第五章 代数特征值问题
线性代数第五章(答案)
第五章 相似矩阵及二次型 一、 是非题（正确打√，错误打×） 1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6．若112???=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )
14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵 。 ( × ) 20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22．二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为 标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化 为规范型。 ( × )
(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案
第五章 特征值和特征向量 一、特征值与特征向量 定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。 定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式， )(λf =0E A λ-=， 称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵 齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。 性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α 是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为 0E A λ-=的 根。 由此得到对特征向量和特征值的另一种认识： （1）λ是A 的特征值?0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量?α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解. 计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式， ()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全 部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量. 性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλΛΛ21,所对应的特征向量 21,ξξ……ξ线性无关 性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到： （1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |. 性质4：如果λ是A 的特征值，则 （1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值. (2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ). （2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*， A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn . 性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则 （1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)； （2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。 1122 ,.m m A k kA a b aA bE A A A A A λλλλλλ-*??++????? ????是的特征值则:分别有特征值 α是A 关于λ的特征向量，则α也是上述多项式的特征向量。 推论：（1）对于数量矩阵λE ，任何非零向量都是它的特征向量，特征值都是λ. （2）上三角、下三角、对角矩阵的特征值即对角线上的各元素. （3）n 阶矩阵A 与他的转置矩阵T A 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但是它们的特征向量可能不相同.
线性代数第五章 课后习题及解答
第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T
第五章习题几个典型的代数系统
.设G为群,若x∈G有x2=e,证明G为交换群。 .设G为群,证明e为G中唯一的幂等元。 .证明4阶群必含2阶元。 设A={a+bi|a,b∈Z,i2=-1},证明A关于复数的加法和乘法构成环,称为高斯整数环。 .(1) 设R 1,R 2 是环,证明R 1 与R 2 的直积R 1 ×R 2 也是环。 (2) 若R 1和R 2 为交换环和含幺环,证明R 1 ×R 2 也是交换环和含幺环。 . 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,如果不能构成,说明理由。 (1) A={a+bi|a,b∈Z},其中i2=-1,运算为复数的加法和乘法。 (2) A={-1,0,1},运算为普通加法和乘法。 (3) A=M 2 (Z),2阶整数矩阵的集合，运算为矩阵加法和乘法。 (4) A是非零有理数集合Q*,运算为普通加法和乘法。 .设G是非阿贝尔群,证明G中存在元素a和b,a≠b,且ab=ba. .设H是群G的子群,x∈G,令 xHx-1={xhx-1|h∈H}, 证明xHx-1是G的子群,称为H的共轭子群。 .设
第14章 代数系统
第14章代数系统 14.1 代数系统 1.集合A={1,2,3,4}, * 是A 上的二元运算，定义为 a * b = a ·b - b ，试写出*的运算表。 2.< Z 5,5⊕>是代数系统，其中Z 5 ={0,1,2,3,4}，运算5⊕是模5加法，试写出5⊕的运算表。 3.设A={1,2,3,4,5}，A 上二元运算*定义 a * b = min(a,b), 其中min(a,b)是求a 和b 的最小值，写出*的运算表。 4.< Z 3,3?>是代数系统，其中Z 3 = {0,1,2}，运算3?是模3乘法，试写出3?的运算表，并求（23?2）3?2和23?（23?2）的值。
5.
9.设Z+是所有正整数的集合，Z+上的二元运算*定义为a*b = gcd(a,b), 其中gcd(a,b)表示a和b的最大公约数。写出代数系统< Z+, * >幺元和零元（如果存在的话）。 10.设
线性代数练习册第五章题目及答案(本)复习进程
第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个） 二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ） （A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 （C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于 （ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;
三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :
第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题
第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)???? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; (2)?????? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 2. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 3. 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1)???? ? ??----20133 5212; (2)???? ? ??633312321. 4. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同. 5. 设λ≠0是m 阶矩阵A m ?n B n ?m 的特征值, 证明λ也是n 阶矩阵BA 的特征值. 6. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求|A 3-5A 2+7A |. 7. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求|A *+3A +2E |. 8. 设矩阵???? ? ??=50413102x A 可相似对角化, 求x . 9. 已知p =(1, 1, -1)T 是矩阵???? ? ??---=2135 212b a A 的一个特征向量.
