电磁场与电磁波(第四版)课后答案谢处方

第一章习题解答

1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e

4y z =-+B e e

52x z =-C e e

求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ；

（7）()?A B C 和()?A B C ；（8）()??A B C 和()??A B C 。

解 （1

）23A x y z

+-=

==+-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e

e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （

4

）

由

c o s

AB θ

=1

1

238

=A B A B ，

得

1c o s

AB θ-

=()135.

5= （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ

=

=A B B （6）?=A C 1

235

02

x

y z

-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04

1502x y z

-=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041

x

y

z

-=-e e e 1014x y z ---e e e

所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e

（8）()??=A B C 1014502x y z

---=-e e e 2405x y z -+e e e

()??=A B C 1

238

5

20

x

y z -=e e e 554411x y z --e e e

1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 （1）判断123

PP P ?是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。

解 （1）三个顶点1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 的位置矢量分别为 12y z =-r e e ，243x y z =+-r e e e ，3625x y z =++r e e e 则 12214x z =-=-R r r e e ， 233228

x y z =-=++R r r e e e ， 311367x y z =-=---R r r e e e

由此可见

1223(4)(28)0x z x y z =-++=R R e e e e e

故123

PP P ?为一直角三角形。 （2）三角形的面积

1223

1221117.1322S =?=?=R R R R

1.3 求(3,1,4)P '-点到(2,2,3)P -点的距离矢量R 及R 的方向。

解 34P x y z '=-++r e e e ，223P x y z =-+r e e e ，

则 53P P P P x y z ''=-=--R r r e e e 且P P 'R 与x 、y 、z 轴的夹角分别为

11cos (

)cos 32.31x P P x P P φ--''===e R R

11cos ()cos 120.47y P P y P P φ'--'===e R R

11cos ()cos (99.73z P P z P P φ--''===e R R

1.4 给定两矢量234x y z =+-A e e e 和456x y z =-+B e e e ，求它们之间的夹角和

A 在

B 上的分量。

解 A 与B 之间的夹角为

11cos (

)cos 131θ--===AB A B A B A 在B 上的分量为 3.53277

B A ===-B A

B 1.5 给定两矢量234x y z =+-A e e e 和64x y z =--+B e e e ，求?A B 在x y z =-+

C e e e 上的分量。

解 ?=A B 234641

x y z

-=--e e e 132210x y z -++e e e

所以?A B 在C 上的分量为

()?=

C A B ()14.43?==-A B C C 1.6 证明：如果A B =A C 和?=A B ?A C ，则=B C ；

解 由?=A B ?A C ，则有()()??=??A A B A A C ，即

()()()()-=-A B A A A B A C A A A C

由于A B =A C ，于是得到 ()()=A A B A A C 故 =B C

1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A 为一已知矢量，p =A X 而=?P A X ，p 和P 已知，试求X 。

解 由=?P A X ，有

()()()()p ?=??=-=-A P A A X A X A A A X A A A X

故得 p -?=

A A P X A A

1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由2(4,,3)3

π定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。

解 （1）在直角坐标系中

4c o s (23)2x π==-、4sin(23)y π==3z =

故该点的直角坐标为

(-。

（2）在球坐标系中

5r =、1

tan (43)53.1θ-==、23120φπ==

故该点的球坐标为(5,53.1,120)

1.9 用球坐标表示的场2

25r

r =E e ， （1）求在直角坐标中点(3,4,5)--处的E 和x E ；

（2）求在直角坐标中点(3,4,5)--处E 与矢量22x y z =-+B e e e 构成的夹角。 解 （1）在直角坐标中点(3,4,5)--处，2222(3)4(5)50r =-++-=，故

22512

r

r ==E e

1cos

2x x rx E θ====e E E

（2）在直角坐标中点(3,4,5)--处，345x y z =-+-r e e e ，所以

233452525r r -+-===

e e e r E

故E 与B 构成的夹角为

11cos (

)cos (153.6θ--===EB E B E B 1.10 球坐标中两个点111(,,)r θφ和222(,,)r θφ定出两个位置矢量1R 和2R 。证明1R 和

2R 间夹角的余弦为

121212cos cos cos sin sin cos()γθθθθφφ=+-

解 由 111111111

sin cos sin sin cos x y z r r r θφθφθ=++R e e e 222222222sin cos sin sin cos x y z r r r θφθφθ=++R e e e

得到 12

12

cos γ=

=R R R R

1122112212sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos θφθφθφθφθθ++=

121211212sin sin (cos cos sin sin )cos cos θθφφφφθθ++= 121212sin sin cos()cos cos θθφφθθ-+

1.11 一球面S 的半径为5，球心在原点上，计算： (3sin )d r S

θ?e S 的值。

解 (3sin )d (3sin )d r r r S

S

S θθ==

??e S e e 22

20

d 3sin 5

sin d 75ππ

φθθθπ?=??

