四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学数论专题讲义：5.素因数分解

高一竞赛数论专题 5.素因数分解

算术基本定理：设整数1a >,那么12

.s a p p p =其中j p 是素数,在不计次序下唯一.把12

.s a p p p =中相

同的素数合并,则得到标准素因数分解式12121212, ,,,,0.n

n n n a p p p p p p αα

α

ααα=<<

<≥

正因数个数定理：设|()1d n

n τ=∑表示大于1的整数n 的所有正因数的个数,若1212s

s n p p p ααα=,其中j p 是

素数,则1

()(1).s

i

i n τα==+∏

正因数和定理：设|()d n

n d σ=

∑表示大于1的整数n 的所有正因数之和,若1

2

1

2s s n p

p p ααα=,其中j p 是素

数,则111

().1i s

i i i

p n p ασ+=-=-∏

1.设,a b 是非零的整数,证明：(,)[,].a b a b ab =

2.设n 是正整数,证明：!n 的素因数分解式为(,)

!,p n p n

n p

α≤=∏其中p 是素数,1(,).j j n p n p α∞

=??

=????

∑

3.求2017!的十进制表示式中末尾的零的个数.

4.设n为正整数.证明：若n的所有正因数之和为2的整数次幂,则这些正因数的个数也为2的整数次幂.

n ,不超过n的素数共有k个.设A为集合{2,3,,}n的子集,A的元素个数小于,k且A中任意5.设整数3

一个数不是另一个数的倍数.证明存在集合{2,3,,}n的k元子集,B使得B中任意一个数也不是另一个数的倍数,且B包含.A

高一竞赛数论专题 5.素因数分解解答

算术基本定理：设整数1a >,那么12

.s a p p p =其中j p 是素数,在不计次序下唯一.把12

.s a p p p =中相

同的素数合并,则得到标准素因数分解式12121212, ,,,,0.n

n n n a p p p p p p αα

α

ααα=<<

<≥

正因数个数定理：设|()1d n

n τ=∑表示大于1的整数n 的所有正因数的个数,若1

2

1

2s s n p

p p ααα=,其中j p 是

素数,则1

()(1).s

i

i n τα==+∏

正因数和定理：设|()d n

n d σ=

∑表示大于1的整数n 的所有正因数之和,若1

2

1

2s s n p

p p ααα=,其中j p 是素

数,则11

1

().1i s

i i i p n p ασ+=-=-∏

1.设,a b 是非零的整数,证明：(,)[,].a b a b ab =

证明：设素因数分解式1212121212, ,,0.n n

n n n i i a p p p b p p p p p p αβαα

ββαβ==<<<≥

则11221122min{,}max{,}

min{,}

min{,}max{,}max{,}

1

2

12

(,),[,].n n n n n n a b p p p a b p p p αβαβαβαβαβαβ==

11112222min{,}max{,}min{,}max{,}min{,}max{,}

12(,)[,]n n n n n a b a b p p p αβαβαβαβαβαβ+++=

1122

12

12

121212.n n n n

n n n p p p p p p p p p ab αβαβαβαβααββ+++==?=

2.设n 是正整数,证明：!n 的素因数分解式为(,)

!,p n p n

n p

α≤=∏其中p 是素数,1(,).j j n p n p α∞

=??

=????

∑

证明：一方面若素数|!,p n 则|,1.p k k n <≤另一方面,任一素数p n ≤,必有|!.p n 所以12121212!, 2 ,,,,0.s s n s n p p p p p p n ααα

ααα=≤<<<≤>

下面去确定.j α

设(,)p n α为整数!n 的素因数p 的次方. 因为必有整数k 满足1

,k

k p n p

+≤<所以11.k j j j j n n p p ∞

==????

=????????

∑∑

设j c 表示1,2,

,n 中能被j p 整除的数的个数,则.j j n c p ??

=????

j d 表示1,2,

,n 中恰能被j p 整除的数的个数.则11.j j j j j n n d c c p p ++????

=-=-????????

显然当j k >时,0.j d =及12(,)12.k p n d d k d α=?+?++?

于是1212231(,)121()2()()k k k p n d d k d c c c c k c c α+=?+?+

+?=?-+?-+

+?-

12112111.k

k

k k k k j j j j j n n c c c c c c c c p p ∞+===????

++

++=++

+===????????

∑∑∑

所以(,)

!.p n p n

n p α

≤=∏

3.求2017!的十进制表示式中末尾的零的个数.

解：这就是要求正整数k 使得10||2017!.k

因为1025=?,实际上是求2的最大方次与5的最大方次的最小值. 显然2的最大方次大于5的最大方次. 所以就是求5的最大方次(5,2017).α

注意到5

20175.< 所以2342017201720172017(5,2017)40380163502.5555α????????

