专题06+数列+6.4 数列的通项公式求法(含解析)

§6.4 数列通项公式求法

.

1.累加法)(1n f a a n n +=+型 形式：1()n n a a f n +-=（后项减前一项不是常数——累加法） 对比：1()n n a a d +-=常数（后项减前一项是常数—等差数列）

2.累乘法 n n a n f a )(1=+ 型 形式：1()n n a f n a += （()f n 可以求积）（后项比前一项不是常数—累乘法） 对比：1()n n a q a +=常数（后项比前一项是常数—等比数列）

3.定义法

1(2)n n n a S S n -=-≥，)1(11≥-=++n S S a n n n

4.构造法

5、取倒法

一 累加法

例1(2014·大纲全国，17)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.

(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列；

(2)求{a n }的通项公式.

(1)证明 由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2得 a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2， 即b n ＋1＝b n ＋2.又b 1＝a 2－a 1＝1， 所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列.

(2)解 由(1)得b n ＝1＋2(n －1)， 即a n ＋1－a n ＝2n －1.

于是∑k ＝1n (a k ＋1－a k )=∑k ＝1n

(2k －1)， 所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1. 又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2. 跟踪训练1 （1）已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式

2 （2）已知数列}{n a 满足11=a ，)2(311≥+=--n a a n n n ，则通项公式=n a 题型二 累乘法

例2 已知数列

{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a

跟踪训练2 （1）已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. （2）已知数列{}n a 满足

11,a =12n n n a a +=，求通项公式n a

题型三 定义法

{}{}{}113.3,21

(1)1.

(2).n n n n n a a a a a a +==--例已知数列满足求证：数列是等比数列求数列的通项公式

题型四 构造法

例4.(1)在数列

{}n a 中，11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式。 解析：设()13n n a t a t -+=+，则132n n a a t -=+ 1t ∴=，于是()1131n n a a -+=+ +1n n b a =令

-13n n b b ∴=

{}n b ∴是3为公比的等比数列，即{}1n a ∴+是以112a +=为首项，以3为公比的等比数列

+1n n b a = 11+12b a ∴== 1-1

1323n n n b b -∴=?=*

1

+123n n a -∴=?

1231n n a -∴=?-

（2）已知数列{}n a 中，651=a ,11)2

1(31+++=n n n a a ，求n a 。 题型五 取倒法 q a a a n n n +=

+1

例5：已知数列{n a }，1a =1-，11n n n a a a +=

-n N *∈，求n a =？