1.12 在由5r =、0z =和4z =围成的圆柱形区域，对矢量22r z

r z =+A e e 验证散

度定理。

解 在圆柱坐标系中 21()(2)32rr z r r r z

??

?=

+=+??A 所以 4

250

d d d (32)d 1200z r r r π

τ

τφπ?=+=????A 又

2

d (2)(d d d )r z r r z z S

S

r z S S S φφ=

+++=?

?A S e e e e e 42522

00

00

5

5d d 24d d 1200z r r ππ

φφπ?+?=????

故有

d 1200τ

τπ?=?A d S

=?A S 1.13 求（1）矢量22222324x y z x x y x y z =++A e e e 的散度；（2）求?A 对中心在原

点的一个单位立方体的积分；（3）求A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。

解 （1）222223

2222()()(24)2272x x y x y z x x y x y z x y z

????=++=++???A （2）?A 对中心在原点的一个单位立方体的积分为

121212

2222

121212

1d (2272)d d d 24x x y x y z x y z ττ---?=++=????A （3）A 对此立方体表面的积分

1121212

22121212111

d ()d d ()d d 22S

y z y z ----=--+?

????A S

1212

1212

2

22

212121212

112()d d 2()d d 22x x z x x z ------+???? 1212

112

2

2

322312121212

11124()d d 24()d d 2224x y x y x y x y ------=???? 故有

1d 24

τ

τ?=

?A d S

=?A S

1.14 计算矢量r 对一个球心在原点、半径为a 的球表面的积分，并求?r 对球体积

的积分。

解

22

30

d d d sin d 4r

S

S

S aa

a π

π

φθθπ==

=????r S r e

又在球坐标系中，2

2

1()3r r r r

??=

=?r ，所以 22

3000

d 3sin d d d 4a

r r a ππτ

τθθφπ?==????r

1.15 求矢量22x y z x x y z =++A e e e 沿xy 平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x 轴和y 轴相重合。再求??A 对此回路所包围的曲面积分，

验证斯托克斯定理。

解

2

2

2

2

2

d d d 2

d 0d 8C

x x x x y y =-+-=?????A l

又 2222x y z x z yz x x y z x x y z

???

??==+???e e e A e e 所以 22

00d (22)d d 8x

z

z

S

yz x x y ??=

+=???A S e e e

故有

d 8C

=?A l d S

=???A S

1.16 求矢量2x y x xy =+A e e 沿圆周222x y a +=的线积分，再计算??A 对此圆面积的积分。

解

2d d d C

C

x x xy y =

+=

?

?

A l 242

4

2

2

(cos sin cos sin )d 4

a a a π

πφφφφφ-+=

?

d ()d y

x

z z S S

A A S x y ????=-=????A S e e 242

2

2

00

d sin d d 4

a S

a y S r r r π

πφφ==

???

1.17 证明：（1）3?=R ；（2）??=R 0；（3）()?=A R A 。其中x y z x y z =++R e e e ，A 为一常矢量。

解 （1）3x y z

x y z

????=

++=???R （2） x

y z

x y z x y y

???

??=

=???e e e R 0

（3）设x x y y z z A A A =++A e e e ，则x y z A x A y A z =++A R ，故

()()()x

x y z y x y z A x A y A z A x A y A z x y ??

?=++++++??A R e e ()z x y z A x A y A z z

?

++=?e x x y y z z A A A ++=e e e A 1.18 一径向矢量场()r f r =F e 表示，如果0?=F ，那么函数()f r 会有什么特点

呢？

解 在圆柱坐标系中，由 1d

[()]0d rf r r r

?==F 可得到

()C f r r

=

C 为任意常数。

在球坐标系中，由 2

2

1d [()]0d r f r r r

?=

=F 可得到 2

()C f r r

=

1.19 给定矢量函数x y y x =+E e e ，试求从点1(2,1,1)P -到点2(8,2,1)

P -的线积分d ?E l ：

（1）沿抛物线2x y =；（2）沿连接该两点的直线。这个E 是保守场吗？ 解 （1）

d d d x y

C C E x E y =+=??E l d d C

y x x y +=?

2

2

2

1d(2)2d y y y y +=?

