2015-2016学年江苏省无锡市四校高一上学期期中考试数学试题

2015-2016学年江苏省无锡市四校高一上学期期中考试数学试

题

（时间：120分钟 满分160分）

命题人：薛花 审卷人：吴小云 2015年11月

一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相．．．．应的位置上．．．．．

． 1.设集合{}23M <<-=m m ，{}Z n n n ∈≤≤-=,31N ，则M N = .

2．幂函数)(x f y =的图像经过点(9，3)，则此幂函数的解析式为=)(x f ．

3. 设函数2)34log )(2++-=x x x f （ ，则函数)(x f 的定义域为 ．

4.函数)10(1)12(log )(≠>+-=a a x x f a 且恒过定点 .

5.关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为（-2,3），则关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集为

6. 已知函数2log ()3

x x f x ?=?? (0)(0)x x >≤，则1(())4f f = . 7．若(1,2)m ∈,0.30.30.3,log ,m a b m c m = = =,则用“＞”将,,a b c 按从大到小可排列为 ．

8. 函数()322+-=x mx x f 在[

)+∞-,2上递减，则实数m 的取值范围 9. 已知定义在实数集R 上的偶函数()x f 在区间[)∞+，

0上是单调增函数，若()x f lg ＞()1f ，则实数x 的取值范围

10．已知函数()35x f x x =+-的零点[]0,x a b ∈，且1b a -=，a ，b N *

∈，则a b += 11. 已知)5

1(lg ,1)5(lg ),(22)(3f f R k x kx x f 则=∈-+== ． 12.设已知函数2()log f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则n m += ．

13. 已知函数,0()(2)3,0

x a x f x a x a x ?<=?-+≥?满足对任意的12x x ≠，都有()1212()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是

14．函数,0

,220,3|ln |)(2???≤--->+=x x x x x x f 若关于x 的方程013)()(2=+++b x bf x f 有4个不同的实数根,则实数b 的取值范围是 ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．

内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15．（本小题满分14分） 已知集合}{01032<--=x x x A ，}{121-≤≤+=m x m x B .

（1）当3=m 时，求集合B A U ,(?)R A B ；

（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围.

16．（本小题满分14分） 已知函数1()log (0,1)1a

x f x a a x

+=>≠-。 (1)求函数()f x 的定义域；(2)判断函数()f x 的奇偶性，并证明； (3)求使()0f x >的x 的取值范围．

17．（本小题满分15分）

已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()f x 为二次函数，且满足(2)1f =，()f x 在(0,)

+∞上的两个零点为1和3．

（1）求函数()f x 在R 上的解析式；

（2）作出()f x )R ∈根的个数．

18. （本小题满分15分） 甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为()x G （万

元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售

收入()x R （万元）满足()()()

???>≤≤+-=511502.44.02x x x x x R ，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖

掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：

（1）写出利润函数()x f y =的解析式（利润=销售收入-总成本）；

（2）要使甲厂有盈利，求产量x 的范围；

（3）甲厂生产多少台产品时，可使盈利最多？

19．（本小题满分16分）

已知函数)0(2)(2>+-=a b ax ax x f 在区间[]4,1-上有最大值10和最小值1. 设x

x f x g )()(=. (1)求a 、b 的值;

(2)证明：函数)(x g 在),[+∞b 上是增函数

(3)若不等式02)2(≥?-x x k g 在]1,1[-∈x 上有解,求实数k 的取值范围;

20. （本小题满分16分）

设函数)10)1()(≠>-+=-a a a k a x f x x 且（是定义域为R 的奇函数．

（1）求k 值；

（2）若0)1(>f ，试判断函数单调性,并求使不等式0)2()(2>-++x t f x x f 恒成立的t 的取值范围；

（3）若()312

f =

，设)(2)(22x mf a a x g x x -+=-，)(x g 在[)1,+∞上的最小值为1-，求m 的值.

2015—2016学年第一学期期中考试

高一数学参考答案

一、填空题答案

1、 {}

10,1-， 2、)0(21

≥x x 3、?????

?-34,2 4、()1,1 5、()2,3- 6、 91 7、b a c >> 8、??????-0,21 9、 ()∞+??? ??，，101010U 10、3 11、5- 12、25 13、??

? ??31,0 14、3

55b -≤<- 二、解答题答案 15、（本小题满分14分）

（1）}}{

{5201032<<-=<--=x x x x x A 当3=m 时，}{54≤≤=x x B 所以}{52-≤<=x x B A U ,?}{52≥-≤=x x x A R 或

所以(?)}{5R A B =

(2)因为A B B = ，所以A B ?

①当φ=B 时，121->+m m ，即2

②当φ≠B 时，??

???<-->+-≤+51221121m m m m 即32<≤m ，此时A B ?