=+++=+++=?

???????????????

所以2017!的十进制表示式中末尾的零的个数为502个.

4.设n 为正整数.证明：若n 的所有正因数之和为2的整数次幂,则这些正因数的个数也为2的整数次幂.

证明：设12

121212, ,,,

,0,s s s s i n p p p p p p p αα

α

ααα=<<

<>为素数.

则n 的所有正因数之和2

|1

()(1).i s

i

i

i d n

i n d p p

p ασ==

=+++

+∑∏

若()n σ为2的整数次幂,则()n σ的因数121

11

i i

i i i i

i i p f p p p p αα+-=++++=

-也是2的整数次幂. 显然2,i p ≠i α是奇数.

若1i α>, 则1123

24(1)()

()(1)(1).i i i i i i i i i i i i i f p p p p p p p p p ααα--=+++++=++++

+

由于i f 的素因数只有2,所以124

1i i i i p p p α-+++

+不含大于1的奇数因数.

于是

1

2

i α-是奇数.

所以1122

21

242462

2

1(1)()()i i i i

i

i

i i i

i

i

p p p p p p p p ααα--?

-?

-+++

+=++++

++

122

32482482

(1)(1)(1)(1)i i i

i

i

i

i i i i p p p p p p p p αα-?

--=++++

=++++

.

从而32

4

8

(1)(1)(1).i i i i i i i f p p p p p α-=+++++

于是2

1,1i i p p ++都是2的整数次幂,显然2

11i i p p +<+,于是2

1|1.i i p p ++

因为2

1(1)(1)2i i i p p p +=+-+,1|(1)(1).i i i p p p ++-所以1|2.i p +于是1i p =矛盾.

因此1,1,2,

,).i i s α==

n 的正因数的个数|1

1

()1(1)(11)2.s

s

s i d n

i i n τα====+=+=∑∏∏

故n 的正因数的个数也是2的整数次幂.

5.设整数3n ≥,不超过n 的素数共有k 个.设A 为集合{2,3,,}n 的子集,A 的元素个数小于,k 且A 中任意

一个数不是另一个数的倍数.证明存在集合{2,3,

,}n 的k 元子集,B 使得B 中任意一个数也不是另一个

数的倍数,且B 包含.A

证明：引理：若||,A k <则可在{2,3,

,}\n A 中找到一个数b ,其不整除集合A 中任意一个数,也不被集合

A 中任意一个数整除.

若引理得证,进而将数b 添入集合A 中,并重复这一过程,直到将A 扩充成一个k 元子集,B 则集合B 满足要求.

下面证明引理,对大于1的整数m ,设m 的标准素因数分解为1212.s

s m p p p ααα

=

定义1212()max{,,,}.s s f m p p p αα

α

=

由于||,A k <则()a A

N f a ∈=∏不同的素因子个数小于,k 又不超过n 的素数共有k 个,因此,存在素数,

p n ≤使得.p

N 于是().p

f a

设1

,p n p

α

α+≤<则p A α?(若不然,将有()f p p αα=,于是|,p N 与p N 矛盾).

对任意,a A ∈若|a p α

,则()f a a =为p 的方幂.于是|,p N 与p

N 矛盾.因此.a p α

若|,p a α

因为,p N 所以(),p f a 故(),f a q q β

=为不同于p 的素数,且.q p p β

α

>≥

从而1

,a p q p p p

n αβαα+≥>=>矛盾.因此.p a α

从而,不属于A 的元素p α

不整除集合A 中任意一个数,也不被集合A 中任意一个数整除.

法2 将不超过n 的所有k 个素数从下到大记为12,,,.k p p p

对1,2,

,i k =,取正整数i α满足1,i i i i p n p αα+≤<对这个i α,取正整数i λ满足(1),i i i i i i p n p ααλλ≤<+

其中,,i i αλ均唯一确定的,且.i i p λ<

令*

*

{|,},{|,}.i s

i i i i i i D p s s N M tp t t N ααλ=≤∈=≤∈ 则i D 为i i p α在{2,3,,}n 中的约数全体,i M 为i i p α在{2,3,

,}n 中的倍数全体.

考虑k 个集合(1,2,,}i i i A D M i k ==,注意到集合i A 中的每个数均以i p 为最大素因子,

从而12,,

,k A A A 为{2,3,

,}n 的两两不相交的k 个子集.

当||A k <时,必存在某个{1,2,

,}i k ∈,使得,i A

A =?即i i p α不整除集合A 中任意一个数,也不被集合

A 中任意一个数整除.

将i i p α

添入集合.A 重复这一过程,直到将A 扩充成一个k 元子集,B 则集合B 满足要求.