2

21

6d 14y y =? （2）连接点1(2,1,1)P -到点2(8,2,1)P -直线方程为

28

12

x x y y --=-- 即 640x y -+= 故

2

1

d d d d(64)(64)d x

y C

C

E

x E y y y y y =+=-+-=???E l 2

1

(124)d 14y y -=?

由此可见积分与路径无关，故是保守场。

1.20 求标量函数2x yz ψ=的梯度及ψ在一个指定方向的方向导数，此方向由单位

矢量x

y z

e e e (2,3,1)点的方向导数值。 解 222()()()x y z x yz x yz x yz x y z

ψ???

?=++=???e e e

222x y z xyz x z x y ++e e e

故沿方向l x y z

=++e e e e 的方向导数为

22

50l

l ψψ?

=?=+

?e

点(2,3,1)

处沿l e 的方向导数值为

l ψ?==

? 1.21 试坐标中

y x

z A A

A x

y z

????=++???A 相似的方法推导圆柱坐标下的公式

1()z r A A rA r r r z

φφ???

?=

++???A 。 解 在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21图所示。矢量场A 沿r e 方向穿出该六面体的

表面的通量为

()d d d d z z

z z

r r

r r

r r z

z

A r r r A r r φφφφφ

φ

ψφφ+?+?+?+?+?=

+?-

≈????

[()(,,)(,,)]r r r r A r r z rA r z z φφφ+?+?-??≈

()()

1r r rA rA r z r r r

φτ?????=??? 同理

d d d d r r z z

r r z z

r

z

r

z

A r z A r z φφ

φφ

φφψ+?+?+?+?+?=

-

≈??

??

[(,,)(,,)]A r z A r z r z φφφφφ+?-??≈

A A r z r φφφτφ

φ

?????=

???

d d d d r r r r z z

z z

z z r

r

A r r A r r φφ

φφ

φ

φ

ψφφ+?+?+?+?+?=

-

≈????

[(,,)(,,)]z z A r z z A r z r r z φφφ+?-???≈

题1.21图

z z A A

r r z z z

φτ?????=??? 因此，矢量场A 穿出该六面体的表面的通量为

()1[]r z

r z A rA A ΨΨΨΨr r r z

φφτφ???=++≈++????

故得到圆柱坐标下的散度表达式 0()1lim

r z

A rA A r r r z

φτψτφ?→?????==++????A 1.22 方程222

222x y z u a b c

=++给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。 解 由于 222

222x y z

x y z u a b c ?=++e e e

u ?=

222()

x y z u x y z

a b c u

?=

=++?n e e e 1.23 现有三个矢量A 、B 、C 为

sin cos cos cos sin r θφθφθφφ=+-A e e e

22sin cos 2sin r z z z rz φφφφ=++B e e e 22(32)2x y z y x x z =-++C e e e

（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？

（2）求出这些矢量的源分布。 解（1）在球坐标系中

22

111()(sin )sin sin r A r A A r r r r φ

θθθθθφ????=

++=???A

22

111(sin cos )(sin cos cos )(sin )sin sin r r r r r θφθθφφθθθφ

???

++-=??? 2cos 2sin cos cos sin cos 0sin sin r r r r φθφφθφθθ

+--= 2

sin 1sin sin r

r

r r r r

A rA r A θ

φ

θ

φ

θθθφθ?

??

??==???e e e A 2

sin 10sin sin cos cos cos sin sin r r r r r r r θφ

θθθφ

θφθφθφ

???

=???-e e e 故矢量A 既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；

在圆柱坐标系中

11()z r B B rB r r r z

φφ????++=

???B =

2211(sin )(cos )(2sin )rz z rz r r r z φφφφ???

++=??? 22sin sin 2sin 2sin z z r r r r φφ

φφ-+= 22110sin cos 2sin r z r z

r z r r r r z r r z B rB B z rz rz θθ

θφφφ

φ

φ

?????

?

??=

=

=??????e e e e e e B 故矢量B 可以由一个标量函数的梯度表示；

直角在坐标系中

y x z C C C x y z ????++=

???C =

22(32)()(2)0y x x z x y z ???

-++=???

22

(26)322x

y z z x y x y z y x

x z

?

??

??=

=-???-e e e C e 故矢量C 可以由一个矢量函数的旋度表示。 （2）这些矢量的源分布为

0?=A ，0??=A ；

2sin r φ?B =，0??=B ；

0?=C ，(26)z x y ??=-C e

1.24 利用直角坐标，证明 ()f f f ?=?+?A A A

解 在直角坐标中

(

)()y x z x y z A A A f f f

f f f A A A x y z x y z

???????+?=+++++=??????A A ()()()y x z x y z A A A f f f

f A f A f A x x y y z z ??????+++++=??????

