【解密高考】2015高考数学(人教A版)一轮阶段检测(理)8 综合检测]

一轮复习综合检测(八)

时间120分钟满分150分

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2014·北京西城抽样测试)若复数z满足(1＋3i)z＝23i(i是虚数单位)，则z＝()

A．－3

2＋

2i B.

2－

C.3

2＋

2i D．－

2－

解析：∵(1＋3i)z＝23i，∴z＝

23i

1＋3i

＝

23i(1－3i)

(1＋3i)(1－3i)

＝

6＋23i

4＝

2＋

2i.故选C.

答案：C

2．(2014·广东六校联考)设f(x)＝lg(

1－x

＋a)是奇函数，且在x＝0处有意义，

则该函数是()

A．(－∞，＋∞)上的减函数

B．(－∞，＋∞)上的增函数

C．(－1,1)上的减函数

D．(－1,1)上的增函数

解析：由题意可知，f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，解得a＝－1，故f(x)＝lg 1＋x

1－x

，

函数f(x)的定义域是(－1,1)，在此定义域内f(x)＝lg 1＋x

1－x

＝lg(1＋x)－lg(1－x)，函

数y1＝lg(1＋x)是增函数，函数y2＝lg(1－x)是减函数，故f(x)＝y1－y2是增函数．选D.

答案：D

3．(2014·山东青岛质检)如图所示的流程图，若输入的x ＝－9.5，则输出的结果为( )

A ．－2

B ．－1

C ．0

D ．1

解析：执行程序过程如下：x ＝－9.5＜0，x ＝－9.5＋2＝－7.5＜0，x ＝－7.5＋2＝－5.5＜0，x ＝－5.5＋2＝－3.5＜0，x ＝－3.5＋2＝－1.5＜0，x ＝－1.5＋2＝0.5＞0，c ＝2×0.5＝1，故输出的结果为1，故选D.

答案：D

4．(2014·天津十二区县重点中学第一次联考)箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )

A.16625

B.96625

C.624625

D.4625

解析：依题意得某人能够获奖的概率为1＋5C 26＝2

5(注：当摸的两个球中有标号

为4的球时，此时两球的号码之积是4的倍数，有5种情况；当摸的两个球中有标号均不是4的球时，此时要使两球的号码之积是4的倍数，只有1种情况)，因此所求概率等于C 34

·(25)3·(1－25)＝96

625，选B.

答案：B

5．(2014·乌鲁木齐地区高三第一次测验)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(－35，4

5)，则cos α的值为( )

A.4

B ．－34

C ．－4

5 D ．－35 解析：依题意得cos α＝

－35(－35)2＋(45)2

＝－3

5，故选D.

答案：D

6．(2014·安徽江南十校素质测试)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是等腰直角三角形，那么该三棱锥的侧视图可能为( )

解析：依题意可知，该三棱锥的侧视图可能是D. 答案：D

7．(2014·长沙模考(一))已知抛物线y 2

＝4x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，

b ＞0)的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的焦距为( )

A. 5 B ．2 5 C. 3

D ．2 3

解析：∵抛物线y 2

＝4x 的准线x ＝－1过双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点，∴a ＝1，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±b

a x ＝±bx ，∵双曲线的一条渐近线

方程为y ＝2x ，∴b ＝2，∴c ＝a 2＋b 2＝5，∴双曲线的焦距为2 5.

答案：B

8．(2014·北京石景山期末)若(x ＋a

x )5的展开式中x 3的系数为10，则实数a 的值为( )

A ．1

B ．2

C ．－1

D.12

解析：(x ＋a x )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x 5－r (a x )r

，令5－r －r ＝3，则r ＝1，因此C 15a ＝10，a ＝2.