(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值; (2)问A 能不能相似对角化？并说明理由. 10. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵???? ? ??----020212022化为对角阵. 11. 设矩阵????? ??------=12422421x A 与???? ? ??-=Λy 45相似, 求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ. 12. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1, 1, 0)T , 求A . 13. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A . 14. 设???? ? ??-=340430241A , 求A 100.
线性代数第五章答案
第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ? ??? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .
2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,
线性代数第五章作业参考答案(唐明)
第五章作业参考答案 5-2试证：()()()1231,1,0,2,1,3,3,1,2T T T ααα=-== 是3R 的一组基，并求向量()()125,0,7,9,8,13T T v v ==--- 在这组基之下的坐标。 证明：要证123,,ααα 线性无关，即证满足方程1122330k k k ααα++= 的123,,k k k 只能均是0.联立方程得 1231232 32300320k k k k k k k k ++=?? -++=??+=? 计算此方程系数的行列式123 1116003 2 -=-≠ 故该方程只有零解，即1230k k k ===，因此，123,,ααα 是3R 的一组基 设1v 在这组基下的坐标为()123,,x x x ，2v 在这组基下的坐标为()123,,y y y ，由已知得 ()()1111232 212323 3,,,,,x y v x v y x y αααααα???? ? ? == ? ? ? ? ???? 代入易解得112233233,312x y x y x y ???????? ? ? ? ?==- ? ? ? ? ? ? ? ?--????????即为1v ，2v 在这组基下的坐标。 5-5设()()()1,2,1,1,2,3,1,1,1,1,2,2T T T αβγ=-=-=--- ，求： （1 ）,,,αβαγ 及,,αβγ 的范数；（2）与,,αβγ 都正交的所有向量。 解（1 ）,1223111(1)6αβ=?+?-?+?-= ()()(),112112 121 αγ=?-+?--?-+?= α= = β== γ= = （2）设与,,αβγ 都正交的向量为()1234,,,T x x x x x =，则 123412341234,20 ,230,220x x x x x x x x x x x x x x x αβγ?=+-+=??=++-=??=---+=?? 解得1 43243334 4 5533x x x x x x x x x x =-?? =-+?? =??=? 令340,1x x ==得()()1234,,,5,3,0,1x x x x =- 令341,0x x ==得()()1234,,,5,3,1,0x x x x =-
线性代数第五章特征值与特征向量自测题
第五章《特征值与特征向量》自测题（100分钟） 一、填空题：（共18分，每小题3分） 1、设三阶矩阵A 的特征值为－1，1，2，则A －1的特征值为（ ）；A *的特征值为 （ ）；（3E +A ）的特征值为（ ）。 2、设三阶矩阵A ＝0，则A 的全部特征向量为（ ）。 3、若A ～E ，则A ＝（ ）。 4、已知A ＝??????????x 10100002与=B ???? ??????-10000002y 相似，则x =（ ），y =（ ）。 5、设三阶实对称矩阵A 的特征值是1，2，3，矩阵A 的属于特征值1，2的特征向量分别是 1(1,1,1)T α=-，T )1,2,1(2---=α，则A 的属于特征值3的特征向量是（ ）。 