()()()()x y z fA fA fA f x y z

???

++=????A 1.25 证明

()??=??-??A H H A A H

解 根据?算子的微分运算性质，有

()()()A H ??=??+??A H A H A H

式中A ?表示只对矢量A 作微分运算，H ?表示只对矢量H 作微分运算。

由()()?=?a b c c a b ，可得

()()()A A ??=??=??A H H A H A

同理 ()()()H H ??=-??=-??A H A H A H 故有 ()??=??-??A H H A A H

1.26 利用直角坐标，证明

()f f f ??=??+??G G G

解 在直角坐标中

[(

)()()]y

y x x z z x y z G G G G G G f f y z z x x y ????????=-+-+-??????G e e e f ??=G [()()()]x z

y y x z z y x f f f f f f G G G G G G y z z x x y ??????-+-+-??????e e e 所以

f f ??+??=G G [()()]y z x z

y G G f f

G f G f y y z z

????+-++????e [()()]x z y x z G G f f

G f G f z z x x

????+-++????e

[()()]y x z y x G G f f

G f G f x x y y

????+-+=????e

()

()[]y z x fG fG y z

??-+??e ()()[]x z y fG fG z x ??-+??e ()()[]y x z fG fG x y

??-=??e ()f ??G

1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明()0u ???=及()0???=A ，试证明之。

解 （1）对于任意闭合曲线C 为边界的任意曲面S ，由斯托克斯定理有

()d d d

S

C

C

C

u

u u l l ????=?==????

?S l 由于曲面S 是任意的，故有

()0u ???=

（2）对于任意闭合曲面S 为边界的体积τ，由散

度定理有

1

2

()d ()d ()d ()d S

S S τ

τ???=??=??+??????A A S A S A S 其中1S 和2S 如题1.27图所示。由斯托克斯定理，有

1

1

()d d S C ??=??A S A l ， 2

2

()d d S C ??=??A S A l

由题1.27图可知1C 和2C 是方向相反的同一回路，则有 1

2

d d C C =-??A l A l

所以得到

1

2

2

2

()d d d d d 0

C C C C τ

τ???=+=-+=?????A A l A l A l A l 由于体积τ是任意的，故有 ()0???=A

1

题1.27图

第二章习题解答

2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为432300

49

U d x ρε--=-，式中阴极板位

于0x =，阳极板位于x d =，极间电压为0U 。如果040V U =、1cm d =、横截面

210cm

S =，求：（1）0x =和x d =区域内的总电荷量Q ；（2）2x d =和x d =区域内的总电荷量Q '。

解 （1） 4323

000

4

d ()d 9d

Q U d x S x τ

ρτε--==-=??

11004

4.7210C 3U S d

ε--=-? （

2

）

4323

002

4d ()d 9d

d Q U d x S x τρτε--''==

-=?

?11004(10.9710C 3U S d ε--=-? 2.2 一个体密度为732.3210C m ρ-=?的质子束，通过1000V 的电压加速后形成等

速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm ，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。

解 质子的质量271.710kg m -=?、电量191.610C q -=?。由

2

1

mv qU = 得 61.3710v ==? m s 故 0.318J v ρ== 2A m

26(2)10I J d π-== A

2.3 一个半径为a 的球体内均匀分布总电荷量为Q 的电荷，球体以匀角速度ω绕一个直径旋转，求球内的电流密度。

解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。设球内任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为

sin r φωθ=?=v r e ω

球内的电荷体密度为

3

43

Q

a ρπ=

故 33

3sin sin 434Q Q r r a a

φ

φω

ρωθθππ===J v e e 2.4 一个半径为a 的导体球带总电荷量为Q ，同样以匀角速度ω绕一个直径旋转，求

球表面的面电流密度。

解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。设球面上任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为

sin a φωθ=?=v r e ω

球面的上电荷面密度为

2

4Q a σπ=

故 2

sin sin 44S Q Q a a a

φ

φω

σωθθππ===J v e e 2.5 两点电荷18C q =位于z 轴上4z =处，24C q =-位于y 轴上4y =处，求

(4,0,0)

