椭圆中焦点三角形的性质及应用
椭圆中焦点三角形的性质及应用
定义:椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等.
一.焦点三角形的形状判定及周长、面积计算
例1 椭圆112
162
2=+y x 上一点P 到焦点21,F F 的距离之差为2,试判断21F PF ?的形状. 解:由椭圆定义:3||,5||.2||||,8|||212121==∴=-=+PF PF PF PF PF PF . 又4||21=F F ,故满足:,||||||2122122PF F F PF =+故21F PF ?为直角三角形. 说明:考查定义、利用已知、发挥联想,从而解题成功.
性质一:已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形
21F PF 中,21θ=∠PF F 则2
tan
221θ
b S PF F =?。
θ
cos 2)2(212
22
12
2
12PF PF PF PF F F c -+== )cos 1(2)(212
21θ+-+=PF PF PF PF
θ
θθcos 12)cos 1(244)
cos 1(24)(2
222
22121+=
+-=+-+=
∴b c a c PF PF PF PF 2
tan cos 1sin 2122212
1θθθb b PF PF S PF F =+==∴? 性质二:已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角
形21F PF ,若21PF F ∠最大,则点P 为椭圆短轴的端点。
证明:设),(o o y x P ,由焦半径公式可知:o ex a PF +=1,o ex a PF -=1 在21PF F ?中,2
12
2
121212cos PF PF F F PF PF -+=
θ2
12
21221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=
1))((2412442
2122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122
22
2--o
x e a b a x a ≤≤-0 22
a x o ≤∴
性质三:过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短,通径为a
b 2
2
性质四:已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形
21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ
证明:设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ?中,由余弦定理得:
1222242)(2cos 2
12
221221221212
212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ
.2112221)2
(22222
2
22
2122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。 (2000年高考题)已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在
一点,P 使得,120021=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。 简解:由椭圆焦点三角形性质可知.21120cos 2
e -≥即2212
1
e -≥-
, 于是得到e 的取值范围是.1,23???
?
??? 性质五:已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形
21F PF ,,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率β
αβαsin sin )
sin(++=
e 。
,,1221βα=∠=∠F PF F PF
由正弦定理得:
β
α
βαsin sin )
180sin(122
1PF PF F F o
=
=
--
由等比定理得:
β
αβαsin sin )
sin(2121++=
+PF PF F F
而)sin(2)sin(2
1βαβα+=+c F F ,β
αβαsin sin 2sin sin 21+=
++a
PF PF
∴β
αβαsin sin )
sin(++=
=
a c e 。 已知椭圆的焦点是F 1(-1,0)、F 2(1,0),P 为椭圆上一点,且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点P 在第三象限,且∠PF 1F 2=120°,求tan F 1PF 2. 解:(1)由题设2|F 1F 2|=|PF 1|+|PF 2|
∴2a =4,又2c =2,∴b =3
∴椭圆的方程为3
42
2y x +=1. (2)设∠F 1PF 2=θ,则∠PF 2F 1=60°-θ
椭圆的离心率2
1
=
e 则)60sin(2
3
sin )
60sin(120sin )180sin(21θθθθ-+=-+-=o o o o ,
整理得:5sin θ=3(1+cos θ)
∴53cos 1sin =+θθ故532tan =θ,tan F 1PF 2=tan θ=
113525
3153
2=-?
.