二阶三阶变系数线性微分方程可降阶求解的一个充要条件

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二阶三阶变系数线性微分方程可降阶求解的一个充要条件

作者:王晓华

来源:《现代职业教育·高职高专》2017年第04期

[摘要] 给出二阶三阶变系数线性微分方程可解一个充要条件,参照一阶线性微分方程常

数变异解法给出二阶三阶变系数线性微分方程的一个通解公式并加以应用.

[关键词] 变系数线性微分方程;充要条件;通解

[中图分类号] O175 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603(2017)10-0168-02

力学、电学及其他工程技术中一个重要的解析工具是常系数线性微分方程,而在系数激励振动、波导传输理论以及许多其他的实际应用问题中还经常会用到变系数线性微分方程,其解的研究将对有关问题的分析和应用大有帮助.实际上,变系数线性微分方程的求解困难重重,

本文针对二阶、三阶变系数线性微分方程,给出其可降阶求解的一个充要条件并进行了相关的应用.

一、预备知识

引理1:一阶线性微分方程y′+P(x)y=Q(x),其中P(x),Q(x)是关于x的连续函数,其通解为y=■■Q(x)e■■dx+C,其中C∈R.

证明:由常数变易法可以证明其结论成立,证明过程略.

定义1:若P(x),Q(x),f(x)是关于x的连续函数,则称方程

y″+P(x)y′+Q(x)=f(x)(1)

为二阶变系数线性微分方程,若f(x)=0,则称方程

y″+P(x)y′+Q(x)=0 (2)

为二阶变系数齐次线性微分方程.

定义2:若a1(x),a2(x),a3(x),f(x)是关于x的连续函数,则称方程

y″′+a1(x)y″+a2(x)y′+a3(x)y=f(x)(3)

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