处的电场强度。

解 电荷1q 在(4,0,0)处产生的电场为

1

113014q πε'-=

='-r r E r r 电荷2q 在(4,0,0)处产生的电场为

2

2230244

4q πε-'-=='-e e r r E r r 故(4,0,0)处的电场为

122+-=+=

e e e E E E

2.6 一个半圆环上均匀分布线电荷l ρ，求垂直于圆平面的轴线上z a =处的电场强度

(0,0,)a E ，设半圆环的半径也为a ，如题2.6 图所示。

解 半圆环上的电荷元d d l l l a ρρφ''=在轴线上z a =处的电场强度为

d φ'=

=E

(cos sin )

φφφ''-+'e e e

在半圆环上对上式积分，得到轴线上z a =处的电场强度为

(0,0,)d a ==?E E

2

2[(cos sin )]d z x y ππφφφ'''-+=?e e

e 2.7 三根长度均为L ，均匀带电荷密度分别为1l ρ、2l ρ和3

l ρ地线电荷构成等边三角形。设1l ρ=22l ρ=32l ρ，计算三角形中心

处的电场强度。

解 建立题2.7图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为

3tan3026

L d L =

= 则

11

1003(cos30cos150)42l l y

y

d L

ρρπεπε=-=

E e e 21

20033(cos30sin30)()

28l l x y y L L ρρπεπε=-+=-E e e

e e 3130033(cos30sin30)()28l l x y y L L

ρρ

πεπε=-=E e e e e

故等边三角形中心处的电场强度为

123=++=

E E E E

111000333()()288l l l y

y y L L L ρρρπεπεπε-+=e e e e e 1

034l y

L

ρπεe 2.8 －点电荷q +位于(,0,0)a -处，另－点电荷2q -位于(,0,0)a 处，空间有没有电场强度0=E 的点？

解 电荷q +在(,,)x y z 处产生的电场为

题 2.6图

题2.7图

12

2

232

0()4[()]

x y z x a y z

q

x a y z πε+++=

+++e e e E

电荷2q -在(,,)x y z 处产生的电场为

222232

0()24[()]x y z x a y z q x a y z πε-++=-

-++e e e E

(,,)x y z 处的电场则为12=+E E E 。令0=E ，则有

22232()[()]x y z x a y z x a y z +++=+++e e e 22232

2[()]

[()]

x y z x a y z x a y z -++-++e e e 由上式两端对应分量相等，可得到

2223222232()[()]2()[()]x a x a y z x a x a y z +-++=-+++ ①

2223222232[()]2[()]y x a y z y x a y z -++=+++ ② 222322232[()]2[()]z x a y z z x a y z -++=+++ ③

当0y ≠或0z ≠时，将式②或式③代入式①，得0a =。所以，当0y ≠或0z ≠时

无解；

当0y =且0z =时，由式①，有

33()()2()()x a x a x a x a +-=-+

解得

(3x a =-±

但3x a =-+

不合题意，故仅在(3,0,0)a --处电场强度0=E 。

2．9 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为σ。证明：垂直于平面的z 轴上0z z =处的电场强度E 中，有一半是有平面上半径为03z 的圆内的电荷产生的。

解 半径为r 、电荷线密度为d l r ρσ=的带电细圆环在z 轴上0z z =处的电场强度为

0223200d d 2()

z

r z r

r z σε=+E e

故整个导电带电面在z 轴上0z z =处的电场强度为

0022322212

00000

d 1

2()2()2z z z

r z r z r z r z σσσ

εεε∞

∞

==-=++?

E e e e 而半径为03z 的圆内的电荷产生在z 轴上0z z =处的电场强度为

022320000

d 1

2()42

z

z z

r z r r z σσεε'==-==+?

E e e e E 2.10 一个半径为a 的导体球带电荷量为Q ，当球体以均匀角速度ω绕一个直径旋转，如题2.10图所示。求球心处的磁感应强度B 。

解 球面上的电荷面密度为

2

4Q a σπ=

当球体以均匀角速度ω绕一个直径旋转时，球面上位置矢量r a =r e 点处的电流面密度为

S z r a σσσω==?=?=J v ωr e e

sin sin 4Q

a a

φφωωσθθπ=e e

将球面划分为无数个宽度为d d l a θ=的细圆环，则球面上任一个宽度为d d l a θ=

细

题2.10图

圆环的电流为 d d sin d 4S Q I J l ωθθπ

==

细圆环的半径为sin b a θ=，圆环平面到球心的距离cos d a θ=，利用电流圆环的轴线上

的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为

202232d d 2()z b I

b d μ==+B e 230222232sin d 8(sin cos )z Qa a a μωθθπθθ=+e 30sin d 8z

Q a

μωθθπe

故整个球面电流在球心处产生的磁场为 3

000sin d 86z z

Q Q a a

πμωθμωθππ==?B e e 2.11 两个半径为b 、同轴的相同线圈，各有N 匝，相互隔开距离为d ，如题2.11图

所示。电流I 以相同的方向流过这两个线圈。

（1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度x x B =B e ； （2）证明：在中点处d d x B x 等于零；

