变量X 可取的值为0，1，2，3 当X =0时，(,)(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)x y =

121212122(0)454545455

P X ∴==

?+?+?+?= 当X =1时，(,)(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)x y =

1111111111113

(1)45454545454510

P X ∴==?+?+?+?+?+?=

同理可得11

(2);(3)510

P X P X ====

01231510510

EX ∴=?+?

+?+?= 18. 解（Ⅰ）2,PA AD AF PD ==∴⊥ PA ABCD CD ABCD ∴⊥?平面，平面

PA CD

AD CD PA

AF

PA

PD CD D GE PC

GE PE

∴⊥⊥?=

∴⊥? ，平面，

平面平面

（Ⅱ）由（2）知GE PCD EG PEFC ⊥平面，所以为四面体的高，

//1

2

1

2

2

133

PCF PCF GF CD GF PD

EG AF GF CD S PD GF PEFC V S EG ??⊥=====?==?=

又，所以得四面体的体积 19.解：（Ⅰ）由已知：对于*

N n ∈，总有22n n n S a a =+ ①成立 ∴2

1112n n n S a a ---=+ （n ≥ 2）② ①-②得2

1122----+=n n n n n a a a a a ∴()()111----+=+n n n n n n a a a a a a

∵1,-n n a a 均为正数，∴11=--n n a a （n ≥ 2） ∴数列{}n a 是公差为1

的等差数列 又n=1时，2

1112S a a =+， 解得1a =1, ∴n a n =.(*

N n ∈) (Ⅱ) 解：由（1）可知 2

1n b n =

21111

(1)1

n n n n n >=-

++ 11111(1)()()22311

n n

T n n n ∴>-+-++-=++

20．解：（Ⅰ） 0=?AB AT AT AB ∴⊥,从而直线AC 的斜率为3-． 所以AC 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．即320x y ++=． 由36032=0x y x y --=??++?，

得点A 的坐标为(02)-，

，

(2,0)BM MC

M Rt ABC =∴? 为外接圆的圆心

又r AM ==

=

所以ABC ?外接圆的方程为: 22(2)8x y -+=． （Ⅱ）设动圆圆心为P ，因为动圆过点N ，且与ABC ?外接圆M 外切，

所以PM PN =+

PM PN -= 故点P 的轨迹是以M N ，

为焦点，实轴长为2c =的双曲线的左支．

从而动圆圆心的轨迹方程Γ为

22

1(0)22

x y x -=<． (Ⅲ)PQ 直线方程为：2y kx =-,设1122(,),(,)P x y Q x y

由222(0)2x y x y kx ?-=

16012261k k k k x x k x x k k OP OQ x x y y k ??

?-≠?

?=+->??

?

∴+=

?

=>?-?

+??=+=>?-?

解得：1k <<- 故k

的取值范围为(1)-

21．解：（Ⅰ）0k =时，()x f x e x =-，'()1x f x e =-.

当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.

所以()f x 在(,0)-∞上单调减小，在(0,)+∞上单调增加 故()f x 的最小值为(0)1f =

（Ⅱ）'()1x f x e kx =--，()x f x e k ''=-

当1k ≤时，()0 (0)f x x ''≥≥，所以()f x '在[)0,+∞上递增， 而(0)0f '=，所以'()0 (0)f x x ≥≥，所以()f x 在[)0,+∞上递增， 而(0)1f =，于是当0x ≥时，()1f x ≥ . 当1k >时，由()0f x ''=得ln x k =

当(0,ln )x k ∈时，()0f x ''<，所以()f x '在(0,ln )k 上递减，

而(0)0f '=，于是当(0,ln )x k ∈时，'()0f x <，所以()f x 在(0,ln )k 上递减， 而(0)1f =，所以当(0,ln )x k ∈时，()1f x <. 综上得k 的取值范围为(,1]-∞.