6、设n 阶方阵A 有n 个特征值分别为2，3，4，…，n ，n +1，且方阵B 与A 相似，则 |B-E |=______________ 二、选择题（共18分，每小题3分） 1、已知三阶矩阵A 的特征值是0，-2，2，则下列结论中不正确的是 （A ） 矩阵A 是不可逆矩阵 （B ） 矩阵A 的主对角线元素之和为0 （C ） 特征值2和-2所对应的特征向量是正交的 （D ） AX =0的基础解系由一个向量组成 2、矩阵A ??????????=300 030000与矩阵（ ）相似。 （A ）??????????000030300； （B ）??????????300130010； （C ）??????????300000003； （D ）???? ??????310031000 3、下述结论正确的有（ ）。 （A ）n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个互不相同的特征值； （B ）n 阶矩阵A 可对角化的必要条件是A 有n 个互不相同的特征值； （C ）有相同特征值的两个矩阵一定相似； （D ）相似的矩阵一定有相同的特征值。 4、下述结论正确的有（ ），其中A 为n 阶矩阵。 （A ）方程0)(0=-x A E λ的每一个解向量都是对应于特征值0λ的特征向量； （B ）若21,αα为方程0)(0=-x A E λ的一个基础解系，则2211ααC C +（21,C C 为非 零常数）是A 的属于特征值0λ的全部的特征向量；
计算机代数系统第5章-方程求解
第五章 方程求解 1 代数方程(组)求解 1.1 常用求解工具—solve 求解代数方程或代数方程组, 使用Maple 中的solve 函数. 求解关于x 的方程eqn=0的命令格式为： solve(eqn, x); 求解关于变量组vars 的方程组eqns 的命令为： solve(eqns, vars); > eqn:=(x^2+x+2)*(x-1); := eqn () + + x 2x 2() - x 1 > solve(eqn,x); ,,1- + 1212I 7- - 1212 I 7 当然, solve 也可以求解含有未知参数的方程： > eqn:=2*x^2-5*a*x=1; := eqn = - 2x 25a x 1 > solve(eqn,x); , + 5a 14 + 25a 28 - 5a 1 + 25a 28 solve 函数的第一个参数是有待求解的方程或方程的集合, 当然也可以是单个表达式或者表达式的集合, 如下例： > solve(a+ln(x-3)-ln(x),x); 3e a - + 1e a 对于第二个参数, Maple 的标准形式是未知变量或者变量集合, 当其被省略时, 函数indets 自动获取未知变量. 但当方程中含有参数时, 则会出现一些意想不到的情况： > solve(a+ln(x-3)-ln(x));
{}, = x x = a - + ()ln - x 3()ln x 很多情况下, 我们知道一类方程或方程组有解, 但却没有解决这类方程的一般解法, 或者说没有解析解. 比如, 一般的五次或五次以上的多项式, 其解不能写成解析表达式. Maple 具备用所有一般算法尝试所遇到的问题, 在找不到解的时候, Maple 会用RootOf 给出形式解. > x^7-2*x^6-4*x^5-x^3+x^2+6*x+4; - - - + + + x 72x 64x 5x 3x 26x 4 > solve(%); + 15 - 15()RootOf , - - _Z 5_Z 1 = index 1()RootOf , - - _Z 5_Z 1 = index 2()RootOf , - - _Z 5_Z 1 = index 3,,,,, ()RootOf , - - _Z 5_Z 1 = index 4()RootOf , - - _Z 5_Z 1 = index 5, > solve(cos(x)=x,x); ()RootOf - _Z ()cos _Z 对于方程组解的个数可用nops 命令获得, 如： > eqns:={seq(x[i]^2=x[i],i=1..7)}; := eqns {},,,,,, = x 12x 1 = x 22x 2 = x 32x 3 = x 42x 4 = x 52x 5 = x 62x 6 = x 72 x 7 > nops({solve(eqns)}); 128 但是, 有时候, Maple 甚至对一些“显而易见”的结果置之不理, 如： > solve(sin(x)=3*x/Pi,x); ()RootOf - 3_Z ()sin _Z π 此方程的解为0 ,6 π±, 但Maple 却对这个超越方程无能为力, 即便使用allvalues 求解也只有下述结果： > allvalues(%); ()RootOf , - 3_Z ()sin _Z π0. 另外一个问题是, Maple 在求解方程之前,会对所有的方程或表达式进行化简, 而不管表达式的类型, 由此而产生一些低级的错误： > (x-1)^2/(x^2-1); () - x 12 - x 21 > solve(%); 1