（3）求出b 与d 之间的关系，使中点处22d d x B x 也等于零。

解 （1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度 2

02

232

2()

z

Ia a z μ=+B e

得到两个线圈中心点处的磁感应强度为 2

02

2

32

(4)

x

NIb b d μ=+B e

（2）两线圈的电流在其轴线上x )0(d x <<处的磁感应强度为

22

00223222322()2[()]x NIb NIb b x b d x μμ??=+??++-?

?B e 所以 22

0022522252

d 33()d 2()2[()]x B NIb x NIb d x x b x b d x μμ-=-+++- 故在中点2d x =处，有 22

0022522252d 32320d 2[4]2[4]

x B NIb d NIb d x b d b d μμ=-+=++ （3） 222

2

0022272

2252d 153d 2()2()

x B NIb x NIb x b x b x μμ=-+++ 222

0022722252

15()32[()]2[()]

NIb d x NIb b d x b d x μμ--+-+- 令 0d d 2

22

==d x x x

B ，有 0]4[1]4[45252227222=+-+d b d b d 即 45222d b d +=

故解得 b d =

2.12 一条扁平

的直导体带，宽为a 2，中心线与z 轴重合，通过的电流为I 。证明在第一象限内的磁

04x I

B a

μαπ=-

，

感应强度为

02

1

ln 4y I r

B a r μπ= 式

中α、1r 和2r 如题2.12图所示。 解 将导体带划分为无数个宽度为x 'd 的细条

题2.11图

题 2.12图

题 2.13图

带，每一细条带的电流x a

I

I '=d 2d 。由安培环路定理，可得位于x '处的细条带的电流I d 在点),(y x P 处的磁场为

00d d d 24I I x B R aR

μμππ'

=

==02212d 4[()]I x a x x y μπ''-+ 则 022

d d d sin 4[()]x Iy x B B a x x y μθπ'

=-=-'-+ 022()d d d cos 4[()]

y I x x x B B a x x y μθπ''-==

'-+

所以

022d 4[()]a

x a

Iy x B a x x y μπ-'

=-='-+?0a r c t a n 4a a

I x x a y μπ-'??--= ???

0arctan arctan 4I a x a x a y y μπ?

?????-----=?? ? ???????

0arctan arctan 4I x a x a a y y μπ?

?????+--

-=?? ? ???????

021()4I a μααπ--=04I a μαπ- 022

()d 4[()]a

y a

I x x x B a x x y μπ-''

-=='-+?220ln[()]8a

a

I

x x y a

μπ-'--+=

22022()ln 8()I x a y a x a y μπ++=

-+021

ln 4I r a r μπ

2.13 如题2.13图所示，有一个电矩为1p 的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为2p 的电偶极子，位于矢径为r 的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为

12

12124

03(sin sin cos 2cos cos )4r p p F r θθφθθπε=

-

式中11,θ=<>r p ，22,θ=<>r p ，φ是两个平面1(,)r p 和2(,)r p 间的夹角。并

问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大？

解 电偶极子1p 在矢径为r 的点上产生的电场为

11

15303()1[]4r r

πε=-p r r p E

所以1p 与2p 之间的相互作用能为

1212

215

303()()1[]4e W r r

πε=-=--p r p r p p p E 因为11,θ=<>r p ，22,θ=<>r p ，则

111cos p r θ=p r

222cos p r θ=p r

又因为φ是两个平面1(,)r p 和2(,)r p 间的夹角，所以有

2121212()()sin sin cos r p p θθφ??=r p r p 另一方面，利用矢量恒等式可得

1212()()[()]??=??=

r p r p r p r p 2112[()]r -=

p r p r p 21212()()()r -p p r p r p

因

此

1212122

1

()[()()()()]r =

??+=p p r p r p r p r p 1212sin sin cos p p θθφ+1212cos cos p p θθ 于是得到 =

e W 12

304p p r πε(12sin sin cos θθφ-122cos cos θθ) 故两偶极子之间的相互作用力为 e r q c o n s t

W F r

=

?=-

=?1204p p πε-(12sin sin cos θθφ-122cos cos θθ)

3d 1

()d r r

= 12

4

034p p r πε(12sin sin cos θθφ-122cos cos θθ)

由上式可见，当120θθ==时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。

2.14 两平行无限长直线电流1I 和2I ，相距为d ，求每根导线单位长度受到的安培力

m F 。

解 无限长直线电流1I 产生的磁场为 01

12I r

φ

μπ=B e 直线电流2I 每单位长度受到的安培力为 1

012

122112

d 2m z I I I z d

μπ=?=-?

