江苏省扬州市2014-2015学年高一下学期期末考试数学

2015．7

（满分160分，考试时间120分钟）

注意事项：

1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．直线10x y -+=的倾斜角为 ▲ . 2．不等式

03

1

<+-x x 的解集是 ▲ .

3．经过点(2,1)-,且与直线2350x y -+=平行的直线方程是 ▲ .

4．已知数列{}n a 是等差数列,且25815a a a ++=,则9S = ▲ .

5．直线x －y －5＝0被圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0所截得的弦的长为 ▲ ．

6．0

1cos10cos85

-= ▲ ．

7．在约束条件??

?

??≤+≤≥12y x x y x y 下，目标函数y x z 2+=的最大值为 ▲ .

8．已知a ∈R ，直线l ：(1)30a x ay -++=，则直线l 经过的定点的坐标为▲ .

9．在ABC ?中，已知,30,4,3

3

40===

A b a 则ABC ?的面积为 ▲ . 10．等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，12014a =，

20142012

220142012

S S -=-，则2015S 的值 为 ▲ .

2014—2015学年度第二学期期末调研测试试题

高 一 数 学

11．ABC ?三内角为C B A ,,，若关于x 的方程22

cos cos cos 02

C

x x A B --=有一根为1，则A B C ?的形状是 ▲ .

12．在R 上定义运算:(1)x y x y ??=-，若不等式:()()2x a x a -?+<对实数[1,2]x ∈恒成立，

则a 的范围为 ▲ .

13．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列。若对一切n N *

∈,

1

n n n

a b a +=总成立，则d q += ▲ .

14．若ABC ?的内角,A B 满足

sin 2cos()sin B

A B A

=+，则当B 取最大值时，角C 大小为 ▲ .

二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）

在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =．

(1)求角C 的大小；

(2)求()3sin cos()4

f A A B π

=-+的最大值.

16．（本题满分14分）

等比数列{}n a 中，637,63S S ==． (1)求n a ；

(2)记数列{}n S 的前n 项和为n T ，求n T ．

17.（本题满分15分）

在ABC ?中，C ∠的平分线所在直线l 的方程为2y x =，若点A （-4,2），B （3,1）. (1)求点A 关于直线l 的对称点D 的坐标； (2)求AC 边上的高所在的直线方程； (3)求ABC ?得面积.

18. （本题满分15分）

为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2016年举行某一产品的促销活动，经调查测算，该产

品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t (0)t ≥万元满足x ＝4－k

2t ＋1(k 为常数)．如

果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2016年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均生产投入成本的1.5倍(生产投入成本包括生产固定投入和生产再投入两部分)．

(1)求常数k ，并将该厂家2016年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数；

(2)该厂家2016年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？

19．（本题满分16分）

在平面直角坐标系中，圆O ：22

4x y +=与x 轴的正半轴交于点A ，以A 为圆心的圆A ：

222(2)(0)x y r r -+=>与圆O 交于,B C 两点.

（1）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于,D E ，当线段DE 长最小时，求直线l 的方程；

（2）设P 是圆O 上异于,B C 的任意一点，直线PB 、PC 分别与x 轴交于点M 和N ，问

OM ON ?是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

20．（本题满分16分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a 1＝，0n a ≠，n n n S a a λ1＋＝+1，其中λ为常数． (1)证明：数列{}21n a -是等差数列；

(2)是否存在实数λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由； (3)若{}n a 为等差数列，令()1

1

41n n n n n

b a a -+=-，求数列n b 的前n 项和n T ．

扬州市2014—2015学年度第二学期期末调研测试试题

高 一 数 学 参 考 答 案 2015．7

x

N

A C

E M

y

B

P O D

l

1．

4

π

2．()1,3- 3．2370x y -+= 4．45 5．6 6．2 7．

35 8． (3,3)- 9．833或4

33

10．0 11． 等腰三角形.

12．21<<-a

解：由题：()[1()]2x a x a --+<对实数[1,2]x ∈恒成立，即2220x x a a --++>对实数[1,2]x ∈恒成立，记22()2f x x x a a =--++，则应满足22(1)112>0f a a =--++， 化简得22<0a a --，解得21<<-a 13

．

1

解

析

:由

11

1n n n n n n

b a a q b a a +--=?=,得

2

11n n n

a a qa +-?=，所以

2111()(2)()a n d a n d

d q a n d d +?+

-=+-对n N *∈恒成立，从而22d qd =.若0,d =则22

11a qa =，

得1q =；若1,q =则0d =，综上1d q +=. 14．

23π

解：由条件得sin 2sin cos()B A A B =+,

2sin 2sin cos cos 2sin sin B A A B A B ∴=-

所以22

2sin cos 2tan tan 12sin 13tan A A A B A A =

=++,由此可知(0,)2A π∈，(0,)2

B π

∈，tan 0A >， 23tan 1

33tan tan B A A

∴=

≤

+，当且仅当3tan 3A =时，即6A π=时，max 3

(tan )3

B =，B

的最大值为

6π，从而角C 大小为23

π

．

15．解(1)由sin cos c A a C =及正弦定理得

tan 1C =， ……………………3分

在ABC ?中，(0,

)2

C π

∈，5分

4

C π

∴=

． ……………………7分

(2)由(1)4

C π

=

，34A B π∴+=

， 34

B A π

∴=

- …………………… 9分 3()3sin cos()3sin cos[()]