答案：B

9．(2014·广东佛山第二次质检)函数f (x )＝?????

x ＋2(－2≤x ＜0)2cos x (0≤x ≤π

2)的图象与x 轴

所围成的封闭图形的面积为( )

A ．3 B.7

2 C ．4

D.92

解析：依题意得，所求封闭图形的面积等于1

2×2×2＋

＝2＋

＝4，选C. 答案：C

10．(2014·广东珠海摸底)已知a 、b 为非零向量，m ＝a ＋t b (t ∈R )，若|a |＝1，|b |＝2，当且仅当t ＝1

4时，|m |取得最小值，则向量a 、b 的夹角为( )

A.π6

B.π3

C.2π3

D.5π6

解析：∵m ＝a ＋t b ，|a |＝1，|b |＝2，令向量a 、b 的夹角为θ，∴|m |＝|a ＋t b |＝|a |2＋t 2|b |2＋2t |a ||b |cos θ

＝4t 2＋4t cos θ＋1＝

4(t ＋cos θ

2)2＋1－cos 2θ.

又∵当且仅当t ＝1

4时，|m |最小，即14＋cos θ2＝0，∴cos θ＝－12，

∴θ＝2

3π.故选C. 答案：C

11．(2014·北京朝阳期末)已知函数①y ＝sin x ＋cos x ，②y ＝22sin x cos x ，则下列结论正确的是( )

A ．两个函数的图象均关于点(－π

4，0)成中心对称图形 B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π

4成轴对称图形 C ．两个函数在区间(－π4，π

4)上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同

解析：由于y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π

4)，y ＝22sin x cos x ＝2sin2x .对于A 、B 选项，当x ＝－π4时，y ＝2sin(x ＋π

4)＝0，y ＝2sin2x ＝－2，因此函数y ＝sin x ＋cos x 的图象关于点(－π4，0)成中心对称图形、不关于直线x ＝－π

4成轴对称图形，函数y ＝22sin x cos x 的图象不关于点(－π4，0)成中心对称图形、关于直线x ＝－

π4成轴对称图形，故A 、B 选项均不正确；对于C 选项，结合图象可知，这两个函数在区间(－π4，π

4)上都是单调递增函数，因此C 正确；对于D 选项，函数y ＝2sin(x ＋π

4)的最小正周期是2π，y ＝2sin2x 的最小正周期是π，D 不正确．综上所述，选C.

答案：C

12．(2014·潮州二模)若偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2

，则关于x 的方程f (x )＝(110)x 在[0，10

3]上根的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：由题意知f (x )是周期为2的偶函数，故当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2，画出f (x )的图象，结合y ＝(110)x 的图象可知，方程f (x )＝(110)x 在x ∈[0，10

3]时有三

个根，要注意在x ∈(3，10

3]时方程无解．

答案：C

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．(2014·无锡一模)已知x ，y 满足???

y －2≤0

x ＋3≥0

x －y －1≤0

，则

x ＋2y －6

x －4

的取值范围是________．

解析：x ＋2y －6x －4＝1＋2·y －1x －4，设k ＝y －1x －4，k 表示定点P (4,1)与动点N (x ，y )

连线的斜率，点N 在如图所示的三角形ABC 的边界上或内部，A (－3，－4)，C (3,2)，k CP ＝－1≤k ≤k AP ＝57，所以x ＋2y －6x －4

∈[1－2,1＋107]＝[－1，17

7]．

答案：[－1，17

14．(2014·韶关调研)椭圆x 29＋y 2

2＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________；∠F 1PF 2的大小为________．

解析：a ＝3，b ＝2，c ＝7，由椭圆定义得|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2；cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－(2c )22|PF 1

|·|PF 2

|＝－12，∠F 1PF 2＝120°

答案：2 120°

15．(2014·宁波期末)如图，直线l ⊥平面α，垂足为O .已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝5，AB ＝6，AD ＝8.该长方体做符合以下条件的自由运动：(1)A ∈l ，(2)C ∈α.则C 1、O 两点间的最大距离为________．