F e B e 式中12e 是由电流1I 指向电流2I 的单位矢量。

同理可得，直线电流1I 每单位长度受到的安培力为 012

211212

2m m I I d

μπ=-=F F e 2.15 一根通电流1I 的无限长直导线和一个通电流2I 的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离为d ，如题2.15图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为

012(sec 1)m F I I μα=-

这里α是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。 解 无限长直线电流1I 产生的磁场为

01

12I r

φ

μπ=B e 圆环上的电流元22d I l 受到的安培力为

0122212d d d 2m y I I

I x

μπ=?=?F l B l e

由题2.15图可知 2d (sin cos )d x z a θθθ=-+l e e

cos x d a θ=+

所以 2012

(sin cos )d 2(cos )m z x aI I d a π

μθθθπθ=--=+?F e e 20120cos d

2(cos )

x aI I d a πμθθπθ-=+?e 0120122((sec 1)2x x aI I I I a μπμαπ--+=--e e

2.16 证明在不均匀的电场中，某一电偶极子绕坐标原点所受到的力矩为

题2.15图

()??+?r p E p E 。

解 如题2.16图所示，设d q =p l (d 1)l <<，则电偶极子p 绕坐标原点所受到的力矩为

2211()()q q =?-?=T r E r r E r

d d d d ()()()()2222

q q +?+--?-=l l l l r E r r E r

d d d d [()()]d [()()]22222

q q ?+--+?++-l l l l

r E r E r l E r E r

当d 1l <<时，有

d d ()()()()22+≈+??l l

E r E r E r

d d ()()()()22

-≈-??l l

E r E r E r

故得到

(d )()d ()q q ≈???+?=T r l E r l E r ()??+?r p E p E

题2.16 图

第三章习题解答

3.1 真空中半径为a 的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q 和q -，试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ(如题3.1图所示)。

解 由点电荷q 和q -共同产生的电通密度为

33[]4q R R π+-

+-

=

-=R R D 22322232

()

(){}4[()][()]r z r z r z a r z a q r z a r z a π+-++-+-++e e e e 则球赤道平面上电通密度的通量

d d z

z S

S

S Φ====??D S D e

223222320()[]2d 4()()

a

q a a

r r r a r a

ππ--=++? 2212

01)0.293()a

qa q q r a ==-+ 3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为a r 的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为Ze -的电子云，在球心有一正电荷Ze （Z 是原子序数，e 是质子电荷量），通

过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314r

a Ze r r r π??

=- ???

D e ，试证明之。 解 位于球心的正电荷Ze 球体内产生的电通量密度为 12

4r

Ze

r π=D e 原子内电子云的电荷体密度为 33

3434a a Ze Ze

r r ρππ=-

=- 电子云在原子内产生的电通量密度则为

3223

4344r r a

r Ze r

r r ρπππ==-D e e 故原子内总的电通量密度为 122314r

a Ze r r r π??=+=- ???D D D e 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为30C m ρ, 两

圆柱面半径分别为a 和b ，轴线相距为c )(a b c -<，如题3.3图()a 所示。求空间各部分

的电场。

解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为

a 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0ρ±的两种电荷分布，这样在半径为

b 的整个圆柱体内具有体密度为0ρ的均匀电荷分布，而在半径为a 的整个圆柱体内则具有体密度为0ρ-的均匀电荷分布，如题3.3图()b 所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场

的叠加。

在b r >区域中，由高斯定律0

d S

q

ε=

?E S ，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P

产生的电场分别为 2200120022r b b r r πρρπεε==r E e 220012

0022r a a r r

πρρπεε'

-''==-''r E e

题3.1 图

题3. 3图(

)a

点P 处总的电场为 2211

220()2b a r r ρε''=+=-'

r r E E E 在b r <且a r >'区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生的电场分别为

220022r r r πρρπεε==r E e 2222

0022r a a r r

πρρπεε'

-''==-''r E e 点P 处总的电场为 2022

20()2a r ρε'

'=+=-'

r E E E r 在a r <'的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生的电场分别为

20030022r r r πρρπεε==r E e 200300

22r

r r πρρπεε''

-''==-'r E e 点P 处总的电场为 0033

00

()22ρρεε''=+=-=E E E r r c 3.4 半径为a 的球中充满密度()r ρ的体电荷，已知电位移分布为

3254

2

()()

r r Ar r a D a Aa r a r ?+≤?