444

3sin cos 2sin()

6

f A A B A A A A A πππ

π

∴=-+=--+=+=+ ……………… 12分

因为304A π<<

，所以当3A π=时，()3sin cos()4

f A A B π

=-+的

最大值为2． ……………………14分 16．解：(1)若1q =，则362S S =，与已知矛盾，所以1q ≠。………………………… 2分

从而()()31361617

11631a q S q

a q S q

-==--==-?????解得

{

11

2

a q ==，因此12n n a -=． ……………………………………………… 7分

(2)由(1)，求得21n n S =-， …………………………………………………………………………………… 9分 于是1

2

212121n

n T =-+-+

+-()12122212

n n n n +-=

-=---……………………………………… 14分

17．解：（1）设点A 关于l 的对称点(,)D m n 21442

224222

n m m n n m -?=-?=??+???=-+-??=?

??

∴(4,2)D - …………………………………………………………………………5分 （2） ∵D 点在直线BC 上，∴直线BC 的方程为3100x y +-=，

因为C 在直线2y x =上，所以31002

24x y x y x y +-==?????

==??

所以(2,4)C 。……………………………8分

∴1

3

AC k =

，所以AC 边上的高所在的直线方程的方程为3100x y +-=。…………10分 （备注：若学生发现AC BC ⊥,进而指出AC 边上的高即为BC ，AC 边上的高所在的直线方程的方程

为3100x y +-=也可以） （3）11

210101022

ABC S AC BC ?=

?=??=…………15分 18．解 (1)由题意，当0t =时，1x =，代入x ＝4－

k 2t ＋1

中，得1＝4－k

1，得k ＝3

故x ＝4－3

2t ＋1

，∴y ＝1.5×6＋12x x ×x －(6＋12x )－t …………………………………………… 5分

＝3＋6x －t ＝3＋6????4－32t ＋1－t ＝27－18

2t ＋1

－t (t ≥0)． …………………………………………… 7分

(2)由(1)知：y ＝27－182t ＋1

－t ＝27.5－

?????

???9t ＋12

＋

????t ＋12. 由基本不等式9

t ＋12

＋????t ＋12≥2 9t ＋12

·????

t ＋12＝6， ………………………12分 当且仅当9t ＋12

＝t ＋1

2，即t ＝2.5时等号成立， ……………………13分

故y ＝27－182t ＋1

－t ＝27.5－

?????

???

9t ＋12

＋

????t ＋12≤27.5－6＝21.5. …………………………14分 答：该厂家2016年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大。 ………………15分 19．解： （1）设直线l 的方程为

1(0,0)x y

a b a b

+=>>，即0bx ay ab +-=， 由直线l 与圆O 相切，得

22

2ab a b =+，即

221114

a b +=， ……………4分 222222211

4(

)()16DE a b a b a b

=+=++≥， 当且仅当22a b ==时取等号，此时直线l 的方程为220x y +-=．………8分

(2)设00(,)B x y ，1110(,)()P x y y y ≠±，则00(,)C x y -，22

004x y +=，22114x y +=

直线PB 的方程为：01

1101

()y y y y x x x x --=

--

直线PC 的方程为：01

1101

()y y y y x x x x ---=

--

分别令0y =，得100110010101

,,M N x y x y x y x y

x x y y y y -+=

=-+

所以OM ON ?=22222222

10011001222

2

0101(4)(4)4M N x y x y y y y y x x y y y y ----===--为定值。……16分 20．解：(1)证明：由题设，λS n ＝a n a n ＋1+1，λS n-1＝a n a n -1+1，两式相减得λa n ＝a n (a n ＋1－a n-1).因为a n

≠0，所以a n ＋1－a n -1＝λ，所以a 2n ＋1－a 2n -1＝λ，数列{a 2n-1}是等差数列．……… 4分

(2)由题设，a 1＝1，λS 1＝a 1a 2+1，可得a 2＝λ－1，由(1)知，a 3＝λ＋1.若{a n }为等差数列，则2a 2

＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4.……………………………………6分

由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4

的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．…………………………………………………………………………………………………………10分

(3)由题意可知，

b n ＝(－1)n -14n a n a n ＋1＝(－1)n -14n

（2n －1）（2n ＋1）

＝(－1)n -1????12n －1＋12n ＋1.………12分

当n 为偶数时，T n ＝????1＋13－????13＋15＋…＋??12n －3＋

??12n －1－????12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n

2n ＋1

. 当n 为奇数时，T n ＝????1＋13－???

?13＋1

5＋…－????12n －3＋12n －1＋???

?12n －1＋12n ＋1 ＝1＋1

2n ＋1＝2n ＋22n ＋1

.

所以T n

＝?????2n ＋22n ＋1，n 为奇数，

2n 2n ＋1，n 为偶数.

(或1

21(1)21

n n

n T

n -++-=+)………………………………16分