综上所述，m 的取值范围是}{32<≤m m

16. （本小题满分14分）

解：（1）由题意可知101x x

+>-，解得11x -<<，所以函数的定义域为(1,1)-；3分 (2) 函数的定义域为(1,1)-，关于原点对称.…………………………… 5分 因为1

111()log log log ()111a a a x x x f x f x x x x --++??-===-=- ?+--??， 所以()f x 为奇函数； …………………………………………… 10分

(3)当01a <<时，1011x x

+<<-，解得10x -<<， ……………………… 12分 当1a >时，111x x

+>-，解得01x <<……………………14分

17.解：（1）由题意，当0x >时，设()(1)(3),(0)f x a x x a =--≠，

()21f = ，∴1a =-，∴2()43f x x x =-+- ……………………………2分

（注：设2(),(0)f x ax bx c a =++≠一样给分）

当0x <时，0x ->，∵()f x 为R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-，

∴22()()[()4()3]43f x f x x x x x =--=---+--=++

即0x <时，2()43f x x x =++ ……………………………5分 当0x =时，由()()f x f x -=-得：(0)0f = ……………………………6分

所以2243,0()0,043,0x x x f x x x x x ?-+->?= =??++

（2）作出()f x 的图象（如图所示） …………………10分 （注：(0)0f =的点或两空心点不标注扣1分， 不要重复扣分）

由()0f x c -=得：()c f x =，在图中作y c =，根据交点讨论方程的根：

当3c ≥或3c -≤时，方程有1个根； 当13c <<或31c -<<-时，方程有2个根； 当1c =-或1c =时，方程有3个根； ………………………………………13分

当01c <<或10c -<<时，方程有4个根； ………………………………………14分

当0c =时，方程有5个根． ………………………………………15分

18. 解：（1）由题意得G (x)=2.8+x ． ……………………………………2分

()f x =R (x )-G (x )=20.4 3.2 2.8(05)8.2(5)

x x x x x ?-+-≤≤?->?……………………………………5分 （2）①当0≤x ≤5时，由-0.4x 2+3.2x -2.8>0得：x 2-8x +7<0 ，解得1

所以：1< x ≤5． ……………………………………7分

②当x >5时，由8.2 -x >0解得 x <8.2． 所以：5

综上得当10． ……………………………………9分

所以当产量大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利． ……………………………………10分

（3）当x >5时，∵函数()f x 递减，∴()f x <(5)f =3.2（万元）．

当0≤x ≤5时，函数()f x = -0.4(x -4)2+3.6，

当x =4时，()f x 有最大值为3.6（万元）．

答：当工厂生产400台时，可使赢利最大为3.6万元． …………………………………15分

18.解：（1）设x t 2=，因为[]1,1,x ∈-??

????∈∴2,21t ……………………………2分 2211()24

y t t t =-=--+， 2)(2,4

1)(21min max -====x f t x f t 时，时，.……………………………4分 )(x f ∴的值域为??

????-41,2.……………………………5分

（2）设x t 2=，由x x f 2916)(?->得：t t t 9162->-，即016102<+-t t .……7分

82<<∴t ，即822<

∴不等式的解集为)3,1(.……………………………12分

（3）方程有解等价于m 在1-)(x f 的值域内，∴m 的取值范围为??????343，.……………15分

19. 解:(1))0(1)(2>+--=a b a x a x f ）（,

因为0>a ,故???==10

)4(1)1(f f ,解得???==21b a . ……………………4分

（2）由已知可得22)(-+

=x x x g ，设212x x <≤， ∵2

12

121212121)2)(()21)(()()(x x x x x x x x x x x g x g --=--=- ……………………7分 ∵212x x <≤，∴x 1－x 2＜0，2＜x 1x 2，即x 1x 2－2>0．

∴g (x 1)－g (x 2)<0，即g(x 1)

所以函数)(x g 在[)+∞,2上是增函数 ……………………10分

(3)

02)2(≥?-x x k g 可化为x x x k 22222?≥-+, 化为k x x ≥?-??

? ??+21221212,令x t 21=,则1222+-≤t t k , ……………………12分 因]1,1[-∈x ,故??

????∈2,21t , 记122)(2

+-=t t t h ,因为??????∈2,21t ,故5)(max =t h , 所以k 的取值范围是(]5,∞-. ……………………16分

20. 解：(1)∵f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝0，∴k ＝0， ……………………2分

（2）),10()(≠>-=-a a a a x f x x 且

由0)1(>f 得到1>a ，

x a 单调递增，x a -单调递减，故f (x )在R 上单调递增。 ……………………4分

不等式化为)2()(2t x f x x f ->+，t x x x ->+∴22，02>+-∴t x x 恒成立， ……6分

041<-=?∴t ，t 的取值范围为?

?????>41t t ； ……………………8分 (3)∵f (1)＝32，2

31=-∴a a ，即,02322=--a a （舍去）。或212-==∴a a …………10分 ∴g (x )＝22x ＋2－2x －2m (2x －2－x )＝(2x －2－x )2－2m (2x －2－

x )＋2. 令t ＝f (x )＝2x －2－

x ， 由(1)可知f (x )＝2x －2－x 为增函数，∵x ≥1，∴t ≥f (1)＝32

， 令h (t )＝t 2－2mt ＋2＝(t －m )2＋2－m 2 (t ≥32

) ……………………12分 若m ≥32

，当t ＝m 时，h (t )min ＝2－m 2＝-1，∴m ＝3±，∴m ＝3 若m <32，当t ＝32时，h (t )min ＝174－3m ＝－1，解得m ＝47>32

，舍去。 综上可知m ＝3 ……………………16分