2015理科数学暑假作业 含答案

2015理科数学暑假作业1

一. 复数

1.已知集合M={1,2,zi},i,为虚数单位,N={3,4},则复数z=

（ ） A ．-2i B ．2i C ．-4i D ．4i

【答案】C

2.若复数z 满足(3)(2)5z i --=(i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 为

（ ） A ．2i + B ．2i - C ．5i + D ．5i -

【答案】D

3. 若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是

（ ） A ．()2,4 B ．()2,4- C ．()4,2- D ．()4,2

【答案】C

4. 复数的1

1Z i =-模为

（ ） A ．12 B

C

D ．2

【答案】B

5. 如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是

（ ） A ．A B ．B C ．

C D ．D

【答案】B

6. ()3=

（ ） A ．8- B ．8 C ．8i - D ．8i

【答案】A

7. 设m R ∈,222(1)i m m m +-+-是纯虚数,其中i 是虚数单位,则________

m =

【答案】2m =-.

8. 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = ______.

【答案】12i +

二. 线性规划

1. 设变量x 、y 满足约束条件20201x y x y y +-≥??--≤??≥?

，则目标函数2z x y =+的最小

值为

A.2

B.3

C.4

D.5

【答案】B

【解析】画出可行域，如图所示．解方程组?????x ＋y －2＝0，y ＝1，得?????x ＝1，y ＝1，

即点A (1，1)．

当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值，即z min ＝1×1＋2×1＝3.

2.y x ,满足约束条件??

???≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为

（A ）21或1- （B ）2或2

1 （C ）2或1 （D ）2或1-

【答案】D

【解析】可行域如右图所示，ax y z -=可化为z ax y +=，由题意知2=a 或1-

3.已知y x,满足的约束条件???≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数

0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为

（A ）5 （B ）4 （C ）5 （D ）2

【答案】B

【解析】10230

x y x y --≤??--≥?求得交点为()2,1

，则2a b +=()0,0到

直线20a b +-=的距

离的平方2

224==。 4. 若,x y 满足20200x y kx y y +-≥??-+≥??≥?

且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）

.2A .2B - 1.2C 1.2

D - 【答案】D 【解析】由约束条件作出可行域如图，

由kx ﹣y+2=0，得x=，∴B （﹣）．由z=y ﹣x 得y=x+z ．

由图可知，当直线y=x+z 过B （﹣

）时直线在y 轴上的截距最小，即z 最小． 此时

，解得：k=﹣．故选：D

三.计数原理

1.有6名男医生5名女医生，从中选出2名男医生1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )

A ．60种

B ．70种

C ．75种

D ．150种

【答案】C

2. 把5件不同产品摆成一排．若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．

【答案】．36

3.在8张奖券中有一二三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)

【答案】．60

4． ????12x －2y 5

的展开式中x 2y 3的系数是( )

A ．－20

B ．－5

C ．5

D ．20

【答案】．A

5． 若二项式????2x ＋a x 7

的展开式中1

x 3的系数是84，则实数a ＝( )

A ．2 B.54 C ．1 D.2

4

【答案】．C

6.在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( )

A ．45

B ．60

C ．120

D ．210

【答案】．C

四. 三视图

1. 某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是

（ ）

A ．4

B ．143

C ．16

3 D ．6

【答案】B

正视图 俯视图 侧视图

第1题图

2. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）

A ．168π+

B ．88π+

C ．1616π+

D ．816π+ 【答案】A 3. 若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________2cm .

【答案】24

4. 已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图

所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是

_______________

【答案】12π

五.立方体几何

1. 如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AD=1,A 1A=1,证明直线BC 1平行于平面DA 1C,并求直

线BC 1到平面D 1AC 的距离.

C 1

1

A

【答案】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体,故1111//,AB C D AB C D =,

故ABC 1D 1为平行四边形,故11//BC AD ,显然B 不在平面D 1AC 上,于是直线BC 1平行于平面DA 1C; 直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h

考虑三棱锥ABCD 1的体积,以ABC 为底面,可得11

1(12)

1323

V =

????= 而1AD C ?中,11AC DC AD ===,故132

AD C S ?= 所以,13123233V h h =??=?=,即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23.

2. 如图,在四面体BCD A -中,⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是

AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=.

(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为060,求BDC ∠的大

小.

【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取MD 的中点F ,且M 是AD 中点,所以3AF FD =.因为P 是BM 中点,所以//PF BD ;又因为(Ⅰ)3AQ QC =且3AF FD =,所以//QF BD ,所以面//PQF 面BDC ,且PQ ?面BDC ,所以//PQ 面BDC ;

A

B

D

P

Q M

（第20题图）

方法二:如图7所示,取BD 中点O ,且P 是BM 中点,所以1//

2

PO MD ;取CD 的三等分点H ,使3DH CH =,且3AQ QC =,所以11////42QH AD MD ,所以////P O Q H P Q O

H ∴,且OH BCD ?,所以//PQ 面BDC ; (Ⅱ)如图8所示,由已知得到面ADB ⊥面BDC ,过C 作CG BD ⊥于G ,所以CG BMD ⊥,过G 作GH BM ⊥于H ,连接CH ,所以CHG ∠就是C BM D --的二面角;

由已知得到3BM ==,设BDC α∠=,所以

cos ,sin ,sin ,,CD CG CB CD CG BC BD CD BD

αααααα===?===,

在RT BCG ?中

,2sin BG BCG BG BC

ααα∠=∴=∴=,所以在RT BHG ?中

2133HG α=∴=,所以在RT CHG ?中

tan tan 603

CG CHG HG ∠====

tan (0,90)6060BDC ααα∴=∈∴=∴∠= ;

3. 如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.

(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；

(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值

【答案】