线性代数学习指导第五章矩阵的特征值与特征向量
第五章 矩阵的特征值与特征向量 一．内容提要 1 . 特征值和特征向量 定义1 设() ij n n A a ?=是数域P 上的n 阶矩阵，若对于数域P 中的数λ，存在数域P 上 的非零n 维列向量X ，使得 X AX λ= 则称λ为矩阵A 的特征值，称X 为矩阵A 属于（或对应于）特征值λ的特征向量 注意：1）() ij n n A a ?=是方阵； 2）特征向量 X 是非零列向量； 3）方阵 () ij n n A a ?= 与特征值 λ 对应的特征向量不唯一 4）一个特征向量只能属于一个特征值. 2．特征值和特征向量的计算 计算矩阵A 的特征值与特征向量的步骤为： （1） 计算n 阶矩阵A 的特征多项式｜λE －A ｜； （2） 求出特征方程｜λE －A ｜＝０的全部根，它们就是矩阵A 的全部特征值； （3） 设λ1 ，λ2 ，… ，λs 是A 的全部互异特征值。 对于每一个λi ，解齐次线性方程组()i E A X λ-=0，求出它的一个基础解系，该基础解系的向量就是A 属于特征值λi 的线性无关的特征向量，方程组的全体非零解向量就是A 属于特征值λi 的全体特征向量. 3． 特征值和特征向量的性质 性质1 （1）若X 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，则kX （0k ≠）也是A 属于λ的特 征向量； （2）若12,, ,s X X X 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，则它们的非零线性组合 1122s s k X k X k X +++也是A 属于λ的特征向量； （3）若A 是可逆矩阵，λ是A 的一个特征值，则 λ 1是A — 1的一个特征值，λ||A 是 A *的一个特征值； （4）设λ是n 阶矩阵A 的一个特征值，f （x ）= a m x m + a m-1x m -1 + … + a 1x + a 0 为一个多项式，则()f λ是f （A ）的一个特征值。 性质2（1） nn n a a a +???++=+???++221121λλλ （2） || 21A n =???λλλ
离散数学 代数系统
第三部分：代数系统 1.在代数系统,S *中，若一个元素的逆元是唯一的，其运算*必定可结合。( ) 2.每一个有限整环一定是域，反之也对。( ) 3.任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。( ) 4.设(),A ∧∨是布尔代数，则(),A ∧∨一定为有补分配格。( ) 5.设Q 为有理数集，Q 上运算*定义为max(,)a b a b *=，则 ,Q * 是半群。( ) 6.阶数为偶数的有限群中，周期为2的元素的个数一定为偶数。( ) 7.群中可以有零元（对阶数大于一的群）。( ) 8.循环群一定是阿贝尔群。( ) 9.每一个链都是分配格。( ) 1. 对自然数集合N ，哪种运算不是可结合的，运算定义为任,a b N ∈ ( ) A. min(,)a b a b *= B. 2a b a b *=+ C. 3a b a b *=+- D. a b a b *=+ (mod 3) 2. 任意具有多个等幂元的半群，它 ( ) A. 不能构成群 B. 不一定能构成群 C. 不能构成交换群 D. 能构成交换群 3. 循环群33,Z +的生成元为[][]1,2，它们的周期为 ( ) A. 5 B. 6 C. 3 D. 9 4. 设
第5章代数系统的一些性质
第五章代数系统的一般性质 代数的概念与方法是研究计算机科学和工程的重要数学工具。众所周知，在许多实际问题的研究中都离不开数学模型，而构造数学模型就要用到某种数学结构，而近世代数研究的中心问题是代数系统的结构：半群、群、格与布尔代数等等。近世代数的基本概念、方法和结果已成为计算机科学与工程领域中研究人员的基本工具。在研究形式语言与自动机理论、编码理论、关系数据库理论、抽象数据类型理论中，在描述机器可计算的函数、研究计算复杂性、刻画抽象数据结构、研究程序设计学中的语义学、设计逻辑电路中有着十分广泛的应用。 5.1 代数运算及其性质 5.1.1代数运算的定义 定义5.1.1 设S是一个非空集合， （1）函数f：S→S,称为一个S上的一个一元运算。 （2）函数f：S?S→S,称为一个S上的一个二元运算。 记号： f(x,y)=z, xfy=z x y=z （3）函数f：S?S?…?S →S,称为一个S上的一个n元运算。 ［例5.1.1］(1)数理逻辑中的联结词；集合论中的并运算、交运算和补运算；整数集中的加法、减法和乘法运算都是相应集合上的运算. (2)但Z中的除法不是一个二元运算。 (3) 在Z商定义x*y=x+y-2,则*是一个二元运算。 当S是有限集时，S上的一元、二元运算可用运算表来定义。 定义5.1.2 设 是集合S上的n元运算，S是S的一个非空子集。若对?x1，x2，…，x n∈S，有 （x 1，x 2，…，x n）∈S，则称S关于运算 是封闭的。 ［例5.1.2］实数集关于数的普通除法是封闭的，整数集关于数的普通加法不是封闭的。
5.1.2代数运算的性质 定义5.1.3 设*是集合S上的二元运算。若?x，y∈S，x*y=y*x， 则称运算*满足交换律（或称*是可交换的）。 定义5.1.4 设*是集合S上的二元运算。若?x，y，z∈S，(x*y)*z = x*(y*z)，则称运算*满足结合律（或称*是可结合的）。 定义5.1.5 设*是集合S上的二元运算。若?x∈S，x*x = x，则称运算*满足幂等律。定义5.1.8 设*和 是集合S上的二元运算。若?x，y，z∈S， x*(y z)=(x*y) x*z）， (y z)*x =(y*x) (z*x)， 则称*关于 满足分配律。 定义5.1.9设*和 是集合S上的二元运算。若?x，y∈S， x*(x y)=x x (x*y)=x 则称*关于 满足分配律。 ［例5.1.3］R上的加法和乘法运算是可交换的，也是可结合的；但减法却是不可交换和 不可结合的；乘法关于加法是可分配的，但加法关于乘法则是不可分配的。任一集合的幂集 上的并和交运算是可交换和可结合的，并且它们是相互可分配的。 注：若运算*是可结合的，则有时我们简称*为乘法，而把x*y简记为xy，称为x 与y的积。 5.1.3特殊元素：单位元、零元、逆元 定义5.1.10 设*是集合S上的二元运算。 （1）若e l∈S，使得?x∈S，有e l*x=x，则称e l是关于运算*的左单位元（左么元）； （2）若e r∈S，使得?x∈S，有x*e r=x，则称e r是关于运算*的右单位元（右么元）； （3）若e∈S，使得?x∈S，有e*x＝x*e=x，则称e是关于运算*的单位元（么元）。 定理5.1.3 设*是集合S上的二元运算，且e l，e r分别为关于运算*的左和右么元，则
线性代数第五章习题答案
思考题5-1 1. 1123123100,000=?+?+?=?+?+?a a a a 0a a a . 2.不一定。例如，对于123101,,012?????? ===???????????? a a a ，它们中的任两个都线性无关，但 是123,,a a a 是线性相关的。 3. 不一定。也可能是2a 能由13,a a 线性表示，还可能是3a 能由12,a a 线性表示。 4. 不一定。例如，对于12121100,;,0012-???????? ====???????????????? a a b b 。12,a a 和12,b b 这两个 向量组都线性相关，但1122,++a b a b 却是线性无关的。 5. 向量组121,,,,n n +a a a a 线性无关。根据定理5-4用反证法可以证明这一结论。 习题5-1 1.提示：用行列式做。 （1）线性无关。 （2）线性相关。. 2. 0k ≠且1k ≠。 3.证：1212,,,1,,,,n n ==∴e e e E e e e 线性无关。 设[]12,,,,T n b b b =b 则1122.n n b b b =+++b e e e 4. 证法1：因为A 可逆，所以方程组=Ax b 有解。根据定理5-1，向量b 能由A 的列向量组12,,,n a a a 线性表示，所以向量组12,,,,n a a a b 线性相关. 证法2：通过秩或根据m n >时m 个n 元向量一定线性相关也可马上证明。 5. .证： （1）因为A 的列向量组线性相关，所以齐次线性方程组=Ax 0有非零解，设≠u 0是它的非零解，则.=Au 0 由=B PA ，得.=Bu 0可见=Bx 0有非零解，所以B 的列向量组线性相关。 （2）若P 可逆，则1-=A P B 。由（1）的结论可知，B 的列向量组线性相关时，A 的列向量组也线性相关，所以A 和B 的列向量组具有相同的线性相关性。 注：该题也可根据性质5-6和性质5-3来证明。 6. 证：由A 可逆知，A 的列向量组线性无关。根据定理5-6，增加两行后得到的矩阵B 的列向量组也线性无关.