解析：连接AC 、OC ，取AC 的中点M ，连接OM 及C 1M ，由已知易证△AOC 为直角三角形，∠AOC 为直角，所以OM ＝12AC ＝1

282＋62＝5，△ACC 1也为直角三角形，∠ACC 1为直角，所以易求得C 1M ＝52，连接OC 1，设∠OMC 1＝θ，

则OC 21＝OM 2＋C 1M 2

－2OM ·C 1M ·cos θ＝25＋50－2×5×52cos θ＝75－502cos θ，当cos θ＝－1即θ＝π时，OC 21取得最大值75＋502＝25(2＋1)2，所以

OC 1的最大值为5(1＋2)．

答案：5＋5 2

16．(2014·汉中一模)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3，则△ABC 的面积为________．

解析：依题意得cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝1－cos 2A ＝45，AB →·AC →

＝AB ·AC ·cos A ＝3，AB ·AC ＝5，△ABC 的面积等于12

AB ·AC ·sin A ＝2.

答案：2

三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(2014·湘潭二模)(本小题满分12分)

已知正项等比数列{a n }满足：log 3a 1＋log 3a 3＝4，log 3a 5＋log 3a 7＝12. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)记T n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，如果数列{b n }满足：b n ＝1

2T n

；若存在

n ∈N *，使不等式m ＜(b 1＋b 2＋…＋b n )(3

4)n 成立，求实数m 的取值范围．

解：(1)设正项等比数列{a n }的公比为q ，根据题意得：a 1a 3＝a 22＝34

，所以

a 2＝32，同理a 6＝36，a 6＝a 2q 4，可得q ＝3.

故a n ＝3n ，n ∈N *.

(2)∵T n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝1

2n (n ＋1)，

∴b n＝1

n(n＋1)＝

n－

n＋1

，

∴b1＋b2＋…＋b n＝(1－1

2)＋(

2－

3)＋…＋(

n－

n＋1

)＝1－

n＋1

＝

n＋1

设f(n)＝

n＋1

(

n，

则f(n＋1)－f(n)＝－(3

n·

(n＋3)(n－1)

4(n＋1)(n＋2)

≤0，

∴f(1)＝f(2)＞f(3)＞f(4)＞…，

∴f(n)≤f(1)＝3 8.

故m＜3 8.

18．(2014·德阳联考)(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD＝2AB，E、F分别为PC、CD的中点．

(1)证明：AB⊥平面BEF；

(2)设P A＝k·AB，若平面EBD与平面BDC所成的角大于45°，求k的取值范围．

解：(1)由已知得DF綊AB，且∠DAB为直角，故四边形ABFD是矩形，从而AB⊥BF.

又P A⊥底面ABCD，P A?平面P AD，

所以平面P AD⊥平面ABCD，

因为AB⊥AD，故AB⊥平面P AD，所以AB⊥PD，

在△PDC内，E、F分别是PC、CD的中点，

所以EF∥PD，AB⊥EF.

由此得AB⊥平面BEF.

(2)如图，在A为原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

设AB 的长为1，则A (0,0,0)， B (1,0,0)，D (0,2,0)， F (1,2,0)，P (0,0，k )， E (1,1，k

2)， BD

→＝(－1,2,0)， BE

→＝(0,1，k 2

)，故平面CDB 的法向量为n 1＝(0,0,1)，平面EDB 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则????? n 2·BD →＝0n 2·BE →＝0，

∴?

???

－x ＋2y ＝0y ＋k 2

2＝0，取y ＝1，可得n 2＝(2,1，－2

k )．

设二面角E －BD －C 的大小为θ，

则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝

|n 1·n 2|

|n 1|·|n 2|

＝2

k 22＋1＋4

k 2

＜

，化简得k 2＞45，则k ＞25

19．(2014·滨州质检)(本小题满分12分)

2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引发了海啸及核泄漏．某国际组织用分层抽样的方法从心理专家、核专家、地质专家三类专家中抽取若干人组成研究团队赴日本工作，有关数据见表1(单位：人)．

核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响，随机选取了110只羊进行了检测，并将有关数据整理为不完整的2×2列联表(表2)．

表1

表2

参考公式：K 2

＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

(1)求研究小组的总人数；

(2)写出表2中A 、B 、C 、D 、E 的值，并判断有多大的把握认为羊受到高度辐射与身体不健康有关；

(3)若从研究团队的心理专家和核专家中随机选2人撰写研究报告，求其中恰好有1人为心理专家的概率．

解：(1)依题意知726＝48y ＝24

x ，解得y ＝4，x ＝2.