=?+≥?

? 其中A 为常数，试求电荷密度()r ρ。

解：由ρ?=D ，有 2

2

1d ()()d r r r D r r

ρ=?=D 故在r a <区域 23

220

02

1d ()[()](54)d r r r Ar r Ar r r

ρεε=+=+ 在r a >区域 54

20221d ()()[]0d a Aa r r r r r

ρε+== 3.5 一个半径为a 薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q 为的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q 。已知球内部的电场为4

()r r a =E e ，设球内介质为

真空。计算：（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。

解 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为

20021d [()]d r E r r ρεε=?==E 43

2002441d [()]6d r r r r r a a

εε=

（2）球体内的总电量Q 为 322

0040

d 64d 4a

r Q r r a a τρτεππε===??

球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷Q -，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q ，

所以球壳外表面上的总电荷为2Q ，故球壳外表面上的电荷面密度为 02

224Q

a σεπ=

= 3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为r a =和r b =()b a >，圆柱表面分别带有密

题3. 3图()b

＝

＋

度为1σ和2σ的面电荷。（1）计算各处的电位移0D ；（2）欲使r b >区域内00=D ，则1σ和

2σ应具有什么关系？

解 （1）由高斯定理

d S

q =?D

S ，当r a <时，有 01

0=D

当a r b <<时，有 02122rD a ππσ= ，则 1

02r

a r

σ=D e 当b r <<∞时，有 0312222rD a b ππσπσ=+ ，则 12

03r

a b r

σσ+=D e （2）令 12

030r a b r

σσ+==D e ，则得到 12b a σσ=- 3.7 计算在电场强度x y y x =+E e e 的电场中把带电量为2C μ-的点电荷从点

1(2,1,1)P -移到点2(8,2,1)P -时电场所做的功：

（1）沿曲线22x y =；（2）沿连接该两点的直线。

解 （1）d d d d x y C

C

C

W q q E x E y ===+=???

F l E l

2

221

d d d(2)2d C

q y x x y q y y y y +=+=

??2

261

6d 142810()q y y q J -==-??

（2）连接点1(2,1,1)P -到点2(8,2,1)P -直线方程为

28

12

x x y y --=-- 即 640x y -+= 故

W =

2

1

d d d(64)(64)d C

q y x x y q y y y y +=-+-=

??2

61

(124)d 142810()q y y q J --==-??

3.8 长度为L 的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为0l ρ。（1）计算线电荷平分面上任意点的电位?；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E ，并用?=-?E 核对。

解 （1）建立如题3.8图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P 的电位为

(,0)L L r ?-=

=?

2

2

ln(4L l L z ρπε-'=

04l ρπε=

0ln

2l ρπε

L L -r

ρ 题3.8图

（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元z l 'd 0ρ在点P 的电场为

d d r r r

E θ'

===E e e 02232

0d 2()l r

r z r z ρπε'

'+e

故长为L 的线电荷在点P 的电场为

2

02232

d d 2()L l r r z r z ρπε

'

===

'+??E E

e 2

00

02L l r r ρπε=

e r

e

由?=-?E 求E ，有

002l ρ?πε??=-?=-?=??

??

E

0012l r r ρπε??

?-=??

?

e r e

3.9 已知无限长均匀线电荷l ρ的电场02l

r r ρπε=E e ，试用定义式()d P

r r

r ?=?E l 求其

电位函数。其中P r 为电位参考点。

解

000

()d d l n l n 222P

P

P

r r r

l l l P

r

r

r

r r r r r r

ρρρ?πεπεπε

====??

E l 由于是无限长的线电荷，不能将P r 选为无穷远点。

3.10 一点电荷q +位于

(,0,0)a -，另一点电荷2q -位于(,0,0)a ，求空间的零电位面。

解 两个点电荷q +和2q -在空间产生的电位

1(,,)4x y z

?πε

=

令(,,)0x y z ?=，则有

0=

即 2222224[()]()x a y z x a y z +++=-++

故得 222254

()()33x a y z a +

++= 由此可见，零电位面是一个以点5(,0,0)3a -为球心、4

3

a 为半径的球面。

3.11 证明习题3.2的电位表达式为 2013

()()422a a

Ze r r r r r ?πε=

+- 解 位于球心的正电荷Ze 在原子外产生的电通量密度为 12

4r Ze

r

π=D e 电子云在原子外产生的电通量密度则为 3222

4344a r r r Ze

r r

ρπππ==-D e e