第五章部分答案
5.2 设S=Q×Q,其中Q为有理数集合。定义S上的二元运算*, ?
可结合的，D个是有幺元的，E个是有零元的。 供选择的答案 A、B、C、D、E：①0；②1；③2；④3；⑤4；⑥5；⑦6. 解：f1(
居于马线性代数第五章答案
第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化答案 1.求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) 2331-?? ?-?? (2) 311201112-?? ? ? ?-?? (3) 200111113?? ? ? ?-?? (4) 1234012300120001?? ? ? ? ??? (5) 452221111-?? ?-- ? ?--?? (6) 220212020-?? ?-- ? ?-?? 【解析】(1) 令2331A -??= ?-?? ,则矩阵A 的特征方程为 故A 的特征值为123322λλ+= =。 当132 λ+=时，由1()0I A x λ-=，即 得其基础解系为(16,1T x =-，因此，11k x (1k 为非零任意常数)是A 的对应 于132 λ=的全部特征向量。 当2λ=时，由2()0I A x λ-=，即 得其基础解系为(26,1T x =，因此，22k x (2k 为非零任意常数)是A 的对应于2λ=的全部特征向量。 (2) 令3112 01112A -?? ?= ? ?-?? ，则矩阵A 的特征方程为 故A 的特征值为121,2λλ==(二重特征值)。 当11λ=时，由1()0I A x λ-=，即 得其基础解系为()10,1,1T x =，因此，11k x (1k 为非零任意常数)是A 的对应于11λ=的全部
特征向量。 当22λ=时，由2()0I A x λ-=，即 得其基础解系为()21,1,0T x =，因此，22k x (2k 为非零任意常数)是A 的对应于22λ=的全部特征向量。 (3) 令200111113A ?? ?= ? ?-?? ，则矩阵A 的特征方程为 故A 的特征值为2λ=(三重特征值)。 当2λ=时，由()0I A x λ-=，即 得其基础解系为()()121,1,0,0,1,1T T x x ==，因此，A 的对应于2λ=的全部特征向量为1122k x k x +(其中12,k k 为不全为零的任意常数)。 (4) 令1234012300120001A ?? ? ?= ? ??? ，则矩阵A 的特征方程为 故A 的特征值为1λ=(四重特征值)。 当1λ=时，由()0I A x λ-=，即 得其基础解系为()1,0,0,0T x =，因此，kx (k 为非零任意常数)是A 的对应于1λ=的全部特征向量。 (5) 令45222 1111A -?? ?=-- ? ?--?? ，则矩阵A 的特征方程为 故A 的特征值为1λ=(三重特征值)。 当1λ=时，由()0I A x λ-=，即 得其基础解系为()1,1,1T x =-，因此，kx (k 为非零任意常数)是A 的对应于1λ=的全部特征向量。 (6) 令2202 12020A -?? ?=-- ? ?-?? ，则矩阵A 的特征方程为 按沙路法（课本P2），得 故A 的特征值为1231,4,2λλλ===-。
代数结构
1、设二元运算x y x = ，则它满足( ) A.交换律 B. 吸收律 C. 幂等律 D. 消去律 2、在正整数集上定义二元运算y x y x = ，则它满足( ) A.交换律 B. 结合律 C.幂等律 D. 消去律 3、设Z 是整数集，在Z 上定义二元运算y y x = ，则它满足( ) A.交换律、幂等律 B. 结合律、幂等律 C.幂等律、消去律 D. 消去律、结合律 4、Z 是整数集，定义Z 上的二元运算，x y x Z y x =∈? ,,，则该运算不满足．．．交换律、结合律、幂等律中的 律。 5 设R 为实数集，定义R 上4个二元运算，不满足．．． 结合律的是（ ）。 A.y x y x -= B. 2++=y x y x C.},min{y x y x = D. },max{y x y x = 6、S=Q ×Q,其中Q 为有理数集合，定义S 上的二元运算*，?