所以研究小组的总人数为2＋4＋6＝12.

(2)根据列联表特点得A ＝20，B ＝50，C ＝80，D ＝30，E ＝110.

可求得K 2＝110×(30×10－50×20)

50×60×80×30

≈7.486＞6.635.

由临界值表知，有99%的把握认为羊受到高度辐射与身体不健康有关． (3)设研究小组中心理专家为a 1、a 2，核专家为b 1、b 2、b 3、b 4，从中随机选2人，不同的选取结果有：a 1a 2、a 1b 1、a 1b 2、a 1b 3、a 1b 4、a 2b 1、a 2b 2、a 2b 3、a 2b 4、b 1b 2、b 1b 3、b 1b 4、b 2b 3、b 2b 4、b 3b 4，共15种．

其中恰好有1人为心理专家的结果有：a 1b 1、a 1b 2、a 1b 3、a 1b 4、a 2b 1、a 2b 2、a 2b 3、a 2b 4，共8种，

所以恰好有1人为心理专家的概率P ＝8

15.

20．(2014·绵阳诊断)(本小题满分12分)

如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2

2＝1的焦点在x 轴上，左、右顶点分别为A 1、A ，上顶点为B .抛物线C 1、C 2分别以A 、B 为焦点，其顶点均为坐标原点O ，C 1与C 2相交于直线y ＝2x 上一点P .

(1)求椭圆C 及抛物线C 1、C 2的方程；

(2)若动直线l 与直线OP 垂直，且与椭圆C 交于不同两点M 、N ，已知点Q (－2，0)，求QM →·QN →

的最小值．

解：(1)由题意得，A (a,0)，B (0，2)，故抛物线C 1的方程可设为y 2＝4ax ，抛物线C 2的方程为x 2＝42y .

由???

y 2＝4ax

x 2

＝42y y ＝2x

得a ＝4，P (8,82)．

所以椭圆C ：x 216＋y 2

2＝1，抛物线C 1：y 2＝16x ，抛物线C 2：x 2＝42y . (2)由(1)知，直线OP 的斜率为2，所以直线l 的斜率为－2

2，可设直线l 的方程为y ＝－2

2x ＋b ，

由???

x 216＋y 22＝1

y ＝－2

2x ＋b

消去y ，整理得5x 2－82bx ＋(8b 2－16)＝0.

因为动直线l 与椭圆C 交于不同两点，所以Δ＝128b 2－20(8b 2－16)＞0，解得－10＜b ＜10.

设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝82b

5，x 1x 2＝8b 2－165，

y 1y 2＝(－22x 1＋b )(－22x 2＋b )＝12x 1x 2－2b 2(x 1＋x 2)＋b 2＝b 2

－85.

因为QM →＝(x 1＋2，y 1)，QN →＝(x 2＋2，y 2

)，

所以QM →·QN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2＝9b 2＋16b －14

因为－10＜b ＜10，所以当b ＝－89时，QM →·QN →取得最小值，其最小值等

于95×(－89)2＋165×(－89)－145＝－389

. 21．(2014·绥化一模)(本小题满分12分)

已知函数f (x )＝???

－x 3＋x 2

＋bx ＋c (x ＜1)a ln x (x ≥1)

的图象过点(－1,2)，且在x ＝23处取

得极值．

(1)求实数b 、c 的值；

(2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．解：(1)当x ＜1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋b ，由题意得????

f (－1)＝2f ′(2

3)＝0，即?

????

2－b ＋c ＝2－3×49＋4

3＋b ＝0，解得b ＝c ＝0.

(2)由(1)知f (x )＝???

－x 3＋x 2

(x ＜1)

a ln x (x ≥1)

，

①当－1≤x ＜1时，f ′(x )＝－x (3x －2)，由f ′(x )＝－x (3x －2)＝0得：x ＝0或x ＝2

3，

解f ′(x )＞0得0＜x ＜23；解f ′(x )＜0得－1≤x ＜0或2

3＜x ＜1， ∴f (x )在[－1,0)和(23，1)上单调递减，在(0，2

3)上单调递增， ∵f (－1)＝2，f (23)＝4

27，f (0)＝0，f (1)＝0， ∴f (x )在[－1,1)上的最大值为2.

②当1≤x≤e时，f(x)＝a ln x，

当a≤0时，f(x)≤0；当a＞0时，f(x)在[1，e]上单调递增；

∴f(x)在[1，e]上的最大值为a.

∴当a≥2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为a；

当a＜2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为2.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．(2014·蒙山一模)(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，在△ABC中，∠C为钝角，点E，H分别是边AB上的点，点K和M 分别是边AC和BC上的点，且AH＝AC，EB＝BC，AE＝AK，BH＝BM.

(1)求证：E、H、M、K四点共圆；

(2)若KE＝EH，CE＝3，求线段KM的长．

解：(1)连接CH，

∵AC＝AH，AK＝AE，

∴四边形CHEK为等腰梯形，

注意到等腰梯形的对角互补，

故C，H，E，K四点共圆，

同理C，E，H，M四点共圆，

即E，H，M，K均在点C，E，H所确定的圆上．

(2)连接EM，

由(1)得E，H，M，C，K五点共圆，

∵CEHM为等腰梯形，∴EM＝HC，

故∠MKE＝∠CEH，

由KE＝EH可得∠KME＝∠ECH，

故△MKE≌△CEH，

即KM＝EC＝3.

23．(2014·南通调研)

(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点M 的极坐标为(4，π2)，若直线l 过点P ，且倾斜角为π

3，圆C 以M 为圆心、4为半径．

(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； (2)试判定直线l 和圆C 的位置关系．解：(1)由题意，直线l 的普通方程是

y ＋5＝(x －1)tan π

3，此方程可化为y ＋5sin π3＝x －1cos π3

，

令y ＋5sin π3＝x －1

cos π3＝a (a 为参数)，得直线l 的参数方程为???

x ＝12a ＋1y ＝32a －5(a 为参

数)．

如图，设圆上任意一点为Q (ρ，θ)，则在△QOM 中，由余弦定理，得 QM 2＝QO 2＋OM 2－2·QO ·OM cos ∠QOM ， ∴42＝ρ2＋42－2×4ρcos(θ－π

2)．

化简得ρ＝8sin θ，即为圆C 的极坐标方程．

(2)由(1)可进一步得出圆心M 的直角坐标是(0,4)，直线l 的普通方程是3x －y －5－3＝0，圆心M 到直线l 的距离d ＝|0－4－5－3|3＋1

＝9＋3

2＞4，所以直

线l 和圆C 相离．

24．(2014·菏泽联考)

(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝2|x |＋a . (1)当a ＝0时，解不等式f (x )≥g (x )；

(2)若存在x ∈R ，使得f (x )≥g (x )成立，求实数a 的取值范围．解：(1)∵|x ＋1|≥2|x |?x 2

＋2x ＋1

≥4x 2

?－1

3≤x ≤1，

∴不等式f (x )≥g (x )的解集为[－1

3，1]．

(2)若存在x ∈R ，使得|x ＋1|≥2|x |＋a 成立，即存在x ∈R ，使得|x ＋1|－2|x |≥a 成立．

令φ(x )＝|x ＋1|－2|x |，则a ≤φ(x )max ，

又φ(x )＝???

1－x ，x ≥0

3x ＋1，－1≤x ＜0.

x －1，x ＜－1

当x ≥0时，φ(x )≤1；当－1≤x ＜0时，－2≤φ(x )＜1；当x ＜－1时，φ(x )＜－2.综上可得：φ(x )≤1，∴a ≤1，即实数a 的取值范围为(－∞，1]．